HF Matematik C Juni 2012

Side 1

HF MAT C 2hf121-MAT/C-

Matematik HF C – eksamen mandag d. 4. juni 2012

Alle formlerne henviser til Matematisk formelsamling stx/hf C fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så læseren præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1 (rentesregning) a)

Indestående på en bankkonto med en fast rente vokser, hvis der ikke indsættes yderligere derpå eller hæves derfra, ved formlen, jf. formel 4

𝐾=𝐾_{0} ⋅ ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

Formlen omskrives så det oprindelige beløb, 𝐾_{0}, isoleres.

𝐾=𝐾_{0} ⋅ ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

⇕

𝐾_{0} =

𝐾

( 1 + 𝑟)^{𝑛}

Tallene indsættes.

𝐾_{0} = = ≈50.000,00

59.384,32 59.384,32

( 1 + 3,5%)^{5} 1,035^{5}

Personen indsatte altså oprindeligt 50.000 kroner på kontoen.

b)

Vækstraten bestemmes ved hjælp af formlen, jf. formel 5

𝑟= √^{𝑛} − 1

𝐾

𝐾_{0}

Værdierne indsættes.

𝑟= − 1≈0,046=4,6 %

√^{5}

125.000

100.000

Den årlige procentvise rente på den konto er altså 4,6 %.

Side 2

HF MAT C 2hf121-MAT/C-

Opgave 2 (udviklingen i medlemstallet for LO) a)

Tallet 1.400.000 er kontantleddet og er dermed medlemstallet 0 år efter år 2004. Tallet fortæller altså at der i år 2004 var 1,4 millioner medlemmer af LO.

Tallet -40.900 er hældningskoefficienten, og fortæller således at den årlige vækst er -40.900. LO taber altså ifølge modeller 40.900 medlemmer hvert år.

b)

For at bestemmes hvornår medlemstallet kommet under en million, løses ligningen 𝑦=1.000.000 for 𝑥.

𝑦=1.000.000

⇕

−40.900𝑥 + 1.400.000=1.000.000

⇕

−40.900𝑥 + 400.000=0

⇕

400.000=40.900𝑥

⇕

𝑥=

400.000

40.900

Når brøken udregnes fås 9,8. I løbet af det niende år efter 2004 vil medlemstallet altså komme under en million, dvs. en gang i løbet af 2013.

Side 3

HF MAT C 2hf121-MAT/C-

Opgave 3 (trekantsberegninger)

OBS. Denne opgave er her løst ”i hånden”, men du vil med stor fordel kunne løse denne opgave med WordMat’s trekantsberegner.

a)

Længden af siden 𝐴𝐶 bestemmes ved hjælp af sinusrelationen. Sinus relationen opstillet og omskrives.

| 𝐴𝐶 | | 𝐴𝐵 | sin𝐵 sin𝐵 sin𝐶 sin𝐶

= ⇔ | 𝐴𝐶 | = | 𝐴𝐵 | ⋅

Værdierne indsættes.

| 𝐴𝐶 | =8,0 ⋅ ≈7,5

sin66,3° sin77,7°

Længden af siden 𝐴𝐶 er altså cirka 7,5.

b)

Arealet af trekanten kan bestemmes ved formlen

𝑇= | 𝐴𝐵 | ⋅ | 𝐴𝐶 | ⋅ sin𝐴

1

2

Tallene indsættes idet 𝐴=180° − 𝐵 − 𝐶=180° − 66,3° − 77,7°=36°

𝑇≈ ⋅ 8,0 ⋅ 7,5 ⋅ sin36°≈17,6

1

2

Arealet af trekanten er altså 17,6.

c)

Punktet på 𝐴𝐶 hvortil højden fra 𝐵 går kaldes ℎ_{𝐵}. Af sinus relationen fås nu

| 𝐴ℎ_{𝐵} | |𝐴𝐵|
sin∠ℎ_{𝐵} 𝐵𝐴 sin∠𝐴ℎ_{𝐵} 𝐵

=

Per definition af højde er ∠𝐴ℎ_{𝐵} 𝐵=90°. Der må gælde at

∠ℎ_{𝐵} 𝐵𝐴=∠𝐴𝐵𝐶− ∠𝐶𝐵ℎ

𝐵

Vinkelen ∠ℎ_{𝐵} 𝐵𝐴 bestemmes.

∠ℎ_{𝐵} 𝐵𝐴=66,3° − ( 180° − 90° − 77,7°) =54°

Den tidligere fremsatte sinusrelation omskrives.

Side 4

HF MAT C 2hf121-MAT/C-

| 𝐴ℎ_{𝐵} | |𝐴𝐵| sin∠ℎ_{𝐵} 𝐵𝐴
sin∠ℎ_{𝐵} 𝐵𝐴 sin∠𝐴ℎ_{𝐵} 𝐵 sin∠𝐴ℎ_{𝐵} 𝐵

= ⇔ | 𝐴ℎ_{𝐵} | = | 𝐴𝐵 | ⋅

Tallene indsættes.

| 𝐴ℎ_{𝐵} | =8,0 ⋅ ≈6,5

sin54° sin90°

For at bestemme arealet af trekant 𝐴ℎ_{𝐵} 𝐵.

