HF Matematik C 1. juni 2015 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2015

1

HF Matematik C

1. juni 2015

Vejledende besvarelse

2hf151-MAT/C-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 1. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Vi definerer kendte størrelser:

Slutkapital: 𝐾 ≔22977,64
           𝑛

Årlig rente: 𝑟≔0,0175

Antal terminer: 𝑛≔8

Startkapitalen, 𝐾 , bestemmes ved at løse:
              0

𝐾_{𝑛} =𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

⇕ Ligningen løses for K_0 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐾_{0} =20000

Der blev indsat 20.000 kr. på kontoen.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2015

2

Opgave 2 a)

År 2000 bruges som basisår med indekstallet 100 og 9785 dømte. Indekstallet for 2006 med 7478 dømte bestemmes da som:

𝑖_{2006} = · 100

7478

9785

≈76,4231

Antallet af dømte i år 2012 bestemmes som:

𝑛_{2012} =83 ·

9785

100

=8121,55

Indekstallet for 2006 er ca. 76, og antallet af dømte i 2012 er ca. 8122.

Opgave 3 a)

𝑦=0,5 · 2^{𝑥} er en voksende eksponentialfunktion. C er grafen for en aftagende funktion, mens B er grafen

for en lineær funktion. Den eneste mulighed (som desuden ligner grafen for en voksende

                                                            𝑥
eksponentialfunktion) er således, at 𝐴 er grafen for funktionen 𝑦=0,5 · 2 .

Opgave 4 a)

Grafen går gennem punkterne (0,1447) og (4,1950). Vha. funktionsforskriften 𝑦=𝑎𝑥+ 𝑏 kan vi nu

opstille og løse to ligninger med to ubekendte:

1447=𝑎 · 0 + 𝑏

1950=𝑎 · 4 + 𝑏

⇕ Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑎=125,75 ∧ 𝑏=1447

Tallet 𝑎≔125,75 er hældningskoefficienten (𝑦=𝑎𝑥+ 𝑏 er forskriften for en ret linje), hvilket fortæller

os, at omsætningen vokser med 125,75 mio. euro om året i perioden

Tallet 𝑏≔1447 angiver 𝑦-værdien for 𝑥=0. Dvs. at omsætningen i år 2009 var på 1447 mio. euro.

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2015

3 b)

Hvis udviklingen fortsætter, kan vi bestemme 𝑥 ved at indsætte 𝑦=2500 i modellens forskrift.

2500=𝑎 ·𝑥+ 𝑏

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=8,373757

Det vil sige, at omsætningen først når og dernæst overstiger (da funktionen er voksende) 2500 mio. euro et stykke inde i år 2017.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 5 a)

Vi indsætter tabellens data i WordMats regneark til grupperede observationer og bestemmer herved de kumulerede frekvenser. Vi anvender en hypotetisk øvre grænse på 800, da WordMat ellers ikke kan regne de kumulerede frekvenser korrekt.

Grupperede observationer

Interval 667

Fra Til

Hyp. Frekvens Kumuleret

0 50 323

48% | 48%

50 100 81

12% | 61%

100 200 104

16% | 76%

200 400 100

15% | 91%

400 600 39

6% 97%

600 800 20

3% 100% b)

Ligeledes tegnes en sumkurve vha. WordMat. Her anvendes igen en hypotetisk øvre grænse på 800, da vi ikke kender den reelle værdi.

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2015

4

Vi aflæser den 𝑥-værdi, som hører til 𝑦-værdien 80%. Vi får så cirka værdien 250. Det vil sige, at de 80% mindst sete film har solgt højst 250.000 billetter hver især. De 20% mest sete film har således solgt mindst

250.000 billetter hver især.

