HF Matematik C december 2010

Side 1

2hf103-MAT/C-

1

Vejledende besvarelse

Matematik C HF den 10. december 2010

Alle formlerne henviser til Matematisk formelsamling stx/hf C fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle beregninger laves for så vidt muligt med værktøjet WordMat.

Opgave 1 a)

WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 90° , AC = 11,1 , AB = 12,7

60,9° A = 29,0713°
B = 60,9287°
C = 90°

BC = 6,170899
AC = 11,1
AB = 12,7

Længden af siden BC findes vha. pythagoras

𝐵𝐶 = 𝐴𝐵^{2} − 𝐴𝐶^{2} = √ 12,7^{2} − 11,1^{2} = 6,170899

√

Vinkel A findes vha. cosinus

𝐴 = cos^{−1} () = cos^{−1} () = 29,0713°

𝐴𝐶 11,1

𝐴𝐵 12,7

Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐵 = 180°− 𝐶 − 𝐴 = 180° − 90° − 29,0713° = 60,9287°

Vinkel A er dermed bestemt til 29,1° afrundet til en decimal.

29,1° 11,1 90°

12,7 6,17

Side 2

2hf103-MAT/C-

2

Opgave 2 a)

Vi betegner den samlede udgift til leasingkontrakten for y og antal måneder leasingkontrakten har løbet for x.

Da leasingydelsen er konstant hver måned og der er en opstartsomkostning er det en lineær model (formel

30), der beskriver udgifterne til leasingkontrakten.

𝑦 = 𝑏 + 𝑎𝑥

Vi indsætter b = 17500 og a = 2795 og får dermed følgende model for udgifterne til leasingkontrakten:

𝑦 = 17500 + 2795𝑥

b)

Antallet af måneder, det tager før omkostningerne til leasede bil overstiger 139000 kan udregnes ved at løse følgende ligning for x.

139000 = 17500+ 2795𝑥

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 43,47048

Da den variable leasingudgift betales en gang om måneden, går der altså 44 måneder, før udgifterne til leasingkontrakten overstiger udgiften ved at købe en tilsvarende brugt bil.

Side 3

2hf103-MAT/C-

3

Opgave 3 a)

For at beregne hvor høj en kegle med radius, 𝑟 = 4 og rumfang, 𝑉 = 150 løses følgende ligning for h

150 = ⋅ 𝜋 ⋅ 4^{2} ⋅ ℎ

1

3

⇕ Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.

ℎ = 8,952466

En kegle med radius 4 cm og rumfang 150 cm^{3} er altså 9,0 cm høj afrundet til en decimal.

Side 4

2hf103-MAT/C-

4

Opgave 4 a)

For at bestemme kvartilsættet indtegnes i bilaget vandrette linjer ud for 𝑦 = 25, 𝑦 = 50 og 𝑦 = 75.

Derefter aflæses for hver linje x-værdien for skæringen mellem den rette linje og sumkurven (formel 52).

Vi aflæser kvartilsættet til (36; 45; 54,5)

At det øvre kvartil er på 54,5 betyder at 25 % af danske folkeskolelærere er over 54,5 år. Eller ækvivalent at

75 % af folkeskolelærerne er 54,5 år eller derunder.

b)

For at bestemme hvor stor en procentdel af folkeskolelærerne, der er mellem 40 og 50 år gamle, bestemmes andelen, der er mindre end 50 år gamle 𝐹(50), og andelen, der er mindre end 40 år gamle,

𝐹(40). Andelen, der er mellem 40 og 50 år kan nu bestemmes som 𝐹(50) − 𝐹(40).

Vi finder hhv. 𝐹(40) og 𝐹(50) ved på bilag 1 at tegne lodrette linjer ud for 𝑥 = 40 og 𝑥 = 50 og

bestemmer de tilhørende y-værdier for skæringen mellem de rette linjer og sumkurven.

Side 5

2hf103-MAT/C-

5

Vi aflæser 𝐹(40) = 38 og 𝐹(50) = 61.

Andelen af danske folkeskolelærere mellem 40 år og 50 år bestemmes dermed til

61 − 38 = 23

Dvs. 23 % af folkeskolelærerene er mellem 40 og 50 år gamle.

c)

Først aflæses de kumulerede frekvenser for aldrene 30, 40, 50, 60, 70 tilsvarende opgave b)

Side 6

2hf103-MAT/C-

6

Alder Kum. frekvens Intervalfrekvens

20-30 8 8

30-40 38 38 − 8 = 30
40-50 61 61 − 38 = 23
50-60 92 92 − 61 = 31
60-70 100 100 − 92 = 8

Histogrammet tegnes nu med WordMats funktion:

60 65 70

Observationer

Histogram et tern er 4%

Side 7

2hf103-MAT/C-

7

Side 8

2hf103-MAT/C-

8

Opgave 5 a)

For at beregne hvor meget foder, der anbefales til en hund på 40 kg indsættes 𝑥 = 40 i funktionen.

𝑦 = 25 ⋅ 40^{0,75} = 397,6354

Altså anbefales der dagligt 397,64 gram hundemad afrundet til to decimaler til en hund på 40 kg.

b)

Da der er tale om en potenssammenhæng ved vi at når x ganges med tallet 1 + 𝑟_{𝑥} så ganges y med tallet
1 + 𝑟_{𝑦}, hvor 1 + 𝑟_{𝑦} beregnes ved følgende formel (formel 48):

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

Vi indsætter følgende størrelser i formlen a = 0, 75 og 1 + 𝑟𝑥 = 1 + 30% = 1+ 0,3 = 1,3

1 + 𝑟_{𝑦} = 1,3^{0,75} = 1,217468

⇕

𝑟_{𝑦} = 1,217468 − 1 = 0,217468 = 21,7468 %

Altså skal den tunge hund have 21,7 % mere foder end den lette hund afrundet til en decimal.

Side 9

2hf103-MAT/C-

9

Opgave 6 a)

Figur 1 viser grafen for en lineær funktion. Her angiver b grafens skæring med y-aksen, og aflæses til 4.

Hældningskoefficienten a bestemmes ved at tælle tern. Hver kang vi går to tern ud ad x-aksen går vi et tern ned ad y-aksen:

𝑎 = = = −0,5

Δ𝑦 −1

Δ𝑥 2

Dvs. 𝑎 = 4 og 𝑏 = −0,5.

Figur 2 viser grafen for en eksponentielt voksende funktion. Her angiver 𝑐 skæringen med y-aksen, og aflæses til 2.

Dvs. 𝑐 = 2.

Side 10

2hf103-MAT/C-

10

Opgave 7 a)

Da der er tale om en eksponentiel model, kan a og b bestemmes ved hjælp af en eksponentiel regression.

Antal dage efter 17. maj 2009 0 8

Antal registrerede tilfælde 4714 6552

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 4714 · 1,042013^{𝑥}

Ud fra dette kan vi aflæse 𝑎 = 1,042 afrundet til 3 decimaler og 𝑏 = 4714.

Husk at markere hele tabellen (også tekstfelterne), når du laver regression med WordMat.

b)

Fordoblingskonstanten 𝑇 kan beregnes ved formlen (formel 37)
                    2

𝑇_{2} = = = 16,84259

log2 log2 log𝑎 log1,042013

Fordoblingskonstanten er dermed 16,84 dage afrundet til to decimaler. Dette betyder at antallet af smittede med influenza H1N1 fordobles for hver ca. 17. dag.

c)

Vi kan beregne hvornår antallet af registrerede influenzatilfælde passerer 21000 ved at løse følgende ligning for x:

21000 = 4714 · 1,042013^{𝑥}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 36,30195

Efter 36,30 dage afrundet til to decimaler passerer antallet af influenzasmittede personer ifølge modellen

21000. Da det reelle antal smittede passerede 21000 efter 36 dage, konkluderes det, at modellen til dette tidspunkt er retvisende.

Side 11

2hf103-MAT/C-

11

Opgave 8 a)

Platformens højde BC kan bestemmes som længden af BC i trekant ABC.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 90° , A = 74° , BA = 135

C = 90°
B = 16°
A = 74°

BA = 135
CA = 37,21104
CB = 129,7703

Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐵 = 180° − 𝐶 − 𝐴 = 180° − 90° − 74° = 16°

Længden af siden CA findes vha. cosinus

𝐶𝐴 = 𝐵𝐴 · cos ( 𝐴) = 135 · cos ( 74) = 37,21104

Længden af siden CB findes vha. sinus

𝐶𝐵 = 𝐵𝐴· sin ( 𝐴) = 135 · sin ( 74) = 129,7703

Platformens højde over gulvet er dermed 129,77 cm over gulvet afrundet til to decimaler.

b)

Da trekant ADF og trekant BEF er ensvinklede gælder der at forholdet mellem de på hinanden ligedanne sider i trekanten er konstant (formel 9). Forholdet mellem siderne k beregnes som forholdet mellem siden BF i trekant BEF og siden AF i trekant ADF.

𝑘 = = = 5,5

𝐴𝐹 135 + 30

𝐵𝐹 30

Siden AD i trekant ADF kan nu beregnes som følgende multiplum af siden BE i trekant BEF.

𝐴𝐷 = 𝑘 · 𝐵𝐸 = 5,5 ⋅ 20 = 110

Stigens spændvidde er dermed 110 cm.

90° 37,2 74°

16°

130 135