HF Matematik C 6. december 2013

Side 1

Skriftlig matematik HF C 2hf133-MAT/C-

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf C fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 1 a)

Da de to trekanter er ensvinklede (ligedannede) kan man bestemme skalafaktoren 𝑘 (jf. formel 9) WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑘 = = = 3

| 𝐴_{1} 𝐵_{1} | 15,0

| 𝐴𝐵 | 5,0

Dermed kan de manglende sidelængder bestemmes som: (jf. fomel 10)

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

| 𝐴_{1} 𝐶_{1} | = 𝑘 ⋅ | 𝐴𝐶 | = 3 ⋅ 7,4 = 22,2

| 𝐵𝐶 | = = = 4,1

| 𝐵_{1} 𝐶_{1} | 12,3

𝑘 3

Det er således bestemt, at:

| 𝐴_{1} 𝐶_{1} | = 22,2

| 𝐵𝐶 | = 4,1

Opgave 2 a)

Prisen for et 120 𝑚^{2} stort hus med grund kan bestemmes som grundprisen plus 120 𝑚^{2} á 13.000 kr. pr. 𝑚^{2}

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑝𝑟𝑖𝑠_{120} = 920000 + 120 ⋅ 13000 = 2480000

Prisen for huset på 120 𝑚^{2} inkl. grund er således 2.480.000 𝑘𝑟.

Side 2

Skriftlig matematik HF C 2hf133-MAT/C-

b)

Sammenhængen mellem husets størrelse og den samlede pris er lineær efter modellen:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

Lad 𝑥 betegne husets størrelse i 𝑚^{2} og lad 𝑓(𝑥) være den samlede pris i kr. som en funktion af husets

størrelse. Konstanten 𝑏 er grundens pris (i kr.). Dermed kan sammenhængen mellem husets størrelse, i

𝑥 𝑚^{2} og den samlede pris, beskrives med den lineære sammenhæng:

𝑓 ( 𝑥) = 13.000 ⋅ 𝑥 + 920.000

Opgave 3 a)

Den angivne sammenhæng (model) 𝑦 = 2,6 ⋅ 1,10^{𝑥} er en eksponentiel sammenhæng (jf. formel 33),

Den generelle model herfor er:

𝑦 = 𝑏 ⋅ 𝑎^{𝑥} = 𝑏 ⋅ ( 1 + 𝑟)^{𝑥}

Man kan således af tallene 𝑏 = 2,6 og 𝑎 = 1,10 udlede, at:

• Internethandlen i 2002 var på 2,6 mia. kr. (svarende til 𝑦-værdien i år 2002, hvor 𝑥 = 0).
• Internethandlen forøgedes med ( 𝑎 − 1) ⋅ 100% = ( 1,10 − 1) ⋅ 100% = 10% om året

i årene efter 2002.

b)

Året, hvor Internethandlen passerede 3,4 mia. kr., kan bestemmes (vha. den givne model) ved at løse nedenstående ligning i 𝑥. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes hertil:

3,4 = 2,6 ⋅ 1,10^{𝑥}

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 ≈ 2,814641

Internethandlen passerede således 3,4 mia. kr. i det tredje år efter 2002, hvilket var å𝑟 2005 c)

Internethandlen i 2008 (6 år efter 2002) kan if. modellen bestemmes som:

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑦_{2008} = 2,6 ⋅ 1,10^{𝑥} = 2,6 ⋅ 1,10^{6} = 4,606059 𝑚𝑖𝑎. 𝑘𝑟.

Internethandlen i 2010 (8 år efter 2002) kan if. modellen bestemmes som:

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑦_{2010} = 2,6 ⋅ 1,10^{𝑥} = 2,6 ⋅ 1,10^{8} = 5,573331 𝑚𝑖𝑎. 𝑘𝑟.

Side 3

Skriftlig matematik HF C 2hf133-MAT/C-

Det oplyses, at Internethandlen i 2008 faktisk var på 4,5 mia. kr., hvilket er i overensstemmelse med den forventede værdi på 4,6 mia. kr. if. modellen.

Til gengæld var den faktiske Internethandel i 2010 på 7,8 mia. kr. væsentligt større end den forventede handel på ca. 5,6 mia. kr. if. modellen. Dette kan skyldes, at Internethandel blev mere populær blandt forbrugerne, end man oprindelig havde kalkuleret med, samt at antallet af danske hjem med adgang til Internettet steg mere end forventet. Dermed fik flere forbrugere adgang til at handle på nettet.

Modellen kan således ikke benyttes til at estimere udviklingen i Internethandlen efter 2008.

Opgave 4 a)

I trekant 𝐴𝐻𝐵 kan |𝐴𝐻| kan bestemmes vha. WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant):

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 35° , H = 90° , AB = 7,0

A = 35°
B = 55°
H = 90°

BH = 4,015035
AH = 5,734064
AB = 7

Længden af linjestykket 𝐴𝐻 i trekant 𝐴𝐵𝐶 er således bestemt til: | 𝐴𝐻 | = 5,7

Resultatet er afrundet til én decimal.

A AH H

B

AB BH

Side 4

Skriftlig matematik HF C 2hf133-MAT/C-

b)

Længden af siden 𝐵𝐶 kan bestemmes vha. WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant):

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 35° , AC = 8,0 , AB = 7,0

A = 35°
B = 84,43876°
C = 60,56124°

BC = 4,610311
AC = 8
AB = 7

Længden af siden 𝐵𝐶 i trekant 𝐴𝐵𝐶 er således bestemt til: | 𝐵𝐶 | = 4,6

Resultatet er afrundet til én decimal.

c)

Af forrige beregning vha. WordMat fremgår det, at ingen af vinklerne i trekant 𝐴𝐵𝐶 er en ret vinkel (90°).

