SRP: Matematik i Litteratur og Novellen Snyd i Dansk og Matematik

Side 1

Side 1 af 25

Abstract:

In this SRP assignment, I’ve chosen to study the mathematical quadratic equation’s general meaning for literature. To uncover this, I’ve chosen to work with the short story “Snyd” by Anders Bodelsen. I will closely study, analyse and interpret the short story “Snyd” by using the new criticism method, with a primary focus on the main character, plus what significance the math in the short story has on the main character in the way he acts and his alternating state of mind.

As an expansion of the real numbers, I have chosen to deal with complex numbers and how one arrives at a solution to the quadratic equation by using complex numbers.

My analysis and interpretation of “Snyd”, brings me to how the candidate breaks the rules and how this makes him feel unsafe and guilty. Therefore he creates a new set of rules which can help him live his life without it ending in chaos. It is therefore extremely important for any person to have a set of rules to prevent this from happening.

By introducing the complex numbers, I show from my processed theory, that every quadratic equation in the amount of complex numbers always has at least one solution without the independence of the discriminant sign. Despite the complexity of the equation, there will always be a set of rules which solve the mathematical problem. In contrast to the mathematical rules, the moral rules in life are much more complex and unpredictable since there are no fixed rules.

Side 2

Side 2 af 25

Indholdsfortegnelse:

Abstract…………………………………………………………………………………………………………………….……………………1

Indledning og metode……………………………………………………………………………………………….……………………3

Novellen ”Snyd”……………………………………………………………………………………………………….………….……4 - 9

Indledning til de komplekse tal…………………………………………………………………………………………………….10

Baggrundsviden for de komplekse tal (C)………………………………………………………………….………….11 – 14

Komplekse tal på formen a + ia ……………………………………………………………………………….………….14 - 15

1 2

Regnereglerne for de komplekse tal……………………………………………………………………….…………….15 – 17

Den komplekse talplan……………………………………………………………………………………………….…….…..17 - 18

Addition, multiplikation…………………………………………………………………………………………….………….18 - 19

Andengradsligningen…………………………………………………………………………………………………….……………..19

Ligninger af formen z^{2} = a…………………………………………………………………………………………….………20 – 21

Ligninger af formen az^{2} + bz + c = 0……………………………………………………………………………………..21 – 23

Udregning af Andengradsligningerne i ”Den mystiske sag om hunden i natten” ……………………….23 Konklusion……………………………………………………………………………………………………………….………………….24

Litteraturliste…………………………………………………………………………………………………………….………………..25

Side 3

Side 3 af 25

Indledning og metode:

I denne studieretningsopgave har jeg valgt arbejde med andengradsligningens eller matematikkens generelle betydning for litterære værker. Til dette har jeg valgt at beskæftige mig med novellen ”Snyd” fra novellesamlingen ”Rama Sama”(1967), der er skrevet af Anders Bodelsen.

                                                                           1
Jeg vil på almindeligvis nærlæse, analyser og fortolke novellen ”snyd”, ud fra den nykristiske

metode, med stort fokus på hovedkarakteren, og hvordan matematikken (andengradsligningen) i novellen, har betydning for hovedkarakteren i hans handlinger og vekslende sindstilstand.

Andengradsligningen der bliver benyttet i ”Snyd” har to løsninger inde for mængden af reelle tal, da diskriminanten er større end 0 (d > 0). Men kan en andengradsligning altid løses? Også selvom at diskriminanten er mindre end 0?

Som en tilkobling til dette spørgsmål, kommer jeg ind på emnet ”De komplekse tal”. Ved brug af de komplekse tal kan man nemlig, løse en hver andengradsligning, da fortegnet af diskriminanten ikke spiller nogen rolle for løsningen. Til løsning af en andengradsligning inden for mængden af de komplekse tal, behandler jeg ved brug af den matematiske metode, for f.eks. addition og multiplikation, specifikke sætninger og definitioner der ligger til grunde for løsning af andengradsligninger. I forbindelse med dette vil jeg udregne andengradsligningerne i bogen ”Den mystiske sag om hunden i natten”, og benytte mig af min behandlede teori.

1

Gads Litteraturleksikon: side 250 (nykritik)

Side 4

Side 4 af 25

”Snyd”- en novelle af Anders Bodelsen

Novellen ”Snyd” blev udgivet i novellesamlingen Rama Sama i 1967 af forfatteren Anders Bodelsen

(fremover AB). I novellen følger vi den unavngivne hovedperson, der er til den gamle mellemskole eksamen i matematik uden hjælpemidler i 1952. Hovedpersonens svage punkt er at huske tal og formler, som han skal benytte for at regne en specifik andengradsligning. I ren desperation vælger han at gribe til andre midler – nemlig at snyde. Han har hele tiden i baghovedet, at hvis han ikke løser andengradsligningen, kan han ikke komme ind på det matematiske gymnasium, og hele hans fremtid vil ændre sig i en helt anden retning, end han havde regnet med.

Fortælleren i novellen er tydeligvis en 3. Persons fortæller. Side 84, linje 4 – 5: ” Han skrev, for dog at gøre noget, opgaven ned, øverst på et friskt ark gult kladdepapir”. Fortælleren giver os en gennemgang af hovedpersonens frygtelige dilemma med den drilagtige andengradsligning og hvad han tænker og føler i denne situation. Det er samtidig en alvidende fortæller, der kommer helt ind i sindet på hovedpersonen. Det er vigtig at bemærke fortællerens tendens til at supplere med egne kommentarer i novellen. Side 83-84. Linje 33-3: ”Han skulle få ret i denne højtidelige og desperate betragtning, som ikke var spor for højtidelig eller desperat: hvad han gjorde fik faktisk betydning for hele resten af hans liv”. Denne kommentar giver os endnu et bevis på at det er en alvidende fortæller, der kan se, hvad der vil ske med hovedpersonen i fremtiden, afhængig af om han består eller dumper prøven. Fortælleren har det også med at gå helt ind i hovedpersonens sind og fortælle i ”jeg”- person. Side 91. Linje 9-11. ”Jeg har aldrig haft noget imod hende, for ti minutter siden var jeg i hendes situation”. Her kommer han ind og fortæller fra den indre synsvinkel, der hjælper os til at forstå hovedpersonens handlinger i de forskellige situationer. Man får altså forskellige fortæller-vinkler i novellen, både en udefra hvor man betragter hovedpersonens udregninger og handlinger under hele eksamen, men også en hvor man ser situationerne fra hovedpersonens egen synsvinkel.

Et af de typiske novelletræk er, at den starter lige på handlingen uden nødvendigvis at give et resume af, hvad der ligger til grund for fortællingen. Novellen ”Snyd” passer meget godt til denne beskrivelse. Man starter med at møde hovedpersonen umiddelbart efter eksamens begyndelse.

Herefter følger man ham gennem hele den langvarige eksamen, hvor man indføres i hans erindringer og tanker fra andengradsligninger til sommerferie. Novellen ”Snyd” er fortalt i et meget detaljeret og dybtgående sprog, der er med til at få handlingen til at skride frem i et meget langsomt tempo. Som det fremgår i eksamensbeskrivelsen varer eksamen 3 timer, og derfor er handlingsforløbet også de ca. 3 timer. Matematikken definerer således hele rammen for selve handlingen. Dette handlingsforløb udspiller sig primært under hovedpersonens kamp om at kunne løse de tre eksamensopgaver inde i gymnastiksalen. De eneste tidspunkter, hvor handlingen udspiller sig udenfor salen, er, når hovedpersonen skal på toilettet for at snyde med opgaven og efter eksamen, da han forlader skolen.

Side 5

Side 5 af 25

Endnu et af de karakteristiske træk ved novellen er, at der ikke indgår mange personer. Der indgår faktisk kun en hovedperson. De andre elever og lærere i gymnastiksalen bliver kun beskrevet som nogle anonyme statister. Omgivelserne i historien bliver også beskrevet meget anonymt med de grå og kedelige farver i salen og det dårlige vejr udenfor. Selvom drengen er den eneste person i novellen, får man intet af vide om hans baggrund, miljø og familie. Det eneste man kan fastslå er hans alder på ca. 15 -16 år. Side 83. Linje 1-2: ”...femten- seksten- årige, fordelt på fire rækker...”.

