HF Matematik C 29. august 2013

Side 1

Skriftlig matematik HF C 2hf132-MAT/C-

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf C fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 1 a)

Beløbet på kontoen efter 5 år bestemmes vha. kapitalfremskrivningsformlen: jf. formel 4

                          𝑝
               𝑛
𝐾  = 𝐾 · ( 1 + 𝑟 ) , hvor 𝑟 =
 𝑛    0
                          100

De kendte værdier indsættes og WordMat (CAS - Beregn) benyttes:

𝐾_{5} = 4000 · (1 +) = 4614,63

2,9^{5}

100

Karl har således 4614,63 𝑘𝑟. på kontoen efter 5 år.

b)

Den årlige procentvise rente bestemmes ved at indsætte de kendte værdier i formlen for kapitalfremskrivning og løse ligningen i 𝑟, som derefter omregnes til procent. jf. formel 4 WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

kendte værdier indsættes:

4705 = 4000 · ( 1 + 𝑟)^{5}

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟 = 0,03299906

Hvilket svarer til 3,3 % når der afrundes til én decimal.

Den årlige procentvise rente for denne bank er således på: 3,3 %

Side 2

Skriftlig matematik HF C 2hf132-MAT/C-

Opgave 2 a)

Da antallet af A-kassemedlemmer faldt med det samme antal personer om året i perioden,

kan udviklingen beskrives med en lineær sammenhæng, hvortil modellen er: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.

Indsættes de kendte værdier, fremkommer følgende model for antallet af A-kassemedlemmer i periode :

𝑚 ( 𝑥) = −439 ⋅ 𝑥 + 28262

hvor 𝑥 er antal år efter 2000 og 𝑚(𝑥) er antal A-kassemedlemmer, som en funktion af 𝑥.

Koefficienten til 𝑥 er negativ, da medlemstallet er oplyst som have været faldende.

b)

Sammenhængen defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑚 ( 𝑥) = −439 ⋅ 𝑥 + 28262

Antallet af A-kassemedlemmer i år 2014 (14 år efter år 2000) kan bestemmes som 𝑚(14).

Hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn):

𝑚 ( 14) = 22116

Ifølge modellen vil medlemstallet i år 2014 således være faldet til: 22116 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 3 a)

Tabellen oprettes i MS Excel og de kumulerede frekvenser bestemmes som summen af de forrige frekvenser samt den aktuelle frekvens. Tabellen kopieres herefter over i MS Word.

Størrelsen (m^{2}) 25-50 50-75 75-100 100-125 125-150 150-175 175-

Frekvens (%) 6 20 23 17 14 9 11

Kumuleret frekvens (%) 6 26 49 66 80 89 100

Side 3

Skriftlig matematik HF C 2hf132-MAT/C-

Sumkurven kan tegnes med WordMat (Statistik - Sumkurve).

Intervalendepunkterne og den kumulerede frekvens indtastes i regnearket.

Sumkurve 1 Sumkurve 2 Sumkurve 3

Kvartilsæt kurve 1 Kurve 2 Kurve 3 interval interval interval endepunkt Kum. Frek endepunkt Kum. Frek endepunkt Kum. Frek vis? x

25 0% 0% 0% Nedre 73,75 0 0

50 6% Median 101,47 0 0

75 26% Øvre 141,07 0 0

100 49% Fraktiler

125 | 66%
150 | 80%
175 | 89%

100%

Størrelsen på de 25 % største af boligerne kan bestemmes vha. den øvre kvartil i kvartilsættet.

Af resultatet herover fremgår det således, at de 25 % største af boligerne er på 141 𝑚^{2} eller derover.

Resultatet er afrundet til et helt tal.

0%

25%

50%

75%

100%

5 165 185

Side 4

Skriftlig matematik HF C 2hf132-MAT/C-

Opgave 4 a)

Formlen til beregning af terningens overfladeareal defineres som en funktion af terningens sidelængde 𝑥 i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑓 ( 𝑥) = 6 ⋅ 𝑥^{2}

Overfladearealet af en terning med sidelængden 1,8 cm kan bestemmes som 𝑓(1,8).

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑓 ( 1,8) = 19,44

En terning med en sidelængde på 1,8 cm har således et overfladeareal på 19,44 𝑐𝑚^{2}

Sidelængden på en terning med overfladearealet 13,5 cm^{2} kan bestemmes ved at løse
ligningen 𝑓 ( 𝑥) = 13,5. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.

𝑓 ( 𝑥) = 13,5

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 ≈ −1,5 ∨ 𝑥 ≈ 1,5

Den negative løsning forkastes, da en længde ikke angives som værende negativ.

En terning med et overfladeareal på 13,5 cm^{2} har således en sidelængde på 1,5 𝑐𝑚

b)

For potensfunktioner gælder det: (jf. formel 3 og 48)

                         𝑝%
              𝑎
1 + 𝑟 = ( 1 + 𝑟 ) , hvor 𝑟 =
    𝑦        𝑥
                         100%

Hvilket betyder, at når tallet 𝑥 ganges med tallet 1 + 𝑟 så ganges 𝑓(𝑥) med tallet 1 + 𝑟
                                           𝑥                          𝑦

     16%
𝑟 =      = 0,16 samt 𝑎 = 2 indsættes i den ovenstående ligning, og 𝑟 bestemmes.
 𝑥                                                        𝑦
    100%

Heraf udledes, hvor mange procent overfladearealet af den store terning er større end den lille ternings.

WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes:

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 0,16)^{2}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} = 0,3456

hvilket svarer til 35 %, når der afrundes til et helt tal.

Dette betyder, at overfladearealet af den store terning er 35 % større end den lille ternings overfladeareal, når sidelængden af den store terning er 16 % større end sidelængden af den lille terning.

Side 5

Skriftlig matematik HF C 2hf132-MAT/C-

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 5 a)

Trekantløseren i WordMat (CAS - Diverse - Trekant) benyttes til bestemmelse af ∠𝐵 og ∠𝐶

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 20,0° , BC = 4,3 , AC = 7,5

A = 20°
B = 36,62298°
C = 123,377°

BC = 4,3
AC = 7,5
AB = 10,49878

WordMat finder to mulige trekanter, der opfylder de givne input, men da ∠𝐵 oplyses værende spids, kan den ene mulighed let sorteres fra. Ovenstående er den korrekte trekant jf. de givne oplysninger.

Vha. ovenstående beregning er vinklerne B og C bestemt til (afrundet til én decimal):

∠𝐵 = 36,6°

∠𝐶 = 123,4°

b)

Af beregningerne i a) fremgår det desuden, at | 𝐴𝐵 | = 10,5 (afrundet til én decimal).
Derved kan højden ℎ_{𝑏} fra 𝐵 på siden 𝐴𝐶 bestemmes jf. formel 13

ℎ_{𝑏} = | 𝐴𝐵 | ⋅ sin (𝐴)

Kendte værdier indsættes og ℎ_{𝑏} bestemmes. WordMat (CAS - Beregn) benyttes:

ℎ_{𝑏} = 10,5 ⋅ sin ( 20,0) ≈ 3,591212

Arealet af trekant 𝐴𝐵𝐶 kan nu bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn). ℎ_{𝑏} er afrundet til én decimal.

jf. formel 16

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = ⋅ | 𝐴𝐶 | ⋅ ℎ_{𝑏} = ⋅ 7,5 ⋅ 3,6 ≈ 13,5

1 1

2 2

Arealet af trekant 𝐴𝐵𝐶 er således bestemt til: 𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = 13,5

A AC C

B

BC

AB

Side 6

Skriftlig matematik HF C 2hf132-MAT/C-

c)

Længden af højden ℎ_{𝑐} fra 𝐶 på siden 𝐴𝐵 kan bestemmes vha. formlen for trekantens areal: jf. formel 16

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = ⋅ ℎ_{𝑐} ⋅ |𝐴𝐵|

1

2 kendte værdier indsættes og WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes:

13,5 = ⋅ ℎ_{𝑐} ⋅ 10,5

1

2

⇕ Ligningen løses for h_c vha. CAS-værktøjet WordMat.

