HF Matematik C 27. august 2007 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007

1

HF Matematik C

27. august 2007

Vejledende besvarelse

2HF072-MAC

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Vi benytter renteformlen:

𝐾_{10} = 15000 · ( 1 + 0,024)^{10}

≈ 19014,76

Efter 10 år står der 19014,8 kr. på kontoen (afrundet til 1 decimal).

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007

2

Opgave 2 a)

Vi bestemmer tallene a og b ved at løse to ligninger med to ubekendte:

2 = 𝑎 · ( −6) + 𝑏

8 = 𝑎 · 2 + 𝑏

⇕ Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑎 = 0,75 ∧ 𝑏 = 6,5

Tallet a er bestemt til 0,75, og tallet b er bestemt til 6,5.

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007

3

Opgave 3 a)

Sumkurven tegnes med WordMats skabelon for grupperede observationer. Resultatet kopieres ind i beskrivelsen: b)

Medianen aflæses fra sumkurven til 73,71 (afrundet til to decimaler).

Vi forklarer medianen:

                                                                            2
Medianen beskriver, at gennemsnittet af boligstørrelsen i en etageejendom i 2006 er 73,71 m (afrundet til

2 decimaler).

0%

25%

50%

75%

100%

130

Observationer

Sumkurve

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007

4 c)

Vi aflæser på sumkurven (se blå linje):

Vi kan konkludere, at 20 % af boligerne var større end 95 m^{2}.

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007

5

Opgave 4 a)

Vi bestemmer |AB| og vinkel B i trekant ABC med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 90°, CA = 8,0, BC = 20,0

A B = 21,80141°
A = 68,19859°
C = 90°

CA = 8
BC = 20
AB = 21,54066

|AB| findes vha. Pythagoras’ sætning:

|𝐴𝐵| = 𝐶𝐴^{2} + 𝐵𝐶^{2} = 8 + 20^{2} = 21,54066

√ √^{2}

Vinkel B findes vha. en tangensrelation:

𝐵 = tan^{−1} () = tan^{−1} () = 21,80141°

𝐶𝐴 8

𝐵𝐶 20

Vi aflæser siden og vinklen fra WordMats trekantsløser:

Siden |AB| er bestemt til 21,54 (afrundet til 2 decimaler), og vinkel B er bestemt til 21,80° (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi bestemmer vinkel B i trekant ABD med WordMats trekantsløser:

Først bestemmer vi vinkel B i trekant BCD:

B BC C

AB CA

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007

6

WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 90°, BC = 20,0 , CD = 15,32

D C = 90°
D = 52,54789°
B = 37,45211°

DB = 25,1933
BC = 20
CD = 15,32

Vinkel B findes vha. en tangensrelation:

𝐵 = tan^{−1} () = tan^{−1} () = 37,45211°

𝐶𝐷 15,32

𝐵𝐶 20

Vi trækker vinkel B i trekant ABC fra vinkel B i BCD, og derved får vi vinkel B i trekant ABD:

𝐵_{𝐴𝐵𝐷} = 37,45211° − 21,80141°

≈ 15,6507°

Vinkel B i trekant ABD er bestemt til 15,65° (afrundet til 2 decimaler).

C BC B

CD DB

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007

7

Opgave 5 a)

Der er tale om en eksponentiel udvikling, da udviklingen sker med en fast procentvis størrelse om året.

𝑓 ( 𝑥) = 𝑏· 𝑎^{𝑥}

f(x) beskriver antal tilfælde af modermærkekræft i Danmark til året x efter år 2003.

x betegner antal år efter år 2003.

b betegner funktionens begyndelsesværdi til året x = 0, dvs. der i år 2003 var 1222 tilfælde af

modermærkekræft i Danmark.

a betegner fremskrivningsfaktoren. Vi kender vækstraten r, og med den kan vi beregne fremskrivningsfaktoren:

𝑎 = + 1 = − 1 = 1,055

𝑟 % 5,5 %

100 % 100 %

Vi opstiller modellen:

𝑓 ( 𝑥) = 1222 · 1,055^{𝑥}

b)

Vi bestemmer x, når f(x) = 2100:

2100 = 1222 · 1,055^{𝑥}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 10,11283

Ifølge modellen vil der være 2100 konstaterede tilfælde af modermærkekræft ca. 10,11 år efter år 2003, dvs. ca. i år 2013.

Side 8

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007

8

Opgave 6 a)

Vi bestemmer y, når x = 80:

𝑦 = 0,035 · 80^{2}

≈ 224

Når bilens fart er 80 km/timen, er luftmodstanden 224 N.

b)

Der er tale om en potentiel udvikling, så vi bestemmer den relative tilvækst ved denne fremgangsmåde:

Vi definerer tilvæksten for bilens fart og konstanten a som 2: 𝑎 ≔ 2

𝑟_{𝑥} ≔ 0,30

Vi bestemmer den relative tilvækst:

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} = 0,69

Når bilens fart vokser med 30 %, så vokser luftmodstanden ifølge modellen med 69 %.

Side 9

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007

9

Opgave 7

Vi benytter renteformlen:

𝐾_{2006−1967} = 300 = 200 · ( 1 + 𝑟)^{2006−1967}

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟 = 0,01045077

Den årlige procentvise vækst i perioden er bestemt til 1,05 % (afrundet til 2 decimaler).

Side 10

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007

10

Opgave 8 a)

Vi opstiller en model for prisen af en spalteannonce. Der er tale om en lineær udvikling, da udviklingen er proportional med spaltehøjden:

3450 = 𝑎 · 50

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎 = 69

Vi opskriver og definerer den samlede model, hvor x beskriver spaltehøjden målt i mm:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 69 · 𝑥

Vi bestemmer f(x), når x = 70:

𝑓 ( 70) = 4830

Prisen for en 70 mm høj spalteannonce er bestemt til 4830 kr.

Vi bestemmer x, når f(x) = 8970:

𝑓 ( 𝑥) = 8970

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 130

En spalteannonce til 8970 kr. er bestemt til at være 130 mm høj.

b)

Vi opstiller en model. Modellen vil være den samme som i a) men yderligere med et fast tillæg på 2710 kr.

𝑓 ( 𝑥) = 69 · 𝑥 + 2710