Det kan derfor konkluderes, at trekant 𝐴𝐵𝐶 ikke er en retvinklet trekant.

Pythagoras’ læresætning (jf. formel 11) kan alternativt benyttes til at undersøge, hvorvidt trekant 𝐴𝐵𝐶 er en retvinklet trekant, idet sidelængderne skal opfylde sætningen, hvis trekanten er retvinklet.

Summen af kvadraterne på to af siderne skal således være lig med kvadratet på den tredje side.

Opgave 5 a)

Den angivne sammenhæng er en potenssammenhæng og værdierne for 𝑎 og 𝑏 bestemmes nemmest vha.

en potensregression over tabellens data. Tabellen oprettes og WordMat benyttes til regressionen.

WordMat (Statistik/sands. - Regression - Potens) (markér hele tabellen, - også teksten)

Tykkelse (mm) 120 265

Varmetab (W/m^{2} /grad) 0,40 0,17

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 70,42134 · 𝑥^{−1,080062}

Af resultatet fremgår det, at: 𝑎 = −1,08 og 𝑏 = 70,42

Begge resultater er afrundet til to decimaler.

A AC C

B

AB BC

Side 5

Skriftlig matematik HF C 2hf133-MAT/C-

b)

Sammenhængen defineres som en funktion i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion),

hvor 𝑦 = 𝑓(𝑥) (alternativt kan definitionslighedstegnet := benyttes)

𝑓 ( 𝑥) ≔ 70,42 · 𝑥^{−1,08}

Varmetabet ved en isoleringstykkelse på 145 mm kan bestemmes som 𝑓(145):

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑓 ( 145) = 0,3261509 𝑊/𝑚^{2} /𝑔𝑟𝑎𝑑

Da 𝑓 ( 145) < 0,34 kan det konkluderes, at kravet i Bygningsreglementet er overholdt.

c)

For potensfunktioner gælder det: (jf. formel 3 og 48)

                         𝑝%
              𝑎
1 + 𝑟 = ( 1 + 𝑟 ) , hvor 𝑟 =
    𝑦        𝑥
                         100%

Hvilket betyder, at når tallet 𝑥 ganges med tallet 1 + 𝑟 så ganges 𝑓(𝑥) med tallet 1 + 𝑟
                                           𝑥                          𝑦

     50%
𝑟 =      = 0,5 samt 𝑎 = −1,08 indsættes i den ovenstående ligning, og 𝑟 bestemmes.
 𝑥                                                           𝑦
    100%

Heraf kan derefter udledes, hvor mange procent varmetabet ændres, når isoleringstykkelse øges med 50 %.

WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes:

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 0,5)^{−1,08}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} = −0,3546112

hvilket svarer til et fald på 35,5 %, når der afrundes til én decimal.

(at resultatet er negativt viser, at varmetabet faktisk nedsættes)

Ovenstående betyder, at varmetabet reduceres med 35,5 % når tykkelsen af isoleringen forøges med 50 %.

Side 6

Skriftlig matematik HF C 2hf133-MAT/C-

Opgave 6

Intervallerne og hyppighederne indtastes i WordMat’s indbyggede værktøj for grupperede observationer.

WordMat (Graftegning - Statistik - Grupperede observationer). Beregningsark åbner i et Excel-vindue.

Resultaterne kopieres herefter over i MS Word efter behov.

Grupperede observationer Deskriptorer

Interval 50 Kvartilsæt

Fra Til Mindste 0

Hyp. Frekvens Kumuleret

0 20 2 4% 4% Nedre 30,5

20 40 20 40% 44% Median 42,4

40 60 25 50% 94% Øvre 52,4

60 80 3 6% 100% Største 80

Observation Fraktil

Middeltal

41,6

Spredning

13,32 a)

Af ovenstående beregning med WordMat fremgår det, at middeltallet for perioden er:

𝑥 = 41,6 (𝑠𝑜𝑙𝑠𝑘𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑚𝑒𝑟)

b)

De kumulerede frekvenser fremgår tillige af ovenstående beregning (herunder markeret med gult).

Interval 50

Fra Til

Hyp. Frekvens Kumuleret

0 20 2 4% 4%

20 40 20 40% 44%

40 60 25 50% 94%

60 80 3 6% 100%

Side 7

Skriftlig matematik HF C 2hf133-MAT/C-

c)

Sumkurven fremkommer automatisk, når WordMat benyttes som beskrevet øverst på forrige side.

Sumkurven er kopieret over i Word.

For at besvare spørgsmålet vedr. de 20 % mest solrige december måneder i perioden, tegnes på sumkurven en vandret linje gennem 80 % på andenaksen. Skæringspunktet mellem denne linje og sumkurven projiceres på førsteaksen og projektionen aflæses så nøjagtigt som muligt, - i dette tilfælde aflæses projektionen til ca. 54 solskinstimer.

Af dette konkluderes det, at en december måned blandt de 20 % mest solrige i 50 års-perioden, har haft mellem 54 og 80 solskinstimer.

0%

25%

50%

75%

100%

0 100

Solskinstimer

Sumkurve