HF Matematik C 2. juni 2014

Side 1

Skriftlig matematik HF C 2hf141-MAT/C-

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf C fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 1 a)

Beløbet på kontoen kan bestemmes med kapitalfremskrivningsformlen: jf. formel 4

                          𝑝%
               𝑛
𝐾  = 𝐾 ⋅ ( 1 + 𝑟 ) , hvor 𝑟 =
 𝑛    0
                         100%

De givne oplysninger indsættes og WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝐾_{4} = 15000 ⋅ (1 +) ≈ 16654,33

2,65^{4}

100

Beløbet på kontoen efter 4 år er således bestemt til: 16.654,33 𝑘𝑟.

b)

Det indsatte beløb kan bestemmes ved at løse nedenstående ligning mht. 𝐾_{0}

WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes

12830,80 = 𝐾_{0} ⋅ (1 +)

3

100

4

Ligningen løses numerisk for K_0 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐾_{0} = 11400

Det indsatte beløb er således bestemt til 11.400 𝑘𝑟

Side 2

Skriftlig matematik HF C 2hf141-MAT/C-

Opgave 2 a)

Der er, ifølge opgaveformuleringen, tale om en lineær vækst, idet den årlige vækst er konstant.

Modellen herfor er 𝑓 ( 𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 jf. formel 30

Konstanten 𝑏 sættes lig med antallet af biler i 2013 (2,237 mio.).

Koefficienten 𝑎 sættes lig med den årlige tilvækst (0,035 mio.).

Dermed kan en forskrift, der kan beregne antallet af personbiler 𝑥 år efter 2013, opstilles:

𝑓 ( 𝑥) = 0,035𝑥 + 2,235

hvor 𝑓(𝑥) er antallet af personbiler, målt i mio., 𝑥 år efter 2013.

b)

Forskriften defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=

𝑓 ( 𝑥):= 0,035𝑥+ 2,235

Året, hvor antallet af biler passerer 2,4 mio. kan ifølge modellen bestemmes ved at løse ligningen:

WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.

𝑓 ( 𝑥) = 2,4

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 ≈ 4,714286

Antallet af biler i DK passerer 2,4 mio. 4,7 å𝑟 efter 2013, - altså i slutningen af år 2017 𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 3 a)

Sammenhængen defineres som en funktion af 𝑥 i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=

𝑓 ( 𝑥) ≔ 17,4 ⋅ 𝑥^{0,25}

Hvor 𝑓(𝑥) er blodets omløbstid (målt i sek.) og 𝑥 er kropsvægten (målt i kg).

Blodets omløbstid for en person, der vejer 75 kg, kan bestemmes som tallet 𝑓(75).

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑓 ( 75) ≈ 51,20526

Blodets omløbstid for en person, der vejer 75 kg, er således bestemt til 51,2 𝑠𝑒𝑘

Resultatet er afrundet til én decimal.

Side 3

Skriftlig matematik HF C 2hf141-MAT/C-

b)

Hvis person 𝐵 vejer 𝑥 kg, og person 𝐴 vejer dobbelt så meget, så er person 𝐴’s vægt 2𝑥 kg.

Hvor mange procent blodets omløbstid for person 𝐴 er længere end for person 𝐵, kan bestemmes som:

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑓 ( 2 ⋅ 𝑥) − 𝑓 ( 𝑥)

𝑓 ( 𝑥)

· 100 ≈ 18,92071

Blodets omløbstid for person 𝐴 er, ifølge modellen, således 18,9 % længere end for 𝐵.

Resultatet er afrundet til én decimal.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 4 a)

Trekant 𝐴𝐵𝐶 er en ligebenet trekant, hvor højden ℎ (fra 𝐵) vil dele siden 𝐴𝐶 i to lige store stykker.

Kaldes fodpunktet for højden ℎ (på siden 𝐴𝐶) for 𝐷, fremkommer den retvinklede trekant 𝐴𝐵𝐷, hvori højden ℎ kan bestemmes som værende lige med længden af siden 𝐵𝐷.

WordMat's trekantsløser (Diverse - Trekant) anvendes med input: A = 32° , D = 90° , AB = 9

A = 32°
B = 58°
D = 90°

BD = 4,769273
AD = 7,632433
AB = 9

Heraf fremgår det, at sandbunkens højde ℎ = |𝐷𝐵| er bestemt til: ℎ = 4,8 𝑚

Resultatet er afrundet til én decimal.

A AD D

B

AB BD

Side 4

Skriftlig matematik HF C 2hf141-MAT/C-

b)

Sandbunkens diameter (længden af 𝐴𝐶) kan bestemmes vha. WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant).

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 32° , BC = 9 , AB = 9

A = 32°
B = 116°
C = 32°

BC = 9
A AC C AC = 15,26487
AB = 9

Sandbunkens diameter 𝑑 (længden af 𝐴𝐶) er således bestemt til: 𝑑 = 15,3 𝑚

Resultatet er afrundet til én decimal.

