HF Matematik C 15. maj 2007 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

1

HF Matematik C 15. maj 2007

Vejledende besvarelse

2HF071-MAC

Nogle af opgaveløsningerne inkluderer en reference til en formel i en grå kasse. Disse kræves ikke i en eksamensbesvarelse og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at informationen her medtages i løsningerne, er, så du kan se, præcis hvilken formel der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaverne i sættet er så vidt muligt løst med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk som første linje i din opgaveløsning at skrive en note om, at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat, så censor ved, hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de her i sættet anvendte formler kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre i programmet. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Trekanterne er ensvinklede, så vi bestemmer længden af siden P_{1} Q_{1} vha. af størrelsesforholdet mellem de

to trekanter:

𝑃_{1} 𝑄_{1} = 𝑘 ·𝑃𝑄
= · 𝑃𝑄

𝑄_{1} 𝑅_{1}

𝑄𝑅

= · 19,5

30,6

25,5

= 23,4

Siden P_{1} Q_{1} er bestemt til 23,4.

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

2

Opgave 2 a)

Vi benytter renteformlen:

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛} = 15000 · ( 1 + 0,026)^{20} ≈ 25063,31

Efter 20 år vil der stå 25063,3 kr. (afrundet til 1 decimal) på kontoen.

b)

Vi bestemmer først fremskrivningsfaktoren ved formlen for fordoblingstiden:

20 =

log ( 2) log ( 𝑎)

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎 = 1,035265

Vi beregner vækstraten:

𝑟 = 𝑎 − 1
= 1,035265 − 1
≈ 0,035265 · 100 %
= 3,5265 %

Den årlige procentvise rate er bestemt til 3,53 % (afrundet til 2 decimaler).

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

3

Opgave 3 a)

Vi bestemmer S, når x = :

𝑆 = 1,82 · ( 2008 − 2000) + 0,50 = 15,06

Ifølge modellen er statens boligindtægter i år 2008 ca. 15,1 mia. kr. (afrundet til 1 decimal).

Vi beskriver tallet:

Sammenhængen kan beskrives vha. en lineær model. Tallet 1,82 betegner funktionens hældningskoefficient – dvs., at hvert år efter år 2000 stiger statens boligindtægter med 1,82 mia. kr.

b)

Vi løser uligheden for x, når S < 19:

19 < 1,82𝑥 + 0,50

⇕ Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 > 10,16484

Ca. 10 år efter år 2000, dvs. ca. i år 2010, vil statens årlige boligindtægter overstige 19 mia. kr. (afrundet til helt år).

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

4

Opgave 4 a)

Vi aflæser øvre og nedre kvartil fra bilag:

Onsdag:

Nedre Q1: ca. 10,50

Øvre Q3: ca. 10,62

Weekend:

Nedre Q1: ca. 9,58

Øvre Q3: ca. 10,42

Vi sammenligner de 2 boksplot:

Sammenligner vi de to boksplot, står det klart, at benzinpriserne om onsdagen er stort set ens på tværs af tankstationerne i forhold til benzinpriserne i weekenden, hvor der er stor forskel på benzinpriserne på tværs af tankstationer. Derudover kan det konkluderes, at benzinpriserne denne onsdag generelt ligger højere end benzinpriserne i den efterfølgende weekend.

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

5

Opgave 5 a)

Der er tale om en lineær sammenhæng, da udviklingen sker med en fast størrelse hvert år:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

f(x) betegner gennemsnitlige antal køretøjer pr. døgn til antal år x efter år 1996.

a betegner funktionens hældningskoefficient – dvs., at ifølge modellen vokser årsdøgnstrafikken med 2460 køretøjer om året i perioden

b betegner funktionsværdien i x = 0. Dvs., at der i året 1996 i gennemsnit var 80000 køretøjer pr. døgn.