𝑇= | 𝐴𝐵 || 𝐴ℎ_{𝐵} | sin𝐴≈ ⋅ 8,0 ⋅ 6,5 ⋅ sin36°≈15,2

1 1

2 2

Arealet af trekant 𝐴ℎ_{𝐵} 𝐵 er altså ca. 15,2.

Endelig beregnes arealet af trekant ℎ 𝐶𝐵.
                              𝐵

𝑇_{ℎ_{𝐵}}_{𝐶𝐵} =𝑇_{𝐴𝐵𝐶} − 𝑇_{𝐴ℎ_{𝐵}} ≈17,6 − 15,2≈2,4

𝐵

Arealet af trekant ℎ_{𝐵} 𝐶𝐵 er altså ca. 2,4.

Side 5

HF MAT C 2hf121-MAT/C-

Opgave 4 (sammenhængen mellem bækforellers vægt og længde) a)

For at bestemme vægten af en 23 cm lang bækforel, bestemmes 𝑦 for 𝑥=23.

𝑦=0,0117⋅ 23^{2,97} ≈129,57

Vægten af en 23 cm lang bækforel er altså ca. 130 cm.

b)

Den relative forøgelse i vægten kan bestemmes ved formlen, jf. formel 48

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

Tallene indsættes og 𝑟_{𝑦} bestemmes.

𝑟_{𝑦} = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎} − 1=1,25^{2,97} − 1≈0,94=94 %

Den bækforel der er længst, er altså 94 % tungere end den korte.

Side 6

HF MAT C 2hf121-MAT/C-

Opgave 5 (fordelingen af fødselsvægten for danske børn) a)

De kumulerede frekvenser er beregnede i Microsoft Excel. Der en tilføjet et nulpunkt og valgt en øvre grænse for den sidste grupper (4,5- ) for at kunne tegne grafen ordentligt.

Dette giver følgende tabel.

Fødselsvægt Øvre grænse Procent Kumuleret frekvens

0,0 0

0-2,5 2,5 5,1% 5,1%

2,5-3,0 | 3,0 | 12,3% | 17,4%
3,0-3,5 | 3,5 | 31,9% | 49,3%
3,5-4,0 | 4,0 | 33,5% | 82,8%
4,0-4,5 | 4,5 | 14,1% | 96,9%

4,5- 8,0 3,1% 100,0%

Grafen bliver da b)

Af grafen aflæses at 70 % af børnene vejede mindre end 3,8 kg. Dette ses ved at skære grafen med linie

𝑥=3,8 og aflæse 𝑦-værdien. Altså må 30 % af børnene have haft en fødselsvægt på mere end 3,8 kg.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

Kumuleret frekvens

Fødselsvægt

Fordelingen af fødselsvægten af danske børn

Side 7

HF MAT C 2hf121-MAT/C-

Opgave 6 (udviklingen i antallet af Alexanderparakitter i London) a)

Først bestemmes tallet 𝑎 bed hjælp af formlen, jf. formel 34

𝑎=

1
√

2 𝑦_{2}
𝑦_{1}

𝑥 −𝑥

Da 𝑥 angiver antal år efter år 2000, skal der træffes 2000 fra årstallene. Værdierne indsættes.

𝑎= ≈1,249756

√

10.000

3.280

5−0

Således fås 𝑎=1,25 afrundet til to decimaler.

Nu bestemmes tallet 𝑏 ved hjælp af formel, jf. formel 35

𝑏=

𝑦_{1}
𝑎^{𝑥_{1}}

Værdierne indsættes.

𝑏= =3280

3280

1,249756^{0}

Således fås 𝑏=3280.

b)

Forskriften for antallet af Alexanderparakitter er

𝑦=3280 ⋅ 1,249756^{𝑥}

Da 2010 er 10 år efter år 2000, bestemmes antallet af Alexanderparakitter i år 2010 ved at bestemme 𝑦 for

𝑥=10.

𝑦=3280 ⋅ 1,249756^{10} ≈30487,8

Ifølge modellen var der altså 30.487 Alexanderparakitter i London i år 2010 rundet ned til et helt tal.

c)

Fordoblingstiden bestemmes ved hjælp af formlen, jf. formel 37

𝑇_{2} = ≈ ≈3,11

log2 log2 log𝑎 log1,25

Fordoblingstiden for antallet af Alexanderparakitter i London er altså ca. 3,11 år.

Side 8

HF MAT C 2hf121-MAT/C-

Opgave 7 (indekstal) a)

Antallet af familier med mere en én bil, bestemmes ved hjælp af formlen, jf. formel 8

𝑆= ⋅ 𝐵

𝐼_{𝑆}
𝐼_{𝐵}

Antallet bestemmes.

𝑆= ⋅ 364=377,832

103,8

100

Ifølge modellen var der altså i 32 familier i Danmark med mere end én bil.

Indekstallet for 2007 bestemmes ved formlen, jf. formel 8

𝐼_{𝑆} = ⋅ 𝐼_{𝐵}

𝑆

𝐵

Indekstallet bestemmes.

𝐼_{𝑆} = ⋅ 100≈93,407

340

364

Indekstallet for år 2007 er altså ca. 93,4.