HF Matematik C 1. juni 2010 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen 1. juni 2010

1

HF Matematik C

1. juni 2010

Vejledende besvarelse

2hf101-MAT/C-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 1. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Vi definerer kendte størrelser:

𝐾_{0} ≔ 30000

𝑟 ≔ 0,023 𝑛 ≔ 4

Vi fremskriver beløbet 4 år med en fast årlig rente på 2,3 %.

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 𝑟 + 1)^{𝑛}

≈ 32856,688

Beløbet på kontoen efter 4 år er bestemt til 32856,69 kr. (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi definerer kendte størrelser.

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen 1. juni 2010

2

𝐾_{0} ≔ 30000

𝑟 ≔ 0,023

Vi bestemmer, hvor mange år der går, før at beløbet kommer over 35000 ved at løse uligheden K_{n} > 35000
for n. Da WordMat har problemer med at løse uligheder, hvori der indgår en eksponent, løser vi i stedet K_{n}
= 35000 for n.

𝐾_{0} · ( 𝑟+ 1)^{𝑛} = 35000

⇕ Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑛 = 6,7789867

Der går mindst 6,78 år (afrundet til 2 decimaler), før at beløbet på kontoen kommer over 35000 kr.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 2 a)

Vi bestemmer vinkel A i trekant ABE med WordMats trekantsløser.

WordMats trekantsløser anvendes med input: E = 90°, AE = 35, AB = 70

B A = 60°
B = 30°
E = 90°

BE = 60,621778
AE = 35
AB = 70

A AE E

AB BE

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen 1. juni 2010

3

Vinkel A findes vha. cosinus

𝐴 = cos^{−1} ()

𝐴𝐸

𝐴𝐵

= cos^{−1} ()

35

70

= 60°

Vinkel A i trekant ABE er bestemt til 60°.

b)

Vi bestemmer længden af BE med WordMats trekantsløser.

WordMats trekantsløser anvendes med input: E = 90°, AE = 35, AB = 70

A = 60°
B = 30°
E = 90°

BE = 60,621778
AE = 35
AB = 70

Længden af siden BE findes vha. Pythagoras.

𝐵𝐸 = 𝐴𝐵^{2} − 𝐴𝐸^{2}

√
= 70^{2} − 35^{2}

√
= 60,621778

Længden af siden BE er bestemt til 60,6 cm (afrundet til 1 decimal).

Vi bestemmer arealet af bordpladen vha. af formlen for arealet af en trapez.

𝐴_{𝑏𝑜𝑟𝑑𝑝𝑙𝑎𝑑𝑒} = · 𝐵𝐸 · ( 𝐵𝐶 +𝐴𝐷)

1

2

Vi har, at trapezen er ligebenet dvs. vi kan finde længden af siden AD som:

𝐴𝐷 = 2 · 𝐴𝐸 + 𝐵𝐶
= 2 · 35 + 70
= 140

A AE E

B

AB BE

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen 1. juni 2010

4

Vi indsætter kendte værdier i formlen for arealet.

𝐴_{𝑏𝑜𝑟𝑑𝑝𝑙𝑎𝑑𝑒} = · 60,621778· ( 70 + 140)

1

2

≈ 6365,2867

Arealet af bordpladen er bestem til 6365,3 cm^{2} (afrundet til 1 decimal).

Opgave 3 a)

Modellen kan beskrives med en lineær funktion, da hver forbruger betaler et fast beløb pr. kubikmeter vand.

𝑓 ( 𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

f(x) betegner den samlede udgift (målt i kr.) til vand i år 2009 for en forbruger i Holstebro til et forbrug af x antal kubikmeter vand.

x betegner antallet x brugt kubikmeter vand.

b betegner funktionsværdien i x = 0, dvs. b er li 581,25 da der betales et fast årligt abonnement på 581,25

kr.

a betegner prisen pr. kubikmeter vand, dvs. a er lig 34,15 kr.

Vi opskriver (og definerer til senere brug) en model.

𝑓 ( 𝑥) ≔ 34,15𝑥 + 581,25

En model for den samlede udgift til vand i år 2009 for en forbruger i Holstebro er bestemt til ovenstående udtryk.

b)

En forbruger i Holstebro skal betale 34,15 kr. pr. brugt kubikmeter vand.

En forbruger i Hillerød skal betale 49,38 kr. pr. brugt kubikmeter vand.

Vi definerer forskriften for y som funktion af x.

𝑦 ( 𝑥) ≔ 49,38𝑥 + 308,75

Vi bestemmer, hvor stort vandforbruget skal være, for at en forbruger i Holstebro skal betale mindre end en forbruger i Hillerød, ved at løse uligheden f(x) < y(x) for x.

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen 1. juni 2010

5 𝑓 ( 𝑥) < 𝑦 ( 𝑥)

⇕ Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 > 17,892318

Ifølge modellerne skal en forbruger i Holstebro forbruge mere end 17,89 m^{3} vand (afrundet til 2 decimaler),

før at vandforbruget er billigere end i Hillerød.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 4 a)

Vi bestemmer den årlige produktion ved en vingelængde for 50 cm ved at bestemme y, når x = 50.

