HF Matematik C 8. maj 2006 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 8. maj 2006

1

HF Matematik C 8. maj 2006

Vejledende besvarelse

2HF061-MAC

Nogle af opgaveløsningerne inkluderer en reference til en formel i en grå kasse. Disse kræves ikke i en eksamensbesvarelse og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at informationen her medtages i løsningerne, er, så du kan se, præcis hvilken formel der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaverne i sættet er så vidt muligt løst med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk som første linje i din opgaveløsning at skrive en note om, at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat, så censor ved, hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de her i sættet anvendte formler kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre i programmet. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Vi benytter renteformlen:

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 𝑟 + 1)^{𝑛}
= 52000 · ( 0,03 + 1)^{8}

≈ 65872,04

Efter 8 år vil der stå 65872 kr. på kontoen (afrundet til helt tal).

b)

Vi benytter formlen for fordoblingskonstanten:

𝑇_{2} =

log ( 2) log ( 𝑎)

=

log ( 2)

log ( 1 + 𝑟)
=

log ( 2)

log ( 1 + 0,03)

≈ 23,44977

Efter 23,45 år (afrundet til 2 decimaler) vil beløbet på kontoen være fordoblet.

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 8. maj 2006

2

Opgave 2 a)

Der er tale om en lineær funktion, hvor et forøget elforbrug fører til en lineær stigning i den samlede udgift:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

f(x) betegner den samlede udgift til el til året 2005.

x betegner elforbruget (målt i kWh).

Tallet a betegner grafen for funktionens hældningskoefficient, der beskriver, hvordan funktionen udvikler sig. Her betyder det, at hver forbruger betaler 1,5697 kr. pr. kWh.

Tallet b betegner det faste årlige abonnement i år 2005, dvs. 382,50 kr.

Vi opstiller modellen:

𝑓 ( 𝑥) = 1,5697𝑥 + 382,50

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 8. maj 2006

3

Opgave 3 a)

Sammenhængen kan beskrives vha. en lineær funktion. Vi bestemmer derfor tallene a og b ved lineær regression.

Vi opstiller en tabel med data og foretager regression:

Årstal | År efter år 2000 | Antal lønmodtagere
2001 | 1 | 1472000
2004 | 4 | 1352000

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = −40000𝑥 + 1,512000 · 10^{6}

Tallene a og b aflæses fra regressionsligningen:

Tallet a er bestemt til -40000, og tallet b er bestemt til 1512000.

b)

Vi bestemmer x, når y = 1100 000:

1100000 = −40000𝑥+ 1,512000 · 10^{6}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 10,3

Ifølge modellen kommer antallet af lønmodtagere ned på 1100000 ca. 10,3 år efter år 2000, dvs. ca. i år

2010.

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 8. maj 2006

4

Opgave 4 a)

Der er tale om en eksponentiel sammenhæng:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑏 · 𝑎^{𝑥}

Vi beskriver tallene:

Tallet 6410 betegner b og er funktionens værdi i x = 0. Dvs., at der i år 2000 var 6410 elever, der valgte 9.

klasse på efterskole.

Tallet 1,06 betegner a, der er fremskrivningsfaktoren, som beskriver, hvordan funktionen udvikler sig. Med fremskrivningsfaktoren kan vi bestemme vækstraten r:

𝑟 = 𝑎 − 1
= 1,06 − 1
≈ 0,06 · 100 %
= 6 %

Antallet af elever, der tager 9. klasse på efterskole, stiger med 6 % om året i perioden b)

Vi bestemmer antallet af elever på efterskole i år 2004 ved at bestemme y, når x = :

𝑦 = 6410 · 1,06^{(}^{2004−2000} ≈ 8092,477

)

Antallet af elever ifølge modellen er bestemt til 8092 (afrundet til helt tal).

Vi kommenterer modellen:

Sammenligner vi det faktiske tal på 8118 elever med modellens tal på 8092 (afrundet), står det klart, at tallene er nogenlunde identiske. Vi kan, konkludere at modellen er relativt pålidelig, også efter år 2003.