ℎ_{𝑐} = 2,571429

Højden ℎ_{𝑐} fra 𝐶 på siden 𝐴𝐵 er således bestemt til: ℎ_{𝑐} = 2,6

Resultatet er afrundet til en enkelt decimal.

Opgave 6

Den angivne sammenhæng 𝑦 = 𝑏 ⋅ 𝑎^{𝑥} er eksponentiel.

Tabellen oprettes direkte i MS Word og der foretages en eksponentiel regression over tabellens data.

Herved bestemmes værdierne for 𝑎 og 𝑏.

WordMat (Statistik/sands. - Regression - Eksponentiel) benyttes.

Antal uger, slankemidlet er benyttet 0 4

A’s vægt (kg) 120 108

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 120 · 0,9740037^{𝑥}

Værdierne for tallene 𝑎 og 𝑏 er således bestemt (værdien for 𝑎 er afrundet til tre decimaler):

𝑎 = 0,974

𝑏 = 120

b)

For at bestemme antal uger, før person 𝐵^{′𝑠} vægt er nede på 80 kg, indsættes 𝑦 = 80 i 𝐵^{′𝑠} ligning,

som derefter løses mht. 𝑥. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.

80 = 89 ⋅ 0,973^{𝑥}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 3,894961

𝐵^{′𝑠} vægt kommer således ned på 80 kg i slutningen af den fjerde uge, slankemidlet benyttes.

Side 7

Skriftlig matematik HF C 2hf132-MAT/C-

c)

Af producentens oplysning om et gennemsnitligt vægttab på 2,7 % pr. uge bestemmes

                                      𝑝%
fremskrivningsfaktoren 𝑎 = 1 + 𝑟, hvor 𝑟 = indsættes som negativ, da der er tale om en
                    𝑝
                                     100%

eksponentiel aftagende udvikling. WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

jf. formel 3 og 39

𝑎_{𝑝} = 1 − = 1 − ≈ 0,973

𝑝% 2,7

100% 100

Fremskrivningsfaktoren 𝑎 for person 𝐴 er bestemt i a) til: 𝑎 = 0,974
                     𝐴                                    𝐴

Fremskrivningsfaktoren 𝑎 for person 𝐴 fremgår af opgaveteksten: 𝑎 = 0,973
                     𝐵                                    𝐵

Ved sammenligning af fremskrivningsfaktor for person 𝐴 og 𝐵 samt for producentens udsagn, ses at disse kan betragtes som identiske, dog med en lille afvigelse på tredje decimal for 𝐴. Herved konkluderes, at producentens oplysning om forventet vægttab stemmer overens med de to personers vægttab.

Opgave 7 a)

WordMat (Graftegning - Statistik - Grupperede observationer) benyttes til beregningerne.

Tabellens intervaller og hyppigheden af de grupperede observationerne aflæses og noteres i tabellen.

Den fremkomne tabel (MS Excel) kopieres over i MS Word.

Grupperede observationer Deskriptorer

Interval 154 Kvartilsæt

Fra Til Mindste 10

Hyp. Frekvens Kumuleret

10 20 5 3% 3% Nedre 35,36

20 30 11 7% 10% Median 44,04

30 40 42 27% 38% Øvre 53,09

40 50 47 31% 68% Største 80

50 60 34 22% 90%

Observation Fraktil

60 70 8 5% 95%

70 80 7 5% 100%

Middeltal

44,48

Spredning

12,98

I ovenstående er hyppigheden for de givne intervaller anført (med rød skriftfarve).

Middeltallet for de 154 patienter kan aflæses af resultaterne (markeret med gult) til: 𝑥̅ = 44 å𝑟

Resultatet er afrundet til et helt tal.