HF Matematik C 29. maj 2017 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

1

HF Matematik C

29. maj 2017

Vejledende besvarelse

2hf171-MAT/C-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 1. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Vi definerer kendte værdier, hvor n = 5:

𝐾_{0} ≔100000

𝑟≔0,0125 𝑛≔5

Vi fremskriver beløbet 5 år dvs. n = 5:

𝐾_{𝑛} =𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}
=106408,2153

Efter 5 år vil der i Bank A stå et beløb på kontoen svarende til 106408,22 kr. (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi definerer nye kendte størrelser:

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

2

𝐾_{0} ≔100000

𝐾_{𝑛} ≔110000

𝑛≔5

Vi bestemmer den årlige procentvise rente ved at løse for r i udtrykket herunder:

𝐾_{𝑛} =𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟=0,019244878

Den årlige procentvise rente i Bank B er bestemt til 1,92 % (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 2 a)

Udviklingen kan beskrives med en lineær funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med lineær regression.

Vi opstiller tabel med data, og foretager regression:

Antal år efter 2010 | Antal høje skyskrabere
0 | 612
5 | 1040

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦=85,6𝑥+ 612

Tallene a og b aflæses fra regressionsligningen:

Tallet a er bestemt til 86 (afrundet op til helt tal) og tallet b er bestemt 612.

b)

Vi bestemmer, hvornår antallet af høje skyskrabere overstiger 1500 ved at løse uligheden y > 1500 for x:

85,6𝑥+ 612>1500

⇕ Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥>10,373832

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

3

Ifølge modellen går 10,37 år (afrundet til 2 decimaler) efter år 2010, dvs. i år 2020, før at antallet af højde skyskrabere overstiger 1500.

Opgave 3 a)

Vi aflæser kvartilsættet fra bilaget:

Nedre kvartil Q1:

367 + 380

2

=373,5

Median: 532

Øvre kvartil Q3:

851 + 865

2

=858

Vi tegner boksplottet over fordelingen med WordMats skabelon for boksplot, hvor hhv. mindste- og største værdi kan aflæses til 145 og 1063. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:

0 1200

Elevtal

Plot 1

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

4 b)

Vi undersøger påstand 1:

Den største værdi for elevtal i Region Midtjylland aflæses som størsteværdien for boksplottet i opgaveformuleringen til ca. 1420. Da 1420 er større end 1063 kan vi konkludere, at påstanden er korrekt, der er altså et gymnasium i Region Midtjylland med et større elevtal end ethvert gymnasium i Region Nordjylland.

Vi undersøger påstand 2:

Vi ser, at medianen for Region Midtjylland er ca. 730, dvs. at 50 % af gymnasierne i Region Midtjylland har et elevtal på over 730. Vi kan altså konkludere, at det ikke gælder for begge regioner, at mere end halvdelen af gymnasierne har et elevtal på under 600.

Opgave 4 a)

Vi bestemmer benzinforbruget, når den samlede vægt er 1600 kg ved at bestemme y, når x = 1600:

𝑦=0,42 · 1600^{0,38}

≈6,931303

Benzinforbruget er bestemt til 6,93 L pr. 100 km (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi definerer tallet 0,38 som a og væksten for den samlede vægt som r_{x}:

𝑎≔0,38

𝑟_{𝑥} ≔0,10

Vi bestemmer væksten for benzinforbruget, ved at løse for r_{y} i udtrykket herunder:

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} =0,036881726

Ifølge modellen vokser benzinforbruget med 3,7 % (afrundet til 1 decimal), når den samlede vægt vokser med 10 %.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

5

Opgave 5 a)

Vi bestemmer længden af det skrå linjestykket BC vha. WordMats trekantsløser.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 96,0° , AB = 35,0 , AC = 73,0

C A = 96°
C = 24,421339°
B = 59,578661°

BC = 84,191095
AB = 35
AC = 73

Længden af siden BC findes vha. en cosinusrelation

𝐵𝐶 = √ 𝐴𝐵^{2} + 𝐴𝐶^{2} − 2 · 𝐴𝐵· 𝐴𝐶· cos ( 𝐴)
= √ 35^{2} + 73^{2} − 2 · 35 · 73 · cos ( 96°)
=84,191095

