HF Matematik C 28. august 2015 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2015

1

HF Matematik C

28. august 2015

Vejledende besvarelse

2hf152-MAT/C-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 1. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Vi definerer kendte størrelser og bestemmer slutkapitalen 𝐾 vha. kapitalfremskrivningsformlen.
                                                 𝑛

Startkapital: 𝐾 ≔ 10000
            0

Årlig rente: 𝑟 ≔ 0,0225

Antal terminer: 𝑛 ≔ 4

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}
= 10930,83

Efter 4 år er der således 10.930,83 kr. på højrentekontoen

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi definerer relevante størrelser:

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2015

2

𝐾_{0} ≔ 10000

𝑟 ≔ 0,0225

𝐾_{𝑛} ≔ 13000

Vi løser nu:

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

⇕ Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑛 = 11,79133

Da der kun tilskrives renter én gang årligt, skal 𝑛 være et naturligt tal. Beløbet overstiger således først

13.000 kr. efter 12 år.

Opgave 2 a)

De opgivne priser indskrives i WordMats regneark til ugrupperede observationer, hvorved en række deskriptorer bestemmes:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Nedre 78

Median 169

Øvre 278,5

Obs.

Fraktil

Middeltal

209,8462

Spredning

173,6357

Vi afrunder og opskriver resultaterne:

Middeltal: 𝜇 = 209,8

Kvartilsæt: (78; 169; 278,5).

b)

Et boksplot tegnes i WordMat:

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2015

3

Ved første kig på de to boksplots ser matematikbøgerne generelt ud til at være dyrere end bøgerne i dansk.

Ved nærmere kig på matematikbøgernes boksplot kan vi se, at den billigste fjerdedel (nedre kvartil) koster højst ca. 180 kr. hver især - det tilsvarende tal er 78 kr. for danskbøgerne.

Medianen fortæller os, at den dyreste halvdel af matematikbøgerne koster mindst ca. 225 kr. hver især - det tilsvarende tal er 169 kr. for danskbøgerne.

Den øvre kvartil for matematikbøgerne er ca. 335 kr., mens den for danskbøgerne er 278,5 kr.

Den billigste matematikbog koster 30 kr., mens den dyreste koster 565 kr. For danskbøgerne er disse tal hhv. 16 kr. og 725 kr.

Opgave 3 a)

Vi definerer en funktion, som opfylder, at 𝑓 ( 𝑥) = 𝑦.

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑏 · 𝑎^{𝑥}

Vi kan nu anvende de opgivne data til at opskrive 2 ligninger med 2 ubekendte:

𝑓 ( 0) = 14033

𝑓 ( 4) = 24192

⇕ Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

( 𝑎 = −1,145857 ∧ 𝑏 = 14033) ∨ ( 𝑎 = 1,145857 ∧ 𝑏 = 14033)

0

Boksplot

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2015

4

Venstre løsning har 𝑎 < 0, hvilket ikke er muligt i en eksponentiel model. Denne løsning bortkastes, og vi konkluderer, at:

𝑎 = 1,146

𝑏 = 14033

b)

Tallet 𝑎 = 1,146 er fremskrivningsfaktoren og fortæller os noget om vækstraten 𝑟 idet:

𝑟 = 𝑎 − 1
= 1,146 − 1

≈ 0,146

= 14,6%

Det vil sige, at kinesiske fabriksarbejdere ifølge modellen oplever en årlig lønstigning på 14,6%.

c)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 14033 · 1,146^{𝑥}

I år 2013 er der gået 8 år siden 2005. Vi bestemmer så: 𝑓 ( 8) ≈ 41747,21

Ifølge modellen var årslønnen ca. 41.747 Yuan. i år 2013. Den sande værdi er 41.650. Dette giver en afvigelse på:

𝑎𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒 =

41747 − 41650

41650

≈ 0,002328932

= 0,23%

Der er således tale om en meget præcis forudsigelse med en afvigelse på under en kvart procent.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 4 a)

Længden af 𝐴𝐵 kan bestemmes vha. Pythagoras’ læresætning:

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2015

5

𝐴𝐵^{2} = 𝐵𝐶^{2} + 𝐴𝐶^{2}

⇕

𝐴𝐵 = 𝐵𝐶^{2} + 𝐴𝐶^{2}

√

⇕

𝐴𝐵 = √ ( 𝐵𝐷 − 𝐶𝐷)^{2} + 𝐷𝐸^{2}
= √ ( 𝐵𝐷 − 𝐴𝐸)^{2} + 𝐷𝐸^{2}
= √ ( 28,5 − 26)^{2} + 12,5^{2}

≈ 12,74755

Det vil sige, at længden af 𝐴𝐵 er 12,75.

Vinkel 𝐴 i trekant ABC kan bestemmes vha. tangens:

tan ( 𝐴) =

𝐵𝐶

𝐴𝐶

⇕

tan ( 𝐴) =

28,5 − 26

12,5

⇕ Ligningen løses for A vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐴 = 11,30993

Det vil sige, at fuglekassens taghældning er 11,31°.

Opgave 5 a)

Funktionen defineres:

𝐸 ( 𝑥) ≔ 525 · 𝑥^{0,75}

Vi bestemmer nu:

𝐸 ( 15) ≈ 4001,545

Det vil sige, at det daglige foder for en hund på 15 kg skal indeholde ca. 4000 kJ.

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2015

6 b)

Hvis en collie vejer 𝑦 kg og en cockerspaniel vejer 𝑥 kg, må der gælde, at 𝑦 = 2 · 𝑥

Vi kan nu bestemme den relative forskel som:

𝑓𝑜𝑟𝑠𝑘𝑒𝑙 =

𝐸 ( 2𝑥) − 𝐸 ( 𝑥)

𝐸 ( 𝑥)

≈ 0,6817928

= 68%

Det vil sige, at energiindholdet i det daglige foder for en collie skal være ca. 68% større end for en cockerspaniel.

Opgave 6 a)

Resterende sider og vinkler i trekant 𝐴𝐵𝐶 bestemmes.

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 42°, B = 116°, BC = 3,8

B A = 42°
B = 116°
AB BC C = 22°

BC = 3,8
AC = 5,104261
AB = 2,127395

Vinkel 𝐶 findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐶 = 180° − 𝐴 − 𝐵
= 180° − 42° − 116°
= 22°

Længden af siderne 𝐴𝐶 og 𝐴𝐵 findes vha. sinusrelationerne

𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 ·

sin ( 𝐵) sin ( 𝐴)

= 3,8 ·

sin ( 116°) sin ( 42°)

= 5,104261

𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 ·

sin ( 𝐶) sin ( 𝐴)

A AC C

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2015

7

= 3,8 ·

sin ( 22°) sin ( 42°)

= 2,127395

Det vil sige, at længden af siden 𝐴𝐶 er ca. 5,1.

b)

Trekanterne er ensvinklede, så vinklerne fra trekant 𝐴𝐵𝐶 kan genbruges.

Resterende sider og vinkler i trekant 𝐴 𝐵 𝐶 bestemmes.
                               1 1 1

WordMats trekantsløser anvendes med input: A1 = 42°, B1 = 116°, C1 = 22°, A1C1 = 3,2

B1 A1 = 42°
B1 = 116°
A1B1 B1C1 C1 = 22°

B1C1 = 2,382323
A1C1 = 3,2
A1B1 = 1,333722

Længden af siden B1C1 findes vha. sinusrelationerne

𝐵1𝐶1 = 𝐴1𝐶1 ·

sin ( 𝐴1) sin ( 𝐵1)

= 3,2 ·

sin ( 42°) sin ( 116°)

= 2,382323
Det vil sige, at længden af siden 𝐵_{1} 𝐶_{1} er ca. 2,4.

Opgave 7 a)

Da der er tale om en konstant årlig stigning, kan vi anvende en lineær model på formen:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

Hvor: 𝑓 angiver antallet af beskæftigede i den danske offshore-branche 𝑥 angiver antal år efter år 2010 (fra januar 2010 antager vi)

A1 A1C1 C1

Side 8

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2015

8

𝑎 er hældningskoefficienten og angiver funktionstilvæksten, når 𝑥 vokser med 1. Det vil sige, at 𝑎 = 2890

𝑏 angiver 𝑓(0) det vil sige, at 𝑏 = 21300

Vi opstiller den endelige model:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 2890𝑥 + 21300

b)

Vi løser:

𝑓 ( 𝑥) = 40000

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 6,470588

Det vil sige, at antallet af beskæftigede passerer 40.000 ca. halvvejs inde i år 2016 ifølge modellen.

Opgave 8 a) 𝑖 angiver indekstal 𝑝 angiver prisen på en pakke smør i kr.

Vi har, at 𝑝_{2009} ≔ 13,95

Vi aflæser nu:

𝑖_{2009} ≔ 118

𝑖_{2012} ≔ 159

Der gælder, at:

𝑝_{2009} 𝑝_{2012}
𝑖_{2009} 𝑖_{2012}

=

⇕ Ligningen løses for p_2012 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑝_{2012} = 18,79703

En pakke smør kostede således ca. 18,79 kr. i 2012.