HF Matematik C 31. august 2010 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2010

1

HF Matematik C

31. august 2010

Vejledende besvarelse

2hf102-MAT/C-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 1 a)

Vi definerer kendte størrelser:

𝐾_{0} ≔ 250000

𝑟 ≔ 0,04 𝑛 ≔ 5

Vi fremskriver beløbet 5 år med en fast årlig rente på 4 %.

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{5}

≈ 304163,23

Efter 5 år vil der stå 304163,2 kr. (afrundet til 1 decimal).

𝑺𝒍𝒆𝒕 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏𝒆𝒓:

Side 2

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2010

2 b)

Vi definerer kendte størrelser.

𝐾_{𝑛} ≔ 287574,50

𝐾_{0} ≔ 250000

𝑛 ≔ 5

Vi løser for den gennemsnitlige årlige rente r i nedenstående udtryk.

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟 = 0,028400012

Den gennemsnitlige årlige rente er bestemt til 2,8 % (afrundet til 1 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 2 a)

Modellen kan beskrives med en lineær funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med lineær regression.

Vi opstiller tabel med data og foretager regression.

x | y
1 | 134
4 | 311

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 59𝑥 + 75

Tallet a er bestemt til 59, og tallet b er bestemt til 75.

b)

Ifølge modellen er den årlige vækst af fangede laks i Skjern Å aflæst 59 laks.

c)

Vi bestemmer antallet af fangede laks i Skjern Å i år 2007 ved at bestemme y når x = = 5.

𝑦 = 59 · 5 + 75

Side 3

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2010

3

= 370

Ifølge modellen er antallet af fangede laks i Skjern Å i år 2007 bestemt til 370 laks.

Vi bestemmer antallet af fangede laks i Skjern Å i år 2008 ved at bestemme y når x = = 6.

𝑦 = 59 · 6 + 75
= 429

Ifølge modellen er antallet af fangede laks i Skjern Å i år 2008 bestemt til 429 laks.

Sammenligner vi det faktiske antal af laks i Skjern Å i år 2007 på 399 laks med modellens på 370 er afvigelsen relativt lille. Bevæger vi os bare et år frem i tiden, ser vi, at det faktiske antal af fangede laks i Skjern Å i år 2008 var på 878 laks, altså en relativt stor afvigelse med hensyn til modellens på 429 laks. Vi kan konkludere, at modellen ikke er særligt pålidelig med hensyn til at forudsige antallet af fangede laks i Skjern Å, og at modellen umiddelbart bliver mere upålidelig jo længere uden for gyldighedsområdet man bevæger sig.

Opgave 3 a)

Mindsteværdien aflæses på boksplottene som stregen længst til venstre, og størsteværdien aflæses som stregen længst til højre. Kvartilsættet aflæses som hhv. venstre, midterste og højre streg i boksen.

EM 2008.

Mindsteværdien: 44

Nedre kvartil: 51

Median: 57

Øvre kvartil: 62

Størsteværdien: 64

EM 2006.

Mindsteværdien: 50

Nedre kvartil: 54

Median: 59,5

Øvre kvartil: 64

Side 4

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2010

4

Størsteværdien: 72

Vi sammenligner de to boksplot:

Sammenligner vi kvartilsættet for EM i år 2006 med kvartilsættet for EM i år 2008, står det klart, at alle punkter i kvartilsættet for EM 2006 er større end punkterne i kvartilsættet for EM 2008. Vi kan altså konkludere, at der generelt blev score flere mål pr. kamp ved EM i herrehåndbold i år 2006 end ved EM i år

2008. Ydermere ser vi, ved at sammenligne største- samt mindsteværdi, at hhv. mindsteværdien for EM i år

2008 på 44 er langt mindre end ved EM i år 2006 på 50, og størsteværdien for EM i år 2008 på 64 ligeså er langt mindre end ved EM i år 2006 på 72. Vi kan altså yderligere konkludere, at de kampe, hvor der blev score færrest mål pr. kamp blev spillet ved EM i år 2008, og de kampe, hvor der blev score langt de fleste mål pr. kamp blev spillet ved EM i år 2006.

Opgave 4 a)

Vi bestemmer tøndens diameter d, når V = 0,25 og h = 0,85, ved at løse for d i nedenstående udtryk.

0,25 = 0,70 · 0,85 · 𝑑^{2}

⇕ Ligningen løses for d vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑑 = −0,64820372 ∨ 𝑑 = 0,64820372

Da vi ikke arbejde med negative længder er d = -0,ikke en løsning til opgaven.

Tøndens diameter er bestemt til 0,65 m (afrundet til 2 decimaler).

Opgave 5 a)

Vi bestemmer højden BC med WordMats trekantsløser.

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 30°, C = 90°, AC = 20

Side 5

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2010

5

B A = 30°
B = 60°
C = 90°

BC = 11,547005
AC = 20
AB = 23,094011

Længden af siden BC findes vha. tangens

𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 · tan ( 𝐴) = 20 · tan ( 30) = 11,547005

Længden af siden BC er bestemt til 11,55 m (afrundet til 2 decimaler).

b)

Først bestemmer arealet af trekant ABC med en sinusrelation.

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = · 𝐵𝐶 · 𝐴𝐶 = · 20 · 11,5

1 1

2 2

= 115

Vi har, at arealet af trekanten og rektanglet er lig dvs.:

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = 𝑇_{𝑟𝑒𝑘𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑙}
= 𝐶𝐷 · 𝐶𝐹

Dermed har vi:

115 = 𝐶𝐷 · 110

⇕ Ligningen løses for CD vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐶𝐷 = 1,0454545

Længden af bredden CD er bestemt til 1,05 m (afrundet til 2 decimaler).

Opgave 6 a)

Vi har, at x og y er proportionale, dvs. der gælder.

𝑦 = 𝑘 · 𝑥

A AC C

AB BC

Side 6

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2010

6

Vi bestemmer proportionalitetskonstanten ved at løse for k i nedenstående udtryk.

9 = 𝑘 · 6

⇕ Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑘 = 1,5

Vi kender proportionalitetskonstanten og kan nu bestemme de tomme felter.

For y = 3:

3 = 1,5 · 𝑥

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 2

For x = 5:

𝑦 = 1,5 · 5
= 7,5

Vi udfylder de tomme felter i tabellen.

x 2 5 6 y 3 7,5 9

Opgave 7 a)

Modellen kan beskrives med en eksponentiel funktion, da udviklingen sker med en fast procentdel om året.

𝑓 ( 𝑥) = 𝑏 · 𝑎^{𝑥}

f(x) betegner sygehusenes udgifter til medicin (målt i mia. kr.) i perioden år til antal x år efter år

2003.

x betegner antal år efter 2003.

b betegner funktionsværdien i x = 0, dvs. i år 2003 var sygehusenes udgifter til medicin 1,75 mia. kr.

a betegner fremskrivningsfaktoren. Med vækstraten r kan vi beregne fremskrivningsfaktoren a.

𝑎 = 𝑟 + 1
= 0,228 + 1
= 1,228

Vi opstiller en model, der beskriver sygehusenes udgifter til medicin i perioden

Side 7

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2010

7

𝑓 ( 𝑥) = 1,75 · 1,228^{𝑥}

En model, der beskriver sygehusenes udgifter til medicin i perioden , er bestemt til ovenstående udtryk.

Opgave 8 a)

Vi bestemmer sumkurven samt de kumulerede frekvenser med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Kumulerede frekvenser:

Grupperede observationer

Interval 100

Fra Til

Hyp. Frekvens Kumuleret

30 40 2 2% 2%

40 50 12 12% 14%

50 60 40 40% 54%

60 70 24 24% 78%

70 80 18 18% 96%

80 90 4 4% 100%

Sumkurve:

0%

25%

50%

75%

100%

0

Kum. Frek.

Hvilepuls (slag pr. minut)

Sumkurve

Side 8

Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2010

8 b)

Vi bestemmer fraktilen ved en hvilepuls på 57 med WordMat, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Observation Fraktil

57 42%

Vi kan konkludere at 42 % af eleverne har en hvilepuls på 57 eller derunder.

Opgave 9 a)

Vi bestemmer afstanden mellem spærene ved at bestemme y, når x = 8.

𝑦 = 131,8 · 8^{−2,5}

≈ 0,72809901

Afstanden mellem spærene er bestemt til 0,73 m (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi definerer tallet -2,5 som a og væksten for taget på typehus A.

𝑎 ≔ −2,5

𝑟_{𝑥} ≔ 0,25

Vi bestemmer, hvor mange procent mindre afstanden er mellem spærene er på typehus A end på typehus

B, ved at løse for r_{y} i nedenstående udtryk.

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} = −0,4275666

Ifølge modellen er afstanden mellem spærene på typehus A 42,76 % (afrundet til 2 decimaler) mindre end på typehus B.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: