SRP om Uendeligheden i Matematik A og Filosofi B

Indledning

Uendelighed er som en regnbue; bedst som man tror, man har lokaliseret enden og løber hen for at finde den, erfarer man, at det blot var endnu et punkt på vejen mod ”enden”. Hvad er uendelighed? Giver det mening at definere uendeligt/endeligt – og hvilke metoder vil være anvendelige? Til trods for, at uendelige begreber som tid og rum ofte omtales i det daglige, er det min påstand, at de færreste egentlig tænker over, hvordan begrebet uendelighed kan forstås og betragtes. Hvis noget er uendeligt, kan noget andet så være større eller ”mere-uendeligt”? Er der i det hele taget nogen fornuft i dette spørgsmål?

Med disse begreber er dertil knyttet visse paradokser alt efter, om man accepterer eller forkaster uendelighed. Flere af oldtidens græske filosoffer har prøvet at løse disse paradokser på hver deres måde og er kommet frem til flere forskellige løsninger. Langt senere beskæftiger mere moderne filosoffer som Søren Kierkegaard sig stadig med uendeligheden, dog med et ganske andet formål end oldtidens filosoffer – nemlig at påvise vigtigheden og aktualiteten af troen på Gud. Jeg vil, ved hjælp af forskellige matematikere og deres bevisførelse, definere og forklare begreber som uendelighed, bijektiv afbildning, kontinuumhypotesen og kardinaltal. Efter jeg har beskrevet de matematiske grundprincipper for uendelighed, vil jeg vise, hvorledes matematikken kan bruges i filosofien og tage udgangspunkt i Zenons paradoks om uforanderlighed med Achilleus og skildpadden.

Herfra vil jeg belyse andre af oldtidens græske filosoffer og deres reaktion på Zenons paradoks, for endelig at illustrere hvorledes Søren Kierkegaard anser disse begreber. Ved at anskue uendelighedsbegrebet ud fra en henholdsvis matematisk og filosofisk synsvinkel, håber jeg på at kunne identificere de forskelle, der kan være på de forskellige synspunkter og samtidig se, om og hvorledes uendelighedsbegrebet har ændret karakter gennem denne rejse. Litteraturhenvisninger og noter er ordnet således, at den sekundære litteraturhenvisning samt citering heraf er markeret med bogstaver og er placeret sidst i opgaven. Forklarings og fordybningsnoter er markeret med et tal og findes nederst på siden. Vissenbjerg, november 2007

Del 2: Hvad er uendelighed?

Uendelighed er betegnelsen for noget, der aldrig ender og som ingen udstrækning har. Således beskrives begrebet uendelighed kort i daglig tale. Umiddelbart lyder det særdeles simpelt og ganske klart. Sproget har forsimplet begrebet ved blot at sige: ”Uden grænser” eller ”ender aldrig”. Det vil dog vise sig ikke at være helt så simpelt og ligetil.

De naturlige tals oprindelse

Matematikere har gennem tiden …