På trods at alle de ting man ikke får kendskab til, får man masser af vide om, hvordan han er som person. Som tidligere nævnt har han meget svært ved at huske tal og formler, der både indgår i hverdagen, men også til eksamen. Hovedpersonen ved ikke på dette givne tidspunkt at han har en ”blind plet” med hensyn til at kunne lære tal udenad. Dette får vi fortalt af den alvidende fortæller, der giver os indblik i, at det vil blive en af hovedpersonens store udfordringer i fremtiden. Det store dilemma i denne novelle omhandler, hvorvidt hovedpersonen vil bruge snyd til at løse andengradsligningen for at kunne komme ind på det matematiske gymnasium. Grunden til at han vil ind på gymnasiet, er hans store ambition om at blive Danmarks bedste skakspiller, og han mener, at det matematiske gymnasium kan hjælpe ham på den rette vej mod hans endelige mål. For at kunne opnå dette SKAL han snyde med ligningen, for ellers bliver han ikke skakspiller, som han drømmer om. AB bruger her matematikkens terminologi, til at understrege hovedkarakterens situation ved brug af ordet ”følgelig” på side 82, der kunne minde om en slags bevisførelse for hans brug af snyd. Side 82. Linje 4-7: ”Følgelig måtte han op i det matematiske gymnasium. Følgelig måtte han løse mindst to af de tre opgaver på papiret. Følgelig måtte han læse ligningen på sedlen i lommen”. Han sætter det op som et matematisk bevis, ved at sige at det ene medfører det andet og det andet medfører det tredje osv. Han gør det for at retfærdiggøre brugen af snyd. Det er ikke fordi, at hovedpersonen er dårlig til at lave udregninger, men i sine frustrationer glemmer han alt sin viden omkring løsning af andengradsligninger og selvfølgelig den alt afgørende formel. Det er som om, at hele dette dilemma om at snyde har været forudbestemt for hovedpersonen. At han i første omgang har valgt at skrive formlen ned på papirsedlen og putte den i lommen til morgenmaden, giver os endnu et bevis på at han ikke kommer igennem eksamen uden at snyde. Vi får også at vide af fortælleren at løsningen af andengradsligningen er altafgørende for hvordan hans fremtid vil forme sig, derfor er der ingen anden udvej end at snyde sig til sejren. Matematikken symboliserer også i dette tilfælde hvordan hans liv kan tage to vidt forskellige retninger. Enten ved brug af snyd eller ikke. Hans desperate men forkerte forsøg på at skrive løsningsformlen på side 86, kan symbolisere hans to muligheder i netop denne situation.

𝑥=± 𝑎 , hvor det kan tages op til diskussion, hvilken vej der er den rigtige.

Det interessante og alment-menneskeligt genkendelige i novellen er eksaminandens op og ned ture - der jo kunne tænkes at have form som en parabel. Først får hovedpersonen det tiltagende psykisk dårligt, da alt hvad han gør for at finde en løsning på andengradsligningen fører til grimme brøker og vildspor. De matematiske ligninger på side 84, symboliserer hans sindstilstand på et

                                     2   2
tidspunkt, hvor han er helt blank; ligningen (a -4)x – 2ax + 1 = 0 ”går i nul”, som et udtryk for

tomheden i hans hoved, og går efterfølgende i negativ (= -1), da han indser, at det er totalt

Side 6

Side 6 af 25 meningsløst. Han gør ligningen meget mere kompleks og uoverskuelig for sig selv ved at regne på den uden brug af den rette formel. Han begynder at indse, at han er fortabt, og at han aldrig kommer til at bestå eksamen uden brug af snyd. Det er en form for dyrkelse af fortabthed. Han bliver ved med at sige til sig selv, at han er fortabt og undergangen venter. Under alle hans frustrationer bruger han meget tid på at observere de andre klassekammerater i salen. Hvordan de sidder i deres egne små cirkler og knokler med deres egne frustrationer. AB bruger her den matematiske geometriske terminologi til at beskrive individernes sindstilstand og mentale overskud i salen ved at give cirklerne forskellige størrelser (især omkring hovedpersonen). Han kigger især meget på en pige, der ser ud til at have opgivet opgaverne, og ikke laver andet end at sidde tilbagelænet i stolen og knække fingre. Da det pludselig begynder at gå hovedpersonen godt, og han har fået løst ligningen, kigger han på pigen igen og ser på hende med fryd og med en følelse af lykke. Side 91. Linje 9-11:”Hvorfor? Er jeg ond? Jeg har aldrig haft noget imod hende, for ti minutter siden var jeg i hendes situation. Er jeg et dårligt menneske?”. Dette er bare en af de naturlige egoistiske følelser, som alle mennesker kan få en gang imellem, når det går godt for en selv. Han bruger en meget illustrativ metafor, da han endelig får hul på løsningen af ligningen. Han sammenligner sig selv med toreadoren i tyrefægtning, der endelig har overtaget magten over tyren, og kun venter på at give tyren det sidste stød ind i nakkemusklen. I stedet for at dræbe dyret med det samme, vælger han at vise sin overlegenhed, ved at vente og vise sin selvsikkerhed i situationen. Ligningen løses og han vender derefter tilbage til den helt ufarlige og tæmmet tyr og giver den det sidste stød. Side 91. Linje 12-13: ”…vendte han atter til den ufarlige tyr og plantede

(han var ret stolt af dette billede) sin sidste kårde”. Som han selv beskriver det er han umådelig stolt over at endelig at have løst ligningen, selv om han har snydt sig frem til det.

Hovedpersonen har en god selverkendelse mht. hvilke ting han er god til eller dårlig til. Han ved, at han ikke kan slippe afsted med at smugle papiret op af lommen og skrive formlen af, uden at hele gymnastiksalen vil vende deres hoveder og kigge på ham i rædsel og anklage for at snyde under eksamen. Side 85. Linje 3-5: ”Denne selverkendelse var for så vidt en af hans bedste egenskaber, samtidig var den naturligvis - …”. Her siger fortælleren, at selverkendelse er en af hans gode egenskaber, i modsætning til hans dårlige hukommelse mht. tal. Da han godt ved, at han ikke kan snyde i gymnastiksalen, lader han som om, at han har diarre og smutter på toilettet for at nedskrive formlen på sit lommetørklæde.

Som nævnt tidligere bliver sproget meget detaljeret i hovedpersonens periodiske kriser, der er tæt forbundet med forløbet i matematik opgaven, hvor han enten er helt nede og ramme bunden eller helt oppe og ringe. Sproget som Anders Bodelsen anvender, er meget præget af den nyrealistiske skrivemåde. Dette indbefatter de meget detaljerige beskrivelser af

              2
handlingsforløbet , med hovedpersonens udregninger og tanker. AB beskriver personerne i

                                                        3
novellen anonymt, hvilket også ligger til den nyrealistiske skrivemåde

. Da AB skriver på denne

2

Litteraturens Veje: side 452 (nyrealismen)

3

Litteratur Håndbogen: side 341 (Fra psykologiske realisme til nyrealisme)

Side 7

Side 7 af 25 detaljerige måde, overlader han ikke meget til læseren selv for at kunne fantasere over de handlinger, som hovedpersonen påtager sig. AB skriver i et hverdagssprog, der skal kunne læses og forstås af alle danskere i alle sociale klasser. Det er også derfor at han ikke kun nøjes med at skrive formlerne med matematiske betegnelser, men også vælger at beskrive formlerne i prosa, så alle kan være med og forstå, hvad der står. Side 80. Linje 13-15:”x er lig med det halve af den reducerede kvotient til x med modsat fortegn, plus og minus kvadratroden af samme størrelse kvadrat, efterfulgt af ligningens sidste led med modsat fortegn”. Det er heller ikke tilfældigt, at AB vælger at skrive om en eksamen, fordi han vil skabe en konkret hverdagsvirkelighed, som også er

meget typisk for nyrealismen^{4}.

Som tidligere nævnt skal det bemærkes, at AB kommer med kommentarer under hele novellen for at hjælpe læseren til at forstå betydningen af de ting, som hovedpersonen påtager sig. Der er især en passage på side 82, der er vigtig at kigge lidt nærmere på [5]. Her beskriver AB at det ikke har nogen relevans for forståelsen af novellen, hvis man ikke forstår alle de matematiske formler og ligninger der optræder. Da matematikken er regelbundet, kan man være i to situationer. Kender man de matematiske regler, vil gennemgangen foregå på et forholdsvis simpelt plan uden nogle komplekse udfordringer, men hvis man ikke kender reglerne, vil det hele ende i ren volapyk og meningsløshed. AB skriver selv, at det næsten ligefrem er en fordel for læseren, hvis man ikke forstår det aritmetiske. Grunden til dette er, at matematikken skal være med til at symbolisere hovedpersonens sindstilstand gennem hele novellen. Enten er det simpelt og lige til eller også er det komplekst og uden sammenhæng. AB prøver at skabe fortvivlelse hos læseren, når læseren kigger på de matematiske udtryk, men kun for at skabe en form for identifikation med eksaminanden. Det er derfor ikke tilfældigt at AB har valgt netop denne andengradsligning.

( 𝑎^{2} − 4) 𝑥^{2} − 2𝑎𝑥+ 1=0

Denne ligning er yderst velvalgt af AB, da den kun kan føre til to løsninger ved brug af den bestemte formel.

𝑥= − ± − 𝑏

𝑎 𝑎^{2}

2 4

√

Dette kræver selvfølgelig, at man kan huske formlen, men også at man kan de matematiske regler ved at sætte tallene rigtigt ind og lave de rigtige udregninger til at kunne benytte sig af formlen.

Temaerne, Anders Bodelsen vælger at skildre, er de hverdagsproblemer og dilemmaer vi helt almindelige mennesker kan komme ud for. Han beskriver en sindstilstand, vi alle har været ude for

4

Litteraturens Veje: side 452 (nyrealismen)

5

Novellen ”Snyd”: side 82. Linje 9-17

Side 8

Side 8 af 25 og som vi alle ved, er en nervepirrende situation at sidde i. Det, der gør historien spændende, er i det øjeblik, hvor hovedpersonen vælger at snyde Grunden til dette er, at vi alle kan identificere os selv med situationen, og på den måde få en vis medlidenhed med hovedpersonen.

Hovedpersonen er nødt til at sikre sig sit første skridt imod at blive Danmarks bedste i skak nemlig at bestå eksamen. Det er også en meget dramatisk situation hovedpersonen befinder sig i; enten at snyde og muligvis bestå eksamen eller at prøve at udregne ligningen i hovedet uden snyd og dumpe med stor sikkerhed. Eksaminanden er fortabt, som han selv nævner det i novellen, uden brug af snyd. Et af hovedtemaerne som AB berører, er bruddene af de gældende regelsæt hos individet. Eksaminanden bryder sine egne og de sociale regler for moralen ved at snyde. Da han bryder disse regler får det de konsekvenser for ham, at han er nødt til at finde på nogle nye regler, der kan undskylde ham i at have snydt. Derfor begynder han at finde på nye regelsæt, han kan holde sig til, der kan berettige hans brug af snyd i den givne situation. Primært finder han på regelsættene for hans egen skyld, så han kan leve med sin egen samvittighed. Reglerne tillader selvfølgelig ikke alt snyderi, men kan hjælpe ham til at acceptere at snyde i andre situationer i fremtiden. For hvis han hele tiden skulle snyde, ville han blive sat i samme bås som alle de andre snydere og dette vil føre til kaos over os alle. Hovedpersonen bruger meget tid på at finde ud af et gældende regelsæt så han er undskyldt for sit snyderi, men accepterer det umiddelbart, ubevidst til sidst, da han kan cykle væk uden nogen dårlig samvittighed. I bund og grund vælger hovedpersonen at gradbøje begrebet ”at snyde”. Modsat vores moralske regler kan de matematiske regler ikke gradbøjes eller ændres på, da dette vil føre til sammenbrud af hele den matematiske verden. Der et godt teksteksempel fra bogen ”Den mystiske sag om hunden i natten”, der uddyber dette. Side 84. Linje 5-7: ”Og det han mente var at matematik ikke var lige som livet for i livet er der i sidste ende ingen enkle svar på noget som helst”. Hovedpersonen Christopher i bogen, tydeliggør her, at livet ikke er særlig simpelt i forhold til matematikken.

Matematikken har sine bundne regneregler, som er det eneste man behøver at forholde sig til, hvorimod livet er meget mere komplekst og indviklet. Gennem hele livet bliver man ved med at bryde regler og lave nye, for at få en vis tryghed i hverdagen. Hvis mennesket ikke er bundet til nogle regler, vil alt ende i kaos.

Som tidligere nævnt er denne novelle et typisk eksempel på et nyrealistisk værk. Den skildrer hverdagen i samfundet, så folk kan identificere sig med handlingsforløbet uafhængig af tiden. Det var især dette som gjorde at forfatterne i denne tidsperiode blev så populære. At næsten alle har set sig selv i en lignende situation, og har været grebet af panik og evt. har endt med at snyde. Det var netop i nyrealismen, at man valgte at skrive om kriser i kernefamilier, om kønsroller og mennesker, der var på kanten til undergang [6]. Novellen ”Snyd” passer meget godt ind i denne beskrivelse, da hovedpersonen bliver udsat for en så nervepirrende situation og føler sig helt alene fortabt. Forfatterne i nyrealismen skrev i et køligt, til tider kynisk sprog, der var med til at understrege individernes miserable liv. Før nyrealismens gennembrud, var det modernismen, der

6

Litteraturens Veje: side 341 (Fra realisme til nyrealisme)

Side 9

Side 9 af 25 til forskel for nyrealismen, valgte at beskæftige sig med arv og miljø i samfundet, og hvordan dette begyndte at falde fra hinanden [7]. Nyrealisterne var meget mere interesserede i at skrive om sociale problemer i alle samfundets klasser, og hvordan personerne handlede i disse kritiske og rædselsfulde situationer. I modsætning til det moderne gennembrud valgte nyrealisterne ikke at ende deres historier med en lys og god fremtid i paradis, men dyrkede derimod de kolde og ulykkelige slutninger. Der et meget godt eksempel på denne elendighed hos hovedpersonen i ”Snyd”. Dette ses på side 86. Linje 13-16.

”Jeg ser en bille vandre tryg med grønt metal på hvælvet ryg, den vandrer mod en bøddelfod”.

Dette er et godt eksempel på en nyrealistisk måde at skrive på. Eksaminanden er helt ude af den, og kan ikke se noget lys i livet. Det eneste han kan se, er ordet ”fortabt” foran sig. Eksaminanden sammenligner sig selv med billen, der vælger at gå imod bødlens fod - symbolet på død og ødelæggelse. Han har givet op, han er fortabt og har intet håb for en god fremtid.

Dette leder os videre til afslutning af novellen. Side 94. Linje 10-12. ”Men først ville han køre en tur rundt omkring børnehjælpsdagen og måske op over Dyrehavsbakken, en cykeltur i det regnvejr, som kom nærmere for hvert øjeblik”. Denne afslutning, mener jeg, kan tolkes på to forskellige måder, ligesom andengradsligningen kunne have to løsninger. Det første, jeg tolkede den som, var at de store sorte regnvejrs skyer, der kom nærmere kunne symbolisere drengens fremtidige liv.

Eftersom skyerne er sorte, medfører dette ikke andet end dårlige varsler om hans fremtid. Måske kommer han ud for lignende situationer i fremtiden og er pludselig ikke i stand til at lave regelsæt, der kan hjælpe ham i disse situationer. En helt anden ting som regnvejrs skyerne kunne symbolisere er, at hovedpersonen skal ud i regnen og skylle sig ren fra alle de synder, han har påtaget sig. Derefter kan han starte på en frisk med et nyt regelsæt.

7

Litteraturens Veje: side 442 (Modernismen)

Side 10

Side 10 af 25

Indledning til de komplekse tal:

Dengang man allerførste gang begyndte at få kendtskab til tallene, var da man skulle lære at tælle. Her stiftede man bekendtskab til de naturlige tal (N). Med mængden af (N) kunne man løse

nogle af de simpleste ligninger f.eks. x+ 2 = 3. Men hurtigt var N ikke tilstrækkelig nok, da man ikke

havde ubegrænset subtraktion, så man tilføjer derfor de hele tal (Z) til udregning af ligninger som

f.eks. x + 9 = 5. Efterfølgende opstod de rationale tal (Q), fordi man indenfor Z ikke havde
mulighed for ubegrænset division. Nogle ligninger af formen ax = b havde ingen løsning indenfor Z,

men havde derimod indenfor Q. Behovet for de reelle tal skete da man mødte ligningen med

formen x^{2} = a, a ≥ 0, hvor a var rational. Og det var her vi begyndte at få bekendtskab med de

komplekse tal (C), da vi ønskede at udvide talbegrebet endnu mere. Man begyndte at snakke om

de komplekse tal ved løsning af ligningen x^{2} = a, hvor a var mindre end 0. Dette betød at enhver

ligning med n´te grad havde n – rødder.

Et overblik af tallene i talsystemet:

N: De naturlige tal { 1,2,3,4,5...}

Z: De hele tal { …-2,-1,0,1,2...}

Q: De rationale tal (tal som brøker med hele tal i tæller og nævner)

R: De reelle tal (alle tal på tallinjen)

Som vi ved, har man ved løsning af en andengradsligning (ax^{2} + bx + c = 0) indenfor mængden af R,

3 muligheder for løsningsmængden. Dette gør man ved at finde andengradsligningens

diskriminant ved formlen b^{2} – 4ac. Der er tre mulige løsninger ses nedenfor:

d < 0 – Hvis diskriminanten er mindre end 0, så har ligningen ingen løsninger.

d = 0 – Hvis diskriminanten er lig 0, så har polynomiet 1 enkelt løsning.

d > 0 – Hvis diskriminanten er større end 0, så har polynomiet 2 løsninger.

Som vist ovenfor er det ikke muligt at finde en løsning på en andengradsligning inden for R, hvis d

< 0. Kun ved at udvide talsystemet til de komplekse tal C er det muligt at finde en løsning.

Side 11

Side 11 af 25

Baggrundsviden for de komplekse tal (C)

Inden jeg starter på de komplekse tal, skal jeg hurtig have præciseret de forskellige regneregler for de reelle tal. Disse regneregler er organiseret indenfor addition og multiplikation. Men allerførst skal jeg have defineret hvad et legeme er. Et legeme er en talmængde, der er organiseret med to regneregler, således at regnereglerne for R gælder. Det er derfor meget vigtigt at C overholder regnereglerne, for at kunne blive betragtet, som et legeme.

                                                      8
Nedenfor ses de 10 regneregler indenfor addition og multiplikation :

R1. Hvis a,b є R, gælder det også, at a + b є R og ab є R.
R2. a + b = b + a R6. ab = ba

(Den kommutative lov) (Den kommutative lov)

R3. a +(b+c) = (a +b)+c R7. a(bc) = (ab)c

(Den associative lov) (Den associative lov)

R.4 Der findes et nulelement 0: 0+a = a+0 = a R8. Der findes et ételement 1: 𝑎 ∙1=1∙ 𝑎=𝑎
R.5 Alle tal a har et modsat element –a, så R9. Alle a≠0 har et reciprokt element a^{-1} = 1/a,
a+(-a) = (-a)+a = 0

     1   1
så 𝑎∙  =  ∙ 𝑎=1
     𝑎   𝑎

R10. a(b + c) = ab + ac
For at beskæftige os med de komplekse tal skal jeg have en faktor der kan betegnes med √ −1

Til dette vælger jeg at arbejde med addition og multiplikation af formen bestående af: a + a √ −1

1 2

Addition:

(𝑎_{1} + 𝑎_{2} ∙ √ −1) + (𝑏_{1} + 𝑏_{2} ∙ √ −1)= parenteserne hæves
𝑎_{1} + 𝑏_{1} + 𝑎_{2} ∙ √ −1 + 𝑏_{2} ∙ √ −1= 𝑎 + 𝑏_{1} 𝑜𝑔 𝑏_{2} + 𝑎_{2} skrives ind i to parenteser

1

( 𝑎_{1} + 𝑏_{1}) + ( 𝑏_{2} + 𝑎_{2}) ∙ √ −1

Multiplikation:

(𝑎_{1} + 𝑎_{2} ∙ √ −1) ∙ (𝑏_{1} + 𝑏_{2} ∙ √ −1)= der multipliceres ind i begge parenteser
𝑎_{1} 𝑏_{1} + 𝑎_{1} 𝑏_{2} ∙ √ −1 + 𝑎_{2} 𝑏_{1} ∙ √ −1 + 𝑎_{2} 𝑏_{2} ∙ √ −1 ∙ √ −1 = 𝑎_{1} 𝑏_{2} og 𝑎_{2} 𝑏_{1} skrives i samme parentes

8

Komplekse tal og Fraktaler: side 11

Side 12

Side 12 af 25

𝑎_{1} 𝑏_{1} + ( 𝑎_{1} 𝑏_{2} + 𝑎_{2} 𝑏_{1}) ∙ √ −1 + ( 𝑎_{2} 𝑏_{2}) ∙ −1= der multipliceres
(𝑎_{1} 𝑏_{1} − 𝑎_{2} 𝑏_{2}) + ( 𝑎_{1} 𝑏_{2} + 𝑎_{2} 𝑏_{1}) ∙ √ −1

Alle disse udregninger, udregnet af matematikeren Bombelli, fører os videre til idégrundlaget for

          9
en definition .

Jeg vil i dette afsnit begynde at eftervise regnereglerne for additionen og multiplikationen, dvs. R1- R10 og se om de nu giver det forventede tallegeme. Jeg vil dog ikke gå ind og eftervise alle de ti regneregler, men har valgt at pege nogle af dem ud til nærmere undersøgelse. Jeg vælger at kigge på regnereglerne R2(addition), R6(multiplikation) og R9(multiplikation).

R2: Som tidligere nævnt er dette den kommutative love, hvor a + b = b +a. Dvs. at du kan bytte om

på a og b uden nogen betydning for resultatet.

(a + a) + (b + b) = (a + b, a + b) der adderes ind i parenteserne.

1 2 1 2 1 1 2 2

(b + b) + (a + a) = (b + a, b + a)

1 2 1 2 1 1 2 2

Her kan man se at de to højre sider er lige med hinanden og det samme gælder for venstresiderne, fordi den kommutative lov gælder for de reelle tal. Derfor er det lige meget om du bytte på a og b ved addition.

R6: Dette er også den kommutative love der skal eftervises, men nu ved multiplikation af a og b.

(a, a)(b, b) = (a b – a b, a b + a b) der multipliceres ind i parenteserne.

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1

(b, b)(a, a) = (b a – b a, b a + b a)

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1

Igen er de to højre sider lige med hinanden og det samme gælder venstresiderne. Dvs. at det heller ikke betyder noget at bytte om på a og b ved multiplikation.

9

Komplekse tal og Frataler: side 13

Definition 1:

I mængden af talpar er addition og multiplikation bestemt ved

1) (a,a) + (b,b) = (a + b, a + b)

1 2 1 2 1 1 2 2

2) (a,a)(b,b) = (a b – a b, a b + a,b)

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1

Den således organiserede mængde kaldes de komplekse tal og betegnes med C.

Side 13

Side 13 af 25

R9: Dette bevis er lidt mere indviklet at bevise i forhold til de to før viste beviser. I dette bevis skal

jeg vise at der for alle (a,a) ≠ (0,0) findes et element (x, x) ved multiplikation med (a, a). Derfor

1 2 1 2 1 2 skal jeg løse nedenstående ligning:

( 𝑥_{1},𝑥_{2}) ∙ ( 𝑎_{1},𝑎_{2}) = ( 1,0) Her benyttes bevis R6 (punkt 2 i definition 1).
( 𝑥_{1} 𝑎_{1} − 𝑥_{2} 𝑎_{2}, 𝑥_{1} 𝑎_{2} + 𝑥_{2} 𝑎_{1}) = ( 1,0) Løses som to ligninger med to ubekendte.
𝑥_{1} 𝑎_{1} − 𝑥_{2} 𝑎_{2} =1 ⋀ 𝑥_{1} 𝑎_{2} + 𝑥_{2} 𝑎_{1} =0 Der multipliceres med a i første ligning og med

1 a i den anden ligning.

2

𝑥_{1} 𝑎_{1}^{2} − 𝑥_{2} 𝑎_{1} 𝑎_{2} =𝑎_{1} ⋀ 𝑥_{1} 𝑎_{2}^{2} + 𝑥_{2} 𝑎_{1} 𝑎_{2} =0→ Den første ligning adderes med den anden.
𝑥_{1} 𝑎_{1}^{2} + 𝑥_{1} 𝑎_{2}^{2} = 𝑎_{1} ↔ x sættes ud for en parentes.

1

𝑥_{1} ( 𝑎_{1}^{2} + 𝑎_{2}^{2}) = 𝑎_{1} ↔ x kan nu isoleres.

1

𝑥_{1} =

𝑎_{1}
( 𝑎_{1}^{2} + 𝑎_{2}^{2})

Nu har jeg fundet x

1 2

. For at finde x gør jeg næsten det samme som før. Jeg stiller de to ligninger op, som to ligninger med to ubekendte, men multiplicer i stedet med a

2 i den første ligning og med a i den anden ligning. Dvs. jeg ganger omvendt.

1

𝑥_{1} 𝑎_{1} − 𝑥_{2} 𝑎_{2} =1 ⋀ 𝑥_{1} 𝑎_{2} + 𝑥_{2} 𝑎_{1} =0 Der multipliceres med a i første ligning og med

2 a i den anden ligning.

1

𝑥_{1} 𝑎_{1} 𝑎_{2} − 𝑥_{2} 𝑎_{2}^{2} =𝑎_{2} ⋀ 𝑥_{1} 𝑎_{1} 𝑎_{2} + 𝑥_{2} 𝑎_{1}^{2} =0→ Den første ligning subtraheres fra den anden.
𝑥_{2} 𝑎_{2}^{2} + 𝑥_{2} 𝑎_{1}^{2} = −𝑎_{2} ↔ x sættes ud for en parentes.

2

𝑥_{2} ( 𝑎_{2}^{2} + 𝑎_{1}^{2}) = −𝑎_{2} ↔ x kan nu isoleres.

2

𝑥_{2} =

−𝑎_{2}
( 𝑎_{2}^{2} + 𝑎_{1}^{2})

𝑥 =        , 𝑥 =
 1    2      2    2
    ( 𝑎         ( 𝑎
      1           2

𝑎_{1} −𝑎_{2}
+ 𝑎_{2}^{2}) + 𝑎_{1}^{2})

Jeg har nu fundet ud af at ligningen i bevis 6 (tidligere vist) har netop en løsning, da vi forudsatte

at (a, a) ≠ (0,0). Dvs. at nævneren i brøkkerne må aldrig være 0, da det vil stride imod vores

1 2 forudsætning. Det fundene legeme ovenfor er det reciprokke talpar til (a

1 2

, a

), og kan derfor sige at det komplekse tallegeme opfylder denne regneregel (R9). De andre regneregler

Side 14

Side 14 af 25

(R1,R3,R4,R5,R7,R8,R10) som jeg ikke har valgt at bevise, opfylder også det komplekse tallegeme, og kan derfor beskrives som et legeme.

Med alle de beviser for multiplikation og addition kan jeg fremskrive en sætning for de komplekse tal:

Jeg vil nu vise at de komplekse tal indeholder de reelle tal. De komplekse tal forekommer kun som talpar, hvor de reelle tal er normale tal. Jeg derfor betragte R*, der er den delmængde af C, hvor andenkomponenten er 0:

R* = { (𝑥,0)∣𝑥∈𝑅}

Jeg bruger nu definitionen fra tidligere (1) og (2), til løsning af de komplekse tal, som vi betragter R*.

1) (a,0) + (b,0) = (a + b),(0 + 0) = (a + b,0)
2) (a,0)(b,0) = (ab – 0 ∙ 0, a ∙ 0 + 0 ∙ b) = (ab,0)

Ved brug af de to punkter fra definition 1 kan det ses at jeg får elementer i R*. Da det er lige

meget om elementerne er omvendte eller reciprokke i R* ligger de også i R*. De kaldes (R*,+,∙) og

er et dellegeme af C.

Komplekse tal på formen a_{1} + ia_{2} (realdel og imaginærdel)

Som vist før identificerede jeg mig med elementet (x,0) i R*, hvor x var det reelle tal. Inde for de komplekse tal, hvor de ikke er reelle, dvs. at de ikke ligger i R*, kaldes for imaginære. Ordet imaginært kommer fra ordet ”imaginarius”, der betyder indbildt eller ikke virkeligt.

For det komplekse led i formen vil benytte mig af bogstavet i.

Jeg starter med at sætte i = (0,1), og gør herefter brug af definition 1, punkt (2).

i^{2} = (0,1)(0,1) = (0 ⋅ 0 – 1 ⋅ 1, 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0) = (-1,0) = -1

Sætning 1:

Alle de komplekse tal danner ved multiplikation og addition et legeme, som jeg vil betegne (C,+,∙ )

Side 15

Side 15 af 25

Som vi tidligere har vedtaget kan man skrive de komplekse tal på formen (a,0) = a. Dvs. at jeg kan
skrive i^{2} = -1

Jeg vil nu betegne a

2 som et reelt tal, og bruge definition 1, punkt (2) igen.

ia = (0,1)(a,0) = (0 ⋅ a – 1 ⋅0, 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ a) = (0,a)

2 2 2 2 2 og dermed

(a,a) = (a,0) + (0,a) = a + ia

1 2 1 2 1 2

Jeg har hermed opnået at vise, at hvert komplekst tal a kan skrives på formen:

a = (a,a) = (a,0) = a + ia

1 2 1 1 2

Når man kigger på formen a + ia består den af to dele. Den første del a kaldes for realdelen (Rez)

1 2 1 af a, og ia kaldes for den imaginærdel (Imz) af a. a kaldes rent imaginært hvis første komponenten

2

er = 0. Jeg kiggede også på det rent imaginære tal, da jeg skulle definere ”i” (0,1). Hvis derimod
den imaginærdel er = 0 (Imz = 0) vil det give et reelt tal.

Regnereglerne for de komplekse tal

Som tidligere vist var der visse regler for multiplikation og addition af de reelle tal, og da jeg viste at (C,+,⋅) var et legeme, kan vi da regne med at de komplekse tal er helt parallelt til regninger med de reelle tal. På samme måde med de reelle tal, vil jeg henholdsvis se på multiplikation og addition.

Addition: Definition 1, punkt (1)

a + ia + b + ib = a + b + i(a + b)

1 2 1 2 1 1 2 2

Multiplikation: Definition 1, punkt (2)

(a + ia)(b + ib) = a b + i^{2} a b + ia b + ia b = a b – a b + i(a b + a b)

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1

Eksempler:

(Addition): (3 + 8i) + (5 +2i) = 3 + 5 + 8i + 2i = 8 + 10i

(Multiplikation): (7 + 11i)(6 + 3i) = 7 ⋅ 6 + 11i ⋅ 6 + 3i ⋅ 7 + 3i ⋅ 11i = 42 + 66i + 21i + 33i^{2} =

Her skal men huske at i^{2} = -1 og derfor vil 33i^{2} = -33, da man multiplicere med -1.

42 – 33 + 66i + 21i = 9 + 87i

Side 16

Side 16 af 25 a´s konjugerede tal:

Da vi nu har a = a + ia, vil det også være godt at have a – ia til rådighed. Dette kaldes a´s

1 2 1 2 konjugerede tal og det betegnes 𝑎̅. Dvs. at:

a =a + ia ↔ 𝒂 ̅ = a – ia

1 2 1 2

Der er to sætninger inde for a´s konjugerede tal [10]:

a = a + ia og b = b + ib, er 𝑎̅ = a – ia og 𝑏 = b – ib

=                                ̅
  1

2 1 2 1 2 1 2

Bevis:

1) Jeg vil nu bevise at første sætning er gældende:

𝑎̅+ 𝑏 = 𝑎_{1} − 𝑖𝑎_{2} + 𝑏_{1} − 𝑖𝑏_{2} = ( 𝑎_{1} + 𝑏_{1}) − 𝑖 ( 𝑎_{2} + 𝑏_{2}) = 𝑎 +𝑏

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

2) Den anden sætning vil jeg omskrive sådan:

𝑎̅ 𝑏 =(𝑎_{1} + 𝚤𝑎_{2}) ∙ ( 𝑏_{1} + 𝚤𝑏_{2}) = ( 𝑎_{1} − 𝑖𝑎_{2})( 𝑏_{1} − 𝑖𝑏_{2}) = ( 𝑎_{1} 𝑏_{1} − 𝑎_{2} 𝑏_{2}) − 𝑖 ( 𝑎_{1} 𝑏_{2} + 𝑎_{2} 𝑏_{1}) =𝑎𝑏

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

For a = a + ia er der også meget nytte at vide at:

1 2

- a + 𝑎̅ = a + ia + a – ia = 2a, dvs. at det kun er realdelen der er til tilbage.

1 2 1 2 1

- a - 𝑎̅ = a + ia – (a – ia) = 2ia dvs. at det kun er imaginærdelen der tilbage. I dette

1 2 1 2 2,

tilfælde er a - 𝑎̅ rent imaginært for a ≠ 0.

2

- a𝑎̅ = (a + ia) ⋅ (a – ia) = 𝑎_{1}^{2} + 𝑎_{2}^{2}, dvs. at det igen kun er realdelen der er tilbage.

1 2 1 2

En smart ting som man kan bruge konjugering til er ved division af to komplekse tal, som man

ønsker på formen a + ia. Grunden til at det er smart er at man kan forlænge brøken med

1 2

                 𝑎 +i𝑎   ( 𝑎           𝑎
                  1  2    1             1
nævnerens konjugerede tal. =         =                     =
                  𝑏 +i𝑏  ( 𝑏
                  1  2    1

+i𝑎_{2}) ∙ ( 𝑏_{1} −i𝑏_{2}) 𝑏_{1} +i ( 𝑏_{2} 𝑎_{1} −𝑏_{1} 𝑎_{2}) −i𝑎_{2} 𝑏_{2}^{2}
+i𝑏_{2}) ∙ ( 𝑏_{1} −i𝑏_{2}) 𝑏_{1}^{2} −i^{2} b_{2}^{2}
𝑎_{1} 𝑏_{1} +i ( 𝑏_{2} 𝑎_{1} −𝑏_{1} 𝑎_{2}) +𝑎_{2} 𝑏_{2}
𝑏_{1}^{2} +b_{2}^{2}

Nedenfor har jeg vist et eksempel på den sådan udregning:

10

Komplekse tal og Fraktaler: side 17

Sætning 2:

Da a og b er komplekse tal gælder det for regning med konjugerede tal at:

1) 𝑎+ 𝑏 = 𝑎̅+ 𝑏

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

2) 𝑎𝑏 = 𝑎̅ ∙ 𝑏

̅ ̅ ̅ ̅

Side 17

Side 17 af 25

2 + 6i ( 2 + 6i) ∙ ( 7 − 8i) 2 ∙ 7 + i ( 6 ∙ 7 − 2 ∙ 8) − 48i^{2} 14 + i ( 42 − 16) + 48
7 + 8i ( 7 + 8i) ∙ ( 7 − 8i) 49 + 64

= = =
7^{2} − 8^{2} ·i^{2}

= = + 𝑖

14 + i ( 26) + 48 62 26

113 113 113

Den komplekse talplan:

De komplekse tal kan som alle andre reelle tal indsættes ind i et koordinatsystem, men dette koordinatsystem skal opstilles på en lidt anden måde før det kan benyttes. Jeg vil afbilde de komplekse tal som punkter i planen i et koordinatsystem, hvor jeg kalder den reelle akse for x –

aksen og den imaginære akse for y – aksen. Jeg gør dette for at får det komplekse tal (x +iy) til at
svare til punktet (x,y) i koordinatsystemet. Jeg vælger at tegne pilene fra origo (0,0) til a = a + ia,

1 2 og disse pile vil jeg omtale som stedvektorer til a. Man skal også bemærke at konjugering svarer til

at spejle i x – aksen. Det komplekse tal a = a + ia har (a,a) som stedvektor.

1 2 1 2

Man med fordel addere de komplekse tal i koordinatsystemet. Dette foregår ved at lave et parallelogram (kræfternes parallelogram) med stedvektorerne til a som de to sider. Summen af a+ b har diagonalen fra 0 som stedvektor. Det samme gælder selvfølgelig også for subtraktion.

Før jeg begynder at tage fat på multiplikation, er der nogle få begreber jeg skal bruge. Det første jeg vil tage fat på er længden af en stedvektor. Denne længde vil jeg betegne | 𝑎 |, der er den

numeriske værdi af det komplekse tal a = a + ia. Ved dette menes afstanden fra 0 til a. | 𝑎 |

1 2 betegnes også som modulus til a [11].

Vinklen mellem de reelle tals akse og stedvektoren for a, kaldes argumentet for a og betegnes arga. Vektorer kan på mange måder beskrives som retvinklet trekanter. Dette er i blandt de regneregler for cosinus og sinus, idet vi regner i radianer.

11

Komplekse tal: side 9

Definition 2:

| 𝒂 | = | 𝒂_{𝟏} + 𝒂_{𝟐} | = √ 𝒂_{𝟏}^{𝟐} + 𝒂_{𝟐}^{𝟐}

arg𝑎=𝑣↔cos𝑣= ∧ sin𝑣=

𝑎_{1} 𝑎_{2}

| 𝑎 | | 𝑎 |

Definition 3:

Side 18

Side 18 af 25

Som hovedargument benytter jeg mig af det argument, der ligger i [–π ; π[, eller hvis jeg regner i

grader [ −180°,180° [. Dvs. at arga ikke er entydigt bestemt, da alle tallene arga + 2pπ, p є Z også

er argument for a. Man kan nemlig blive ved med at multiplicere p med 2π, p є Z, og finder en ny vinkel. Ved multiplikation af p finder man blot den samme vinkel, bare p omgange større.

Ud fra definition 3 kan man også beskrive a sådan:

𝑎_{1} = | 𝑎 | 𝑐𝑜𝑠𝑣 ⋀𝑎_{2} = | 𝑎 | 𝑠𝑖𝑛𝑣

Hvis jeg sætter disse værdier ind i a + ia får jeg:

1 2

For at forenkle det vælger jeg at betegne modulus til a med r og arga med u.

Dvs. | 𝑎 | = r ⋀ arga = u

Addition, multiplikation:

Ved multiplikation og division er r u meget nyttig og giver mig mulighed for en geometrisk fortolkning. For de geometriske funktioner sinus og cosinus gælder følgende additionsformler:

De to ovenstående sætninger, skal bruges til bevisførelsen af multiplikation af to komplekse tal.

De to komplekse tal jeg vil multiplicere er r og s [12] v w

r = r(cos v + isin v) ⋀ s = s(cos w + isin w)

v w

12

Komplekse tal og Fraktaler: side 23

a = | 𝑎 | (cosv + isinv)

𝑎=𝑎_{1} + 𝑖𝑎_{2} = 𝑟 ( cos𝑢+ i∙sinu) = | 𝑎 | ∙ ( cosArg𝑢+ i∙sinArg𝑢) = r_{u}

cos(u + w) = cos u·cos w – sin u·sin w
sin(u + w) = sin u·cos w + sin u·cos w

Sætning 3:

For multiplikation af de komplekse tal r og s gælder, v w

at r s = (rs)
v w v +w

Side 19

Side 19 af 25

Bevis:

𝑟_{𝑣} 𝑠_{𝑤} =𝑟 ( cos𝑣+ i· sinv) s ( cos𝑤+ i· sin𝑤) ↔ Parenteserne multipliceres med hinanden
𝑟_{𝑣} 𝑠_{𝑤} =𝑟𝑠((cos𝑣∙ cos𝑤−sinv∙ sin𝑤) +i· ( cos𝑣∙ sin𝑤+sinv ∙ cos𝑤))↔ additionsformlerne
𝑟_{𝑣} 𝑠_{𝑤} =𝑟𝑠 ( cos ( 𝑣+ 𝑤) + i·sin (𝑣+ 𝑤)) =(rs)_{v+w}

Ud fra dette kan jeg konkludere at for de to komplekse tal a og b gælder:

| 𝑎𝑏 | = | 𝑎 || 𝑏 | ⋀arg ( 𝑎𝑏) =𝑎𝑟𝑔𝑎 +𝑎𝑟𝑔𝑏

Andengradsligningen

                                                      n        n
Indledningsvis vælger jeg at kigge på en n-te gradsligning. Så som z = a eller z = a + ia . Denne

1 2 ligning kaldes ”den binome ligning”, der er delt op i to led. Som tidligere brugt, vælger jeg at sætte

r = | 𝑎 | og arga = u. Da jeg nu bruger disse bogstaver kan jeg skrive ligningen sådan:

z^{n} = r(cos u + isin u)

For modulus til z^{n} gælder:

                    𝑛
        n
  𝑛
| 𝑧 | = | 𝑧 | = r ↔ | 𝑧 | = 𝑟

√

For at finde argumentet gør jeg:

                                                 𝑢   2𝑝𝜋
    n
arg z = arg a + 2pπ = u + 2pπ ↔ narg z = u + 2pπ ↔ arg z = + ,𝑝∈𝑍
                                                 𝑛    𝑛

Når man umiddelbart kigger på løsningen til argumentet, ser det ud til at der er uendelige mange løsninger, da p kan antage enhver værdi inden for mængden af de hele tal (Z). Dette er dog ikke

tilfældet da vi kun behøver at lade p får værdierne { 0,1,2,3,…𝑛 −1}, da alle andre værdier af p vil

føre til tidligere fundne argumenter. Dette var det som vi fandt ud af ved definition 3. Jeg kan nu definere endnu en sætning for den binome ligning [13]:

13

Komplekse tal og Fraktaler: side 26

    𝑛
𝑧=  √ 𝑟 ∙ (cos( +   ) + i∙sin( +     )) , 𝑝=1,2,3….𝑛− 1

u 2𝑝𝜋 u 2pπ n 𝑛 n n

Sætning 4:

Den binome ligning z^{n} = a, hvor a = a + ia, | 𝑎 | = r og arg a = u har løsningerne:

1 2

Side 20

Side 20 af 25

Ligninger af formen z^{2} = a

                                                 2
Jeg vil nu kigge på den simpleste andengradsligning nemlig: z = a, a ≠ 0. Jeg vælger hertil at sætte

z = x + iy, for at kunne lave disse omskrivninger og a = a + ia, som jeg hele tiden har gjort.

1 2

z^{2} = a ↔ (x + iy)^{2} = a + ia ↔ x^{2} – y^{2} + 2ixy = a + ia ↔ x^{2} – y^{2} = a ⋀ 2xy = a

1 2 1 2 1 2

Til sidst i omskrivningen vælger jeg at lave det om til to ligningssystemer.

                                                                        2  2
Til at starte med vælger jeg kun at fokuser på den første af de to ligningssystemer. Dvs. x – y = a .

1

a = z^{2} → | 𝑎 | = | 𝑧^{2} | = | 𝑧 |^{2} = x^{2} + y^{2}

Nu haves to ligninger:

𝑥^{2} + 𝑦^{2} = | 𝑎 | ⋀ 𝑥 − 𝑦^{2} = 𝑎_{1}

2

Ved addition af de to ligninger:

𝑥^{2} + 𝑦^{2} +𝑥^{2} − 𝑦^{2} = | 𝑎 | + 𝑎_{1} ↔2𝑥^{2} =𝑎_{1} + | 𝑎 | ↔𝑥^{2} =½ ∙ (| 𝑎 | + 𝑎_{1}) ↔𝑥=± √ ½ ∙ (| 𝑎 | + 𝑎_{1})

Ved subtraktion af de to ligninger:

𝑥^{2} + 𝑦^{2} − ( 𝑥^{2} − 𝑦^{2}) = | 𝑎 | − 𝑎_{1} ↔2𝑦^{2} = | 𝑎 | − 𝑎_{1} ↔𝑦^{2} =½ ∙ (| 𝑎 | − 𝑎_{1}) ↔𝑦=± √ ½ ∙ (| 𝑎 | − 𝑎_{1})

Det er værd at bemærke, at tallet under kvadratroden ovenfor ikke kan blive negativt (så ville der jo ikke være en reel løsning x). Det skyldes, at |a| er større end den numeriske værdi af a, så

1

ligegyldigt om a er positiv eller negativ, vil parentesen (|a| + a) være positiv, forudsat a er

1 1 2

forskellig fra 0. Det ses ud fra definitionen/ beregningen af |a|.

Som det kan ses ovenfor er der 4 mulige kombinationer af + og – til at udtrykke x og y. Den anden
ligning (2xy = a), som jeg valgte at se bort fra, tager jeg nu fat på. Denne ligning fortæller, at hvis

2

𝑎_{2} >0, har x og y samme fortegn, dvs. ++ eller --. Hvis derimod 𝑎_{2} <0, har x og y modsatte

fortegn, dvs. +- eller -+. Ligningerne vil derfor komme til at se sådan ud:

For 𝑎_{2} >0:

𝑧=±( √ ½ ∙ (| 𝑎 | + 𝑎_{1}) + i √ ½ ∙ (| 𝑎 | − 𝑎_{1}))
For 𝑎_{2} <0:
𝑧=±( √ ½ ∙ (| 𝑎 | + 𝑎_{1}) − i √ ½ ∙ (| 𝑎 | − 𝑎_{1}))

Ved brug af fortegnsfunktionen sgn, der kommer fra det latinske ord signum, kan de to ligninger forkortes ned til en sammenfattet ligning. Sgn er defineret ved, at:

Side 21

Side 21 af 25

sgn { 0 𝑓𝑜𝑟 𝑎_{2} =0

1 𝑓𝑜𝑟 𝑎_{2} >0

−1 𝑓𝑜𝑟 𝑎_{2} <0

                                                                  2
Ved brug af denne definition af sgn, kan jeg løsningerne til andengradsligningen z = a + ia

1 2

𝑧=±( √ ½ ∙ (| 𝑎 | + 𝑎_{1}) + sgn(𝑎_{2}) ∙ i √ ½ ∙ (| 𝑎 | − 𝑎_{1}))

Som det fremgik tidligere kunne denne formel kun bruges, når a ≠ 0. Hvis a = 0 ville den sidste

2 2 del af ligningen give 0 og der vil kun være den reelle del tilbage, dvs. a

1

. Så ville ligningen se sådan

ud z^{2} = a og den vil være let at løse, da der ikke indgår nogen imaginær del.

1

Eksempel: ligningen z^{2} = -4 + 11i. a = 11 > 0 a = -4

2 1

| 𝑎 | = √ 4^{2} + 11^{2} = 11,7

𝑧=±( √ ½ ∙ (| 11,7 | + (−4)) + i √ ½ ∙ (| 11,7 | − (−4)))

𝑧=±( √ 3,85 + i √ 7,85) ≈ ±(1,9621 +2,8018𝑖)

Ligninger af formen az^{2} + bz + c = 0

                                                2
Jeg vil nu tage fat på den almindelige anden gradsligning: az + bz + c = 0, a ≠ 0.

Det er selvfølgelig nødvendigt at a ≠ 0, da det ellers ikke vil give en andengradsligning. Til at starte

med vil jeg omskrive andengradsligningen, på præcis samme måde som ved den reelle

                                            2
andengradsligning, ved at indføre diskriminaten: d = b – 4ac.

𝑎𝑧^{2} + 𝑏𝑧 + 𝑐=0 ↔ Der multipliceres med 4a

4𝑎^{2} 𝑧^{2} + 4𝑎𝑏𝑧 +4𝑎𝑐=0 ↔ Der lægges 𝑏 − 4𝑎𝑐 til på begge sider

2

4𝑎^{2} 𝑧^{2} + 4𝑎𝑏𝑧 +𝑏^{2} =𝑏^{2} − 4𝑎𝑐 ↔ Venstre siden omskrives
( 2𝑎𝑧 + 𝑏)^{2} =𝑏^{2} − 4𝑎𝑐 ↔ Højre siden er nu lig 𝑑
( 2𝑎𝑧 + 𝑏)^{2} =𝑑

Hvis dette have været diskriminanten indenfor mængden af reelle tal ville løsningen havde været afhængig af diskriminantens fortegn. Men ved brug af de komplekse tal er løsningen uafhængig af d´s fortegn. Derfor kan jeg gå videre med omskrivningerne:

(2𝑎𝑧 + 𝑏)^{2} = ± √ 𝑑 ↔ z =

−𝑏± √ 𝑑

2𝑎

                                                       −𝑏
Det skal også bemærkes at hvis d = 0 vil løsningen se sådan ud: 𝑧= , og der vil kun være en
                                                       2𝑎

løsning til ligningen.

Side 22

Side 22 af 25

Da komplekse tal altid er på formen a + ib, vil det så være nødvendigt at omskrive √ 𝑑. Så jeg
vælger at definere et komplekst tal q, så q^{2} = d. Jeg kan nu fremstille en sætning for udregning af

                               2          14
andengradsligningerne med formen az + bz + c = 0:

Eksempel:

                                             2
I dette eksempel vil jeg løse andengradsligning: (5 + 3i)z + (7 +2i)z + (2 + 4i) = 0

Før jeg begynder at finde diskriminanten, vælger jeg at multiplicere med a´s konjugerede, da dette vil fører til en reel a værdi, og gøre det lettere for mig at regne med.

(5 + 3i)z^{2} + (7 +2i)z + (2 + 4i) = 0 ↔ Der multipliceres med a´s konjugerede.

(5 + 3i)(5 – 3i)z^{2} + (7 +2i)(5 – 3i)z + (2 + 4i)(5 – 3i) = 0 ↔ Parenteserne multipliceres ud.

(25 – 15i + 15i – 9i^{2})z^{2} + (35 – 21i + 10i -6i^{2})z + (10 – 6i + 20i – 12i^{2}) = 0 ↔ Regner sammen (i^{2} = -1).

(25 + 9)z^{2} + (35 + 6 – 11i)z + (10 + 12 + 14i) = 0 ↔ Der regnes yderligere sammen.

34z^{2} + (41 – 11i)z + (22 + 14i) = 0 ↔

Nu regner jeg diskriminanten ud:

d = b^{2} – 4ac = (41 – 11i)^{2} – 4 ⋅ 34 ⋅ (22 + 14i) = 1560 – 902i – 2992 – 1904i = -1432 – 2806i = d

                                                   2
Nu hvor jeg har fundet diskriminanten, skal jeg løse ligningen q = -1432 – 2806i

Før jeg kan dette skal jeg finde den numeriske værdi af diskriminanten:

| −1432 −2806𝑖 | = √ 1432^{2} + 2806^{2} = 34 ∙ √ 8585 ≈ 3150,279

For at finde q bruger jeg formlen:

𝑞=±( √ ½ ∙ (| 𝑎 | + 𝑎_{1}) + sgn(𝑎_{2}) ∙ i √ ½ ∙ (| 𝑎 | − 𝑎_{1}))

14

Komplekse tal og Fraktaler: side 33

Sætning 5:

Den komplekse andengradsligning az^{2} + bz + c = 0, a ≠ 0, har løsningerne

     −𝑏±𝑞
𝑧 =

2𝑎

hvor q er en løsning til q^{2} = d og d = b^{2} – 4ac (diskriminanten)

Side 23

Side 23 af 25

Da a < 0, skal formlen have negativt fortegn mellem den reelle og imaginær del.

2

𝑞=±( √ ½ ∙ ( 3150,279− 1432) − i √ ½ ∙ ( 3150,279+ 1432)) ↔

𝑞= ±(29,311 − 47,866𝑖)

                                                                   −𝑏±𝑞
Nu kan jeg finde løsningen z for andengradsligningen ved brug af sætning 5: 𝑧 =
                                                                    2𝑎

z_{1} = ⋁z = ↔

−41 + 11i+ 29,311 − 47,866i −41 + 11i− 29,311+ 47,866i

2 ∙ 34 2 ∙ 34

2

z_{1} = ⋁z = ↔

−11,689− 36,866𝑖 −70,311+ 58,866𝑖

68 68

2

z_{1} = −0,17190 − 0,54215i ⋁z_{2} = −1,03398 + 0,86567i

Udregning af Andengradsligningerne i ”Den mystiske sag om hunden i natten” side 209:

1) 437x^{2} + 103x + 11 = 0

Først findes diskriminanten d: d = b^{2} – 4ac = 103^{2} – 4 ⋅ 437 ⋅ 11 = - 8619

𝑞= ±𝑖 √ 8619

     −𝑏±𝑞
𝑥 =     =

2𝑎 2∙437

−103±𝑖 √ 8619

𝑥_{1} = − + 𝑖 ⋁𝑥_{2} = − − 𝑖

103 13 √ 51 103 13 √ 51

874 874 874 874

2) 79x^{2} + 43x + 2089 = 0

Igen finder jeg diskriminanten d: d = b^{2} – 4ac = 43^{2} – 4 ⋅ 79 ⋅ 2089 = - 658275

𝑞= ±𝑖 √ 658275

     −𝑏±𝑞
𝑥 =     =

2𝑎 2∙79

−43±𝑖 √ 658275

𝑥_{1} = − + 𝑖 ⋁𝑥_{2} = − − 𝑖

43 5 √ 26331 43 5 √ 26331

158 158 158 158

Side 24

Side 24 af 25

Konklusion:

”Og det han mente var at matematik ikke var ligesom livet, for i livet er der i sidste ende ingen enkle svar på noget som helst”. Uddraget fra bogen ” Den mystiske sag om hunden i natten”, mener jeg, beskriver hovedessensen i novellen ”Snyd” rigtig godt med sine få ord. Den beskriver, at lige meget hvor komplekst et matematisk regnestykke ser ud, er der altid regler og formler, der kan hjælpe en til et mere simpelt og forståelig udtryk, hvis man ”blot” kender reglerne.

Overholdes reglerne ikke i matematikkens verden bryder denne sammen - kaos opstår.

I modsætning til matematikken er livets moralske regler meget mere komplekse og uforudsigelige.

Da hovedpersonen i AB´s ”Snyd” snyder og begår et regelbrud, føler han en utryghed og skyldfølelse. Derfor opfører han nye regelsæt, der kan hjælpe ham til at leve livet uden kaos. Det er ekstremt vigtig for ethvert menneske at finde regelsæt, der kan forhindre kaos.

Ved indførelse af de komplekse tal har jeg ud fra min bearbejdede teori vist, at enhver andengradsligning inden for mængden af komplekse tal altid har mindst en løsning, uafhængig af diskriminantens fortegn. Dvs. at jeg har vist at jeg har fortaget mig en udvidelse af den reelle talplan ved brug af de til de komplekse tal. Jeg har afslutningsvis illustreret ved regneeksempler fra bogen ”Den mystiske sag om hunden i natten” at selvom diskriminanten er negativ, kan man altid finde en løsning inden for mængden af de komplekse tal. Jeg kan derfor konkludere at lige meget, hvor kompleks en andengradsligning ser ud, er der altid et sæt regneregler, der kan føre til en løsning.

Side 25

Side 25 af 25

Litteraturliste:

Bøger:

Titel: Forfatter: Forlag: år:

Komplekse tal Jens Carstensen Systime 1981

Komplekse tal og Fraktaler Jesper Frandsen Systime 1992

TRIP´s matematiske bog 3 Hans Sloth Trip forlag 2006

Litteraturens Veje Johannes Fibiger m.fl. Gads forlag 2001

Litteratur Håndbogen Ib Fischer Hansen m.fl. Gyldendal 1987

Litteraturleksikon Henrik Rasmussen Gads forlag 1999

Hjemmesider:

http://da.wikipedia.org/wiki/Komplekse_tal Besøgt d.13/12-09

http://da.wikipedia.org/wiki/Lyrik Besøgt d. 15/12-09

http://da.wikipedia.org/wiki/Anders_Bodelsen Besøgt d. 16/12-09