HF Matematik C 7. december 2015 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

1

HF Matematik C

7. december 2015

Vejledende besvarelse

2hf153-MAT/C-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 1. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Kendte størrelser defineres, hvorefter slutkapitalen 𝐾 bestemmes vha. kapitalfremskrivningsformlen:
                                           𝑛

Startkapital: 𝐾 ≔ 30000
            0

Årlig rente: 𝑟 ≔ 0,02

Antal terminer: 𝑛 ≔ 5

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

≈ 33122,42

Efter 5 år står der således 33.122,42 kr. på kontoen.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Kendte størrelser defineres hvorefter antal terminer 𝑛 bestemmes vha. kapitalfremskrivningsformlen:

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

2 𝑟 ≔ 0,02

𝐾_{0} ≔ 25000
𝐾_{𝑛} ≔ 30000

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

⇕ Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑛 = 9,206938

Der vil på intet tidspunkt stå præcist 30.000 kr., da 𝑛 er et naturligt tal (dvs. 𝑛 kan kun antage positive, hele talværdier). Der vil derfor først være 30.000 kr. til rådighed efter 10 år (umiddelbart efter den 10.

fremskrivning).

Opgave 2 a)

Kvartilsættet bestemmes ved aflæsning af 25%-, 50%- og 75%-fraktilen. Disse aflæses som de tilhørende 𝑥-værdier til 𝑦-værdierne givet ved disse procenttal.

Kvartilsæt: (150000,260000,380000).

b)

Først bestemmes andelen af kvinder med en indkomst på under 400.000 kr. ved aflæsning af den 𝑦-værdi, som hører til 𝑥-værdien 400.000 kr. Vi ser, at omtrent 79% har en indkomst på under 400.000 kr.

Det vil sige, at 21% har en indkomst på mere end 400.000 kr.

Opgave 3 a)

Modellen kan defineres som en funktion 𝑓 ( 𝑥) = 𝑦.

𝑓 ( 𝑥) ≔ −0,90 · 𝑥 + 32,12

I år 2015 er det gået 6 er efter år 2009. Vi bestemmer så:

𝑓 ( 6) = 26,72

Det årlige udlån af bøger i år 2015 vil ifølge modellen være på ca. 26,7 mio.

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

3 b)

Der er tale om en lineær model på formen 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑎 = −0,90 er hældningskoefficienten og angiver 𝑦-tilvæksten, når 𝑥 vokser med 1. Det vil sige, at det årlige

udlån af bøger falder med 0,9 mio. om året ifølge modellen

𝑏 = 32,12 angiver 𝑓(0). Der blev således udlånt 32,12 mio. bøger i år 2009 ifølge modellen.

Opgave 4 a)

Længden af den røde piste (længden af siden 𝐵𝐴) bestemmes vha. den retvinklede trekant 𝐴𝐵𝐶. Alle sider og vinkler bestemmes vha. WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 90°, A = 25°, CA = 272

B C = 90°
B = 65°
A = 25°

BA = 300,1188
CA = 272
CB = 126,8357

Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐵 = 180° − 𝐶 − 𝐴
= 180° − 90° − 25°
= 65°

Længden af siden BA findes vha. cosinus

𝐵𝐴 =

𝐶𝐴 cos ( 𝐴)

=

272 cos ( 25)

= 300,1188

Længden af siden CB findes vha. tangens

𝐶𝐵 = 𝐶𝐴 · tan ( 𝐴)
= 272 · tan ( 25)
= 126,8357

Det vil sige, at længden af den røde piste er 300,1.

C CA A

CB BA

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

4 b)

For at bestemme vinklen, den grønne piste danner med vandret, skal vi bruge længden af siden 𝐸𝐴. Vi ser, at:

𝐸𝐴 = 𝐶𝐷
= 𝐵𝐷 − 𝐶𝐵
= 200 − 126,8357
= 73,1643

Vi kan nu vinkel 𝐹 i den retvinklede trekant 𝐴𝐸𝐹.

Alle sider og vinkler bestemmes vha. WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: E = 90°, AF = 700, EA = 73,1643

A E = 90°
A = 84,00046°
F = 5,999537°

AF = 700
EF = 696,1659
EA = 73,1643

𝐹 = sin^{−1} ()

𝐸𝐴

𝐴𝐹

= sin^{−1} ()

73,1643

700

= 5,999537°

Den vinkel, som den grønne piste danner med vandret, er således 6,00°

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 5 a)

Da befolkningstallet vokser med en fast procentdel om året, er der tale om en eksponentiel udvikling. Vi kan således opstille en model på formen:

𝑁 ( 𝑡) = 𝑏· (1 + 𝑟)^{𝑡}

Hvor:

E EF F

EA AF

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

5

𝑁 angiver befolkningstallet i mio.

𝑡 angiver antal år efter år 2000

𝑏 angiver 𝑁(0). Dvs. 𝑏 = 34,02
𝑟 er den årlige vækstrate. Dvs. 𝑟 = 2,9% = 0,029

Modellen opskrives endeligt:

𝑁 ( 𝑡) = 34,02 · ( 1 + 0,029)^{𝑡}

b)

Kendte størrelser defineres: 𝑡 ≔ 10 𝑟 ≔ 0,029

Efter 10 år er populationen vokset med:

𝑉æ𝑘𝑠𝑡 = ( 1 + 𝑟)^{𝑡} − 1

≈ 0,3309255

Det vil sige, at Tanzanias befolkning vokser med ca. 33% på 10 år.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 6 a) 𝑝 angiver kilopris i kr., og 𝑖 angiver indekstal:

𝑝_{2010} ≔ 120

𝑝_{2007} ≔ 109

𝑖_{2010} ≔ 122,3

𝑖_{2013} ≔ 138,1

Der gælder, at:

𝑝_{2013} 𝑝_{2010}
𝑖_{2013} 𝑖_{2010}

=

⇕ Ligningen løses for p_2013 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑝_{2013} = 135,5029

Prisen på lammekød i 2013 var således 135,50 kr.

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

6

Der gælder, at:

𝑝_{2010} 𝑝_{2007}
𝑖_{2010} 𝑖_{2007}

=

⇕ Ligningen løses for i_2007 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑖_{2007} = 111,0892

Indekstallet for kiloprisen på lammekød i 2007 var således 111,1

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 7 a)

Potensfunktionen defineres i det 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑏· 𝑥^{𝑎}

Vi omskriver punkternes information til to ligninger med to ubekendte:

𝑓 ( 1) = 9

𝑓 ( 16) = 18

⇕ Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑎 = ∧ 𝑏 = 9

1

4

                1
Det vil sige, at 𝑎 = og 𝑏 = 9
                4

Potensfunktionen gendefineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 9 · 𝑥

1

4 b)

Vi bestemmer:

𝑓 ( 81) = 27

Vi løser:

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

7

𝑓 ( 𝑥) = 45

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 625

Det vil sige, at 𝑦 = 27, når 𝑥 = 81, mens 𝑥 = 625, når 𝑦 = 45.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 8 a)

VI definerer relevante størrelser: 𝑎 ≔ 20 𝑚 ≔ 60

𝐻 beregnes

𝐻 = 968 + 9,25 · 𝑚 − 4,33 · 𝑎
= 1436,4

Kvindens hvilstofskifte, da hun var 20 år og vejede 60 kg, var på 1436 kcal.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b) 𝑎 defineres 𝑎 ≔ 30

𝐻 defineres:

𝐻 ≔ 1436,4

Vægten bestemmes ved at løse:

𝐻 = 968 + 9,25 · 𝑚 − 4,33 · 𝑎

⇕ Ligningen løses for m vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑚 = 64,68108

Som 30-årig vejer kvinden 64,7 kg.