HF Matematik C august 2011

Side 1

2hf112-MAT/C-

1

Matematik HF C – eksamen onsdag d. 31.

august 2011

Alle formlerne henviser til Matematisk formelsamling stx/hf C fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så læseren præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1 a)

Da de to trekanter er ensvinklede er forholdet mellem ensliggende sider i de to trekanter ens. Der gælder derfor følgende relationer mellem de ensliggende sider i trekanterne: (jf. formel 9)

| 𝐵𝐶 | | 𝐸𝐹 | | 𝐵𝐶 |

| 𝐴𝐵 | | 𝐷𝐸 | | 𝐴𝐵 |

= ⇔ | 𝐸𝐹 | = ⋅ | 𝐷𝐸 |.

Indsættes tallene fås da

| 𝐸𝐹 | = ⋅ 6,8 = 8,5.

5,0

4,0

Længden af siden 𝐸𝐹 er altså 8,5.

Side 2

2hf112-MAT/C-

2

Opgave 2 a)

For 𝑥 = 0 er 𝑦 = 300841 ⋅ 1,147^{0} = 300841 ⋅ 1 = 300841. Tallet 300.841 angiver altså antallet af danske

brugere af Facebook i december 2007.

Da der er tale om en eksponentielt voksende model (formel 33) er 𝑎 = 1,147 fremskrivningsfaktoren.

Vækstraten bestemmes ved: jf. formel 33

1,147 − 1 = 0,147 = 14,7 %.

Tallet 1,147 i modellen fortæller altså at antallet af danske brugere af Facebook stiger med 14,7 % per måned i perioden dec. 2007 - jan. 2009.

b)

For at bestemmes efter hvor mange måneder efter december 2007 antallet af danske brugere på Facebook oversteg 1 million løses ligningen for x:

1000000 = 300841 ⋅ 1,147^{𝑥}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 8,75811

Dvs. efter 8,76 måneder er antallet af danske brugere af Facebook større end en million.

c)

Antallet af danske brugere af Facebook ifølge modellen efter 22 måneder bestemmes ved at udregne 𝑦 når

𝑥 = 22.

𝑦 = 300841 ⋅ 1,147^{22} = 6147977

Ifølge modellen skulle der altså i oktober 2009 være 6.147.977 danske brugere af Facebook.

Når der i virkeligheden i oktober 2009 kun var 2,1 millioner danske brugere af Facebook, må det konkluderes at modellen ikke gælder i oktober 2009. Det oplyses af modellen tilnærmede virkeligheden godt indtil januar 2009. Den relative (procentvise) månedlige tilgang af danske brugere til Facebook må altså efter januar 2009 være faldet en del.

Faktisk kan modellens videreførelse helt frem til oktober 2009 forkastes allerede ved det høje antal på mere end 6 millioner. Tallet er nemlig større end det danske folketal.

Side 3

2hf112-MAT/C-

3

Opgave 3 a)

For at bestemme længden af siden BC anvendes

WordMat's trekantsløser med input: A = 34,1° , C = 24,4° , AB = 10,3

A = 34,1°
B = 121,5°
C = 24,4°

BC = 13,9785
AC = 21,25902
AB = 10,3

Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐵 = 180° − 𝐴 − 𝐶 = 180° − 34,1° − 24,4° = 121,5°

Længden af siderne BC og AC findes vha. sinusrelationerne

𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 · = 10,3 · = 13,9785

sin ( 𝐴) sin ( 34,1°) sin ( 𝐶) sin ( 24,4°)

𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 · = 10,3 · = 21,25902

sin ( 𝐵) sin ( 121,5°) sin ( 𝐶) sin ( 24,4°)

Ud fra ovenstående udregning er længden af siden BC altså 14,0 afrundet til en decimal.

b)

For at bestemme længden af AH bruger vi igen WordMats trekantløser på den retvinklede trekant AHC, som kan benyttes da vi i a) har bestemt længden af AC til 21,3 afrundet til en decimal.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: H = 90° , C = 24,4° , AC = 21,25902

90° A = 65,6°
H = 90°
C = 24,4°

HC = 19,36024
AC = 21,25902
AH = 8,782195

Vinkel A findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐴 = 180° − 𝐻 − 𝐶 = 180° − 90° − 24,4° = 65,6°

65,6° 21,3 24,4°

8,78 19,4

34,1° 21,3 24,4°

122°

10,3 14

Side 4

2hf112-MAT/C-

4

Længden af siden HC findes vha. cosinus

𝐻𝐶 = 𝐴𝐶 · cos ( 𝐶) = 21,25902 · cos ( 24,4) = 19,36024

Længden af siden AH findes vha. sinus

𝐴𝐻 = 𝐴𝐶 · sin ( 𝐶) = 21,25902 · sin ( 24,4) = 8,782195

Af ovenstående udregninger ses det, at længden af AH er 8,8 afrundet til en decimal.

