SRP om Uendeligheden i Matematik A og Filosofi B

Side 1

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

1

Rundt om uendeligheden

STX 3.g

Uendelighed er som en regnbue; bedst som man tror, man har lokaliseret enden og løber hen for at finde den, erfarer man, at det blot var endnu et punkt på vejen mod ”enden”.

–

Side 2

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

2

Indholdsfortegnelse

Del 1: Indledning

Problematisering………………………………………………………………………………….4

Formål…………………………………………………………………………………………….4

Metode……………………………………………………………………………………………4

Del 2: Hvad er uendelighed?

Bijektiv afbildning, kardinalitet, mængdelære

De naturlige tals oprindelse.…………………………………………………………..……….…5

Mængden N – De naturlige tal…………...…………………….…………………….…………..6

Mængden Z – Heltal………………………………………….…………………………………..7

Hilberts hotel……………………………………………………………………………………..8

Mængden Q – De rationale tal……………………………..……………………………………..8

Mængden R – De reelle tal……………………………….……………………………………..10

Kontinuums-Hypotesen…………………………………………………………………………12

Del 3: Filosofiske refleksioner over uendelighedsbegrebet

Uforanderlighed, dualisme, transcendent, immanent, ubevægelig bevæger

Zenons paradoks – Heraklits modsvar……………………………………………………….…13

Dualismens løsning………………… .…………………………………………………………15

Kierkegaard - det religiøse menneske.…...……..………………………………………………16

Hvad forstås, ved uendelig forståelse.………………………………………………………….18

Del 4: Udviklingen af uendelighedsbegrebet

Matematisk udvikling…………………………………………………………………………..19

Filosofisk udvikling…………………………………………………………………………….20

Del 5: Konklusion

Konklusion…………………………..…………………………………………………………21

Side 3

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

3

Del 6: Litteraturliste samt kildekritik

Litteraturliste……………………………………………………………………………………22

Kildekritik……………………………………………………………………………………….22

Bilag………………………………………………………………………………………..vedlagt

Del 7: Abstract

Abstract………………………………………………………………………………………….23

Side 4

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

4

Indledning

Uendelighed er som en regnbue; bedst som man tror, man har lokaliseret enden og løber hen for at finde den, erfarer man, at det blot var endnu et punkt på vejen mod ”enden”.

Hvad er uendelighed? Giver det mening at definere uendeligt/endeligt – og hvilke metoder

vil være anvendelige? Til trods for, at uendelige begreber som tid og rum ofte omtales i det daglige, er det min påstand, at de færreste egentlig tænker over, hvordan begrebet uendelighed kan forstås og betragtes. Hvis noget er uendeligt, kan noget andet så være større eller ”mere-uendeligt”? Er der i det hele taget nogen fornuft i dette spørgsmål?

Med disse begreber er dertil knyttet visse paradokser alt efter, om man accepterer eller forkaster uendelighed. Flere af oldtidens græske filosoffer har prøvet at løse disse paradokser på hver deres måde og er kommet frem til flere forskellige løsninger. Langt senere beskæftiger mere moderne filosoffer som Søren Kierkegaard sig stadig med uendeligheden, dog med et ganske andet formål end oldtidens filosoffer – nemlig at påvise vigtigheden og aktualiteten af troen på Gud.

Jeg vil, ved hjælp af forskellige matematikere og deres bevisførelse, definere og forklare begreber som uendelighed, bijektiv afbildning, kontinuumhypotesen og kardinaltal. Efter jeg har beskrevet de matematiske grundprincipper for uendelighed, vil jeg vise, hvorledes matematikken kan bruges i filosofien og tage udgangspunkt i Zenons paradoks om uforanderlighed med Achilleus og skildpadden.

Herfra vil jeg belyse andre af oldtidens græske filosoffer og deres reaktion på Zenons paradoks, for endelig at illustrere hvorledes Søren Kierkegaard anser disse begreber. Ved at anskue uendelighedsbegrebet ud fra en henholdsvis matematisk og filosofisk synsvinkel, håber jeg på at kunne identificere de forskelle, der kan være på de forskellige synspunkter og samtidig se, om og hvorledes uendelighedsbegrebet har ændret karakter gennem denne rejse.

Litteraturhenvisninger og noter er ordnet således, at den sekundære litteraturhenvisning samt citering heraf er markeret med bogstaver og er placeret sidst i opgaven. Forklarings og fordybningsnoter er markeret med et tal og findes nederst på siden.

Vissenbjerg, november 2007

Side 5

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

5

Del 2: Hvad er uendelighed?

Uendelighed er betegnelsen for noget, der aldrig ender og som ingen udstrækning har. Således beskrives begrebet uendelighed kort i daglig tale. Umiddelbart lyder det særdeles simpelt og ganske klart. Sproget har forsimplet begrebet ved blot at sige: ”Uden grænser” eller ”ender aldrig”. Det vil dog vise sig ikke at være helt så simpelt og ligetil.

De naturlige tals oprindelse

Matematikere har gennem tiden undret sig over, hvad der kom først – tallet eller mennesket? Der findes nemlig argumenter for begge dele. Et argument for at tal kom først kunne lyde således; Tal er ideen om en egenskab for en bestemt mængde eller gruppe af noget – eksempelvis 4 træer. At mennesket har valgt at kalde tallet for lyden [fire], i stedet for de uendeligt mange andre muligheder, er noget ganske andet. Mængden 4 afhænger ikke af, om vi iagttager dem eller ej, eller for den sags skyld, hvad vi kalder den. Den er der bare. På samme måde vil ideen om formlen for

omkredsen af en cirkel altid have eksisteret som dO ⋅=, hvad enten vi bruger den eller ej.

π

Tallene og formlerne skal så at sige bare opdages og ikke opfindes.

Et argument for det modsatte, nemlig at mennesket kom før tallene, kunne lyde som følgende: Før at noget har en kvalitet, en egenskab, må det have en iagttager – altså være i forhold til noget andet. Et skilt, der står inde midt i en ørken, har ingen funktion eller egenskab før nogen betragter det. På samme måde smager en appelsin ikke af noget, når den ligger på bordet. Man er nødt til at tage den i munden for at konstatere, at den smager af noget. Den har heller ikke nogen farve, før man kigger på den og så videre. Det må være i forhold til noget. Dette kaldes sansekvaliteternes subjektivitet. Så tallene vil ikke have nogen værdi, før et menneske har brug for det og tillægger det denne værdi. En værdi der for en hulemand opstår, når han opdager, at han har

[to] hænder, eller hvis han med sin hulekvinde fik et barn. Da ville gruppen, familien, blive [tre].

Ingen af disse to argumenter er et fuldkomment bevis, men det hindrer os heldigvis ikke i at bruge matematikken til det, vi nu engang bruger den til – nemlig at regne, forklare og understøtte argumentation. Nu da vi har tydeliggjort de naturlige tals oprindelse, er vi klar til at kigge nærmere på den uendelige mængde N – de naturlige tal.

Side 6

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

6

Mængden N – De naturlige tal

Mængden { }...1,...4,3,2,1 +=Ν nn af alle naturlige tal er uendelig. Det vil sige, at på et vilkårligt N,

n kan man altid lægge 1 til og har derved endnu et tal. En talmængde uden grænser så at sige. Det er dog her vigtigt at forstå, at mængden kun er uendelig, så længe vi lader den fortsætte. Vi vil aldrig nå til et bestemt punkt og sige; så, nu nåede vi det endelig. Da vil det nemlig være endeligt. Det at mængden er uendelig, er ikke ensbetydende med, at den ikke er tællelig. Det vil ganske vist være praktisk umuligt for noget menneske at sætte sig ned med sin blyant og krydse samtlige tal i mængden N af, men det skyldes kun omstændigheder, som at han ikke også har uendeligt eller ubegrænset tid – eller at der blot var uendeligt mange til at tælle. Man siger også, at den uendelige mængde N, har tællelig kardinalitet – hvor kardinalitet er mængden af elementer. Enhver mængde har derfor en kardinalitet (størrelse). Samlingen af 10 fingre kardinaliteten 10. Lægger man de 10 tæer til, er kardinaliteten af den samlede mængde 20. Hvis mængden af to relationer kan parres, altså hvis der for enhver P n n n svarer én og kun én T

, og for enhver T ligeledes svarer én og kun én

P, siger man, at de har samme kardinaltal. Det kaldes også for en bijektiv afbildning, noget jeg n kommer nærmere ind på senere i opgaven.

Nu har vi taget mængden N, de naturlige tal. Desuden er der også mængden { }...8,6,4,2 eller

{ }

...7,5,3,1

. Lad os kalde dem N lige ulige lige ulige og N

. Når man kigger på N og N vil man umiddelbart synes, at disse to mængder må have samme kardinaltal. Det giver også god mening, da de begge er en lige stor halvdel af N, som er uendelig. Det skal nu vise sig at blive mere kompliceret. Når man kigger på mængden N lige

, vil det umiddelbart se ud som om, at den har et kardinaltal halvt så stort som N. Men da N er uendelig, vil det halve af N ligeledes være uendelig, og derfor vil N og N lige have samme kardinaltal. Det kan på første hånd virke ulogisk, men det er det heldigvis ikke. Min påstand er nu, at N har samme kardinaltal (mængde af tal), som N og lige

N ulige n ligen

. Hvis det passer, må det samtidig gælde, at der for enhver N svarer én og kun én N

. Det kan igen virke umuligt, da man skulle synes, at der må være halvt så mange N som N. Dette løses lige heldigvis simpelt. Vi laver en bijektiv afbildning af N på N lige

. En bijektiv afbildning vil populært sagt sige, at der skal være lige så mange af mængden H som af mængden G. Billedligt svarer det til, at der er lige så mange kopper som underkopper. Der er hverken overskud af kopper eller

underkopper.^{a} Hvis det passer, at der kan laves en bijektiv afbildning af N → N, vil der for

lige enhver N være én N, så n ligen

...,4,3,2,1...,4,3,2,1

...,8,6,4,2...7,5,3,1

∨

Side 7

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

7

Det ses, at N lige lige ulige og N har samme kardinalitet, på trods af, at N er N – N

. For at kunne forstå dette, er det vigtigt, man accepterer, at ingen af talrækkerne N, N eller N har nogle ydre lige ulige grænser.

Mængden Z – Heltal

Da vi nu har beskæftiget os med alle de hele tal over 0, vil jeg nu introducere alle de hele tal under 0. Nemlig mængden

{ },...2,1,0,1,2..., −−=Ζ kaldet heltal

Igen kan man undre sig over hvilken mængde, der har størst kardinalitet, N eller Z. Ja vi har fundet ud af, at halvdelen af N, altså N lige ulige eller N

, har samme kardinaltal som N. Z ser umiddelbart ud til at være dobbelt så stor, lang, fyldig eller mægtig som N, men gælder det nu også? Hvis halvdelen af N, N, har samme mægtighed som N, betyder det jo også, at det dobbelte af N, svarende til lige lige

N, har samme kardinaltal.

Det gælder dog ikke som et bevis. Jeg vil i stedet for se på, om vi ligesom mængden med de naturlige tal, kan opstille en måde, hvorpå vi kan ”tælle” eller ”nummerere” Z. Endnu engang ser det meget kompliceret ud, for da vi før kendte ”starten” eller ”første tal”, er vi nu nødt til at gå uendeligt langt tilbage for at finde det, og selv dér vil vi ikke kunne begynde at tælle, for så snart vi prøver, vil mængden ikke længere være uendelig – vi vil have sat en nedre grænse. Det samme problem opstår, hvis man prøver at tælle fra den anden ende af rækken. Det vil sige, at vi er nødt til at opstille en anden metode til at tælle Z, så vi kan lave en bijektiv afbildning af N → Z. Så

2)4(,1)3(,1)2(,0)1( =−=== ffff osv.
{ } −−=Ζ,...2,1,0,1,2...,

: afbildning bijektivf Ζ→Ν

42135

Det snedige er, at man sætter 0 til at være første tal, og man tæller derefter højre, venstre side og så

fremdeles. Det ses, at der til hver Ζ_{k} svarer en og netop én Ν_{k}. Ζ er derfor tællelig og har samme

mægtighed som

Ν

.

Ζ har derfor samme antal elementer som

Ν

, selvom det umiddelbart kan virke uforståeligt, da Ζ visuelt ser større ud end Ν.

Side 8

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

8

Hilberts hotel

Når David Hilbert [1] holdt forelæsninger om mængdelære for sine studerende, anvendte han ofte historiefortælling. Han talte om et magisk hotel – magisk fordi der var uendeligt mange værelser til hotelgæster. Han havde derfor altid plads til en ekstra gæst. Eftersom hotellet havde

uendeligt mange værelser, havde værelserne numrene 1 → ∞ - det vil sige alle de naturlige tal. Da

der så kom et rejseselskab med uendeligt mange gæster, checkede receptionisten alle ind på hver deres værelser, med én gæst i hver. Alle værelser er nu optaget. Senere samme dag kommer endnu

en gæst og receptionisten studser lidt over situationen. Han løser problemet ved at flytte n → n+1,

så 1→2, 2→3, 3→4 og så videre. Da alle gæsterne, som for øvrigt er uendeligt hurtige om at skifte værelse, har flyttet, ankommer endnu 20 gæster. Nu beder han alle gæsterne flytte 20 værelser

længere op. Så f(n) = n+20. De forrige problemer var forholdsvist nemt løst, men nu ankommer der

pludselig et rejseselskab med uendeligt mange gæster. Receptionisten udnytter, at det dobbelte af uendelig giver uendelig, så han flytter simpelthen alle gæster til det dobbelte af deres værelsesnummer, og der er nu igen plads til uendeligt mange gæster til det nye rejseselskab. Næste

dag checker alle gæsterne ud, og hotellet er klar til en ny dag.^{a} Det ses, at hotellet hele tiden har

plads til flere gæster, og det virker næsten som om, at der aldrig vil komme et rejseselskab for stort til hotellet. Det er også næsten rigtigt, i hvert fald så længe der ”kun” kommer en numerabel uendelighed. Hvis der en dag skulle komme et rejseselskab med en ikke-tællelig kardinalitet, da vil der ikke være plads i hotellet – det svarer til at lave en bijektiv afbildning af R → N, noget jeg senere vil beskrive er en total umulighed.

Mængden Q – De rationale tal

De gamle grækere, særligt pythagoræerne (ca. 500 f.Kr.) [2], beskæftigede sig med alle naturlige tal. De mente, at alle tal kunne skrives som forholdet mellem de naturlige tal – brøker.

Denne talmængde er senere blevet kaldt rationale tal. Pythagoras opdagede, at toneintervallerne på et musikinstrument kunne udtrykkes som brøker: oktav som 1 i forhold til 2; kvarten som forholdet 2 til 3, osv.

                                                  b
Han sluttede heraf, at hele verden kunne udtrykkes i talforhold

1

Tysk matematiker (), holdt ofte forelæsninger om mængdelæren – Mejlbo, Lars – Uendelighedens

paradokser – Matematiklærerforeningen – s.33, l.1
2

Pythagoras (ca. 580-497 f.Kr.), grundlæggeren af det pythagoræiske samfund – Rahbek, Birgitte – Når mennesket undrer sig – Forlaget Centrum – s.19, l..28-33

Side 9

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

9

Herunder ses talrækken med de naturlige tal [1,4], og hvordan de forholder sig til de pythagoræiske tal, brøkerne.

N_________________________________________________________________

Q

Det ses, at ved at tage forholdet mellem 1 og 2, findes tallet_{2}^{1}, og på samme måde kan man lave

uendeligt mange brøker svarende til de naturlige tal. Det de nye brøker kan, er, at de ikke blot kan blive uendeligt store, de kan også blive uendeligt små – det kræver blot at man lader nævneren gå mod uendelig.

På denne måde mente pythagoræerne, at alle tal kunne udtrykkes ved hjælp af deres rationale tal.

Det gik også, indtil pythagoræeren Hippasus fra Metapontum^{c} opdagede, at kvadratet på en 1 side,

                                                                 2   2   2
havde en hypotenuse med længden 2 , eftersom Pythagoras lærersætning lyder a + b = c . Dette

var et tal der ikke kunne skrives som forholdet mellem to naturlige tal b a

– Disse tal kaldes de irrationale tal. De irrationale tal ligger, som de rationale tal, i mængden af de reelle tal. Jeg vil komme nærmere ind på dette senere og vil nu i stedet forsøge at vise at,

⎪

⎪

⎭

⎩ ⎭ ⎪

⎨ ⎬ ⎪

⎬

⎫

⎩ | ⎭
⎨ | ⎬
⎧ | ⎫

Q_{+},, qp Ν∈=

⎧ ⎫

Q,, qp Ζ∈=

q p q p er tællelig.

Det er straks langt vanskeligere end både de naturlige tal og heltallene, eftersom man endnu engang må opstille en ny metode til at tælle dem. Problemet er, at det vil tage uendeligt lang tid, blot at nå fra 0 → 1, eftersom der er uendeligt mange små brøker herimellem. Det ser derfor også ud til, at Q har en langt større kardinalitet en både N og Z, hvilket er forkert. For at tælle de uendeligt mange brøker, må jeg sikre mig, at jeg ikke ”glemmer” nogle af dem undervejs – jeg skal altså opstille et system, der med sikkerhed indeholder alle brøker. Til dette vil jeg benytte Georg Cantors (1845-

                      d
1918) første diagonalbevis.

For at tælle alle brøkerne, er det nødvendigt at se på, hvordan de er konstrueret. Og da alle brøker er sammensat som forholdet mellem to tal, kan man opstille en slags koordinatsystem med brøker som punkter, med alle de naturlige tal på x og y aksen. På denne måde er alle mulige brøker konstrueret i

4 1 1 1 1

1 1 2 3 4

2

1 2

1 2 3 4

Side 10

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

10 et tag. Nu skal jeg blot sikre mig at jeg får talt alle sammen. Det gøres som vist på illustrationen, ved at tælle diagonalt gennem koordinatsystemet. På denne måde vil man kunne lave en bijektiv afbildning af Q → N, man skal blot huske på ikke at tælle de forlængede brøker med (eksempelvis

+

===......). Da jeg nu har løst tællelighedsproblemet for de rationale tal, er det på tide at

1 2 3 n

1 2 3 n kigge lidt på et af Pythagoras største problemer – de reelle tal.

Mængden R – De reelle tal

Kvadratrod 2. Det var årsagen til Pythagoras opdagelse af de irrationelle og reelle tal. Hidtil havde der aldrig været problemer med at beskrive alt som rationelle tal, og pythagoræerne mente ligefrem

                                                            e
af visse tal var hellige og indgik i en i et afbalanceret og harmonisk kosmos

Hippasus fra Metapontum^{f} opdagede, som tidligere nævnt, at et kvadrat med siden 1, havde en

hypotenuse med længden 2. Eftersom 2 ikke kan skrives som, altså at hypotenusen er b

a_{3}

inkommensurabel med kateten, og dermed passe ind i den rationale tallinie, måtte den rationale tallinie nødvendigvis være ufuldstændig. Disse tal, altså tal der ligger uden for den rationale mængde, kaldes irrationelle tal ( ϕπ

,

, e….). Summen af rationale og irrationelle tal, giver tilsammen den uendelige mængde, de reelle tal.

Indtil nu har jeg kun beskæftiget mig med tællelige uendelige størrelser, altså en mængde

                                     g
af tal der kan stillet op efter størrelses orden,

men som vi om lidt vil opdage, er mængden af de reelle tal så stor, så den faktisk er umulig at tælle. Det er derved den første uendelige mængde, der ikke har været numerabel, jeg har kigget på indtil videre.

For at bevise de reelle tals over-tællelighed, vil jeg gøre brug af Georg Cantors 2.

            h
diagonalbevis. Han anvender den type bevisførelse der hedder indirekte bevis. Princippet i dette er,

at man antager det modsatte er sandt, for derefter at bevise dets ugyldighed ved at finde en modstrid. For at gøre det så simpelt som muligt, vil jeg blot bevise at mængden at tal mellem [0;1] er over-tællelig – hvis det er sandt, vil alle de reelle tal samtidig være utællelige. Jeg forestiller mig altså, at der rent faktisk kan foretages en bijektiv afbildning af N på R[0;1] og at jeg derved kan opstille dem i en størrelsesorden, der gør det muligt at tælle alle tal for R[0;1]. Nu gælder det om,

3

At 2 er irrationel og dermed ikke kan skrives som, vises vha. et indirekte/modstrids bevis i Matematikkens

b a

Uendelige Univers af Vagn Lundsgaard Hansen – Scantryk A/S – s.102, l.33 → s.103, l.4

Side 11

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

11 logisk at resonere sig frem til en modstrid for dette, og derved vise at det logisk må være antagelsen der er forkert – nemlig at en bijektion af N→R[0;1] er mulig.

Ideen er altså, at man kan opskrive alle tal i R[0;1] op i rækkefølge r, r, r, …r. En

1 2 3 n, opstilling kunne så således ud:

r = 0,456734 …

1

r = 0,978562 …

2

r = 0,128346 …

3

r = 0,111113 …

4

: :

Her (forestiller jeg mig) er opstillet alle de reelle tal i [0;1]. Nu skal jeg så logisk bevise, at

antagelsen om at alle tal er opstillet, er forkert. Det gør vi ved at danne en ny decimalbrøk t. t =

0,a a a a …

1 2 3 4

⎪

⎪

444 ⎭

⎪ sidst har t r_{n}. Da vi nu har sikret os at t

⎪

⎬

≠ 8=a seksempelvi - r iciffer 1. a Hvor ⎫

≠ 6=a seksempelvi - r iciffer 4. a Hvor

≠ 2=a seksempelvi - r iciffer 3. a Hvor n

≠ 3=a seksempelvi - r iciffer 2.a Hvor

333

222 ≠ ≠

111

Dette vil skabe decimalbrøken t=0,8326… Da der nu er fundet en modstrid i påstanden, ved jeg at

[0;1] ikke er numerabel. Der ville derfor ikke være plads nok i Hilberts hotel, til at rumme alle de reelle tal trods det, at han har uendeligt mange værelser. Dette er et eksempel på, at en uendelighed

(f.eks. mængden af reelle tal) kan have større kardinaltal end en anden (f.eks. mængden af naturlige tal). Hvis vi forestiller os en tallinie, med de rationale tal som repræsentanter for de tællelige tal

(deriblandt også de naturlige tal), vil der altså være en uendelig masse punkter uden talværdier. Alle disse punkter kaldes de irrationelle tal, og udgør den ene af de to ”mængder” af de reelle tal. Med både de rationale og de irrationelle tal, (der tilsammen giver de reelle tal,) som talværdier på tallinien, vil der altså ikke længere være nogen punkter uden talværdier. Georg Cantor havde nu forklaret og bevist at N er tællelig og R er over-tællelig, men han stoppede ikke her.

Kontinuums-Hypotesen

I slutningen af 1870 satte han sig for at undersøge, om der fandtes en mængde M, der glider igennem R og som ikke er tællelig, men som har et lavere kardinaltal en R så,

= = =

R<Μ<Ν eller

R=Μ∨Μ=Ν

Dette fortsættes i det uendelige, til vi til r og t ∈ [0;1] – har vi fundet en modstrid for påstanden om, at R[0;1] er tællelig.

Side 12

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

12

Cantor nåede aldrig at svare besvare problemet inden han døde, og det skulle vise sig at blive et at

                                     i
de største matematiske problemer nogensinde.

David Hilbert fremsatte i starten af det 1900 en liste

                                                                           j
over matematikkens 23 største problemer, hvoraf Kontinuums-hypotesen var øverst på listen. Først

i 1930’erne skete der noget. Gödel påviste, at svaret under visse forudsætninger var nej. Derefter i

1960’erne påviste Cohen, at svaret under andre forudsætninger var ja. Begge har anvendt grundsætninger inden for mængdelæren. Man har altså bevist, at man hverken kan bevise, eller

modbevise det.^{k}
Så om hvorvidt der findes noget mellem ℵ_{0} og kontinuums kardinalitet, vides endnu ikke. Det er

dog ikke totalt udelukket, at det en dag, og under andre forudsætninger og grundregler for mængdelære end dem vi bruger i dag, vil være muligt at opklare, om der findes en sådan mængde

ℵ_{1}.

Del 3: Filosofiske refleksioner over uendelighedsbegrebet

Zenons paradoks tog sin egentlige begyndelse længe før Zenon selv. Filosoffen Parmenides [4] kom fra den græske koloni Elea i Syditalien. Parmenides beskæftigede sig med eksistensbegrebet, og forsøgte at analyserer på dette. Han skelnede mellem det værende og det ikke-værende. Han mente, at alt værende måtte være bestandig, altså evigt uforanderlig. Han argumenterede med, at det værende ikke kunne komme fra det ikke-værende, og ligeledes kunne det værende ikke blive ikke-værende. Eftersom dette var i stor modstrid med det vi sanser, sluttede han at sanseverdenen måtte være en illusion. Han kunne ikke få sanseindtrykkene til at stemme overens med logikken, hvad han

                         5
betragtede som det evigt sande.

Zenons paradoks – Heraklits modsvar

Zenon, der også kom fra Elea, forsvarede senere sin mesters lære, i det som kommer til udtryk i Zenons paradoks. Han opstillede en række tankeeksperimenter, der ikke alene havde til formål, at bekræfte Parmenides forestilling om det værende og det ikke-værende, men også at bevise at al bevægelighed er en illusion. Tankespind af sanseindtryk.

Et af Zenons mest kendte argumenter for at bevægelse er umulig, er sandsynligvis hans tankeeksperiment for linieopdeling. Hvis man skal bevæge sig fra punktet A til punktet B, vil man

4

Ca. 515 – ca. 450 f.Kr. – Rahbek, Birgitte – Når mennesket undrer sig – Forlaget Centrum – s.24, l.4

5

Demokrit (ca. 470-390 f.Kr.) forsøgte at løse Parmenides problem, ved at antage at det værende består af atomer og det ikke-værende, såsom tanker og sanser, blot er fænomener som vi oplever som eksisterende – Rahbek, Birgitte – Når mennesket undrer sig – Forlaget Centrum – s.26, l.13-33

Side 13

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

13 først være nødt til at bevæge sig

2 4 8 16 32 2

1 1 1 1 1 1

|AB|, og før det |AB|,

...,
   n

,

,

. - man når derfor aldrig at komme i gang da dette er en potentielt [6] uendelig lang proces. Det vil sige, at enhver linie |AB|, består af uendelig mange punkter. Disse punkter er dog samtidig uendeligt små, og har reelt set ingen udstrækning, da de blot er en materialistisk billedliggørelse af det ”egentlige” punkt. Til dette tankeeksperiment bruger Zenon en bueskytte der sender en pil gennem luften. En eksisterende genstand (pilen), må befinde sig et bestemt sted. Er pilen i bevægelse, er den ikke et bestemt sted, og er derfor ikke. Hvis den ikke er, kan den altså heller ikke være i bevægelse. Dette illustrerer, at bevægelse er umulig.

Et andet paradoks opstillet af Zenon, er det mindst lige så kendte tankeeksperiment med Achilleus og skildpadden. Achilleus og skildpadden løber om kap, og skildpadden starter med 1 km forspring, da det skal gå retfærdigt til. Achilleus skal nu indhente skildpadden. Det skal vise sig at være vanskeligere end måske først antaget. Da kapløbet sættes i gang løber Achilleus fluks 1 km, hvilket altså forudsætter, at han gennemløber uendeligt mange linieopdelinger. Alt imens Achilleus løb den 1. km, er skildpadden, der kun løber halvt så hurtigt, nået km. Achilleus fortsætter derfor

2

1 efter skildpadden, men må også fortsætte efter at have passeret yderligere km, da skildpadden nu

2

1 er kommet yderligere km længere. Achilleus kommer altså hele tiden nærmere og nærmere

4

1 skildpadden, men vil aldrig indhente den, da dette vil fortsætte som en uendelig proces som,

1 =++++= 2...

2 4 8 16

1 1 1 1

∑^{∞}_{=n}_{1}_{2^{n}}^{1}

Modsat Zenon, mente Heraklit [7] at alt er i konstant bevægelse og dermed foranderligt.

Hans mest kendte argument er således: Man kan ikke stige to gange ned i samme flod.^{l} Med dette

mente han, at når du forlader floden, strømmer vanden i floden videre, og der vil nu være nyt vand i floden. På samme måde med alle andre ting. Et æble skifter for eksempel ikke egenskab fra at være grøn til at være rødt – det er blevet til et ganske andet æble. Han sætter fokus på processen, og væk fra det materielle. Når jeg om 26 år vender tilbage til gymnasiet til jubilæet, vil jeg ikke være i stand

6

Aristoteles var den første til at skelne mellem aktuel og potentiel uendelighed. Hvor aktuel uendelighed er den eksisterende og potentiel den mulige. – Professor Vagn Lundsgaard Hansen – Skriftserie 2 – s.82, l.23-30 → Se Bilag 1

www.matematikksenteret.no/attachment.ap?id=361
7

Heraklit fra Ephesos (ca. 460 - ? f.Kr.) var kendt for at være arrogant og talte ned om flere af tidens andre mest kendte filosoffer, deriblandt Hesoid, Pythagoras, Xenofanes, Hekataios og Homer. – Rahbek, Birgitte – Når mennesket undrer sig – Forlaget Centrum – s.22, l.26-33

Side 14

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

14 til at give hånd til mine lærere og gamle klassekammerater, med samme hånd som jeg skriver denne opgave med. I så fald måtte hugge den af og fryse den ned. Nej, alting er i konstant forandring. Det medfører en ny problematik.

I kraft af, at alting er i konstant forandring, behøver vi heller ikke, det ville måske endda være decideret tåbeligt, at tænke på andet end nuet. Vi behøver altså ikke være kede af at få konstateret kræft, for det er ikke det ”jeg”, som i nuet, skal dø af. Til den tid er det alligevel ikke mig længere. Jeg behøver derfor heller ikke føle nogen skyld eller ansvar, overfor noget der er sket.

Det kunne være jeg havde stjålet slik fra et barn for lidt siden, det ville ikke længere være mig, men en helt anden. At vise mit et fotoalbum fra 1992 og sige, ’se, det er dig’, ville i sig selv være en grov fornærmelse. At sammenligne mig med et totalt fremmed menneske, og en med en intelligens langt fra mit niveau. Alting eksisterer derfor kun i sin egentlige forstand, i så kort tid, som et uendeligt lille punkt på en talakse. Da et punkt er en uendeligt lille singularitet, vil det ikke have nogen udstrækning og derfor ikke nogen egentlig eksistens. Jeg, og alt og alle omkring mig, vil ikke have noget immanent udstrækning, og vil allerhøjest eksistere på et transcendent plan. Der vil ikke være noget andet end metafysik tilbage.

Desuden, hvis vi antog, at Heraklit tog fejl, og alt var stilstand, ville det medføre at intet kunne ældes, forandres. Alt og dermed alle atomer ville være i stilstand, og vi ville fryse fast i stilstand.

Det er derfor ikke logisk muligt, at leve under sådanne betingelser.

.

Dualismens løsning

                    m
Platon (ca. 427-348 f.Kr. ) mener, at det gode eksisterer som noget aktuelt bag sansernes indsigt.

Dette gode, er den sande, den fuldkomne verden. Han mener desuden, dette er grunden til, at intet menneske er i tvivl om at, det er en hest det iagttager, når det altså gør det. Heste kan se vidt forskellige ud og have totalt forskellige egenskaber; store, små, brune, sorte, hvide, osv. På trods af dette, er vi aldrig i tvivl. Det skyldtes vi alle har ideen om en hest, den sandeste og mest fuldkomne af alle. Ideen om en hest, har ingen vægt eller udstrækning.

Han skildrer altså verden i en dualistisk verden – den sanselige fænomenverden, og den virkelige verden, ideernes verden.

Platon slutter sig til Parmenides filosofi, omkring de fejl han påpeger ved verden.^{n}

Forskellen er den, at Parmenides ikke opdeler verden i en transcendent og immanent, på samme måde som Platon. Platons lære accepterer altså, at det ”ser-ud-til”, at bevægelse er umulig. Han

Side 15

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

15 forkaster dog ikke, at al bevægelse er umulig, blot under de rigtige forudsætninger og betragtninger

– ideernes bevægelse. Platon billiger følgelig både Zenon og Heraklits opfattelser af bevægelse. I hulelignelsen beskriver Platon det vi opfatter som den virkelige verden, som skygger fra den virkelige verden, det er er det virkeligt værende. En verden man kun kan se via den sande erkendelse og dyrkelse af sjælen og ånden.

Det gode og fuldkomne er det logiske og fornuftige, og det samme omvendt – så det logiske og fornuftige er det gode og fuldkomne. Man kan så undre sig over, at når det gode består af det værende, hvad består det onde så af. Kommer det fra noget ikke-værende? Og hvordan kan noget ikke-værende være årsag til noget værende. Det virker parodisk, at noget ”der ikke er til”, kan påvirker det værende ondt. Platon forklarer det ved, at sammenligne det ikke-værende med hullerne i et murværk. Det gode og virkeligt værende, svarer til mørtel og mursten – og det onde og ikke-værende, svarer til de uundgåelige revner i murværket. Disse ”ikke-værende murværk”, altså revner, kan være skyld i meget skade på det værende, altså murværket, i form at frostskader eller

       o
lignende.

Platons idélære går ud på, at man må kende til ideernes verden, for at kunne eksistere i den. Eksempelvis vil Toyota ikke være i stand til at lave en bil, uden først at have ideen om en bil.

En murer vil ikke kunne mure et hus uden ideen om et hus, da vil han blot mure noget ubrugeligt sjusk. Bilen og huset eksisterer kun, med den forudsætning at der er en ide om dem. Først da, vil det være muligt at bygge bilen eller mure huset. Uden ideen ville bilen ikke have nogen egentlig eksistens, og blot være noget metal og lidt plastik – nogle stoffer komplet uden funktion. Uden ideerne ville intet menneske have ideen om at kommunikere, og det ville derfor være umuligt. Med

                                                           p
andre ord, ville mennesket være fortabt uden ideernes begrebers eksistens

Man kan dernæst undre sig over, hvordan det første menneske fandt på ideen om at lave en bil. Og hvad så når han døde, ville ideen om en bil så dø med ham? Nej, Platon mener at ideernes verden ikke blot er den fuldkomne, men også at den er evig. Ideerne har med andre ord altid eksisteret, og vil altid gøre det. For ham er ideerne evige eller uendelige og vil aldrig forgå. Det betyder også, at intet menneske kan skabe eller opfinde ideen om en bil. Den har altid været der, og vil altid være der, selv om 10 millioner år, når en bil ikke længere vil befinde sig i verden som materiale, da vil ideen om den stadig være til. Ethvert menneske besidder altså en uendelig række ideer i underbevidstheden. For at de kan komme mennesket til gavn, kræver det at han prøver at

            q
generindre det.

Side 16

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

16

En anden filosof der levede knap 2½ tusind år senere, var ligesom Platon præget af sin tid og sit miljø, og mente derfor også noget ganske andet.

Kierkegaard - det religiøse menneske

Søren Kierkegaard voksede op i en familie med en mor, en far, 6 andre søskende hvoraf kun de to blev over 33 år. Hans far, der desuden var velhavende, var en meget religiøs mand. Dette bar Søren Kierkegaard og hans bror Peter Christian præg af, hvilket udsprang sig i hver deres profession.

Peter Christian som Biskop og Søren som religiøs filosof.

Hjemme i familien havde faderen og hans to sønner to interesser tilfældes, filosofi og teologi. Søren Kierkegaard har derfor været med i mange diskussioner hjemme i familien, og han

                                                 r
skriver selv som voksen, at han aldrig oplevede sin barndom.

Kierkegaard snakker i sin antropologi meget om at vælge sig selv og at vælge Gud for rigtig at eksistere.

I den religiøse sprogbrug – der hos Kierkegaard hele tiden både er en filosofisk og en teologisk

                                                                         s
terminologi – drejer det sig om at komme til at elske Gud, eller slet og ret at blive omvendt.

–

                                                                               t
Etikeren og den etisk-religiøse forvalter det ved at vælge sig selv og dermed realisere eksistensen.