Vi opstiller modellen:

𝑓 ( 𝑥) = 2460𝑥 + 80000

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

6

Opgave 6 a)

|DE| bestemmes som differensen mellem |AD| og |BC|:

| 𝐷𝐸 | = | 𝐴𝐷 | − | 𝐵𝐶 | = 145 − 60 = 85

|DE| er bestemt til længden 85 cm.

|AB| bestemmes som |EC| i trekant ECD:

Vi benytter WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: E = 90°, CD = 170, ED = 85

30° E = 90°
C = 30°
D = 60°

CD = 170
ED = 85
EC = 147,2243

Vinkel D findes vha. en cosinusrelation:

𝐷 = cos^{−1} () = cos^{−1} () = 60 °

𝐸𝐷 85

𝐶𝐷 170

Vinkel C findes ved, at vinkelsummen = 180 ° i en trekant:
𝐶 = 180 ° − 𝐸 − 𝐷 = 180 ° − 90 ° − 60 ° = 30 °

Længden af siden EC findes vha. pythagoras

𝐸𝐶 = 𝐶𝐷^{2} − 𝐸𝐷^{2} = 170^{2} − 85^{2} = 147,2243

√ √

|EC| aflæses fra WordMats trekantsløser til 147,2243.

|AB| er dermed bestemt til 147,22 cm (afrundet til to decimaler).

b)

Vinkel C og vinkel D kan aflæses af resultaterne fra WordMats trekantsløser i opgave a).

90° 85 60°

147 170

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

7

Vinkel C er bestemt til 30 °, og vinkel D er bestemt til 60 °.

Side 8

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

8

Opgave 7 a)

Vi tegner et histogram med WordMats skabelon for grupperede observationer. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Vi sammenligner de to histogrammer:

Det står klart, at aldersfordelingen i Hillerød er nogenlunde jævn i intervallet 0-80 år, dog med en lidt lavere repræsentation i intervallet 60-80 år. I København er der derimod tydeligt flere personer i gruppen 20-40 år, der er næsten dobbelt så stor som den næststørste befolkningsgruppe (40-60 år). Vi kan dermed konkludere, at beboerne i København gennemsnitligt er relativt unge.

0 100

Observationer

Histogram

Et tern er 4%

Side 9

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

9

Opgave 8 a)

Vi bestemmer antallet af nyregistrerede motorcykler i år 2000 ved:

𝑣æ𝑟𝑑𝑖_{2000} = · 100 ≈ 3298,834

2263

68,6

Vi bestemmer antal motorcykler nyregistreret i år 2005:

𝑣æ𝑟𝑑𝑖_{2005} = ≈ 5779,557

3298,834 · 175,2

100

Der blev registreret ca. 5780 motorcykler (afrundet til helt antal) i år 2005.

Side 10

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

10

Opgave 9 a)

Sammenhængen kan beskrives vha. en eksponentiel funktion. Vi bestemmer derfor tallene a og b ved eksponentiel regression:

𝑦 = 𝑏 · 𝑥^{𝑎}

Vi opstiller tabel med data og foretager regression:

Årstal År efter år 1950 Antal mio. folk over 60

1950 0 205

2006 56 688

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 205 · 1,021856^{𝑥}

Tallene a og b aflæses fra regressionsligningen.

Tallet a er aflæst til 1,022 (afrundet til 2 decimaler), og tallet b er aflæst til 205.

b)

Tallet b beskriver funktionsværdien i x = 0, dvs. antallet af folk over 60 år i år 1950. Det svarede til 205

millioner mennesker.

Tallet a er fremskrivningsfaktoren, der fortæller, hvordan funktionen udvikler sig. Ud fra fremskrivningsfaktoren kan vi bestemme vækstraten r:

𝑟 = 𝑎 − 1
= 1,021856 − 1
≈ 0,021856 · 100 = 2,1856 %

Dvs., at for hvert år efter år 1950 vil antallet af mennesker over 60 år vokse med 2,2 % om året.

c)

Vi bestemmer y, når x = :

𝑦 = 205 · 1,021856^{(}^{2050−1950} ≈ 1781,246

)

Ifølge modellen vil der i år 2050 være ca. 1781,2 (afrundet til 1 decimal) mio. mennesker over 60.

Udklippets prognose på ”næsten to milliarder” mennesker dette år er ikke så præcis, men det vurderes, at modellens resultat stemmer overens med prognosen i artiklen.