HF Matematik C maj 2011

Side 1

HF MAT C 2hf111-MAT/C-

1

Alle formlerne henviser til Matematisk formelsamling stx/hf C fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle beregninger laves for så vidt muligt med værktøjet WordMat.

Opgave 1 a)

For at bestemme beløbet på kontoen efter 6 år, anvendes formlen for opsparing (jf. formel 4).

𝐾=𝐾_{0} ⋅ ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

Hvor

• 𝐾_{0} =55620
• 𝑟=1,2%=0,012

Der fås

𝐾=55620 ⋅ ( 1 + 0,012)^{6} =59746,72

Efter 6 år er der altså 59.746 kroner og 72 øre på kontoen.

b)

For at bestemme hvor mange år der går før beløbet kommer over 63000 kr., skal følgende ligning løses for 𝑛:

63000=55620 ( 1 + 0,012)^{𝑛}

⇕ Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑛=10,44483

Hvis det antages at renten tilskrives årligt, går der altså 11 år før beløbet kommer op på 63.000 kr.

Side 2

HF MAT C 2hf111-MAT/C-

2

Opgave 2 a)

Da der er tale om en lineær model, udføres der en lineær regression over de angivne data:

Distance (meter) 2300 3300

Kondital 40 62

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦=0,022𝑥− 10,6

Dermed får vi at 𝑎=0,022 og 𝑏=−10,6.

Husk at markere hele tabellen før WordMat funktionen benyttes. Hvis kun felterne med data i markeres, giver WordMat et forkert resultat.

Det er altid en god idé at tjekke beregningen efter. Indsæt fx distancen x=2300, 0,022 ⋅ 2300− 10,6=

≈40.

b)

Hvis vi antager at modellen, som vi fandt i a) gælder for den pågældende mand, kan vi bestemme distancen, som manden løb ved at løse følgende ligning for x:

55=0,022𝑥 − 10,6

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=2981,818

Distancen manden kunne løbe var altså 2982 meter, afrundet til hele meter.

c)

Ved næste test kan manden nu løbe:

2981,818 + 450=3431,818

Vi kan nu finde mandens nye kondital ved at løse ligningen:

𝐾=0,022 ⋅ 3431,818− 10,6=64,9

Altså er mandes kondital forøge med følgende antal enheder

64,9 − 55=9,9

Dette svarer til en procentvis stigning på

Side 3

HF MAT C 2hf111-MAT/C-

3

9,9

55

⋅ 100 %=18 %

En anden, lidt mere elegant, måde, at løse opgaven på, er ved at argumentere ud fra at det er en lineær model.

Alternativt løsningsforslag til c)

Da konditallet i modellen stiger proportionalt med antal løbne meter, stiger mandens kondital med:

                                                  9,9
0,022 ⋅ 450=9,9, hvilket svarer til en procentvis stigning på ⋅ 100 %=18 % .
                                                  55

Side 4

HF MAT C 2hf111-MAT/C-

4

Opgave 3 a)

Kvartilsættet aflæses på box-plottet. Den venstre ende af rektanglet er det nedre kvartil, den højre ende er den øvre kvartil og den vandrette streg inde i rektanglet markerer medianen.

Kvartilsættet aflæses til ( 390,440,500).

b)

Der er 13 observationer af drengenes peak flow. Da der er et ulige antal observationer, kan medianen direkte aflæses som den midterste observation, når observationerne rangeres i stigende orden. (som de er i opgaveformuleringen).

Medianen er dermed 560.

                                                     500+540
Nedre kvartil beregnes som gennemsnittet af observation 3 og 4: =520
                                                        2

                                                      600+610
Øvre kvartil beregnes som gennemsnittet af observation 10 og 11: =605
                                                         2

Mindsteværdien og størsteværdien aflæses til hhv. 450 og 690.

Boxplottet over observationerne for drengenes peak flow, kan nu indtegnes i bilaget

Drengenes målte peak flow ligger et godt stykke over pigernes niveau, idet drengenes median ligger over pigernes størsteværdi. Faktisk er de to kvartilbokse helt adskilte hvilket betyder at mindst 75 % af drengene har et peak flow, der er større end det peak flow flere end 75 % af pigerne har.

Vi ser envidere at drengenes boks er lidt smallere end pigernes, hvilket betyder, at pigernes peak flow ligger mere spredt end drengenes.

Side 5

HF MAT C 2hf111-MAT/C-

5

Opgave 4 a)

Vægten af hjernen hos et dyr på 100 gram bestemmes ved at indsætte 𝑥=100 i ligningen.

