HF Matematik C 7. december 2016 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

1

HF Matematik C

7. december 2016

2hf163-MAT/C-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, med mindre andet er angivet. Vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Vi definerer kendte størrelser:

𝐾_{0} ≔ 7500

𝑟 ≔ 0,025 𝑛 ≔ 4

Vi bestemmer beløbet, der stod på kontoen efter 4 år, ved at fremskrive beløbet de næste 4 år med en fast årlig rente på 2,5 %:

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

≈ 8278,597

Efter 4 år står der 8278,60 kr. (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi definerer kendte størrelser:

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

2

𝐾_{𝑛} ≔ 10906,20

𝐾_{0} ≔ 10000

𝑛 ≔ 5

Vi bestemmer den årlige rente ved at løse for r i nedenstående udtryk:

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟 = 0,01750064

Den årlige rente er bestemt til 1,75 % (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 2 a)

Vi bestemmer omløbstiden for dværgplaneten Pluto ved at bestemme y, når x = 5,87:

𝑦 = 17,29 · 5,87^{1,5}

≈ 245,8964

Omløbstiden for dværgplaneten Pluto er bestem til 245,9 år (afrundet til 1 decimal).

b)

Vi bestemmer middelafstanden til solen for en planet med omløbstiden 29,4 år ved at løse for x, når y = 29,4:

29,4 = 17,29 · 𝑥^{1,5}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 1,424628

Middelafstanden til solen er bestemt til 1,42 mia. km (afrundet til 2 decimaler).

c)

Vi definerer tallet 1,5 som a og væksten for middelafstanden for planet B relativt til planet A som F: x 𝑎 ≔ 1,5

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

3

𝐹_{𝑥} ≔ 2,00

Vi bestemmer, hvor mange gange større omløbstiden er for planet B end for planet A:

𝐹_{𝑦} = 𝐹_{𝑥}^{𝑎}

≈ 2,828427

Ifølge modellen er omløbstiden for planet B ca. 2,83 gange større (afrundet til 2 decimaler) end omløbstiden for planet A.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 3 a)

Vi bestemmer vinkel B og længden af AC med WordMats trekantsløser:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 61°, C = 35°, AB = 5,7

A = 61°
B = 84°
C = 35°

BC = 8,6916617
AC = 9,8832073
AB = 5,7

Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐵 = 180° − 𝐴 − 𝐶
= 180° − 61° − 35°
= 84°

Længden af siderne AC findes vha. en sinusrelation:

𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 ·

sin ( 𝐵) sin ( 𝐶)

= 5,7 ·

sin ( 84°) sin ( 35°)

= 9,8832073

Vinkel B er bestemt til 84°, og længden AC er bestemt til 9,88 (afrundet til 2 decimaler).

A AC C

B

AB BC

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

4 b)

Vi benytter, at medianen m b halverer siden AC, dvs. at siden AC i trekanten som A og B udgør med medianen m b b

, hvor fodpunktet for medianen m kaldes for M, er lig:

𝐴𝑀 =

𝐴𝐶

2

= · 9,8832073

1

2

≈ 4,941604

Vi bestemmer længden af medianen m med WordMats trekantsløser: b

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 61°, AM = 4,941604, AB = 5,7

B A = 61°
B = 52,601457°
M = 66,398543°

m = 5,4404087

b

AM = 4,941604
AB = 5,7

Længden af siden mb findes vha. en cosinusrelation

𝑚_{𝑏} = √ 𝐴𝑀^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 2 · 𝐴𝑀 · 𝐴𝐵 · cos ( 𝐴)
= √ 4,941604^{2} + 5,7^{2} − 2 · 4,941604 · 5,7 · cos ( 61°)
= 5,4404087

Medianen m er bestemt til 5,44 (afrundet til 2 decimaler).

b

Opgave 4 a)

Vi bestemmer den årlige udgift til cigaretter for 2013 ved:

𝑈𝑑𝑔𝑖𝑓𝑡_{2013} = · 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠_{73,7}

𝑈𝑑𝑔𝑖𝑓𝑡_{2012}
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠_{100}

A AM M

AB m b

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

5

⇕

𝑈𝑑𝑔𝑖𝑓𝑡_{2013} = · 73,7

1775

100

= 1308,175

Den årlige udgift til cigaretter i år 2013 er bestemt til 1308,18 kr. (afrundet til 2 decimaler).