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 8. maj 2006

5

Opgave 5 a)

Vi bestemmer |AB| og vinkel A med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 90°, BC = 3,6, AC = 8,4

B A = 23,19859°
B = 66,80141°
C = 90°

BC = 3,6
AC = 8,4
A AC C AB = 9,138928

Længden af siden AB findes vha. Pythagoras’ sætning:

𝐴𝐵 = 𝐵𝐶^{2} + 𝐴𝐶^{2} = √ 3,6^{2} + 8,4^{2} = 9,138928

√

Vinkel A findes vha. en tangensrelation:

𝐴 = tan^{−1} () = tan^{−1} () = 23,19859°

𝐵𝐶 3,6

𝐴𝐶 8,4

Vinkel A og |AB| aflæses fra WordMats trekantsløser:

Vinkel A er bestemt til 23,20° (afrundet til 2 decimaler), og |AB| er bestemt til 9,14 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi bestemmer højden som modstående katete til vinkel B i den retvinklede trekant BnyCH:

Vi bestemmer først vinkel B:

𝐵 = 180 − 90 − 23,19859 = 66,80141

AB BC

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 8. maj 2006

6

Vi benytter WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: B = 66,80141°, H = 90°, bc = 3,6

B = 66,80141°
nyC = 23,19859°
H = 90°

hc = 3,308922
bh = 1,418109
bc = 3,6

Længden af siden h_{c} findes vha. en sinusrelation:
ℎ𝑐 = 𝑏𝑐 · sin ( 𝐵) = 3,6 · sin ( 66,80141) = 3,308922

Højden h_{c} aflæses fra WordMats trekantsløser:

Højden h_{c} er bestemt til 3,31 (afrundet til 2 decimaler).

bh B

H nyC

h_{c}

bc

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 8. maj 2006

7

Opgave 6 a)

Vi bestemmer andelen ved at aflæse fra bilaget:

Andelen af lærerne mellem 55 og 63 år er aflæst til ca. 37 %

Side 8

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 8. maj 2006

8

Opgave 7 a)

Vi bestemmer r, når h = 11 og V = 3810:

3810 = 𝜋 · 𝑟^{2} · 11

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟 = −10,50005 ∨ 𝑟 = 10,50005

Vi benytter kun den positive løsning.

Cylinderens radius er bestemt til 10,5 cm (afrundet til 1 decimal).

Side 9

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 8. maj 2006

9

Opgave 8 a)

Vi definerer tallet 0,631 som a og 𝑟_{𝑥} som væksten for træets diameter:

𝑎 ≔ 0,631

𝑟_{𝑥} ≔ 0,40

Vi bestemmer den relative vækst ved:

𝑟_{𝑦} + 1 = ( 𝑟_{𝑥} + 1)^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} = 0,2365361

Ifølge modellen er træet blevet 23,65 % højere.

Side 10

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 8. maj 2006

10

Opgave 9 a)

Vi bestemmer først kvartilsættet:

Vi opstiller observationerne i rækkefølge:

25, 29, 35, 39, 39, 40, 40, 41, 42, 44, 45, 50:

Mindste: 25

         35+39
Nedre Q1:     = 37
           2

Median: 40

        42+44
Øvre Q3:     = 43
         2

Største: 50

Vi indtegner boksplottet på bilaget: b)

Vi sammenligner de to boksplot:

Sammenligner vi de to boksplot, står det klart, at der generelt blev givet færre advarsler i SAS Ligaen i sæsonen Sammenligner vi de øvre kvartiler, ser vi, at øvre kvartil i sæsonen 2000-01 ligger på

53, mens øvre kvartil for sæsonen 2004-05 ligger en del lavere på 43. Det betyder, at 25 % af klubberne i sæsonen 2000-01 blev givet 53 eller flere advarsler, hvorimod de 25 % af klubberne, der i 2004-05 fik flest advarsler, kun fik fra 43 kort og op.