HF Matematik C December 2012

Side 1

HF Matematik C 2hf123-MAT/C-

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Mange af opgaverne løses med WordMat. Hent den gratis tilføjelse til Word her. (Obs. Virker kun med Windows-computere)

Tip: Genvej til at indsætte ligning (Alt + M). Se flere smarte genveje under ”Hjælp” -> Genveje i

WordMat

Opgave 1 a)

Indestående efter 7 år kan beregnes med følgende formel (jf. formel 4)

𝐾=𝐾 ⋅ ( 1 + 𝑟)^{𝑛} =30000 ⋅ ( 1 + 2,125%)^{7} =34757,28

0

Efter 7 år står der altså 34 757,28 kr. på kontoen.

Side 2

HF Matematik C 2hf123-MAT/C-

Opgave 2 a)

For at bestemme vægten af et tropisk nåletræ med diameter på 15 cm, indsættes d = 15 i modellen

𝑦=0,31 ⋅ 15^{2,11} =93,95378

Et nåletræ med diameter på 15 cm vejer altså ifølge modellen 93,95 kg. afrundet til 2 decimaler.

b)

For at bestemme diameteren af et nåletræ, der vejer 150 kg. løses ligningen for d

150=0,31 ⋅ 𝑑^{2,11}

⇕ Ligningen løses for d vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑑=18,72336

Diameteren for et nåletræ der vejer 150 kg er altså ifølge modellen 18,72 cm afrundet til to decimaler.

c)

Kald diameter for det lille nåletræ for d. Diameteren for det store nåletræ er så 2 ⋅ 𝑑. Forholdet mellem de to nåletræers vægt kan bestemmes ved at udregne forholdet

0,31 ⋅ ( 2𝑑)^{2,11}
0,31 ⋅ 𝑑^{2,11}

=4,316913

Når diameteren fordobles så bliver vægten 4,32 gange så stor (afrundet til 2 decimaler).

Side 3

HF Matematik C 2hf123-MAT/C-

Opgave 3 a)

Da vi kender tre sider i trekanten kan alle vinklerne beregnes (med cosinusrelationerne).

Vi beregner vinklerne med WordMats trekantløser (Diverse - Trekant)

WordMat's trekantsløser anvendes med input: CB = 4,0 , AB = 7,4 , AC = 5,7

A = 32,37147°
C = 97,90321°
B = 49,72532°

CB = 4
AB = 7,4
AC = 5,7

Vinkel A og C findes vha. cosinusrelationer

𝐴=cos^{−1} () =cos^{−1} () =32,37147°

𝐴𝐶^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 𝐶𝐵^{2} 5,7^{2} + 7,4^{2} − 4^{2}
2 · 𝐴𝐵· 𝐴𝐶 2 · 7,4 · 5,7

𝐶=cos^{−1} () =cos^{−1} () =97,90321°

𝐴𝐶^{2} + 𝐶𝐵^{2} − 𝐴𝐵^{2} 5,7^{2} + 4^{2} − 7,4^{2}
2 · 𝐶𝐵 · 𝐴𝐶 2 · 4 · 5,7
Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐵=180° − 𝐴 − 𝐶 =180° − 32,37147° − 97,90321°=49,72532°

Af dette fås at ∠𝐵=49,7°.

b)

For at bestemme arealet af trekanten tegner vi højden fra C ned på grundlinjen AB i et nyt punkt D. Arealet af trekanten kan så bestemmes ved formlen (side 14 i formelsamlingen)

𝐴= |𝐶𝐷| ⋅ |𝐴𝐵|

1

2

Da højden står vinkelret på siden AB, og vi kender vinkel A i trekanten fra opgave a) kan vi beregne længden af højden med WordMat.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 32,37147° , D = 90° , AC = 5,7

A AB B

C

AC CB

Side 4

HF Matematik C 2hf123-MAT/C-

A = 32,37147°
C = 57,62853°
D = 90°

CD = 3,051816
AD = 4,814189
AC = 5,7

Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐶=180° − 𝐴 − 𝐷=180° − 32,37147° − 90°=57,62853°

Længden af siden CD findes vha. sinus

𝐶𝐷=𝐴𝐶· sin ( 𝐴) =5,7 · sin ( 32,37147) =3,051816

Længden af siden AD findes vha. cosinus

𝐴𝐷=𝐴𝐶· cos ( 𝐴) =5,7 · cos ( 32,37147) =4,814189

Højdens længde, |AB| er altså 3,05 afrundet til to decimaler.

Trekantens areal kan nu beregnes:

1

2

⋅ 7,4 ⋅ 3,055=11,3035

Trekantens areal er altså 11,30 afrundet til to decimaler.

c)

Af opgave b) ses det at højden fra C er 3,05 afrunde til to decimaler.

A AD D

C

AC CD

Side 5

HF Matematik C 2hf123-MAT/C-

Opgave 4 a)

Opgavens tabel indsættes i Word-dokumentet

Højde over havet (km) 0,3 2,8

Tid inden udmattelse (sek) 320 210

Da der er tale om en lineær model, kan vi bestemme konstanterne a og b ved en lineær regression i

WordMat. (Marker tabel -> Statistik/sands. -> Regression -> Lineær)

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦=−44𝑥+ 333,2

Ud fra ligningen kan vi aflæse 𝑎=−44 og 𝑏=333,2

b)

Da der er tale om en lineær model siger tallet a, at når man går en km højere op, så bliver man udmattet 44 sekunder før.

Side 6

HF Matematik C 2hf123-MAT/C-

Opgave 5 a)

Kvartilsættet aflæses (se side 13 i formelsamlingen) af figuren til

𝑄_{1} =199
𝑚=210
𝑄_{3} =233

Derudover ses det at min og max er hhv. 172 og 251.

b)

For at kunne tegne et boksplot over spilletiderne i 1972, skal vi først bestemme min- og max-værdi og kvartilsæt.

Da der er et ulige antal observationer, kan medianen aflæses som den midterste observation, når observationer opskrives i stigende rækkefølge. Observationerne er allerede opskrevet i stigende rækkefølge og dermed er medianen 199.

Nedre- og øvre kvartiler kan aflæses som gennemsnittet af de to midterste observationer blandt de hhv. 8 første og sidste observationer:

𝑄_{1} = =189

186 + 192

2

𝑄_{3} = =230

230 + 230

2

Min-værdien er 148 og max værdien er 260.

Der tegnes nu boksplot for de to observationsrækker med WordMat (Graftegning -> Statistik -> Boksplot)

2012 1972

Mindste | 172 | 148
Nedre | 199 | 189
Median | 210 | 199
Øvre | 233 | 230
Største | 251 | 260

Side 7

HF Matematik C 2hf123-MAT/C-

Det ses af boksplottene at der i 1972 var større spredning i længden af sangene. Både afstanden mellem mindste og største-værdien og afstanden mellem nedre og øvre kvartil er større.

Derudover var sangene generelt kortere i 1972 end i 2012. I 1972 var 50 % af sangene kortere end 199 sekunder, mens kun 25% af sangene var kortere end 199 sekunder i 2012.

00

2012

1972

Side 8

HF Matematik C 2hf123-MAT/C-

Opgave 6 a)

Da der i prognosen er den samme procentvise stigning hvert år, er der tale om en eksponentiel

sammenhæng. 𝑦=𝑏⋅ ( 1 + 𝑟)^{𝑥} (formel 33)

b angiver startværdien, som er 192 mio. liter og r er vækstraten, som er 1,3 % = 0,013.

Vi kan dermed opskrive modellen til

𝑦=192 ⋅ 1,013^{𝑥}

hvor y er danskernes forbrug af vin i mio. liter og x er antal år efter 2010 .

b)

For at bestemme hvilket år danskernes forbrug når 200 mio. liter skal vi løse ligningen

200=192 ⋅ 1,013^{𝑥}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=ln() · 77,422≈3,16052=3,16052

25

24

Dvs. danskernes vinforbrug vil nå op på 200 mio. liter i starten af 2013 (2010+3,16) ifølge modellen.

Side 9

HF Matematik C 2hf123-MAT/C-

Opgave 7 a)

Når 2007 er basisår kan indextal for 2012 beregnes som (jf. formel 8)

𝐼_{𝑆} = ⋅ 𝐼_{𝐵} = ⋅ 100= ≈116,7598

𝑆 1254 20900

𝐵 1074 179

Dvs. vi har følgende indextal

Årstal 2007 2012

Indekstal 100 116,8 b)

Ud fra indextallene kan vi bestemme væksten i procent for de to beløb:

𝑃𝑟𝑖𝑠𝑣æ𝑘𝑠𝑡_{𝑐ℎ𝑎𝑡𝑒𝑟} = − 1=0,1595092

132,3

114,1

𝑃𝑟𝑖𝑠𝑣æ𝑘𝑠𝑡_{𝑆𝑈} = − 1=0,168

116,8

100

SU’en er altså steget ca. 16,8 % mens charterrejsen kun er steget ca. 16 %, og SU’en er altså steget mest.