HF Matematik C 31. maj 2013

Side 1

Skriftlig matematik HF C 2hf131-MAT/C-

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf C fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne er, at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 1

Kapitalfremskrivningsformlen (jf. formel 4) benyttes:

𝐾 = 𝐾_{0} ⋅ ( 1 + 𝑟)^{𝑛} = 𝐾_{0} ⋅ (1 +)

𝑝

100 𝑛

Kapitalen efter 𝑛 terminer 𝐾 = 10327,31 𝑘𝑟, antal terminer 𝑛 = 7 samt den årlige rente 𝑝 = 1,2 %

indsættes og startkapitalen 𝐾 bestemmes ved at løse ligningen med WordMat (CAS - Løsning(er) -
                        0

Numerisk):

10327,31 = 𝐾_{0} ⋅ (1 +)

1,2^{7}

100

⇕ Ligningen løses for K_0 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐾_{0} = 9500

Der blev således indsat 9500 𝑘𝑟 på kontoen.

Side 2

Skriftlig matematik HF C 2hf131-MAT/C-

Opgave 2 a)

Flagstangens højde (m) 8,0 12,0

Flagets højde (m) 1,70 2,45

Tallene 𝑎 og 𝑏 kan bestemmes vha. en lineær regression over tabellens data.

WordMat (Statistik/sands. - Regression - Lineær) benyttes hertil

Husk at markere hele tabellen inden du bruger WordMat

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 0,1875𝑥 + 0,2

Af resultatet aflæses værdierne for 𝑎 og 𝑏 til:

𝑎 = 0,1875 og 𝑏 = 0,2

b)

Sammenhængen mellem flagstangens højde 𝑥 og flagets højde 𝑦 = 𝑓(𝑥) defineres som en funktion i

WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑓 ( 𝑥) = 0,1875𝑥 + 0,2

Højden på flaget til en flagstang på 15m bestemmes med WordMat (CAS - Beregn) som:

𝑓 ( 15) = 3,0125

Flagets højde skal således være 3,01 𝑚 for at passe til en 15m høj flagstang.

Resultatet er afrundet til to decimaler.

c)

Flagstangens højde bestemmes ved at løse ligningen 𝑓 ( 𝑥) = 9,0 for 𝑥.

Hertil benyttes WordMat (CAS - Løsning(er) - Numerisk):

𝑓 ( 𝑥) = 9,0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 46,93333

Højden på flagstangen ved Brøndby Stadion er således 46,9 𝑚 (afrundet til én decimal) 𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 3

Skriftlig matematik HF C 2hf131-MAT/C-

Opgave 3 a)

Indekstal bestemmes som: (jf. formel 8)

𝐼_{𝑠} = ⋅ 𝐼_{𝐵}

𝑆

𝐵

𝐼 er basisårets indekstal, 𝐵 er basisværdien, 𝐼 det aktuelle års indekstal og 𝑆 det aktuelle års værdi.
 𝐵                                   𝑆

Beløbet (1200 kr.) i 2011 og indekstallet for 2011 (104,7) benyttes som basis.

                                            𝑆
Prisen (beløbet) i 2012 bestemmes vha. formlen 𝐼 = ⋅ 𝐼 , hvor 𝐼 = 113,7, 𝐵 = 1200 og 𝐼 = 104,7
                                        𝑠      𝐵     𝑠                    𝐵
                                           𝐵

indsættes og 𝑆_{2012} bestemmes med WordMat (CAS - Løsning(er) - Numerisk):

113,7 = ⋅ 104,7

𝑆_{2012}

1200

⇕ Ligningen løses for S_2012 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑆_{2012} = 1303,152

Han skulle således betale 1303 𝑘𝑟 i 2012 for den samme mængde alkohol (afrundet til et helt tal).

Side 4

Skriftlig matematik HF C 2hf131-MAT/C-

Opgave 4 a)

Vinkel 𝐶 og længden af snoren 𝐴𝐶 bestemmes vha. trekantløseren i WordMat (Diverse - Trekant):

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 38° , B = 57° , AB = 60

A = 38°
C = 85°
B = 57°

CB = 37,08079
AB = 60
AC = 50,51245

Af resultatet fremgår det, at: ∠𝐶 = 85° og længden af snoren: | 𝐴𝐶 | = 50,5 𝑚 (afrundet til én decimal)

b)

Kaldes fodpunktet for højden i 𝐶 for 𝐷, fremkommer en retvinklet trekant 𝐴𝐶𝐷, hvor længden af siden 𝐶𝐷 er 𝐶′𝑠 højde over jorden, hvilket bestemmes vha. trekantløseren i WordMat (Diverse - Trekant):

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 38° , D = 90° , AC = 50,5

A = 38°
C = 52°
D = 90°

CD = 31,0909
AD = 39,79454
AC = 50,5

Punktet 𝐶 (dragen) er således 31,1 𝑚 over jorden (resultatet er afrundet til én decimal).

A AD D

C

AC CD

A AB B

C

AC CB

Side 5

Skriftlig matematik HF C 2hf131-MAT/C-

Opgave 5 a)

Sammenhængen mellem alder i antal uger 𝑥 og fosterets vægt 𝑦 = 𝑓(𝑥) (målt i gram) defineres

som en funktion i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑓 ( 𝑥) = 0,0349 ⋅ 𝑥^{3,13}

Vægten på et 20 uger gammelt foster bestemmes ved at bestemme værdien 𝑓(20).

Hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn):

𝑓 ( 20) = 412,1443

Et 20 uger gammelt foster vejer altså 412 𝑔 ifølge modellen (afrundet til et helt tal).

b)

Alderen på et foster, der vejer 1200 g, bestemmes ved at løse ligningen 𝑓 ( 𝑥) = 1200 i 𝑥.

WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes:

𝑓 ( 𝑥) = 1200

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 28,13941

Et foster, der vejer 1200 g, er således 28 𝑢𝑔𝑒𝑟 gammelt if. modellen (afrundet til et helt tal).

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 6

Skriftlig matematik HF C 2hf131-MAT/C-

Opgave 6 a)

Tabellens tal indtastes i Excel og de kumulerede frekvenser bestemmes ved at addere frekvensen for et interval med de forrige intervallers frekvenser, - resultatet kopieres over i Word:

Blodsukkertal 3,0 - 3,5 3,5 - 4,0 4,0 - 4,5 4,5 - 5,0 5,0 - 5,5 5,5 - 6,0 6,0 - 6,5

Frekvens (%) 6 18 28 18 10 12 8

Kumuleret frekvens (%) 6 24 52 70 80 92 100

De kumulerede frekvenser fremgår af ovenstående tabel (med røde tal).

Side 7

Skriftlig matematik HF C 2hf131-MAT/C-

Sumkurven tegnes i WordMat (Graftegning - Statistik - Sumkurve): b)

Som en del af sumkurvetegningen (i WordMat) fremkommer tillige kvartilerne:

Af dette resultat aflæses den øvre kvartil til 5,25

Tallet (øvre kvartil) betyder, at 75 % af kursisterne har et blodsukkertal, der ikke overstiger 5,25 mmol/liter.

c)

Middeltallet 𝜇 for grupperede observationer fordelt i 𝑘 intervaller, kan bestemmes som et vægtet gennemsnit med følgende formel:

𝜇 = 𝑀  ⋅ 𝑓 + 𝑀 ⋅ 𝑓 + + 𝑀  ⋅ 𝑓
     1  1    2   2 ⋯    𝑘  𝑘

Hvor 𝑀 er et intervalmidtpunkt og 𝑓 er intervallets frekvens som decimaltal.

