HF Matematik C 15. august 2017 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

1

HF Matematik C 15. august 2017

Vejledende besvarelse

2hf172-MAT/C-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 1. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Vi definerer kendte størrelser:

𝐾_{0} ≔ 40000

𝑟 ≔ 0,005 𝑛 ≔ 8

Vi bestemmer beløbet på kontoen efter 8 år, ved at fremskrive start beløbet 8 terminer til renten 0,05 % dvs.:

𝐾 = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

≈ 41628,282

Efter 8 år står der 41628,3 kr. på kontoen (afrundet til 1 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi definerer nye kendte størrelser:

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

2

𝐾_{𝑛} ≔ 44000

𝐾_{0} ≔ 40000

𝑟 ≔ 0,005

Vi bestemmer, hvor mange år der går, før at beløbet kommer op på 44000 kr. ved at løse for n i udtrykket herunder, hvor n > 0:

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

⇕ Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner: 𝑛 > 0
𝑛 = 19,109651

Ifølge modellen går der mindst 19 år, før at beløbet kommer over 44000 kr. (afrundet ned til helt år).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

3

Opgave 2 a)

Vi bestemmer prisen for portoen på et A-brev i 2014 ved:

𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠𝑡𝑎𝑙_{2014} = · 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠𝑡𝑎𝑙_{2010}

𝑝_{2014}
𝑝_{2010}

⇕

163,6 = · 100

𝑝_{2014}

5,50

⇕ Ligningen løses for p_2014 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑝_{2014} = 8,998

Prisen for portoen på et A-brev i år 2014 er bestemt til 9,0 kr. (afrundet til 1 decimal).

Vi bestemmer indekstallet i år 2016 ved:

𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠𝑡𝑎𝑙_{2016} = · 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠𝑡𝑎𝑙_{2010}

𝑝_{2016}
𝑝_{2010}
= · 100

19,00

5,50

≈ 345,45455

Indekstallet for 2016 er bestemt til 345,5 (afrundet til 1 decimal).

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

4

Opgave 3 a)

Sammenhængen for modellen er oplyst til at kunne beskrives eksponentielt, vi bestemmer derfor tallene a og b med eksponentiel regression.

Vi opstiller tabel med data og foretager eksponentiel regression:

Årstal Antal år efter år 1902 Antallet af bisoner i

Yellowstoneparken

1902 0 21

1915 13 250

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 21 · 1,2098952^{𝑥}

Vi aflæser tallene a og b fra regressionsligningen herover:

Tallet a er bestemt til 1,21 (afrunde til 2 decimaler) og tallet b er bestemt til 21.

b)

Vi bestemmer antallet af bisoner i Yellowstoneparken i år 1911 ved at bestemme y, når x = = 9:

𝑦 = 21 · 1,2098952^{9}

≈ 116,66728

Ifølge modellen var der 117 bisoner (afrundet op til hel bison) i år 1911.

c)

Vi definerer tallet a: 𝑎 ≔ 1,2098952

Vi bestemmer fordoblingstiden for antallet af bisoner i Yellowstoneparken i perioden ved:

𝑇_{2} =

log ( 2) log ( 𝑎)

≈ 3,6379235

Fordoblingstiden er bestemt til 3,64 år (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

5

Opgave 4 a)

Vi bestemmer de kumulerede frekvenser og tegner en sumkurve for fordelingen i WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.

Kumulerede frekvenser:

Grupperede observationer

Interval 100

Fra Til

Hyp. Frekvens Kumuleret

0 100 18 18% 18%

100 150 13 13% 31%

150 200 18 18% 49%

200 300 26 26% 75%

300 500 19 19% 94%

500 - 6 6% 100%

De kumulerede frekvenser over fordelingen af den skattepligtige indkomst for alle danske skatteydere i

2016 er givet i tabellen herover.

Sumkurve:

For at tegne sumkurven har vi valgt en øvre grænse for det sidste interval i fordelingen, dette ændrer ikke opgavens resultat.

Sumkurven der beskriver fordelingen af den skattepligtige indkomst for alle danske skatteydere i 2016 er bestemt til sumkurven herover.

b)

Vi bestemmer den nedre kvartil med WordMats skabelon for grupperede observationer. Nedre kvartil er bestemt til 126,9 (målt i tusinde kr.).

0%

25%

50%

75%

100%

Kum. Frek

Skattepligtig indkomst i tusiden kr.

Sumkurve

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

6

Vi giver en forklaring til tallet. Den nedre kvartil fortæller, at 25 % af skatteyderne har en skattepligtig indkomst på under 126,9 (målt i tusinde kr.) i år 2016, og at 75 % af skatteyderne har en skattepligtig indkomst på over 126,9 (målt i tusinde kr.) i år 2016.

Vi bestemmer procentdelen af skatteyderne, der har en skattepligtig indkomst på over 250 tusinde kr., som differensen mellem procentdelen af skatteyderne, der har en skattepligtig indkomst på under 250 tusinde kr. og den samlede andel af skatteyderne dvs. 100 %. Vi bestemmer fraktil-250 tusinde kr. i WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.

Observation Fraktil

250 62%

Vi bestemmer differensen:

%_{250} = 100% − 62%
= 38%

Andelen af skattepligtige med en skattepligtig indkomst på over 250 tusinde kr. er bestemt til 38 %.

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

7

Opgave 5 a)

Udviklingen kan beskrives med en lineær sammenhæng da udgiften til diesel stiger med en fast størrelse for hver kørt km.

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Vi indfører passende variable: y betegner den samlede udgift til ejerafgift og diesel, til x antal kørt km.

x betegner x antal kørt km.

a betegner prisen pr. x antal kørt km, dvs. a er lig 0,43 kr.

b betegner den årlig ejerafgift, dvs. b er lig 6060 kr.

Vi opstiller en model, der beskriver den samlede udgift y til ejerafgift og diesel, hvis man kører x km på et år:

𝑦 = 0,43𝑥 + 6060

Vi bestemmer den samlede udgift pr. år, hvis man kører 15000 km, ved at bestemme y, når x = 15000:

𝑦 = 0,43 · 15000 + 6060
= 12510

Den samlede udgift er bestemt til 12510 kr.

b)

Vi bestemmer, hvor mange kilometer man skal køre, før at dieselbilen er billigst ved at løse uligheden y < y
                                                                                       1

for x, hvor y_{1} betegner den samlede udgift til benzinbilen.

𝑦 < 𝑦_{1}

⇕

0,43𝑥 + 6060 < 0,69𝑥 + 3540

⇕ Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 > 9692,3077

Ifølge modellen skal man mindst køre 9692,3 km på et år, før at dieselbilen er billigst.

Side 8

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

8

Opgave 6 a)

Vi bestemmer længden af siden AC, som differensen mellem længden af trapezens bund og top divideret med 2 dvs.:

𝐴𝐶 =

120 − 94

2

= 13

Længden af siden AC er bestemt til 13.

Vi bestemmer længden af siden BC med WordMats trekantsløser.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 90° , AC = 13 , AB = 54

B A = 76,069736°
B = 13,930264°
C = 90°

BC = 52,411831
AC = 13
AB = 54

Længden af siden BC findes vha. Pythagoras:

𝐵𝐶 = 𝐴𝐵^{2} − 𝐴𝐶^{2}

√
= 54^{2} − 13^{2}

√
= 52,411831

Platformens højde over underlaget er bestemt til 52,4 cm (afrundet til 1 decimal).

b)

Vi bestemmer vinklen som platformens ben danner med vandret, som vinkel A i trekant ABC. Vinkel A bestemmes med WordMats trekantsløser.

Vinkel A findes vha. cosinus:

A AC C

AB B

Side 9

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

9

𝐴 = cos^{−1} ()

𝐴𝐶

𝐴𝐵

= cos^{−1} ()

13

54

= 76,069736°

Vinklen, som platformens ben danner med vandret, er bestemt til 76,1° (afrundet til 1 decimal).

Side 10

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

10

Opgave 7 a)

Vi bestemmer lysstyrken 3,0 meter fra lampen ved at bestemme y, når x = 3,0:

𝑦 = 2000 · 3,0^{−2}

≈ 222,22222

Lysstyrken i en afstand på 3,0 m fra lampen er bestemt til 222,2 lux.

b)

Vi bestemmer afstanden, hvor lysstyrken fra lampen er 100 lux, ved at løse for x i y = 100, hvor x > 0:

2000 · 𝑥^{−2} = 100

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner: 𝑥 > 0
𝑥 = 4,472136

I en afstand på 4,5 m (afrundet til 1 decimal) fra lampen er lysstyrken 100 lux.

c)

Vi definerer tallet a som -2, samt væksten for afstanden til lampen som r_{x}:

𝑎 ≔ −2

𝑟_{𝑥} ≔ 0,30

Vi bestemmer, hvor meget lysstyrken falder med, når afstanden til lampen øges med 30 %, ved at løse for r_{y}

i udtrykket herunder:

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} = −0,40828402

Ifølge modellen falder lysstyrken med 40,8 % (afrundet til 1 decimal), når afstanden øges ned 30 %.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: