HF Matematik C 29. august 2008 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2008

1

HF Matematik C 29. august 2008

Vejledende besvarelse

2HF082-MAC

Nogle af opgaveløsningerne inkluderer en reference til en formel i en grå kasse. Disse kræves ikke i en eksamensbesvarelse og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at informationen her medtages i løsningerne, er, så du kan se, præcis hvilken formel der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaverne i sættet er så vidt muligt løst med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk som første linje i din opgaveløsning at skrive en note om, at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat, så censor ved, hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de her i sættet anvendte formler kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre i programmet. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Vi benytter renteformlen:

𝐾_{𝑛} =𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛} =8700 · ( 1 + 0,08)^{7}

≈14910,27

Efter 7 år står der 14910,3 kr. (afrundet til 1 decimal) på kontoen.

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2008

2

Opgave 2 a)

Vi bestemmer tallet a ved:

𝑎=

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}
=

24500 − 17800
3 − 0

≈2233,333

Tallet a er bestemt til 2233,33 (afrundet til 2 decimaler).

Vi forklarer betydningen af tallet a:

Tallet a er hældningskoefficienten for funktionens graf og er aflæst til 2233,33. Den beskriver, hvordan funktionen udvikler sig. Ifølge modellen vokser antallet af spilleautomater med 2233,33 for hvert år i perioden b)

Vi opstiller modellen, hvor b = 17800:

𝑦=2233,33· 𝑥+ 17800

Vi bestemmer y, når x = = 6:

𝑦=2233,33 · 6 + 17800
=31199,98

Hvis udviklingen fortsætter, vil antallet af spilleautomater i år 2009 være ca. 32000 (afrundet til helt antal).

Vi bestemmer x, når y > 40000:

2233,33 · 𝑥+ 17800>40000

⇕ Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥>9,940314

Hvis udviklingen fortsætter, vil antallet af spilleautomater overstige 40000 ca. 10 år (afrundet til helt år) efter år 2003, dvs. ca. i år 2013.

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2008

3

Opgave 3 a)

Vi bestemmer vinkel A med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: H = 90°, BH = 9,5, AB = 16,2

B A = 35,90335°
B = 54,09665°
H = 90°

AB BH BH = 9,5
AH = 13,12212
AB = 16,2

Vinkel A findes vha. en sinusrelation:

𝐴=sin^{−1} ()=sin^{−1} ()=35,90335°

𝐵𝐻 9,5

𝐴𝐵 16,2

Vinkel A aflæses fra WordMats trekantsløser:

Vinkel A er bestemt til 35,90°.

b)

Vi bestemmer |AC| med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 35,90°, C = 21°, AB = 16,2

B A = 35,9°
B = 123,1°
C = 21°

BC = 26,50692
AC = 37,86902
AB = 16,2

Længden af siderne BC og AC findes vha. sinusrelationer:

𝐴𝐶=𝐴𝐵· =16,2 · =37,86902

sin ( 𝐵) sin ( 123,1°) sin ( 𝐶) sin ( 21°)

|AC| aflæses fra Wordmats trekantsløser.

A AH H

A AC C

AB BC

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2008

4

|AC| er bestemt til 37,87.

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2008

5

Opgave 4 a)

Sammenhængen kan beskrives med en potensfunktion, og vi bestemmer derfor tallene ved potentiel regression.

Vi opstiller en tabel med data og foretager regression:

Bringemål (cm) | Vægt (kg)
69 | 30
160 | 314

Potensregression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦=0,0002203917 · 𝑥^{2,791924}

Tallene a og b aflæses fra regressionsligningen:

Tallet a er bestemt til 2,79 (afrundet til 2 decimaler), og tallet b er bestemt til 0,00022 (afrundet til 5 decimaler).

b)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔0,0002203917 · 𝑥^{2,791924}

Vi bestemmer f(130): 𝑓 ( 130) ≈175,8589

En kvie med et bringemål på 130 cm har ifølge modellen en vægt på 175,86 kg (afrundet til 2 decimaler).

c)

Vi definerer a = 2,79 og 𝑟_{𝑥} som den procentvise vækst af kviens bringemål:

𝑟_{𝑥} ≔0,10

𝑎≔2,79

Vi bestemmer den relative vægtforøgelse ved:

𝑟_{𝑦} + 1= ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} =0,3046247

Kviens vægt er steget med 30,46 % (afrundet til 2 decimaler).

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2008

6

Opgave 5 a)

Vi beregner de statistiske deskriptorer vha. WordMats skabelon for ugrupperede observationer. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Mindste: 2

Nedre kvartil Q1: 3

Median: 4

Øvre kvartil Q3: 6

Største: 14

Middeltal: 4,6

Heraf fremgår det, af middeltallet er 4,6, og medianen er 4.

b)

Vi indtegner boksplottet:

Sammenligner vi de to boksplot, står det klart, at ordlængderne i introen til Harry Potter-bogen er kortere end i introen til hf-bekendtgørelsen. Hele 75 % af 25 første ord i bogen har en ordlængde, der er kortere end eller lig med 6 bogstaver, hvorimod det kun gælder i 50 % af tilfældene for hf-bekendtgørelsen. Det kan desuden konkluderes, at der forekommer langt længere ord i introen til hf-bekendtgørelsen (op til 20 bogstaver) end i introen til bogen (op til 14 bogstaver). Dermed er spredningen i ordlængden også meget større i introen til hf-bekendtgørelsen.

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2008

7

Side 8

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2008

8

Opgave 6 a)

Udviklingen kan beskrives med en eksponentiel funktion:

𝑦=𝑏 · 𝑎^{𝑥}

Tallet 1,023 betegner konstanten a og er fremskrivningsfaktoren, der fortæller noget om, hvordan funktionen udvikler sig. Med fremskrivningsfaktoren a kan vi beregne vækstraten r:

𝑟=𝑎− 1
=1,023 − 1
≈0,023 · 100 %
=2,3 %

Befolkningstallet i Angola stiger ifølge modellen med 2,3 % om året efter år 2000.

Tallet 14 betegner konstanten b og er lig funktionsværdien i x = 0. Dvs. at befolkningstallet i Angola i år

2000 ifølge modellen var 14 millioner.

Side 9

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2008

9

Opgave 7 a)

Vi bestemmer tallet k ved at løse:

7,0=𝑘 ·23,35^{2} · 2,30

⇕ Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑘=0,005582085

Tallet k er bestemt til 0,0056 (afrundet til 4 decimaler).

Side 10

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2008

10

Opgave 8 a)

Vi bestemmer forbruget i år 2003 ved:

7,3 · 1,14=8,322

Forbruget i år 2003 er bestemt til 8,32 mia. kr. (afrundet til 2 decimaler).

Vi bestemmer indekstallet for år 2006 ved:

𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠𝑡𝑎𝑙_{2006} = · 100≈128,7671

9,4

7,3

Indekstallet i år 2006 er bestemt til 128,77 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi beregner den gennemsnitlige procentmæssige udvikling pr. år ved:

    𝑛
𝑟=  √   − 1

𝑘

𝑘_{0}

= √ − 1

9,4

7,3

6

=0,04303968 · 100 %
=4,303968 %

I perioden er forbruget af vin og spiritus i gennemsnit steget med 4,30 % om året (afrundet til 2 decimaler).