HF Matematik C 28. august 2006 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2006

1

HF Matematik C 28. august 2006

Vejledende besvarelse

2HF062-MAC

Nogle af opgaveløsningerne inkluderer en reference til en formel i en grå kasse. Disse kræves ikke i en eksamensbesvarelse og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at informationen her medtages i løsningerne, er, så du kan se, præcis hvilken formel der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaverne i sættet er så vidt muligt løst med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk som første linje i din opgaveløsning at skrive en note om, at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat, så censor ved, hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de her i sættet anvendte formler kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre i programmet. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Trekanterne er ensvinklede, og vi bestemmer derfor længden af siderne vha. af størrelsesforholdet.

𝑘 =

𝐴𝐶

𝐴_{1} 𝐶_{1}
=

7

17,5

= 0,4

Vi bestemmer længden af siden B_{1} C_{1}:

𝐵_{1} 𝐶_{1} =

𝐵𝐶 𝑘

=

4,8

0,4

= 12

Vi bestemmer længden af siden AB:

𝐴𝐵 = 𝑘 · 𝐴_{1} 𝐵_{1}
= 0,4 · 10
= 4

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2006

2

Opgave 2 a)

Sammenhængen kan beskrives vha. en lineær funktion, og vi bestemmer derfor tallene a og b vha. lineær regression:

Vi opstiller en tabel med data og foretager regression:

Længden af slangen (meter) Pris for slangevogn med slange (kr.)

25 418,50

50 539,50

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 4,84𝑥 + 297,5

Vi aflæser tallene a og b fra regressionsligningen:

Tallet a aflæses til 4,84, og tallet b aflæses til 297,5.

b)

Vi giver en fortolkning af tallene:

Tallet a er hældningskoefficienten for funktionens graf og beskriver, hvordan funktionen udvikler sig. I dette tilfælde betyder a, at for hver meter slangen bliver længere, vokser prisen for slangevogn med slange med 4,8 kr. (afrundet til 1 decimal).

Tallet b er funktionens værdi i x = 0. Det svarer til, at prisen for slangevogn med 0 meter slange er 297,5 kr.

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2006

3

Opgave 3 a)

Vi tegner trekanten og bestemmer længden af siden AC med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 52,0°, C = 90°, AB = 13,7

B A = 52°
B = 38°
C = 90°

BC = 10,79575
AC = 8,434562
AB = 13,7

Længden af siden AC findes vha. en cosinusrelation:

𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 · cos ( 𝐴) = 13,7 · cos ( 52) = 8,434562

Længden af siden AC aflæses fra WordMats trekantsløser.

Længden af siden AC er bestemt til 8,43.

A AC C

AB B

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2006

4

Opgave 4 a)

Der er tale om en eksponentiel funktion, da udviklingen sker med en fast procentsats om året.

𝑓 ( 𝑥) = 𝑏 · 𝑎^{𝑥}

f(x) beskriver befolkningstallet i Sudan i mio. mennesker x antal år efter 1950.

b beskriver funktionens værdi i x = 0. Dvs., at der i år 1950 var 9,2 mio. mennesker i Sudan.

a er fremskrivningsfaktoren. Den beskriver, hvordan funktionen udvikler sig. Vi bestemmer fremskrivningsfaktoren med vækstraten r:

𝑎 = 𝑟 + 1
= 0,0258 + 1
= 1,0258

Vi opstiller modellen:

𝑓 ( 𝑥) = 9,2 · 1,0258^{𝑥}

b)

Vi bestemmer x, når y = 24:

24 = 9,2 · 1,0258^{𝑥}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 37,64213

Ifølge modellen vil befolkningstallet i Sudan nå 24 mio. ca. 37,6 år (afrundet til 1 decimal) efter år 1950, dvs.

ca. i år 1987.

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2006

5

Opgave 5 a)

Vi aflæser medianen fra bilaget:

Medianen aflæses til ca. 43,5 år.

Medianen beskriver, at 50 % af deltagerne på en diplomlederuddannelse er under 43,5 år gamle. Samtidig beskriver medianen, at 50 % af deltagerne er over 43,5 år gamle.

b)

Vi aflæser andelen ud fra intervallerne på bilaget:

Vi kan konkludere, at der er flest deltagere i alderen 40-45 år.

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2006

6

Opgave 6 a)

År 1996 2000

Antal hf-kursister 12901 11079

Indekstal 100

11079

12901

· 100 = 85,88 (𝐼)

b)

Fra 1996 til 2000 er antallet af hf-kursister faldet procentvist med:

( − 1) · 100 % ≈ −14,12 %(𝐼𝐼)

85,88

100

Hf-kursister er i perioden faldet med 14,12 % (afrundet til 2 decimaler).

Fra 1996 til 2000 er antallet af gymnasieelever faldet procentvis med:

( − 1) · 100 % ≈ −12,20 %(𝐼𝐼)

100

113,9

Vi kan konkludere, at antallet af hf-kursister er faldet mest i perioden.

(I)

𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠𝑡𝑎𝑙 =

𝑣æ𝑟𝑑𝑖 𝑖 𝑎𝑘𝑡𝑢𝑒𝑙𝑡 å𝑟 𝑣æ𝑟𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑠𝑖𝑠å𝑟

(II)

% = ( − 1) · 100 %

𝑠𝑙𝑢𝑡𝑣æ𝑟𝑑𝑖 𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡𝑣æ𝑟𝑑𝑖

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2006

7

Opgave 7 a)

Vi bestemmer T, når x = 295:

𝑇 = 0,00037 · 295^{1,5} = 1,874713

Calypsos omløbstid er bestemt til 1,87 døgn (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi definerer 𝑟_{𝑥} som den procentvis større afstand til Helene og tallet 1,5 som a:

𝑎 ≔ 1,5

𝑟_{𝑥} ≔ 0,28

Vi bestemmer den relativet større omløbstid ved:

𝑟_{𝑦} + 1 = ( 𝑟_{𝑥} + 1)^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} = 0,4481547

Ifølge modellen er omløbstiden for Helene 44,82 % større end for Calypso.

Side 8

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2006

8

Opgave 8 a)

Trappens hældningstal bestemmes med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: = 90°, 330 mm = 330, 142mm = 142

= 90°
= 66,71764°
v = 23,28236°

= 359,2548
330 mm = 330
142mm = 142

Vinkel v findes vha. en tangensrelation:

𝑣 = tan^{−1} ( 𝑚𝑚) = tan^{−1} () = 23,28236°

142𝑚𝑚 142

330 330

Trappens hældningsvinkel aflæses fra WordMats trekantsløser.

Trappens hældningsvinkel er v = 23,28° (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi opstiller to ligninger i overensstemmelse med ”trappereglen” og beregner:

Nedre grænse:

330 + 2𝑥 = 610

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 140

Øvre grænse:

330 + 2𝑥 = 630

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 150

Hvis trappereglen skal overholdes, skal trinhøjden overholde grænserne 140 𝑚𝑚 ≤ 𝑡𝑟𝑖𝑛ℎø𝑗𝑑𝑒 ≤ 150 𝑚𝑚.

330 mm v

142mm