HF Matematik C 11. december 2007 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

1

HF Matematik C 11. december 2007

Vejledende besvarelse

2HF073-MAC

Nogle af opgaveløsningerne inkluderer en reference til en formel i en grå kasse. Disse kræves ikke i en eksamensbesvarelse og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at informationen her medtages i løsningerne, er, så du kan se, præcis hvilken formel der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaverne i sættet er så vidt muligt løst med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk som første linje i din opgaveløsning at skrive en note om, at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat, så censor ved, hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de her i sættet anvendte formler kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre i programmet. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Trekanterne er ensvinklede, og vi bestemmer derfor siderne vha. størrelsesforholdet mellem trekanterne.

𝑘=

𝐴𝐵

𝐷𝐸

=

6

9

=1,5

Vi bestemmer længden af EF:

𝐸𝐹=𝐵𝐶· 𝑘
=4 · 1,5
=6

Længden af EF er bestemt til 6.

Vi bestemmer længden af AC:

𝐴𝐶=

𝐷𝐹 𝑘

=

12

1,5

=8

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

2

Længden af AC er bestemt til 8.

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

3

Opgave 2 a)

Sammenhængen kan beskrives med en lineær funktion:

𝑦=2,5𝑥 + 10,5

Tallet 2,5 er funktionens hældningskoefficient. I dette tilfælde beskriver tallet 2,5, at den årlige omsætning på spil i Danmark stiger med 2,5 mia. kr. hvert år i perioden

Tallet 10,5 er funktionens begyndelsesværdi i x = 0. I dette tilfælde beskriver tallet 10,5 omsætningen på

spil i Danmark i år 2000 i mia. kr.

b)

Vi definerer modellen:

𝑓 ( 𝑥) ≔2,5𝑥+ 10,5

Vi bestemmer f():

𝑓 ( 2005 − 2000) =23

I år 2005 er omsætningen for spil i Danmark 23 mia. kr.

Vi kommenterer modellen:

Sammenligner vi det faktiske tal for omsætningen i år 2005 på 26,8 mia. kr. med modellens 23 mia. kr., står det klart, at den faktiske udvikling i omsætningen er sket med en større hastighed end forudsagt af modellen. Vi kan konkludere, at modellen ikke er særlig pålidelig med hensyn til den årlige omsætning på spil i Danmark efter år 2004.

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

4

Opgave 3 a)

Vi benytter formlen for vækstraten isoleret fra renteformlen:

𝑟=−1 +√^{𝑛}

𝐾_{𝑛}
𝐾_{0}

=−1 +

√^{6}

8877,62

8000

≈0,01750002

Vi ganger med 100 %:

%𝑟=0,01750002 · 100 %=1,750002 %

Den årlige procentvise rente på kontoen er 1,75 % (afrundet til 2 decimaler).

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

5

Opgave 4 a)

Vi bestemmer vinkel C og |AH| i trekant AHC med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: H = 90°, CH = 26, CA = 30

A C = 29,92643°
A = 60,07357°
H = 90°

AH = 14,96663
CH = 26
CA = 30

Længden af siden AH findes vha. Pythagoras’ sætning:

𝐴𝐻= 𝐶𝐴^{2} − 𝐶𝐻^{2} = 30^{2} − 26^{2} =14,96663

√ √

Vinkel C findes vha. en cosinusrelation:

𝐶=cos^{−1} ()=cos^{−1} ()=29,92643°

𝐶𝐻 26

𝐶𝐴 30

Vinkel C og siden |AH| aflæses fra WordMats trekantsløser:

Vinkel C er bestemt til 29,93 °, og |AH| er bestemt til 14,97 cm (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi bestemmer vinkel A i trekant ABC med WordMats trekantsløser.

WordMats trekantsløser anvendes med input: H = 90 °, BH = 13, AH = 14,97

A = 40,97116°
B = 49,02884°
H = 90°

BH = 13
AH = 14,97
AB = 19,82677

C CH H

CA AH

A AH H

B

AB BH

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

6

Vinkel A findes vha. en tangensrelation:

𝐴=tan^{−1} ()=tan^{−1} ()=40,97116 °

𝐵𝐻 13

𝐴𝐻 14,97

Vinkel A aflæses fra WordMats trekantsløser:

Vinkel A er bestemt til 40,97 ° (afrundet til 2 decimaler).

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

7

Opgave 5 a)

Der er tale om en eksponentiel sammenhæng, da udviklingen sker med en fast procentmæssig størrelse for hvert år.

𝑓 ( 𝑥) =𝑏 · 𝑎^{𝑥}

f(x) betegner antallet af internetbutikker til antal år x efter 2006.

x betegner året efter år 2006.

Konstanten b betegner tallet 7700, som er funktionsværdien i x = 0. Dvs., at der i år 2006 var 7700

internetbutikker.

Tallet 40 % betegner vækstraten. Med vækstraten kan vi beregne fremskrivningsfaktoren a:

𝑎= ( 𝑟 + 1)
= ( 0,40 + 1)
=1,40

Vi opstiller modellen:

𝑓 ( 𝑥) =7700 · 1,40^{𝑥}

b)

Vi definerer modellen:

𝑓 ( 𝑥) ≔7700 · 1,40^{𝑥}

Vi løser f(x) = 25000:

𝑓 ( 𝑥) =25000

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=3,500008

Ifølge modellen vil antallet af internetbutikker overstige 25000 ca. 3,5 (afrundet til en decimal) år efter år

2006, dvs. i år 2009.

Side 8

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

8

Opgave 6 a)

Vi tegner et histogram og bestemmer middeltallet med WordMats skabelon til grupperede observationer.

Resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Histogram:

Middeltallet aflæses fra skabelonen:

Middeltallet er bestemt til 150.

b)

Den øvre kvartil svarer til 75 %. Vi aflæser derfor salgsprisen ved 75 % (se bilag).

Øvre kvartil er aflæst til 175 kr.

30 350

Salgspris

Histogram

Et tern er 4%

Side 9

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

9

Øvre kvartil fortæller, at 75 % af frimærkerne sælges for under 175 kr. Samtidig sælges 25 % af frimærkerne for over 175 kr.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

10

Opgave 7 a)

Sammenhængen kan beskrives vha. af en potensfunktion. Derfor bestemmes tallene a og b ved potentiel regression:

𝑦=𝑏· 𝑥^{𝑎}

Vi opstiller en tabel med data og foretager regression:

Kropsvægt (kg) | Skeletvægt (kg)
70 | 5,9
20 | 1,5

Potensregression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦=0,05673353 · 𝑥^{1,093173}

Tallet a og b aflæses fra regressionsligningen:

Tallet a er bestemt til 1,093 (afrundet til 3 decimaler), og tallet b er bestemt til 0,057 (afrundet til 3 decimaler).

b)

Vi definerer modellen:

𝑓 ( 𝑥) ≔0,05673353 · 𝑥^{1,093173}

Vi bestemmer x, når f(x) = 787:

𝑓 ( 𝑥) =787

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=6153,096

Kropsvægten for elefanten er ifølge modellen 6153,1 kg.

c)

Vi definerer tallet a og forskellen i vægt som r :
                                     x

𝑎≔1,093173

𝑟_{𝑥} ≔0,50

Vi bestemmer den relative vækst ved:

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

Side 11

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

11

𝑟_{𝑦} =0,5577516

Ifølge modellen er bengalkattens skeletvægt 55,78 % (afrundet til 2 decimaler) større end siameserkattens skeletvægt.

Side 12

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007

12

Opgave 8 a)

Det er oplyst, at frekvensen af grundtonen er omvendt proportional med rørets længde. Vi bestemmer proportionalitetskonstanten ved:

880=

𝑘

9,4

⇕ Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑘=8272

Vi kender nu proportionalitetskonstanten og bestemmer rørets længde ved en grundtone på 588 Hz:

588=

8272 𝑙

⇕ Ligningen løses for l vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑙=14,06803

Røret med en grundtone på 588 Hz har længden 14,07 cm (afrundet til 2 decimaler).