Længden af det skrå stykke BC er bestemt til 84,19 cm (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi bestemmer vinkel B i trekant ABC med WordMats trekantsløser:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 96,0° , AB = 35,0 , AC = 73,0

A AB B

AC BC

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

6

C A = 96°
C = 24,421339°
B = 59,578661°

BC = 84,191095
AB = 35
AC = 73

Vinkel C findes vha. en cosinusrelation:

𝐶 =cos^{−1} ()

𝐶𝐵^{2} + 𝐴𝐶^{2} − 𝐴𝐵^{2}
2 · 𝐶𝐵 · 𝐴𝐶

=cos^{−1} ()

84,191095^{2} + 73^{2} − 35^{2}
2 · 84,191095· 73
=24,421339°

Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant:
𝐵=180° − 𝐴 − 𝐶
=180° − 96° − 24,421339°
=59,578661°

Vinkel B i trekant ABC er bestemt til 59,58° (afrundet til 2 decimaler).

c)

Vi bestemmer punkt D’s lodrette højde over stolens bund, som højden i retvinklede trekant som punkt B og D danner med højden. Vi benytter WordMats trekantsløser:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: H = 90° , B = 59,578661° , BD = 40,0

A AB B

AC B

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

7

D H = 90°
D = 30,421339°
B = 59,578661°

BD = 40
HB = 20,254198
h = 34,493006

Længden af siden h findes vha. sinus:

ℎ=𝐵𝐷· sin ( 𝐵)
=40 · sin ( 59,578661)
=34,493006

Den lodrette højde fra punkt D til stolens bund er bestemt til 34,5 cm (afrundet til 1 decimal).

Opgave 6 a)

Vi aflæser indekstallene fra bilaget:

Indekstallet for januar år 2012 er aflæst til 120, og indekstallet for januar år 2016 er aflæst til 97.

Vi bestemmer prisen for benzin pr. januar 2016 vha.:

𝑣æ𝑟𝑑𝑖_{𝑗𝑎𝑛2016} = · 𝑣æ𝑟𝑑𝑖_{𝑗𝑎𝑛2012}

𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠_{𝑗𝑎𝑛2016}
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠_{𝑗𝑎𝑛2012}

H HB B h BD

Side 8

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

8

= · 12,54

97

120

=10,1365

Benzinprisen januar 2016 er bestemt til 10,14 kr. pr liter.

Opgave 7 a)

Modellen er en eksponentiel model:

𝑦=13,38 · 1,065^{𝑥}

Tallet 13,38 betegner antallet (målt i millioner) af 200-kronesedler i omløb i år 2000, dvs. der i år 2000 ifølge modellen var 13,38 millioner 200-kronesedler i omløb.

Tallet a betegner fremskrivningsfaktoren. Med fremskrivningsfaktoren a kan vi beregne vækstraten r:

𝑟=𝑎− 1
=1,065 − 1
=0,065

Ifølge modellen vokser antallet af 200-kronesedler i omløb med 6,5 % om året efter år 2000.

b)

Vi bestemmer fordoblingstiden ved:

𝑇_{2} =

log ( 2) log ( 𝑎)

=

log ( 2) log ( 1,065)

≈11,006739

Fordoblingstiden for 200-kronesedler er bestemt til 11,0 år (afrundet til 1 decimal).

c)

Vi bestemmer antallet af 200-kronesedler i omløb i år 2015 ved at bestemme y, når x = = 15:

𝑦=13,38 · 1,065^{15}

≈34,411233

Side 9

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

9

Ifølge modellen er antallet af 200-kroneselder i omløb i pr 2015 bestemt til 34,41 (målt i mio.) (afrundet til

2 decimaler).

Sammenligner vi det faktiske antal af 200-kronesedler i omløb i år 2015 på 30,41 mio. med modellens på

34,41 mio. (afrundet til 2 decimaler), står det klart at modellen forudser en langt større vækst for antallet af

200-kronesedler i omløb. Vi kan således konkludere, at modellen ikke kan betragtes som pålidelig med hensyn til at forudsige antallet af 200-kroneselder i omløb i år 2015.