Opgave 6 a)

Vi definerer en funktion, så: 𝑓(𝑥)=𝑦

Dvs.:

𝑓 ( 𝑥) ≔0,676 · 𝑥^{0,75}

Iltforbruget for 𝑥=35 bestemmes:

𝑓 ( 35) ≈9,727421

Det vil sige, at et pattedyr på 35 kg forbruger 9,73 liter 𝑂 pr. time.
                                              2

b)

Dyr B vejer 𝑏 kg. Da vejer dyr A 1,4· 𝑏 kg. Vi beregner nu:

0%

25%

50%

75%

100%

0 900

Observationer

Sumkurve

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2015

5

𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑚æ𝑠𝑠𝑖𝑔 𝑓𝑜𝑟𝑠𝑘𝑒𝑙= · 100%

𝑓 ( 1,4 · 𝑏) − 𝑓 ( 𝑏)

𝑓 ( 𝑏)

≈28,71%

Det vil sige, at A’s iltforbrug er 28,71% større end B’s.

c)

Vi løser:

𝑓 ( 𝑥) =16

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=67,95651

Det vil sige, at der er tale om et pattedyr med en vægt på ca. 68 kg. Der kan således godt være tale om et menneske.

Opgave 7 a)

Da omsætningen stiger med en fast årlig vækstrate, 𝑟=7%=0,07, med udgangspunkt i en startværdi,
𝑏=5,9, kan der opstilles en eksponentiel model over omsætningen 𝑅 som funktion af antal år efter 2010,

𝑡.

En eksponentiel model har formen:

𝑦=𝑏·𝑎

𝑡

Hvor 𝑎=1 + 𝑟

Det vil sige:

𝑅 ( 𝑡) =5,9 · 1,07^{𝑡}

b)

For eksponentielle modeller er fordoblingstiden konstant. Den kan beregnes som:

𝑇_{2} =

ln ( 2) ln ( 𝑎)

=

ln ( 2) ln ( 1,07)

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2015

6

≈10,24477

Hvis udviklingen fortsætter, vil omsætningen altså fordobles efter ca. 10,24 år, hvilket svarer til 10 år og 3 måneder.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 8 a)

WordMats trekantsløser anvendes med input: D = 110°, BD = 6,5, AB = 10,5

B A = 35,57122°
B = 34,42878°
D = 110°

BD = 6,5
AD = 6,317496
AB = 10,5

Længden af siden AD findes vha. en cosinusrelation

𝐴𝐵^{2} =𝐴𝐷^{2} + 𝐵𝐷^{2} − 2𝐴𝐷· 𝐵𝐷· cos ( 𝐷)

2. gradsligningen løses for AD

𝐴𝐷=𝐵𝐷· cos ( 𝐷) + √ 𝐴𝐵^{2} − 𝐵𝐷^{2} · sin ( 𝐷)^{2}
=6,317496

2. gradsligningen har to løsninger:

𝐴𝐷_{2} =𝐵𝐷· cos ( 𝐷) − √ 𝐴𝐵^{2} − 𝐵𝐷^{2} · sin ( 𝐷)^{2}
=−10,76376

Men den anden løsning er negativ, og vi kan jo ikke have negative sidelængder.

Vinkel B findes vha. en cosinusrelation

𝐵=cos^{−1} ()

𝐴𝐵^{2} + 𝐵𝐷^{2} − 𝐴𝐷^{2}
2 · 𝐴𝐵· 𝐵𝐷

=cos^{−1} ()

10,5^{2} + 6,5^{2} − 6,317496^{2}
2 · 10,5 · 6,5
=34,42878°
Vinkel A findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant

A AD D

AB BD

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2015

7

𝐴=180° − 𝐷− 𝐵
=180° − 110° − 34,42878°
=35,57122°

Det vil sige, at vinkel A er ca. 35,6°.

b)

Arealet af trekant ABD kan bestemmes vha. formlen:

𝑇= · 𝑎· 𝑏· sin ( 𝐶)

1

2

I vores tilfælde kan vi omskrive til:

𝑇_{𝐴𝐵𝐷} = · 𝐴𝐵· 𝐵𝐷· sin ( 𝐵)

1

2

= · 10,5 · 6,5 · sin ( 34,42878)

1

2

≈19,29364

Det vil sige, at arealet af trekant ABD er ca. 19,3.

c)

Arealet af trekant ABC kan bestemmes som:

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = · 𝐴𝐵· 𝐴𝐶· sin (𝐴)

1

2

= · 𝐴𝐵· ( 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷) · sin (𝐴)

1

2

Vi indsætter alle kendte værdier og løser så:

30= · 10,5 · ( 6,3175 + 𝐶𝐷) · sin (35,57122)

1

2

⇕ Ligningen løses for CD vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐶𝐷=3,50568

Længden af linjestykket 𝐶𝐷 er således ca. 3,51.