HF Matematik C 12. december 2008 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

1

HF Matematik C 12. december 2008

Vejledende besvarelse

2HF083-MAC

Nogle af opgaveløsningerne inkluderer en reference til en formel i en grå kasse. Disse kræves ikke i en eksamensbesvarelse og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at informationen her medtages i løsningerne, er, så du kan se, præcis hvilken formel der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaverne i sættet er så vidt muligt løst med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk som første linje i din opgaveløsning at skrive en note om, at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat, så censor ved, hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de her i sættet anvendte formler kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre i programmet. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Vi benytter renteformlen:

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛} = 10000 · ( 1 + 0,025)^{6} ≈ 11596,93

Efter 6 år vil der stå 11596,9 kr. på kontoen (afrundet til 1 decimal).

b)

Vi bestemmer fordoblingstiden ved:

𝑇_{2} = =

log ( 2) log ( 2)

log ( 𝑎) log ( 1 + 𝑟)
=

log ( 2)

log ( 1 + 0,025)

≈ 28,07103

Der vil gå 28,07 (afrundet til 2 decimaler) år, før beløbet på kontoen er fordoblet.

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

2

Opgave 2 a)

Vi bestemmer højden BC og siden AC med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 90°, A = 42,9°, AC = 140

B C = 90°
B = 47,1°
A = 42,9°

AB = 191,1151
AC = 140
BC = 130,096

Længden af siden AB findes vha. en cosinusrelation:

𝐴𝐵 = = = 191,1151

𝐴𝐶 140 cos ( 𝐴) cos ( 42,9)

Længden af siden BC findes vha. en tangensrelation:

𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 · tan ( 𝐴) = 140 · tan ( 42,9) = 130,096

Siderne aflæses fra WordMats trekantsløser:

Højden BC er bestemt til 130,1 cm, og siden AB er bestemt til 191,1 cm (afrundet til 1 decimal).

b)

Vi bestemmer vinkel E med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: D = 90°, FD = 130,1, EF = 166

C AC A

BC AB

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

3

F E = 51,60383°
F = 38,39617°
D = 90°

FD = 130,1
ED = 103,1018
EF = 166

Vinkel E findes vha. en sinusrelation:

𝐸 = sin^{−1} () = sin^{−1} () = 51,60383°

𝐹𝐷 130,1

𝐸𝐹 166

Vinkel E aflæses fra WordMats trekantsløser:

Vinkel E er bestemt til 51,6° (afrundet til 1 decimal).

E ED D

EF FD

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

4

Opgave 3 a)

Der er tale om en lineær sammenhæng, da udviklingen sker med en fast størrelse for hvert år.

𝑓 ( 𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

f(x) betegner antallet af danskere med en årlig indkomst på over en million kroner til antal år x efter år

2000.

b betegner antallet af danskere med en årlig indkomst på over en million kroner i år 2000 – dvs. 7600 danskere.

a er funktionens hældningskoefficient, der beskriver, hvordan funktionen udvikler sig. I dette tilfælde vokser antallet af danskere med en årlig indkomst på over en million kroner med 1300 om året.

Vi opstiller modellen:

𝑓 ( 𝑥) = 1300 · 𝑥 + 7600

b)

Vi definerer modellen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 1300 · 𝑥+ 7600

Vi bestemmer f():

𝑓 ( 2009 − 2000) = 19300

Ifølge modellen vil der i år 2009 være 19300 danskere med en årlig indkomst på over en million kroner.

Vi løser f(x) = 23000:

𝑓 ( 𝑥) = 23000

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 11,84615

Ifølge modellen vil der være 23000 danskere med en årlig indkomst på over 1 million kroner ca. 11,85 år efter år 2000, dvs. ca. i slutningen af år 2011 (afrundet til 2 decimaler).

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

5

Opgave 4 a)

Vi bestemmer indekstallet ved:

𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠𝑡𝑎𝑙_{2006} = · 100 ≈ 112,4441

19373

17229

Indekstallet for antallet af pædagogstuderende i år 2006 er bestemt til 112,44 (afrundet til 2 decimaler).

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

6

Opgave 5 a)

Udviklingen kan beskrives vha. en eksponentialfunktion, og derfor bestemmer vi tallene a og b ved eksponentiel regression.

Vi opstiller tabel med data og foretager regression:

Antal år efter 2001 | Dagligt antal personrejser
0 | 35359
4 | 50118

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 35359 · 1,091122^{𝑥}

Tallene a og b aflæses fra regressionsligningen.

Tallet a er bestemt til 1,09 (afrundet til 2 decimaler), og tallet b er bestemt til 35359.

b)

Vi definerer modellen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 35359 · 1,091122^{𝑥}

Vi bestemmer f():

𝑓 ( 2007 − 2001) ≈ 59667,78

Vi kommenterer modellen:

Sammenligner vi det faktiske tal for antallet af daglige personrejser over Storebælt i år 2007 på 67159 med tallet bestemt af modellen på 59668 (afrundet til helt tal), står det klart, at udviklingen er sket en del hurtigere end forudsagt af modellen. Det kan dermed konkluderes, at modellen ikke er særlig pålidelig.

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

7

Opgave 6 a)

Vi bestemmer T, når x = 0,50:

𝑇 = 0,28 · 0,50^{1,5} ≈ 0,09899495

Svingningstiden for en 0,50 meter lang fjeder er bestemt til 0,099 s (afrundet til 3 decimaler).

b)

Vi definerer væksten af fjederens længde som r_{x} og tallet 1,5 som a:

𝑟_{𝑥} ≔ 0,20

𝑎 ≔ 1,5

Vi bestemmer den relative vækst r_{y} ved:

𝑟_{𝑦} + 1 = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} = 0,3145341

Når fjederens længde øges med 20 %, vil svingningstiden øges med 31,45 % (afrundet til 2 decimaler).

Side 8

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

8

Opgave 7 a)

Vi tegner boksplot:

Vi kommenterer de to boksplot:

Sammenligner vi person 1 med person 2, står det klart, at person 1 generelt rammer længere fra centrum end person 2 – hele 50 % af alle skud fra person 1 ligger 24-42 mm fra centrum, hvorimod alle skud fra person 2 er under 31 mm fra centrum. Dog har person 1 samtidig de skud, der ligger tættest på centrum.

Det kan konkluderes, at person 2 overordnet er den mest stabile skytte med gennemsnitligt bedre resultater end person 1, og at person 1 har større spredning i sine skud – og dermed både dårligere og bedre skud end person 2.

Side 9

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

9

Opgave 8 a)

Vi bestemmer I, når x = 20:

𝐼 = = 53,655

21462

20^{2}
Lysstyrken i en afstand af 20 cm er bestemt til 53,66 µW/m^{2} (afrundet til 2 decimaler).

Vi bestemmer x, når I = 95 µW/m^{2}:

95 =

21462

𝑥^{2}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −15,0305 ∨ 𝑥 = 15,0305

Vi benytter kun det positive resultat.

                                                                        2
I en afstand af 15,03 cm (afrundet til 2 decimaler) fra lygten vil lysstyrken være 95 µW/m .

Side 10

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

10

Opgave 9 a)

Vi bestemmer middeltallet i WordMats skabelon for grupperede observationer. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Middeltallet for fordelingen af tomaternes vægt er bestemt til 92,31 g.