𝐸 = 0,14 · 50^{2}

≈ 350

Den årlige produktion er bestemt til 350 kWh.

b)

Vi bestemmer, hvor stor vingelængden skal være, for at den årlige produktion er 600 kWh, ved at løse for x

i E = 600.

600 = 0,14 · 𝑥^{2}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −65,465367 ∨ 𝑥 = 65,465367

Da vi ikke arbejder med negative længder er x = -65,465367 ikke en løsning til opgaven.

Vingelængden skal være 65,47 cm (afrundet til 2 decimaler) for at den årlige produktion er 600 kWh.

c)

Vi definerer tallet 2 som a og væksten for vingelængden som r_{x}.

𝑎 ≔ 2

𝑟_{𝑥} ≔ 0,25

Vi bestemmer, hvor mange procent større den nye minivindmølles produktion er, ved at løse for r_{y} i

nedenstående ligning.

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen 1. juni 2010

6

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} = 0,5625

Ifølge modellen er den nye minivindmølles produktion 56,3 % større end den forrige (afrundet til 1 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 5 a)

Vi bestemmer entreprisernes i år 2008 ved:

𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠_{8} 𝐸𝑛𝑡𝑟é_{8}
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠_{5} 𝐸𝑛𝑡𝑟é_{5}

=

⇕

117 𝐸𝑛𝑡𝑟é_{8}

100 191

=

⇕ Ligningen løses for Entré_8 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 223,47

Entréindtægterne i år 2008 er bestemt til 223,5 mio. kr. (afrundet til 1 decimal).

b)

Vi bestemmer indekstallet for år 2001.

𝐸𝑛𝑡𝑟é_{1} 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠_{1}
𝐸𝑛𝑡𝑟é_{5} 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠_{5}

=

⇕

145 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠_{1}

191 100

=

⇕ Ligningen løses for Indeks_1 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 75,91623

Indekstallet for år 2001 er bestemt til 75,9 (afrundet til 1 decimal).

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen 1. juni 2010

7

Opgave 6 a)

Modellen kan beskrives med en eksponentiel funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med eksponentiel regression.

Vi opstiller tabel med data og foretager regression.

OBS: Der er korrigeret for x, således at x betegner antal år efter år 1997.

x (år efter år 1997) y (indbetalinger til arbejdsmarkedsordninger i mia.

kr.)

0 30

9 78

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 30 · 1,1120086^{𝑥}

Tallet a er bestemt til 1,11 (afrundet til 2 decimaler), og tallet b er bestemt til 30.

b)

Vi bestemmer fordoblingstiden:

𝑇_{2} =

log ( 2) log ( 𝑎)

=

log ( 2) log ( 1,1120086)

≈ 6,5287812

Fordoblingstiden er bestemt til 6,53 (afrundet til 2 decimaler), dvs. ifølge modellen fordobles indbetaling til arbejdsmarkedsordning for hver 6,53 år.

c)

Vi bestemmer den årlige vækstrate ved:

𝑟 = 𝑎 − 1
= 1,1120086 − 1
= 0,1120086
= 11,20086

Side 8

Matematik C HF – Skriftlig eksamen 1. juni 2010

8

Ifølge modellen er indbetalingerne til arbejdsmarkedsordninger vokset med 11,20 % pr. år (afrundet til 2 decimaler).

Vi bestemmer den procentvise vækst for en 5-årsperiode ved:

𝑖 = ( 𝑟 +1)^{𝑛} − 1
= ( 0,112086 + 1)^{5} − 1

≈ 0,70095125

Ifølge modellen er den procentvise vækst for en 5-årsperiode bestemt til 70,10 % (afrundet til 2 decimaler).

Opgave 7 a)

Vi aflæser medianen for antallet af solskinstimer i Reykjavik, som den midterste streg i på boksplottet.

Median: 118.

b)

Inden vi tegner boksplottet, sorterer vi dataet med en Pivot-tabel i Excel, herefter tegner vi boksplottet med WordMats skabelon for ugrupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

OBS: Vi vælger at indtegne boksplottet for fordelingen af solskinstimer i Tegucigalpa i samme diagram som for Reykjavik. Dette er ikke nødvendigt til besvarelsen af opgaven, men det gør det lettere at sammenligne de to boksplot. Til dette benyttes WordMats skabelon for Boksplot. Kvartilsæt samt største- og mindsteværdi for Reykjavik er aflæst fra boksplottet i opgaveformuleringen.

Boksplot:

Vi sammenligner de to boksplot:

00

Antal solskinstimer

Fordeling af solskinstimer

Tegucigalpa

Reykjavik

Side 9

Matematik C HF – Skriftlig eksamen 1. juni 2010

9

Sammenligner vi de to boksplot, står det meget klart, at solen skinner MEGET mere i Tegucigalpa. Alle værdier for Tegucigalpa, undtagen mindsteværdien, ligger over værdierne for Reykjavik. Ydermere varierer antallet af solskinstimer for de 12 måneder meget mindre for Tegucigalpa end for Reykjavik. Vi kan konkludere, at antallet af solskinstimer i Tegucigalpa er langt større samt, at antallet af solskinstimer i langt mindre grad afhænger årstiden end for Reykjavik.