𝑦=0,635 ⋅ 100^{0,822} ≈27,97523

Hjernen hos et dyr på 100 gram vejer altså ifølge modellen 27,96 gram afrundet til to decimaler.

b)

Hvor meget et dyr skal veje for at dets vægt kommer over 75 gram, bestemmes ved at løse følgende ligning for x:

75=0,635 ⋅ 𝑥^{0,822}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=331,9182

For at et dyr skal have en hjerne, der vejer mere end 75 gram, skal den altså ifølge modellen have en vægt der er større end 331,92 gram afrundet til to decimaler.

c)

Vægten af de to dyr betegnes 𝑣_{𝑙𝑖𝑙𝑙𝑒} og 𝑣_{𝑠𝑡𝑜𝑟}. Da det store dyr vejer 25 % mere end det lille dyr gælder der:

𝑣_{𝑠𝑡𝑜𝑟}:=1,25 ⋅ 𝑣_{𝑙𝑖𝑙𝑙𝑒}

Forholdet mellem hvor stor hjernen er hos det store dyr og hos det lille dyr findes nu:

0,635 ⋅ 𝑣_{𝑠𝑡𝑜𝑟}^{0,822}
0,635 ⋅ 𝑣_{𝑙𝑖𝑙𝑙𝑒}^{0,822}

≈1,201324

Det store dyrs hjerne er altså 1,2013 − 1=0,2013=20,13 % større end det lille dyrs hjerne, afrundet til

to decimaler.

Side 6

HF MAT C 2hf111-MAT/C-

6

Opgave 5 a)

Indekstallet for 2003 bestemmes. (formel 8)

1,90

1,54

⋅ 100=123.

Indekstallet for 2003 er altså 123.

Antallet af familier med mobiltelefon i Danmark i 2005 bestemmes.

140

100

⋅ 1,54=2,16.

I år 2005 var der altså ca. 2,16 millioner familier med mobiltelefon i Danmark.

Side 7

HF MAT C 2hf111-MAT/C-

7

Opgave 6 a)

Arealet 𝑇 af en trekant kan bestemmes ved formlen (jf. formel 16)

𝑇= ⋅ ℎ ⋅ 𝑔.

1

2

Da højden ℎ_{𝐵} fra 𝐵 står vinkelret på siden 𝐴𝐶 fås af definitionen af sinus (jf. formel 13) at

ℎ= | 𝐴𝐵 | ⋅ sin𝐴=6,4 ⋅ sin34,2°=3,6.

Nu kan arealet af trekanten bestemmes

𝑇= ⋅ ℎ ⋅𝑔= ⋅ 3,6 ⋅ 8,5=15,3.

1 1

2 2

Arealet af trekanten er altså 15,3.

b)

De ukendte sider og vinkler beregnes med WordMat:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 34,2° , AC = 8,5 , AB = 6,4

A = 34,2°
B = 97,514°
C = 48,286°

BC = 4,819091
AC = 8,5
AB = 6,4

Længden af siden BC findes vha. en cosinusrelation

𝐵𝐶 = √ 𝐴𝐶^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 2 · 𝐴𝐶· 𝐴𝐵· cos ( 𝐴) = √ 8,5^{2} + 6,4^{2} − 2 · 8,5 · 6,4 · cos ( 34,2°) =4,819091

Vinkel B findes vha. en cosinusrelation

𝐵=cos^{−1} () =cos^{−1} () =97,514°

𝐵𝐶^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 𝐴𝐶^{2} 4,819091^{2} + 6,4^{2} − 8,5^{2}
2 · 𝐵𝐶· 𝐴𝐵 2 · 4,819091 · 6,4
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐶=180° − 𝐴 − 𝐵=180° − 34,2° − 97,514°=48,286°

Dermed fås så at længden af siden 𝐵𝐶 er 4,8 afrundet til en decimal.

c)

Ud fra beregningen lavet i b) fås det at vinkel C er 48,3° afrundet til en decimal.

34,2° 8,5 48,3°

97,5°

6,4 4,82

Side 8

HF MAT C 2hf111-MAT/C-

8

Opgave 7 a)

Familiens årlige elforbrug kaldes 𝐸 og antallet af år efter år 2005 kaldes 𝑡. Da der er tale om et fast relativ fald i familiens elforbrug er der tale om en eksponentiel aftagende sammenhæng mellem 𝐸 og 𝑡. (jf. formel

39)

Et årligt fald på 2 % (vækstrate) giver 𝑎=1 − 0,02=0,98

Der fås modellen

𝐸 ( 𝑡) =4770 ⋅ 0,98^{𝑡}.