HF Matematik C 29. august 2014 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

1

HF Matematik C

29. august 2014

Vejledende besvarelse

2hf142-MAT-C-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 1. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Kendte størrelser defineres, hvorefter slutkapitalen 𝐾 bestemmes vha. kapitalfremskrivningsformlen:
                                           𝑛

Startkapital: 𝐾 ≔ 12000
            0

Årlig rente: 𝑟 ≔ 0,0175

Antal terminer: 𝑛 ≔ 6

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

≈ 13316,43

Efter 6 år star der således 13.316,43 kr. på kontoen.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 2 a)

Vi anvender tabellens oplysninger til at opstille to ligninger med to ubekendte:

17 = 𝑎 · 2 + 𝑏

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

2

23 = 𝑎 · 6+ 𝑏

⇕ Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑎 = 1,5 ∧ 𝑏 = 14

Vi kan altså konkludere, at:

𝑎 = 1,5

𝑏 = 14

b)

𝑎 angiver 𝑦-tilvæksten, når 𝑥 vokser med 1. Det vil sige, at én kugle har et rumfang på 1,5 𝑐𝑚^{3}.
𝑏 angiver 𝑦-værdien for 𝑥 = 0. Det vil sige, at vandets rumfang er 14 𝑐𝑚^{3}

Sammenhængen kan beskrives ved:

𝑦 = 1,5𝑥 + 14

Vi sætter 𝑦 = 20 og løser ligningen:

20 = 1,5𝑥 + 14

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 4

                                                        3
Der er således 4 kugler i måleglasset, når rumfanget aflæses til 20 𝑐𝑚 .

Opgave 3 a)

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 35,7°, AC = 10, AB = 3,3

B A = 35,7°
B = 129,5613°
C = 14,73871°

BC = 7,56918
AC = 10
AB = 3,3

A AC C

AB BC

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

3

Længden af siden BC findes vha. en cosinusrelation

𝐵𝐶 = √ 𝐴𝐶^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 2 · 𝐴𝐶 · 𝐴𝐵 · cos ( 𝐴)
= √ 10^{2} + 3,3^{2} − 2 · 10 · 3,3 · cos ( 35,7°)
= 7,56918

Det vil sige, at siden BC har længden 7,57.

b)

WordMats trekantsløser anvendes med input: D = 90°, AC = 10, DC = 6,3

A D = 90°
A = 39,05012°
C = 50,94988°

AC = 10
DC = 6,3
DA = 7,765951

Længden af siden DA findes vha. Pythagoras

𝐷𝐴 = 𝐴𝐶^{2} − 𝐷𝐶^{2}

√
= √ 10^{2} − 6,3^{2}
= 7,765951

Vinkel C findes vha. cosinus

𝐶 = cos^{−1} ()

𝐷𝐶

𝐴𝐶

= cos^{−1} ()

6,3

10

= 50,94988°

Vinkel A findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐴 = 180° − 𝐷 − 𝐶
= 180° − 90° − 50,94988°
= 39,05012°

D DC C

DA AC

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

4 c)

Firkanten kan opdeles i trekant ABC og trekant ABD

Arealerne af disse trekanter kan bestemmes hver især:

Vi benytter:

𝑇 = · 𝑎· 𝑏 · sin (𝐶)

1

2

Det vil sige:

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = · | 𝐴𝐵 | · | 𝐴𝐶 | · sin (𝐴)

1

2

= · 3,3 · 10,0 · sin ( 35,7)

1

2

≈ 9,62843

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} defineres:

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} ≔ 9,62843

Vi benytter nu:

𝑇 = · ℎ · 𝑔

1

2

Det vil sige:

𝑇_{𝐴𝐶𝐷} = · | 𝐴𝐷 | · | 𝐷𝐶 |

1

2

= · 7,77 · 6,3

1

2

≈ 24,4755

𝑇_{𝐴𝐶𝐷} defineres:

𝑇_{𝐴𝐶𝐷} ≔ 24,4755

Firkantens areal bestemmes som:

𝐴_{𝑓𝑖𝑟𝑘𝑎𝑛𝑡} = 𝑇_{𝐴𝐵𝐶} + 𝑇_{𝐴𝐶𝐷}
= 34,10393

Opgave 4 a)

Vi definerer en funktion som 𝑓 ( 𝑥) = 𝑦. Dvs.:

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

5

𝑓 ( 𝑥) ≔ 146,7 · 𝑥^{0,67}

Vi bestemmer: 𝑓 ( 1,23) ≈ 168,5259

Byens areal er således 168,5 𝑘𝑚^{2} ifølge modellen.

b)

Den relative forskel kan bestemmes som:

𝑅𝑒𝑙.𝑓𝑜𝑟𝑠𝑘𝑒𝑙 =

𝑓 ( 2𝑥) − 𝑓 ( 𝑥)

𝑓 ( 𝑥)

≈ 0,591073

Arealet af en storby vokser således med 59%, når indbyggertallet fordobles.

Opgave 5 a)

Kvartilsættet aflæses som de BMI-værdier, der hører til kumulerede frekvenser på hhv. 25%, 50% og 75%:

𝐾𝑣𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙𝑠æ𝑡:(21,5;24,8;28,5)

Medianen er 24,8 og fortæller, at halvdelen af danske kvinder har et BMI på under 24,8, mens den anden halvdel har et BMI på over 24,8.

b)

For at have et BMI der svarer til fedme eller svær fedme, skal 𝐵𝑀𝐼 > 30. Vi aflæser den kumulerede

frekvens, som hører til 𝐵𝑀𝐼 = 30. Denne er 84,5%

Der er således 100%− 84,5% = 15,5% af kvinderne, som har en BMI, der svarer til fedme eller svær

fedme.

Opgave 6 a)

Da Huawei forventer at vokse med en fast årlig procentdel, skal omsætningen fremskrives vha. en eksponentiel vækstmodel på formen:

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

6

𝑦 = 𝑏 · 𝑎^{𝑥}

Hvor:

𝑏 angiver 𝑦-værdien for 𝑥 = 0 - altså år 2012. Dvs. 𝑏 = 201,8

𝑎 er fremskrivningsfaktoren og fortæller os noget om vækstraten 𝑟 , da:

𝑎 = 𝑟 + 1
= 1 + 0,1
= 1,1

Vi kan da opskrive den endelige ligning:

𝑦 = 201,8 · 1,1^{𝑥}

b)

Vi sætter 𝑦 = 300 og løser ligningen:

300 = 201,8 · 1,1^{𝑥}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 4,160158

Modellen forudsiger således følgende:

I år 2016 vil Huawei ikke helt have opnået en omsætning på 300 mia. kr. I år 2017 vil Huawei have opnået en omsætning på over 200 mia. kr.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 7 a)

Vi definerer kendte størrelser:

Indekstal for hhv. 2000 og 2012:

𝑖_{2000} ≔ 100

𝑖_{2012} ≔ 114

Antal 15-24-årige for hhv. 2000 og 2005:

𝑛_{2000} ≔ 621120

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

7

𝑛_{2005} ≔ 597123

Vi bestemmer nu de to efterspurgte størrelser ved løsning af nedenstående ligninger:

𝑛_{2012} 𝑛_{2000}
𝑖_{2012} 𝑖_{2000}

=

⇕ Ligningen løses for n_2012 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑛_{2012} = 708076,8

𝑛_{2005} 𝑛_{2000}
𝑖_{2005} 𝑖_{2000}

=

⇕ Ligningen løses for i_2005 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑖_{2005} = 96,1365

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 8 a)

Vi indsætter 𝑃 = 20 og 𝐿 = 55 i ligningen for lix-tallet:

𝑙𝑖𝑥 = +

500 55

20 5

= 36

Lix-tallet er således 36 for en tekst med 20 punktummer og 55 lange ord.

b)

Vi indsætter 𝑙𝑖𝑥 = 22 og 𝑃 = 50 i ligningen og løser den:

22 = +

500 𝐿

50 5

⇕ Ligningen løses for L vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐿 = 60

Der er således 60 lange ord i teksten.