Side 5

2hf112-MAT/C-

5

Opgave 4 a)

Histogrammet laves ved hjælp af WordMat i Excel og indsættes her: b)

Andelen af kvinderne, der havde en løbetid på under fire timer bestemmes ved at se på sumkurven.

Resultatet aflæses som y-koordinaten til grafens skæring med linien 𝑥 = 4. Se de blå stiplede linier på

grafen herunder. Det ses at 32 % af kvinderne havde en løbetid på mindre end fire timer.

Ved at se på førstekoordinaten for grafens skæring med linien 𝑦 = 25 % kan man aflæse en tid, som den

bedste fjerdedel (25 %) af kvinderne alle løb hurtigere end. Se de røde prikkede linier på grafen herunder.

Der ses at den bedre fjerdedel af kvinderne løb hurtigere end 3,85 timer, dvs. hurtigere end 3 timer og 51 minutter.

2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

Observationer

Histogram et tern er 4%

Side 6

2hf112-MAT/C-

6

Side 7

2hf112-MAT/C-

7

Opgave 5 a)

Da der er tale on en potensfunktion, kan tallene a og b bestemmes ved potensregression: x 1 4 y 2 16

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 2 · 𝑥^{1,5}

Ud fra dette kan vi aflæse at 𝑎 = 1,5 og 𝑏 = 2

b)

Tallet 𝑦 bestemmes for 𝑥 = 2,25.

𝑦 = 2 ⋅ 2,25^{1,5} = 6,75

Når 𝑥 = 2,25 er 𝑦 = 6,75 afrundet til to decimaler.

Tallet 𝑥 bestemmes for 𝑦 = 31,25 ved at løse følgende ligning for x:

31,25 = 2 · 𝑥^{1,5}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 6,25

Når 𝑦 = 31,25 er 𝑥 = 6,25.

Side 8

2hf112-MAT/C-

8

Opgave 6 a)

Kvartilsættet aflæses som førstekoordinaterne til de tre lodrette streget i selve boksen jf. formel 59.

Nedre kvartil 25900 kr.

Median 27800 kr.

Øvre kvartil 29700 kr.

En lægesekretær, der tjener 24.000 kr. om måneden, har en løn, der er lavere end den nedre kvartil, som er på 25.900 kr. Lægesekretærens er altså blandt de 25 % lavest lønnede. Lønnen er dog større end den

mindsteværdien på 21.000 kroner, så han/hun er ikke den ringest lønnede lægesekretær.

Side 9

2hf112-MAT/C-

9

Opgave 7 a)

Først bestemmes hvor meget saltvand patienten har fået i løbet af 45 minutter.

5 ⋅ 45 min = 225 mL.

mL min

Efter 45 minutter har patienten altså fået 225 mL saltvand. Dette trækkes fra begyndelsesvolumen af saltvand.

950 mL − 225 mL = 725 mL.

Efter 45 minutter er der altså 725 mL saltvand tilbage i dropflasken.

Da der til at begynde med er 950 mL saltvand i dropflasken, og denne volumen mindskes med 5 mL hvert minut, gælder følgende formel for antallet af milliliter saltvand i dropflasken, y efter 𝑥 minutter

𝑦 = 950 − 5 ⋅ 𝑥.

b)

Hvor længe det varer før, der kun er 250 mL saltvand tilbage i dropflasken, bestemmes ved at løse ligningen

𝑦 = 250 for 𝑥.

250 = 950 − 5𝑥

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 140

Der går altså 140 minutter før der kun er 250 mL saltvand tilbage i dropflasken.

Side 10

2hf112-MAT/C-

10

Opgave 8 a)

Indekstallene bestemmes ved at basisåret får indekstal 100, og år 2025 får et indekstal beregnet ved jf.

formel 8

80 mio

30 mio

⋅ 100 = 266,6667.

Indekstallene bliver altså

År 2000 År 2025

Int. godsmængde (mio. ton) 30 80

Indekstal 100 267 b)

Perioden strækker sig over 25 år. En årlig vækst på 2,5 % kan således omregnes til en vækst på hele perioden ved

( 1 + 2,5%)^{25} = ( 1 + 0,025)^{25} = 1,8539.

Den samlede Lastbilstrafik i Danmark ventes altså i perioden samlet af stige til ca. 1,85 gange niveauet i dag, med et basisår i 2000 svarer det til en indekstal i år 2025 på 185.

Den internationale godsmængde ventes altså at stige stærkere end den samlede lastbilstrafik i perioden