HF Matematik C 31. maj 2016 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

1

HF Matematik C

31. maj 2016

Vejledende besvarelse

2hf161-MAT/C-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 1. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Beløbet kan fremskrives vha. kapitalfremskrivningsformlen.

Vi definerer startkapitalen:

𝐾_{0} ≔ 50000

Vi definerer den årlige rente: 𝑟 ≔ 0,04

Efter 12 år får vi så:

𝐾 = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{12} ≈ 80051,61

Efter 12 år står der 80.051,61 kr. på kontoen.

b)

Der er tale om en eksponentiel funktion, så fordoblingstiden kan bestemmes som:

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

2

𝑇 =

1

2 ln ( 2) ln ( 𝑎)

=

ln ( 2)

ln ( 1 + 𝑟)

≈ 17,67299

Vi konkluderer, at der skal gå ca. 17,7 år før beløbet er fordoblet. Hvis renten tilskrives årligt, vil beløbet først være (mere end) fordoblet efter 18 år.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

3

Opgave 2 a)

Vi udfylder en tabel:

Løbetid (minutter) 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55

Frekvens (%) 18 26 36 14 6

Middeltallet for løbetiderne bestemmes ved at antage, at middelværdien i hvert enkelt interval er lig med intervallets midtpunkt. Middelværdien er så en sum af de intervalmidtpunkterne ganget med intervallernes frekvenser:

𝜇 = 32,5 · 0,18 + 37,5 · 0,26 + 42,5 · 0,36 + 47,5 · 0,14 + 52,5 · 0,06

≈ 40,7

Middeltallet for løbetiderne er 40,7 minutter.

b)

Vi aflæser den øvre kvartil af sumkurven som den løbetid, der hører til en kumuleret frekvens på 75%. Vi ser at løbetiden er ca. 42 plus en tredjedel (i minutter). Altså ca. 42 minutter og 20 sekunder.

Det vil sige, at de 25% langsomste løbere alle tog længere tid end 42 minutter og 20 sekunder om at gennemføre løbet.

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

4

Opgave 3 a)

Vi lader 𝑖 angive indekstal og 𝑔 angive grundløn kr. Vi definerer kendte størrelser:

𝑔_{2005} ≔ 30000

𝑔_{2010} ≔ 36780

𝑖_{2005} ≔ 100

𝑖_{2015} ≔ 136,2

Vi løser så:

𝑔_{2005} 𝑔_{2010}
𝑖_{2005} 𝑖_{2010}

=

⇕ Ligningen løses for i_2010 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑖_{2010} = 122,6

Vi løser også:

𝑔_{2005} 𝑔_{2015}
𝑖_{2005} 𝑖_{2015}

=

⇕ Ligningen løses for g_2015 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑔_{2015} = 40860

Vi konkluderer, at indekstallet for 2010 er 122,6, og grundlønnen for 2015 er 40.860 kr.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

5

Opgave 4 a)

Vi sætter 𝑦 = 𝑓(𝑥) og definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 0,68 · 𝑥^{3}

En diameter på 12 cm svarer til 𝑥 = 12. Vi bestemmer så:

𝑓 ( 12) ≈ 1175,04

Det vil sige, at elefanten vejer ca. 1175 kg, hvis dens ekskrement har en diameter på 12 cm.

b)

Vi bestemmer den relative afvigelse af 𝑓(1,25𝑥) fra 𝑓(𝑥):

𝐴𝑓𝑣. =

𝑓 ( 1,25𝑥) − 𝑓 ( 𝑥)

𝑓 ( 𝑥)

≈ 0,953125

= 95,3%

Elefanten med ekskrementdiameteren 1,25𝑥 vejer altså 95,3% mere end elefanten med ekskrementdiameteren 𝑥. Safari-guiden har altså ikke ret ifølge modellen.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

6

Opgave 5 a)

Da prisen vokser med en konstant størrelse, når 𝑥 vokser med 1, kan vi anvende en lineær model på formen:

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Hvor: 𝑦 angiver den samlede pris i kr.

𝑥 angiver tæppets areal i 𝑚^{2}

𝑎 er hældningskoefficienten og kan tolkes som 𝑦-tilvæksten, når 𝑥 vokser med 1. Dvs. 𝑎 = 160

𝑏 angiver 𝑦-værdien for 𝑥 = 0. Dvs. 𝑏 = 200

Vi har nu en formel:

𝑦 = 160𝑥 + 200

b)

Vi sætter 𝑦 = 𝑓(𝑥) og definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 160𝑥 + 200

En pris på 2600 kr. svarer til 𝑦 = 2600. Vi løser så:

𝑓 ( 𝑥) = 2600

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 15

Man kan få 15 m^{2} tæppe leveret for 2600 kr.

c)

Vi sætter 𝑦 = 𝑔(𝑥) for det andet firma og definerer den nye funktion:

𝑔 ( 𝑥) ≔ 150𝑥 + 380

Når 𝐵 er billigere end 𝐴, vil der gælde, at 𝑔

( 𝑥

)

< 𝑓(𝑥). Vi løser uligheden: 𝑔 ( 𝑥) < 𝑓(𝑥)

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

7

⇕ Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 > 18

Man skal altså købe mere end 18 m^{2} tæppe, for at firma 𝐵 er det billigste.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 8

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

8

Opgave 6 a)

Vi har kun to datapunkter, så det giver dårligt mening at laver regression, da vi kan bestemme en funktion, som passer perfekt. Vi opstiller to ligninger med to ubekendte:

4,3 = 𝑏 · 𝑎^{0}

7,5 = 𝑏 · 𝑎^{7}

⇕ Ligningssystemet løses for b,a vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑏 = 4,3 ∧ 𝑎 = 1,082713

Vi konkluderer, at 𝑎 = 1,083 og 𝑏 = 4,3.

b)

VI sætter 𝑦 = 𝑓(𝑥) og definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 4,3 · 1,082713^{𝑥}

Når medicinudgifterne når 13,2 mia., er 𝑓 ( 𝑥) = 13,2. Vi løser ligningen:

𝑓 ( 𝑥) = 13,2

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 14,11354

Hvilket svarer til år 2007 + 14,11354 ≈ 2021,114

Funktionen er voksende og egentlig kun defineret for heltallige værdier af 𝑥.

Udgifterne til medicin overstiger således 13,2 mia. kr. i år 2022.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

9

Opgave 7 a)

Hypotenusens længde kan bestemmes vha. Pythagoras:

𝐴𝐶^{2} = 𝐴𝐵^{2} + 𝐵𝐶^{2}

⇕

𝐴𝐶 = 𝐴𝐵^{2} + 𝐵𝐶^{2}

√
= 8 + 8^{2}

√^{2}

≈ 11,31371

Hypotenusen har en længde på ca. 11,31 cm.

Vinkel 𝐶 i trekant 𝐴𝐵𝐶 kan bestemmes vha. tangens:

tan ( 𝐶) =

8

8

⇕ Ligningen løses for C vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐶 = 45

Vinkel C i trekant ABC er 45°.

b)

Vinkel 𝐶 i trekant ABC og trekant CDE er begge 45°. Vinkel 𝐶 i hele femkanten er lig med en sum af vinkel 𝐶 i hver af de tre deltrekanter, så:

120 = 45 + 45 + 𝐶_{𝐴𝐶𝐸}

⇕ Ligningen løses for C_ACE vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐶_{𝐴𝐶𝐸} = 30

Vinkel 𝐶 i trekant 𝐴𝐶𝐸 er 30°.

Længden af siden 𝐶𝐸 er lig med længden af siden 𝐴𝐶.

WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 30°, CE = 11,31371, AC = 11,31371

Side 10

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

10

C A = 75°
C = 30°
E = 75°

CE = 11,31371
AE = 5,856407
AC = 11,31371

Længden af siden AE findes vha. en cosinusrelation

𝐴𝐸 = √ 𝐶𝐸^{2} + 𝐴𝐶^{2} − 2 · 𝐶𝐸 · 𝐴𝐶 · cos ( 𝐶)
= √ 11,31371^{2} + 11,31371^{2} − 2 · 11,31371 · 11,31371 · cos ( 30°)
= 5,856407

Længden af siden 𝐴𝐸 er ca. 5,86 cm.

c)

Arealet af trekant ABC og trekant CDE er tilsammen lig med arealet af et kvadrat med sidelængden 8 𝑐𝑚.

Dertil lægges arealet af trekant ACE, som kan bestemmes som:

𝑇_{𝐴𝐶𝐸} = · 𝐴𝐶 · 𝐶𝐸 · sin (𝐶)

1

2

Det samlede areal bliver så:

𝐴_{𝑓𝑙𝑖𝑠𝑒} = 8 · 8 + · 11,31371 · 11,31371 · sin ( 30)

1

2

≈ 96,00001

Cairoflisens areal er 96 𝑐𝑚^{2}.

A AE E

AC CE