0%

25%

50%

75%

100%

3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0

Side 8

Skriftlig matematik HF C 2hf131-MAT/C-

Intervalmidtpunktet beregnes for de givne intervaller som: (      ) + 𝑛𝑒𝑑𝑟𝑒 𝑣æ𝑟𝑑𝑖.
                                                         2

ø𝑣𝑟𝑒 𝑣æ𝑟𝑑𝑖−𝑛𝑒𝑑𝑟𝑒 𝑣æ𝑟𝑑𝑖

                                     𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣𝑒𝑛𝑠 (%)
Frekvensen omregnes til decimaltal som: 𝑓 =
                                         100

Intervalmidtpunkter, frekvens, frekvens som decimal opstilles i tabel i Excel.

Produktet af de enkelte intervalmidtpunkter 𝑀 og frekvensen som decimal 𝑓 beregnes med Excel.

Disse summeres derefter (med autosumfunktionen), hvorved middeltallet 𝜇 fremkommer.

Tabellen er kopieret over i Word bagefter.

Intervalmidtpunkt (𝑀) 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25

Frekvens (%) 6 18 28 18 10 12 8 frekvens som decimal (𝑓) 0,06 0,18 0,28 0,18 0,1 0,12 0,08 sum (𝜇 )

𝑀 ⋅𝑓 0,195 0,675 1,19 0,855 0,525 0,69 0,5 4,63

Middeltallet for fordelingen af blodsukkertallet er således: 𝜇 = 4,63 𝑚𝑚𝑜𝑙/𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟

Side 9

Skriftlig matematik HF C 2hf131-MAT/C-

Opgave 7 a)

En fast årlig procentvis udvikling betyder, at der er tale om en eksponentiel udvikling.

Modellen herfor er: 𝑓 ( 𝑥) = 𝑏⋅ 𝑎^{𝑥} = 𝑏 ⋅ ( 1 + 𝑟)^{𝑥}

                  𝑝%
hvor vækstraten 𝑟 =  , og 𝑝% er den procentvise ændring pr. år.
                 100%

(jf. formel 3 og 33)

En forskrift for udviklingen i antallet af mobilabonnementer i USA er således:

𝑓 ( 𝑥) = 109 ⋅ (1 +) = 109 ⋅ 1,14^{𝑥}

14^{𝑥}

100 hvor 𝑓 ( 𝑥) er antal mobilabonnementer (målt i mio.), som en funktion af antal år efter år 2000.

og hvor 𝑥 er antal år efter år 2000.

b)

Fordoblingskonstanten 𝑇 bestemmes som: (jf. formel 37)
                    2

𝑇_{2} =

log ( 2) log ( 𝑎)

𝑎 = 1,14 indsættes og fordoblingstiden bestemmes med WordMat (CAS - Beregn):

𝑇_{2} = = = log ( 2) · ≈ 5,290059

log ( 2) log ( 2) 7,631941 log ( 𝑎) log ( 1,14) log ( 𝑒)

Der skal således gå 5,3 å𝑟 (afrundet til én decimal), før antallet af mobilabonnementer er fordoblet.

c)

Forskriften for udviklingen i abonnementer defineres i WordMat (CAS - Definitioner - definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑓 ( 𝑥) = 109 ⋅ 1,14^{𝑥}

Antallet af mobilabonnementer i 2010 (10 år efter 2000) bestemmes if. modellen som tallet 𝑓(10).

WordMat (CAS - Beregn) benyttes:

𝑓 ( 10) = 404,0871

Ifølge modellen skulle der altså i år 2010 have været omkring 404,1 𝑚𝑖𝑜. mobilabonnementer i USA.

Resultatet er afrundet til én decimal.

Det oplyses efterfølgende, at antallet af mobilabonnementer i 2010 var 301 mio. abonnenter, hvilket er væsentligt færre abonnenter, end modellen forudsiger. Dette betyder, at en eksponentiel udviklingsmodel for antallet af mobilkunder i USA ikke kan forventes at resultere i en korrekt prognose, hvis modellen benyttes til vurdering af det forventede antal mobilabonnenter et givent år efter observationsperioden.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: