HF Matematik C Maj 2009

Side 1

Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik C - HF

Opgave 1 a

Jvf. formel 9 ved vi at forholdet imellem to tilsvarende sider i ensvinklede trekanter er en konstant. Vi har derfor:

|A_{1} 𝐶_{1} | 6, 0

11, 7 6, 5

=

⇕

|A_{1} 𝐶_{1} | =

11, 7 · 6, 0

6, 5

= 10, 8

Altså har vi fundet at længden af siden A_{1} 𝐶_{1} er 10,8.

2 a

Vi ved, jvf. formel 31, at hældningen af grafen, 𝑎, for en lineær sammenhængen kan findes således

𝑎 = = = 769, 4

𝑦_{2} − 𝑦_{1} 19577 − 13422
𝑥_{2} − 𝑥_{1} 8 − 0

Jvf. formel 32 kan vi finde 𝑏 således:

𝑏 = 13422 − 769, 4 · 0 = 13422

At vi finder y-koordinaten for det første punkt er ingen overraskelse da vi jo ved at 𝑏 angiver skæringen med y-aksen.

b

Vi ved at 𝑎 er hældningen af grafen, og dermede redegører tallet for stigningen i antal anmeldete voldsforbrydelser på år.

𝑏 er som sagt skæringen med y-aksen og dermed redegører denne for antallet af anmeldte voldsforbrydelser i begyndelsesåret (1998).

c

Vi skal bestemme den tid, 𝑥, hvor til antal anmeldte voldsforbrydelser er oversteget 25000.

Med andre ord skal vi løse ligningen 𝑓(𝑥) = 25000 med hensyn til 𝑥, hvor 𝑓 (𝑥) er vores

lineære forskrift der lyder:

𝑓(𝑥) = 769, 4 · 𝑥 + 13422

Vi isolerer x i denne forskrift:

1

Side 2

Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik C - HF

𝑓(𝑥) = 769, 4 · 𝑥 + 13422

⇕

𝑓 − 13422 = 769, 4 · 𝑥

⇕

𝑥 =

𝑓 − 13422

769, 4

𝑥 = = 15, 0

25000 − 13422

769, 4

Altså vil antallet af anmeldte voldsforbrydelser være oversteget 25.000 efter 15,0 år, afrun-det til én decimal.

3

Jvf. formel 42 ved vi at halveringskonstanten (også kaldt halveringstiden) er det antal x’er det tager at halvere antallet af y’er. Vi finder to punkter på grafen hvor i mellem

y-værdien er halveret; P_{1} (3; 7) og P_{2} (6, 5; 3, 5). Vi finder nu halveringstiden.

T_{1/2} = 6, 5 − 3 = 3, 5

Altså er halveringstiden for den eksponentielt aftagende funktion der er afbildet 3,5.

4 a

Vi ser at der er tale om to retvinklede trekanter. Af denne grund kan vi finde længden af BH jvf. formel 13

sin 67^{◦} =

|BH|

38

⇕

|BH| = sin 67^{◦} · 38

≈ 35

Vi ved at arealet af en trekant er givet ved:

A = · sin A · 𝑏 · 𝑐

1

2

Vi indsætter nu vores kendte størrelser og finder arealet er hver af de retvinklede trekanter.

A_{𝑟𝑒t} = sin 67^{◦} · 35 · 38 ≈ 612

1

2

Vi kan nu finde arealet af hele Ishavskatedralens facade, idet det er det dobbelte af arealet af en af de retvinklede trekanter.

2

Side 3

Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik C - HF

A_{𝐼𝑠ℎ𝑎𝑣𝑠𝑘𝑎t𝑒𝑑𝑟𝑎𝑙} = 2 · 612 = 1224
Altså er arealet af Ishavskatedralens facade 1224m^{2}.

5 a

Vi ser at der er tale om en model der vokser med den samme procentsats årligt. Dette genkender vi som en eksponentielt voksende funktion der har forskriften:

𝑓(𝑥) = 𝑏 · (1 + 𝑟)^{𝑥}

hvor 𝑟 er den procentvise stigning pr. termin og 𝑏 er startværdien. Vi får da følgende forskrift:

𝑓(𝑥) = 5389 · (1 + 0, 124)^{𝑥}

b

Vi bestemmer nu 𝑓(2006 − 1988) = 𝑓 (18).

𝑓(18) = 5389 · (1 + 0, 124)^{18} = 44187

Altså et meget højere tal end det virkelige antal medlemmer i 2006. Dette viser os at selvom modellen ’holder vand’ i årene er det ikke sikkert at modellens bud på udviklingen fortsætter fremover. Der kan være mange faktorer der kan ændre dette - det er dog noget der falder uden for opgavens rammer at redegøre for.

6

Vi udregner frekvenserne for alle observationerne, som forholdet mellem antal observa-tioner og det samlede antal observationer. Vi finder da følgende frekvenser:

Alder Antal Frekvens / %

,4%

8,9%

9 25,5%

7 46,0%

99 18,3%

Ialt 0,0%

Ud fra denne tabel kan vi tegne et histogram. Da vi har lige lange intervaller lader vi frekvensen løbe langs y-aksen

3

Side 4

Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik C - HF

Havde intervallængderne ikke være ens, kunne vi have lavet et histogram hvor frekvensen var afbildet ved arealet af søjlerne.

b

For at bestemme procentdelen af kvindelige diabetikere der er over 46, trækker vi en streg fra 46 år til den rammer sumkurven. Dernæst aflæser vi dette punkt. Se figur nedenfor:

Vi ser altså at der er 18% er de kvindelige diabetikere der er under 46. Dette lader os

tilbage med at procentdelen af kvindelige diabetikere der er over 46 år, 𝑥_{46} gamle er:

𝑥_{46} = 100% − 18% = 82%

4

Side 5

Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik C - HF

7 a

Vi indsætter de kendte størrelser og finder:

vægt = = 436, 4

180^{2} · 160

11880

Altså vejer hesten i følge modellen 436,4 kg afrundet til en decimal.

b

Vi kalder gjordmålet, 𝑔, vægten 𝑣 og kropslængden, 𝑘 og isolerer gjordmålet.

𝑣(𝑘, 𝑔) =

𝑔^{2} · 𝑘

11880

⇕

11880𝑣 = 𝑔^{2} · 𝑘

⇕

𝑔^{2} =

11880𝑣 𝑘

⇕

𝑔 =

√

11880𝑣 𝑘

Vi kan nu indsætte vores kendte størrelser:

𝑔 = = 166, 5

√
11880 · 350

150

Altså er fortæller modellen os at gjordmålet på en hest der har en kropslængde på 150 cm og vejer 350 kg, er 166,5 cm, afrundet til én decimal.

8 a

Vi indsætter 𝑥 = 27, 6 og bestemmer vægten af den omtalte diamant.

𝑦 = 0, 0033 · 27, 6^{3,06} = 84, 7

Ifølge modellen af vægten af diamanten 84,7 karat, afrundet til en decimal.

b

Jvf. formel 48 finder vi ændringen af diamantens vægt:

𝑟_{𝑦} + 1 = (1 + 0, 2)^{3,06} = 1, 74

Altså er den store diamant 74% tungere end den lille diamant.

Alle formlerne henviser til Matematisk formelsamling STX/HF C fra 2007

5