HF Matematik C 12. december 2006 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2006

1

HF Matematik C 12. december 2006

Vejledende besvarelse

2HF063-MAC

Nogle af opgaveløsningerne inkluderer en reference til en formel i en grå kasse. Disse kræves ikke i en eksamensbesvarelse og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at informationen her medtages i løsningerne, er, så du kan se, præcis hvilken formel der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaverne i sættet er så vidt muligt løst med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk som første linje i din opgaveløsning at skrive en note om, at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat, så censor ved, hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de her i sættet anvendte formler kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre i programmet. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Vi benytter renteformlen:

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 𝑟 + 1)^{𝑛}
= 7000 · ( 1 + 0,033)^{12}

≈ 10334,8

Efter 12 år står der 10335 kr. på kontoen (afrundet til helt tal).

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2006

2

Opgave 2 a)

3 ( 2𝑥 − 1) = 4𝑥 − 9

⇕

6𝑥 − 3 = 4𝑥 − 9

⇕

2𝑥 − 3 = −9

⇕

2𝑥 = −6

⇕

𝑥 = −3

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2006

3

Opgave 3 a)

En lineær model opskrives på formen:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

f(x) betegner antallet af medlemmer i Dansk Tennis Forbund x år efter 1999.

a betegner grafen for funktionens hældningskoefficient. Den fortæller, hvordan funktionen udvikler sig. I dette tilfælde viser a, at antallet af medlemmer falder med 2100 om året efter år 1999.

b betegner funktionens værdi i x = 0, dvs. antallet af medlemmer i år 1999. Der var således 77688

medlemmer i året 1999.

Vi opstiller modellen:

𝑓 ( 𝑥) = −2100 · 𝑥 + 77688

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2006

4

Opgave 4 a)

Vi bestemmer |AH| med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 38°, H = 90°, AB = 17

B A = 38°
B = 52°
H = 90°

BH = 10,46625
AH = 13,39618
AB = 17

Længden af siden AH findes vha. en cosinusrelation:

𝐴𝐻 = 𝐴𝐵 · cos ( 𝐴) = 17 · cos ( 38) = 13,39618

|AH| aflæses fra WordMats trekantsløser:

|AH| er bestemt til 13,40 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi bestemmer arealet af trekant ABC ved:

𝑇 = · | 𝐴𝐵 | · (| 𝐴𝐻 | + | 𝐻𝐶 |) · sin ( 𝐴)

1

2

= · 17 · ( 13,40 + 5) · sin ( 38)

1

2

≈ 96,28945

Arealet af trekant ABC er bestemt til 96,29 (afrundet til to decimaler).

A AH H

AB BH

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2006

5

Opgave 5 a)

Sammenhængen kan beskrives vha. en potensfunktion. Tallene a og b bestemmes derfor vha. potentiel regression:

Vi opstiller en tabel med data og foretager regression:

x | y
4 | 24
25 | 375

Potensregression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 3 · 𝑥^{1,5}

Tallene a og b aflæses fra regressionsligningen:

Tallet a aflæses til 1,5, og tallet b aflæses til 3.

b)

Vi bestemmer x, når y = 11,5:

11,5 = 3 · 𝑥^{1,5}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 2,449351

x er bestemt til 2,45 (afrundet til 2 decimaler).

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2006

6

Opgave 6 a)

Vi bestemmer forholdet mellem indekstallene i år 1994 og 2005:

185,7

100

= 1,857

Vi bestemmer prisen i år 1994 ved:

13

1,857

≈ 7,000539

Prisen for en Kung Fu-is i 1994 er bestemt til 7,0 kr. (afrundet til 1 decimal).

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2006

7

Opgave 7 a)

Vi bestemmer y, når x = 10:

𝑦 = 3,5 · 10 + 955
= 990

Trykket er bestemt til 990 hektopascal.

Vi forklarer betydningen af tallet 3,5:

Da vi arbejder med en lineær funktion, beskriver tallet 3,5 grafen for funktionens hældningskoefficient.

Dvs., at for hver °C temperaturen stiger, så stiger trykket ifølge modellen med 3,5 hektopascal.

Side 8

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2006

8

Opgave 8 a)

Der er tale om en eksponentialfunktion, og vi bestemmer derfor tallene a og b vha. eksponentiel regression.

Vi opstiller en tabel med data og foretager regression:

Årstal | År efter år 1980 | Personer
1980 | 0 | 158
2005 | 25 | 628

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 158 · 1,05675^{𝑥}

Tallene a og b aflæses fra regressionsligningen:

Tallet a er bestemt til 1,057 (afrundet til 3 decimaler), og tallet b er bestemt til 158.

b)

Vi bestemmer x, når y = 2500:

2500 = 158 · 1,05675^{𝑥}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 50,02795

Ifølge modellen vil antallet af danskere over 100 år overstige 2500 ca. 50 år (afrundet til helt tal) efter år

1980, dvs. ca. i år 2030.

c)

Vi bestemmer fordoblingskonstanten ved:

𝑇_{2} =

log ( 2) log ( 𝑎)

=

log ( 2) log ( 1,05675)

≈ 12,55743

Fordoblingskonstanten er bestemt til 12,56 år (afrundet til 2 decimaler).

Vi kommenterer påstanden:

Påstanden stemmer overens med fordoblingskonstanten. Ifølge fordoblingskonstanten vil antallet af mennesker over 100 år i Danmark fordobles i løbet af en periode på 12,56 år. I løbet af en periode på ca. 25 år vil antallet derfor være fordoblet to gange, og det svarer alt i alt til en firedobling af antallet af mennesker over 100 år i Danmark.

Side 9

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2006

9

Opgave 9 a)

Vi aflæser kvartilsættet for Eddie Murray fra bilaget:

Nedre Q1: 20,5

Median: 26,5

Øvre Q3: 29,5

Vi aflæser kvartilsættet for Mark McGwire fra tabellen i dokumentet.

Først opstiller vi data i korrekt rækkefølge: 3, 9, 9, 22, 29, 32, 32, 33, 39, 39, 42, 49, 52, 58, 65, 70

         22+29
Nedre Q1:     = 25,5
           2

       33+39
Median:     = 36
         2

        49+52
Øvre Q3:     = 50,5
          2

b)

Vi indtegner de to boksplot i WordMats skabelon for boksplot:

Mindste og største for Mark McGwire aflæses fra bilaget:

Mindste: 16

Største: 33

Side 10

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2006

10

Vi sammenligner de to boksplot:

Sammenligner vi de to boksplot, står det klart, at Eddie Murray generelt er mere stabil end Mark McGwire, da Eddie Murray alle sæsoner har lavet mellem 16 og 33 homeruns og dermed aldrig har lavet et meget lille antal. Det ses dog tydeligt, at Mark McGwire i over 50 % af sæsonerne har lavet flere homeruns end Eddie Murray og dermed samlet set har lavet et langt større antal homeruns. I 50 % af sæsonerne har Mark McGwire lavet over 33 homeruns, og i sin bedste sæson har han lavet 70 homeruns.

0

Eddie

Mark