HF Matematik C August 2009

Side 1

Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik C - HF

Opgave 1

Jvf. formel 9 ved vi at forholdet imellem to tilsvarende sider i ensvinklede trekanter er en konstant. Vi har derfor:

|A_{1} B_{1} | 5, 7

17 10, 2

=

⇕

|A_{1} B_{1} | =

17 · 5, 7

10, 2

= 9, 5

Altså har vi fundet at længden af siden A_{1} B_{1} er 9,5.

På samme måde som ovenfor kan vi finde længden af siden AC

|A𝐶| 16, 5

10, 2 17, 5

=

⇕

|A𝐶| =

10, 2 · 16, 5

17, 5

= 9, 9

Altså har vi fundet at længden af siden A𝐶 er 9,9.

2 a

Vi ved, jvf. formel 31, at hældningen af grafen, 𝑎, for en lineær sammenhængen kan findes således

𝑎 = = = 12500

𝑦_{2} − 𝑦_{1} 206000 − 156000
𝑥_{2} − 𝑥_{1} 4 − 0

Jvf. formel 32 kan vi finde 𝑏 således:

𝑏 = 156000 − 12500 · 0 = 156000

At vi finder y-koordinaten for det første punkt er ingen overraskelse da vi jo ved at 𝑏 angiver skæringen med y-aksen.

Altså ser vores forskrift ud således:

𝑦 = 12500 · 𝑥 + 156000

1

Side 2

Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik C - HF b

Vi ønsker at løse ligningen 𝑦) = 250000 med hensyn til 𝑥 og derfor isolerer vi 𝑥.

𝑦(𝑥) = 12500 · 𝑥 + 156000

⇕

𝑦 − 156000 = 12500 · 𝑥

⇕

𝑥 =

𝑦 − 156000

12500

Vi indsætter 𝑦 = 250000 og finder:

𝑥 = = 9, 6

250000 − 156000

12500

Altså vil antallet af diabetikere overskride 250000 i år 2010 (Da dette er 9 år efter 2001).

3

Da vi ser en konstant procentvis stigning årligt kan vi konkludere at der er tale om en eksponentielt voksende funktion. I følge formel 33 er

16593, 71 = 𝑏 · (1 + 0, 0204)^{5}

en beskrivelse af situationen efter de fem år. Vi kan isolere 𝑏 og udregne denne, da 𝑏 er startbeløbet.

16593, 71 = 𝑏 · (1 + 0, 0204)^{5}

⇕

𝑏 =

16593, 71

(1 + 0, 0204)^{5}

=15000

Altså er beløbet personen har sat ind på sin konto, 15000,00 kr.

b

Også denne funktion er en eksponentielt voksende funktion. Denne gang er det dog rentetil-skrivningen pr. termin, 𝑟, vi ikke kender. Vi isolerer og udregner denne:

2

Side 3

Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik C - HF

18749, 00 = 16593, 71 · (1 + 𝑟)^{6}

⇕

(1 + 𝑟)^{6} =

18749, 00

16593, 71

⇕

        6
1 + 𝑟 =

√

18749, 00

16593, 71

⇕

    6
𝑟 =           − 1 = 0, 031

√

18749, 00

16593, 71

Altså er rentetilskrivningen pr. måned 3, 1% afrundet til én decimal.

4 a

Vi tegner et histogram over datasættet:

Havde intervallængderne ikke være ens, kunne vi have lavet et histogram hvor frekvensen var afbildet ved arealet af søjlerne.

b

Medianen kan findes fra en sumkurve ved at trække en streg fra 50% og derefter se hvor den ’rammer’ sumkurven. Se figuren nedenfor:

3

Side 4

Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik C - HF

Vi ser altså at medianen er 32. Dette fortæller os at halvdelen af de kvinder der blev indlagt for spontant abort er over 32 (og dermed er den anden halvdel under 32) Vi trækker en streg fra 37 på sumkurven på samme måde som ovenfor og finder at den

rammer sumkurven ved 84%. Dette fortæller os at (100% − 84% = ) 16% der blev indlagt

for en spontan abort var over 37 år.

5 a

Vi indsætter 𝑥 = 2009 − 1995 = 14 i forskriften for befolkningstørrelsen på Lagos. Vi

finder:

𝑦_{14} = 10, 5 · 1, 044^{14} = 19, 2

Vi finder altså at der ifølge modellen vil være 19,2 millioner indbyggere i Lagos i år 2010.

Fordoblingskonstanten er, jvf. formel 37, givet således:

T_{2} = = 16, 1

log 𝑎 log 1, 033

4

Side 5

Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik C - HF

Altså tager det ifølge modellen 16,1 år før befolkningen i Lagos er fordoblet.

b

Vi genkender tallene i den eksponentielt voksenden funktion til 𝑎 = 1, 044 og 𝑏 = 10, 5.

𝑎 fortæller os hvorledes befolkningen ændrer sig årligt. Den årlige tilvækst, 𝑟, findes ved formel 33

𝑟 = 1, 033 − 1 = 0, 033 = 3, 3%

Herpå kan vi konkludere at befolkningsstørrelsen i Lagos ændrer sig med 3, 3% årligt.

𝑏 redegører for skæringen med y-aksen og er derfor befolkningensstørrelsen til tiden 𝑥 = 0.

I vores tilfælde ser vi altså at der, i Lagos, boede 10,5 millioner mennesker i år 1995.

6 a

Jvf. formel 12 ved vi at der gælder, i en retvinklet trekant:

cos 𝑣 =

4, 5

5, 0

Vi tager cosinus-invers til højre-siden, for at finde vinklen:

𝑣 = cos^{−1} = 25, 8^{◦}

()

4, 5

5, 0

Altså er vinklen 𝑣 25, 8^{◦} afrundet til én decimal.

7

Vi genkender at der er tale om en potensfunktion. Dette kan vi se jvf . formel 45.

Jvf. formel 46 ser vi at 𝑎 kan udregnes således:

𝑎 = = = −0, 60

log^{𝑦}_{𝑦}^{2} log^{11}_{19}

() ()

  1
(          (

log^{𝑥}_{𝑥}^{2}_{1} log^{25}_{10}

Jvf. formel 47 kan vi udregne 𝑏 således:

𝑏 =    =        = 75, 0
     𝑎

𝑦_{1} 19
𝑥_{1} 10^{−0,60}
Og dermed har vi fundet at 𝑎 = −0, 60 og at 𝑏 = 75, 0.

8 a

Vi ser at der er tale om en lineær forskrift. Vi kan beskrive prisen pr. måned 𝑓(𝑥) som funktion af antal talte minutter, 𝑥, således:

5

Side 6

Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik C - HF

𝑓(𝑥) = 30 + 0, 85 · 𝑥

b

Vi kan opskrive funktionen for det andet abonnement således:

𝑔(𝑥) = 0, 99 · 𝑥
Den pris hvorved de to abbonementer er lige dyre findes ved at løse ligningen 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥)

med hensyn til 𝑥. Vi ser:

0, 99 · 𝑥 = 30 + 0, 85 · 𝑥

⇕

0, 14𝑥 = 30

⇕ 𝑥 ≈ 214

Altså skal man tale 214 minutter før det kan betale sig at have det første abbonement, hvor startprisen er høj, mens prisen for at tale et minut er lav

Grafisk ville det fundne løsning vise sig som skæringen imellem graferne for de to funk-tioner.

Alle formlerne henviser til Matematisk formelsamling STX/HF C fra 2007

6