HF Matematik C 5. december 2014 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

1

HF Matematik C

5. december 2014

Vejledende besvarelse

2hf143-MAT/C-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 1. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 90°, CA = 37, CB = 25

B C = 90°
B = 55,95406°
A = 34,04594°

BA = 44,65423
CA = 37
CB = 25

Længden af siden BA findes vha. Pythagoras

𝐵𝐴 = 𝐶𝐵^{2} + 𝐶𝐴^{2}

√
= 25^{2} + 37^{2}

√
= 44,65423

C CA A

CB BA

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

2

Vinkel A findes vha. tangens

𝐴 = tan^{−1} ()

𝐶𝐵

𝐶𝐴

= tan^{−1} ()

25

37

= 34,04594°

Det vil sige at siden 𝐴𝐵 har længden 44,65, og vinkel 𝐴 er 34,05°.

Opgave 2 a)

Der er tale om en lineær model på formen 𝑦 = 𝑎𝑥 +𝑏, hvor:

𝑎 = 38 er hældningskoefficienten, som angiver 𝑦-tilvæksten, når 𝑥 vokser med 1. Det vil sige, at det

gennemsnitlige antal tilskuere pr. kamp vokser med 38 pr. år.

𝑏 = 379 angiver 𝑦-værdien for 𝑥 = 0. Det vil sige, at det gennemsnitlige antal tilskuere pr. kamp i år 2007

var 379.

b)

Vi sætter 𝑦 = 700 i modellen og løser ligningen:

700 = 38𝑥 + 379

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 8,447368

Det gennemsnitlige antal tilskuere pr. kamp vil nå 700 tilskuere cirka halvvejs inde i år 2015, hvis udviklingen fortsætter.

Opgave 3 a)

Kvartilsættet aflæses af bilaget (enhed: gram pr. kilometer)

𝐾𝑣𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙𝑠æ𝑡:(123;131,5;137)

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

3 b)

De opgivne data indsættes i WordMats regneark til ugrupperede observationer, hvor de optælles, og kvartilsættet bestemmes:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Nedre | 119
Median | 128
Øvre | 131

Den mindste observation er 110, og den største er 140. Et boksplot tegnes nu på bilaget:

Vi ser af de to boksplots, at 𝐶𝑂_{2} -udledningen er faldet fra år 2012 til år 2013. Alle kvartiler og begge

ekstreme værdier ligger lavere i år 2013 end i år 2012. Dog ser vi, at der i 2013 stadig er mere end 25% af

bilerne, som udleder mere end EU’s grænseværdi på 130 gram/km.

Opgave 4 a)

Oplysningerne anvendes til opstilling af to ligninger med to ubekendte:

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

4

200 = 𝑏 · 1,4^{𝑎}

300 = 𝑏 · 1,7^{𝑎}

⇕ Ligningssystemet løses for b,a vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑎 = 2,088347 ∧ 𝑏 = 99,05216

Konstanterne er nu bestemt og kan defineres: 𝑎 ≔ 2,088347 𝑏 ≔ 99,05216 b)

Funktionen defineres, idet vi vedtager, at 𝑓 ( 𝑥) = 𝑦. Dvs.:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑏 · 𝑥^{𝑎}

Vi bestemmer: 𝑓 ( 0,9) ≈ 79,48889

En rundballe med diameteren 0,9m har således en vægt på ca. 79,5 kg.

c)

Hvis 𝑥 er diameteren af den lille rundballe, vil diameteren af den store rundballe være 1,35𝑥. Den relative forskel i vægt kan da bestemmes som:

𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣 𝑓𝑜𝑟𝑠𝑘𝑒𝑙 =

𝑓 ( 1,35𝑥) − 𝑓 ( 𝑥)

𝑓 ( 𝑥)

≈ 0,8714668

= 87,15%

Det vil sige, at den store rundballe vejer 87,15% mere end den lille rundballe.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 5 a)

Vi definerer kendte størrelser:

Indekstal for hhv. 2009 og 2013:

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

5

𝑖_{2009} ≔ 139,1

𝑖_{2013} ≔ 152,6

Prisen i år 2009:

𝑝_{2009} ≔ 10,95

Prisen i år 2013, 𝑝_{2013}, kan bestemmes ved at løse:
𝑝_{2013} 𝑝_{2009}
𝑖_{2013} 𝑖_{2009}

=

⇕ Ligningen løses for p_2013 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑝_{2013} = 12,01272

Det vil sige, at prisen på en tilsvarende pakke havregryn i år 2013 var på 12,01 kr.

b)

Den samlede stigning i indekstal perioden var på 152,6 − 100 = 52,6. Dette svarer til en samlet

procentmæssig stigning på 52,6%. Hvis den årlige, procentvise stigning, 𝑟, er konstant, må udviklingen i indekstal således opfylde ligningen for eksponentiel vækst:

𝑖_{2000} · ( 1 + 𝑟)^{2013−2000} = 𝑖_{2013}

100 · ( 1 + 𝑟)^{13} = 152,6

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟 = 0,03304581
= 3,3%

Det vil sige, at den årlige procentvise stigning i prisen på havregryn fra 2000 til 2013 var 3,3% 𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 6 a)

Da antallet af danskere med astma vokser med en fast årlig procentdel anvendes en eksponentiel funktion på formen:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑏 · 𝑎^{𝑥}

Hvor:

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

6

𝑏 angiver 𝑦-værdien for 𝑥 = 0 - altså år 2005. Dvs. 𝑏 = 277000
𝑎 er fremskrivningsfaktoren, som fortæller os noget om den årlige vækstrate, 𝑟 = 3%, da:

𝑎 = 𝑟 + 1
= 1 + 0,03
= 1,03

En formel for 𝑦 kan nu opskrives:

𝑦 = 277000 · 1,03^{𝑥}

b)

I år 2022 vil 𝑥 = 2022 − 2005 = 17

𝑦 kan nu bestemmes:

𝑦 = 277000 · 1,03^{17}

≈ 457838,8

Det vil sige, at antallet af danskere med astma i år 2022 vil være ca. 458.000 ifølge modellen.

c)

Fordoblingstiden for en eksponentiel model kan bestemmes som:

𝑇_{2} =

ln ( 2) ln ( 𝑎)

=

ln ( 2) ln ( 1,03)

≈ 23,44977

Fordoblingstiden for antallet af danskere med astma er altså cirka. 23 år ifølge modellen. Dette fortæller os, at antallet af danskere med astma vil fordobles hvert 23. år ifølge modellen.

Opgave 7 a)

Længden af ruten A-C bestemmes.

WordMats trekantsløser anvendes med input: B = 94°, BA = 158, BC = 426

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

7

C B = 94°
C = 19,83222°
A = 66,16778°

CA = 464,5754
BA = 158
BC = 426

Længden af siden CA findes vha. en cosinusrelation

𝐶𝐴 = √ 𝐵𝐴^{2} + 𝐵𝐶^{2} − 2 · 𝐵𝐴 · 𝐵𝐶 · cos ( 𝐵)
= √ 158^{2} + 426^{2} − 2 · 158 · 426 · cos ( 94°)
= 464,5754

Den direkte rute har altså en længde (i meter) på 𝑅_{𝐴𝐶} ≔ 464,57

Længden af ruten A-B-C kan bestemmes som:

𝑅_{𝐴𝐵𝐶} = | 𝐴𝐵 | + | 𝐵𝐶 |

Med enheden meter får vi:

𝑅_{𝐴𝐵𝐶} ≔ 158 + 426

Forskellen i rutelængde bestemmes som:

𝐹𝑜𝑟𝑠𝑘𝑒𝑙 = 𝑅_{𝐴𝐵𝐶} − 𝑅_{𝐴𝐶}
= 119,43

Ruten A-B-C er således 119,43 meter længere end ruten A-C

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 8 a)

Funktionen defineres:

B BA A

BC CA

Side 8

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

8

𝑉𝑜𝑙 ( 𝐹𝐺) ≔ ( 1,055 − 𝐹𝐺) · 131,25

Vi bestemmer:

𝑉𝑜𝑙 ( 1,020) ≈ 4,59375

Og vi løser:

𝑉𝑜𝑙 ( 𝐹𝐺) = 3,5

⇕ Ligningen løses for FG vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐹𝐺 = 1,028333

Det vil sige, at alkoholstyrken er 4,6% hvis 𝐹𝐺 = 1,020.

𝐹𝐺 skal være 1,028, hvis der kun ønskes en alkoholstyrke på 3,5%.