Alternativt kunne diameteren have været bestemt ved at multiplicere længden af 𝐴𝐷 med 2.

Længden af 𝐴𝐷 blev beregnet af WordMat i spørgsmål a)

Opgave 5 a)

Kvartilsættet for fordelingen af hf-klassens skostørrelser kan bestemmes ved at indtaste det ordnede observationssæt i WordMat (Graftegning - Statistik - Ugrupperede observationer).

jf. side 13 i formelsamlingen.

Observationerne (skostørrelserne) indtastes og hyppigheden (antallet af hver skostørrelse) kan tælles i det ordnede observationssæt i opgaveteksten.

Af WordMat’s resultat fremgår det, at kvartilsættet for hf-klassens skostørrelser er: ( 38; 39; 42,5) B

AB BC

Side 5

Skriftlig matematik HF C 2hf141-MAT/C-

b)

Vha. det fundne kvartilsæt ( 38; 39; 42,5) samt den mindste værdi (37) og største den værdi (45) for hf-klassens skostørrelser kan boksplottet for hf-klassen tegnes på det medfølgende bilag.

Sammenlignes de to boksplot med hensyn til fordelingen af skostørrelser, bemærkes det:

• At 75 % af hf-klassen bruger en mindre skostørrelse end den mindste skostørrelse, der anvendes af spillerne på det lokale basketballhold.

• At 75 % af basketballholdet bruger en større skostørrelse end den største skostørrelse, der anvendes af eleverne i den pågældende hf-klasse.

Opgave 6 a)

Den viste sammenhæng er eksponentiel. jf. formel 33

Værdierne for 𝑎 og 𝑏 kan bestemmes vha. en eksponentiel regression over tabellens data, derfor oprettes

tabellen i MS Word og regressionen foretages med WordMat (Statistik/sands. - Regression - Eksponentiel).

Højde (tusind fod) 0 4

Længde (meter) 255 369

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 255 · 1,096785^{𝑥}

Af dette resultat fremgår det, at:

𝑎 = 1,0968 og 𝑏 = 255

Resultatet for 𝑎 er afrundet til fire decimaler.

Side 6

Skriftlig matematik HF C 2hf141-MAT/C-

b)

• Konstanten 𝑏 = 255 betyder, at et Cherokee fly skal bruge en startbane på 255 m,

når den skal lette fra en startbane, der ligger ved havets overflade.

• Fremskrivningsfaktoren 𝑎 = 1 + 𝑟 = 1,0968 betyder, at den nødvendige længde af

startbanen forøges 9,68 % når højden for startbanen øges 1000 fod. jf. formel 33

𝑟 er vækstraten og omregnes til procent som: % = 𝑟 ⋅ 100 jf. formel 4

c)

Fordoblingskonstanten kan bestemmes som: jf. formel 37

𝑇_{2} =

log (2) log (𝑎)

Den fundne værdi for 𝑎 indsættes og WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑇_{2} = = log ( 2) · ≈ 7,502959

log ( 2) 10,82448 log ( 1,096785) log ( 𝑒)

Fordoblingskonstanten er således bestemt til: 𝑇_{2} = 7,502

Resultatet er afrundet til tre decimaler.

Opgave 7 a)

Indekstallet for 2011 (𝐼 ) kan bestemmes som: jf. formel 8
                  2011

𝐼_{2011} = ⋅ 𝐼_{2009}

𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙_{2011}
𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙_{2009}

Indsættes de kendte værdier kan indekstallet for 2011 bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn).

𝐼_{2011} = ⋅ 100 = ≈ 89,57598

54842 685525

61224 7653

Indekstallet for 2011 er således blevet bestemt til: 𝐼_{2011} = 89,6

Resultatet er afrundet til én decimal.

Antallet af knallert 45 i 2013 kan bestemmes som: jf. formel 8

𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙_{2013} = ⋅ 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙_{2009}

𝐼_{2013}
𝐼_{2009}

Indsættes de kendte værdier kan antallet for 2013 bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn).

𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙_{2013} = ⋅ 61224 = 49591,44

81,0

100

Antallet af knallert 45 i 2013 er således bestemt til 49.591, når resultatet afrundes til et helt antal.

Side 7

Skriftlig matematik HF C 2hf141-MAT/C-

Opgave 8 a)

En trekant ABC’s areal kan bestemmes ved ’den halve appelsin’

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = ⋅ |𝐴𝐶|⋅ |𝐵𝐶| ⋅ sin (𝐶)

1

2

Da vi kender trekantens areal, |BC| og vinkel C kan vi ud fra denne formel bestemme |AC|

8,4 = ⋅ 𝐴𝐶 ⋅ 5,2 ⋅ sin (29)

1

2

⇕ Ligningen løses for AC vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐴𝐶 = 6,663996

Længden af siden 𝐴𝐶 er således blevet bestemt til: | 𝐴𝐶 | = 6,7

Resultatet er afrundet til én decimal.