Vi bestemmer indekstallet for år 2014 ved:

𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠_{2014} = · 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠_{100}

𝑈𝑑𝑔𝑖𝑓𝑡_{2014}
𝑈𝑑𝑔𝑖𝑓𝑡_{2012}

⇕

𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠_{2014} = · 100

899

1775

≈ 50,647887

Indekstallet for år 2014 er bestemt til 50,65 (afrundet til 2 decimaler).

Opgave 5 a)

Modellen kan beskrives med en lineær funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med lineær regression.

Vi opstiller tabel med data og foretager regression:

Højde (cm) | Vægt (kg)
60 | 5,0
76 | 9,0

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 0,25𝑥 − 10

Tallet a er bestemt til 0,25, og tallet b er bestemt til -10.

b)

Vi definerer forskriften for modellen y som funktion af x:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 0,25𝑥 − 10

Vi bestemmer pigens vægt ved en højde på 90 cm ved at bestemme f(90):

𝑓 ( 90) = 12,5

Vi bestemmer pigens vægt ved en højde på 137 cm ved at bestemme f(137):

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

6

𝑓 ( 137) = 24,25

Vi kommenterer modellen:

Sammenligner vi det faktiske tal for pigens vægt ved en højde på 90 cm på 12,6 kg med modellens på 12,5 kg, står det klart, at modellen er relativt pålidelig med hensyn til at forudsige pigens vægt ved en bestemt højde. Bevæger vi os videre og sammenligner det faktiske tal for pigens vægt ved en højde på 137 cm på 28,0 kg med modellens på 24,25 kg, indser vi, at modellen ved en større højde er blevet mere upålidelig. Vi kan umiddelbart konkludere, at modellen ved mindre højder er mere pålidelig end ved større højder til at forudsige vægten af den lille pige.

Opgave 6 a)

Vi bestemmer året, hvor det årlige antal af teaterbilletter kommer under 2,00 millioner, ved at løse uligheden y < 2,00 for x. Da WordMat har problemer med at løse uligheder, der indeholder en eksponent, løser vi i

stedet y = 2,00 for x:

2,68 · 0,992^{𝑥} = 2,00

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 36,43717

Ifølge modellen går der 36,44 år (afrundet til 2 decimaler) efter år 1982, dvs. i år 2018 vil antallet af solgte teaterbilletter komme under 2,00 millioner.

b)

Tallet 2,68 betegner funktionsværdien i x = 0, dvs. i året 1982 blev der solgt 2,68 millioner teaterbilletter.

Tallet 0,992 betegner fremskrivningsfaktoren a. Med fremskrivningsfaktoren a kan vi beregne den årlige vækstrate r:

𝑟 = 𝑎 − 1
= 0,992 − 1
= −0,008
= 0,8%

Ifølge modellen er antallet af teaterbilletter faldet med 0,8 % for hvert år efter år 1982.

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

7

Opgave 7 a)

Vi bestemmer længden af diagonalen i skurret ved at løse for d i nedenstående udtryk:

3,25^{2} + 3,61^{2} + 2,30^{2} = 𝑑^{2}

⇕ Ligningen løses for d vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑑 = −5,37444 ∨ 𝑑 = 5,37444

Da vi ikke arbejder med negative længder, er d = -5,37444 ikke en løsning til opgaven.

Vi kan konkludere, at der er plads til stangen i skurret, da diagonalen i skurret på 5,37 m (afrundet til 2 decimaler) er større end længden af den tynde stang på 5,0 m.

Opgave 8 a)

155, 158, 158, 162, 162, 163, 164, 166, 167, 169, 169, 170, 172, 174, 174, 175, 183.

Vi aflæser kvartilsættet for fordelingen af pigernes højde:

Nedre kvartil:

𝑄1 =

162 + 162

2

= 162

Nedre kvartil er bestemt til 162.

Median:

Medianen er bestemt til 167.

Øvre kvartil:

𝑄3 = = 173

172 + 174

2

Øvre kvartil er bestemt til 173.

Side 8

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

8 b)

På bilaget aflæser vi nedre kvartil for drengene til 173. Sammenligner vi nedre kvartil for drengene med øvre kvartil for pigerne ser vi, at de begge er 173. Vi kan konkludere, at kun 25% af pigerne er højere end de 25% mindste drenge.