HF Matematik C 14. maj 2008 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

1

HF Matematik C

14. maj 2008

2HF081-MAC

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Vi bestemmer siderne |AC| og |BC| med WordMats trekantsløser.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 37° , C = 90° , AB = 6,4

B A = 37°
B = 53°
C = 90°

BC = 3,851616
AC = 5,111267
AB = 6,4

Længden af siden BC findes vha. sinus

𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 · sin ( 𝐴)
= 6,4 · sin ( 37)
= 3,851616

A AC C

AB BC

Side 2

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

2

Længden af siden AC findes vha. cosinus

𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 ·cos ( 𝐴)
= 6,4 · cos ( 37)
= 5,111267

Siden |AC| er bestemt til 5,11, og siden |BC| er bestemt til 3,85 (afrundet til 2 decimaler).

Opgave 2 a)

Vi benytter os af renteformlen:

𝐾_{0} =

𝐾_{𝑛}
( 1 + 𝑟)^{𝑛}
=

8826,65

( 1 + 0,0275)^{7}

≈ 7300,004

Beløbet der blev indsat på kontoen er bestemt til 7300,0 kr. (afrundet til 1 decimal).

Opgave 3 a)

Da udviklingen sker med en fast størrelse hver måned, kan udviklingen beskrives med en lineær funktion.

𝑓 ( 𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

f(x) betegner antal personer ledige til måneden x efter april 2005.

x betegner måneden efter april 2005 a er funktionens hældningskoefficient, den beskriver, hvordan funktionen udvikler sig. Dvs. i dette tilfælde falder ledigheden med 2900 personer pr. måned fra april og 20 måneder frem.

b er funktionens værdi i x = 0 dvs. at antallet af ledige personer i april 2005 var 165200.

Vi opstiller modellen:

𝑓 ( 𝑥) = 2900 · 𝑥+ 165200

Side 3

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

3

Opgave 4 a)

Sammenhængen kan beskrives med en ekspotentiel funktion:

𝑦 = 15 · 0,84^{𝑥}

Tallet b er aflæst til 15 dvs. at amfetaminmængden i kroppen til tiden x = 0, dvs. lige efter indtagelse, er 15

mg.

Tallet a er aflæst til 0,84 og betegner fremskrivningsfaktoren, den beskriver, hvordan funktionen udvikler sig. Med fremskrivningsfaktoren kan vi beregne vækstraten.

𝑟 = 𝑎 − 1
= 0,84 − 1
≈ −0,16 · 100 %
= −16 %

Ifølge modellen aftager mængden af amfetamin i kroppen med 16 % for hver time efter indtagelse.

b)

Vi bestemmer y, når x= 2:

𝑦 = 15 · 0,84^{2} ≈ 10,584

Ifølge modellen er amfetaminmængden i kroppen to timer efter indtagelse 10,6 mg (afrundet til 1 decimal).

Vi bestemmer halveringstiden ved:

𝑇 =

1

2 log()

1

2 log ( 𝑎)

=

log()

1

2 log ( 0,84)

≈ 3,97553

Halveringstiden for amfetaminmængden i kroppen er bestemt til 3,98 timer (afrundet til 2 decimaler).

Opgave 5 a)

Vi benytter WordMats skabelon til grupperet statistik:

Resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Side 4

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

4

Kumulerede frekvenser:

Sumkurve: b)

Kvartilsættet er bestemt i WordMats skabelon for grupperede observationer.

Resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Beskrivelse af nedre kvartil:

Den nedre kvartil beskriver, at 25 % af danskere der ejer en motorcykel er under 32,5 år og 75 % af danskere, der ejer en motorcykel er 32,5 år eller ældre.

0%

25%

50%

75%

100%

58 68 78

Observationer

Sumkurve

Side 5

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

5

Opgave 6 a)

Vi bestemmer y, når x = 30:

𝑦 = 0,00769 · 30^{3,10} ≈ 291,7442

Ifølge modellen er vægten af en 30 cm lang ørred 291,74 g (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi bestemmer x, når y = 500:

500 = 0,00769 · 𝑥^{3,10}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 35,69396

Ifølge modellen er længden af en 500 g tung ørred 35,69 cm (afrundet til 2 decimaler).

c)

Vi definere væksten af længden og konstanten 3,10 som a:

𝑟_{𝑥} ≔ 0,15

𝑎 ≔ 3,10

Vi bestemmer den relative vækst ved:

𝑟_{𝑦} + 1 = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} = 0,5422803

Ifølge modellen vokser en ørreds vægt med 54,23 % (afrundet til 2 decimaler), når længden vokser med 15

%.

Opgave 7 a)

Vi bestemmer vinkel A med WordMats trekantsløser:

Side 6

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

6

WordMats trekantsløser anvendes med input: H = 90° , BH = 21 , AH = 6,5

B A = 72,80146°
B = 17,19854°
H = 90°

BH = 21
AH = 6,5
AB = 21,98295

Vinkel A findes vha. tangens

𝐴 = tan^{−1} ()

𝐵𝐻

𝐴𝐻

= tan^{−1} ()

21

6,5

= 72,80146°

Vinkel A er bestemt til 72,08° (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi bestemmer højden af den manglende spids i trekanten, som den retvinklede trekant halvdelen af siden

|BC| udgør sammen med vinkel A. Den rette vinkel kaldes M, og spidsens vinkel kaldes S. Trekanten bestemmes i WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 72,08° , M = 90° , AM = 2

A AH H

AB BH

Side 7

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

7

S A = 72,08°
S = 17,92°
M = 90°

h = 6,184737
AM = 2
AS = 6,500075

Længden af siden h findes vha. tangens

ℎ = 𝐴𝑀 · tan ( 𝐴)
= 2· tan ( 72,08)
= 6,184737

h svarer til den ekstra højde tårnet ville have været højere, hvis tårnet gik op i en spids, h aflæses fra WordMats trekansløser.

h er bestemt til 6,18 (afrundet til2 decimaler) dvs. hvis tårnet havde gået op i spidst, ville tårnet have været

6,18 højere.

Opgave 8 a)

Sammenhængen kan beskrives vha. en lineær funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b ved lineærregression:

Vi opstiller tabel med data og foretager regression:

Årstal | År efter 1995 | Middellevetiden (år)
1995 | 0 | 78,0
2005 | 10 | 80,3

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 0,23𝑥 + 78

Tallene a og b aflæses fra regressionsligningen:

A AM M

AS h

Side 8

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

8

Tallet a er aflæst fra 0,23, og tallet b er aflæse til 78.

b)

Vi bestemmer x, når y = 81,5:

81,5 = 0,23 · 𝑥+ 78

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 15,21739

Hvis udviklingen fortsætter vil kvindernes middelalder være 81,5 år ca. 15,21 år efter år 1995 dvs. ca. i år

2010. (afrundet til 2 decimaler).