For Kierkegaard, er Gud, Skaberen, transcendent og evig. Det skabte, mennesket, er immanent og begrænset. Mellem Skaberen som det transcendente og det skabte som det immanente, er en uendelighed til forskel. Da der er en uendelighed til forskel, giver det derfor heller ikke nogen fornuftsmæssig eller logisk mening, at sammenligne disse eller at sætte dem i forhold til hinanden – da vil man give dem en egenskab tilfælles, nemlig at de bliver sammenlignet med hinanden.

Hvordan kan det så være, at Gud alligevel gør det fornuftsmæssige umulige, han sender, gennem en uendelighed, fra det transcendente til det immanente, Jesus ned på jorden. Da det ikke er logisk muligt, må det altså være anskuelsen, der er fejlagtig og det er nødvendigt at finde nogle andre betingelser hvorpå man kan anskue det.

Hér, mener Kierkegaard, troen kommer ind. Mennesket kan ikke med vores begrænsede fornuft, logik og intellekt, kapere den ubegrænsede sandhed – den uendelige sandhed. Det er her vi er nødt til at forkaste fornuften, og tro. Gud er ikke en rationel størrelse og vi kan derfor ikke rationalisere os frem til ham eller hans tænkemåde. I stedet mener Søren Kierkegaard, at vi kan sublimere os en uendelighed, ved at vælge. I modsætning til græciteten, som mener at vi ved at erindre, opnår det sande og gode, mener Kierkegaard, at Gud har givet os Jesus som gave, og at vi

Side 17

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

17 via ham, kan vælge den sande vej - troen. For græcisterne lever mennesket med sandheden i sig, men for Kierkegaard, er det ikke troende menneske usandheden – sandheden kan dog opnås via

                                                                           u
troen på Jesus. Kun i øjeblikket, gennem valget, kan man opnå den sande eksistens og frelse. Selv

hvis man når ’Det teologiske selv’, er man ikke færdig. Det er en stadig proces, som man aldrig bliver færdig med, da der hele tiden foreligger et nyt valg. For at opnå ’det teologiske selv’ må man, ifølge Søren Kierkegaards antropologi, nødvendigvis gennemgå en række forandringer som menneske.

• Først er det nødvendigt at lade legemet forholde sig til sjælen. Nogen er så fortvivlede, at de ikke engang selv ved, de er det. Disse vil ikke kunne udnytte sjælen. Først ved at vælge at forholde sig til sjælen, vil man eksistere som ånd.

• Og som ånd, der er bevidst om den evige forskel mellem det immanente legeme og den transcendente sjæl, kan man forholde sig til Gud. Gør man det, kan man vælge at lade sig blive et religiøst menneske, da vil man eksistere som selvet.

• I eksistensen som selvet, kan man forholde sig til Kristus, og vælge at tro på, at han lod sig korsfæste for vores synders skyld – da vil man eksistere som et kristent menneske, ’det

             v
teologiske selv’.

At forstå Kierkegaards tanker, kan være utrolig vanskeligt og kræver megen tid. Men når først man forstår hans tanker, vil man opleve en ny dimension af filosofi. Men hvad vil det egentlig sige at forstå Søren Kierkegaard, hvordan kan jeg sikre mig, at jeg rent faktisk forstår hans tanker, og ikke blot bilder mig ind, jeg forstår det. Følgelig vil jeg klargøre, hvad det vil sige at forstå, og diskutere og reflektere over, om en uendelig forståelse er mulig.

Hvad forstås, ved uendelig forståelse?

- og er det muligt at opnå denne?

Uendelig forståelse, altså en total forståelse og enighed mellem to eller flere. Hvis to mennesker, i en given situation eller emne, forstår hinanden fuldt ud og mere end det, vil de ikke længere behøve at kommunikere, da der ikke skal diskuteres eller bekræftes om noget, kommunikation vil være unødvendig og overflødig. I tilfælde af, at alle havde uendelig forståelse for hinanden, ville det da være godt? Ja, det ville have sine fordele i visse tænkte situationer, eksempelvis for den stumme og for plejeren. Der ville desuden aldrig opstå nogen konflikter omkring behandling af patienter, eller nogen konflikter mennesker imellem overhovedet. Dog kunne man tænke sig, at livet ville blive for trivielt og kedeligt. Aldrig nogen uenigheder, aldrig nogen kommunikation, og dermed ikke

Side 18

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

18 reklamer, politik, politi eller andre af den slags foranstaltninger ville være nødvendige. Hele menneskeheden ville tænke som én, og ville måske endda næsten komme til at fungere som én og samme person. Som en menneskekrop hvor alle cellerne arbejder sammen.

Det er også værd at overveje, om hvorvidt det er muligt at opnå denne uendelige forståelse eller ej. Umiddelbart skulle man tro, at ved at diskutere længe nok, ville man nå til enighed om den logisk korrekte løsning eller svar. I hvert fald, hvis man forudsætter, at der findes ét uendeligt sandt svar. En forsamling vil ved logisk at ræsonnere og argumentere, kunne konkludere denne sande løsning. Dette er dog ikke helt så simpelt. Hvis to personer snakker om begrebet ’forelskelse’, vil de sandsynligvis begge mene, at de forstår hvad den anden forstår ved dette begreb. Der er dog ingen mulighed for at være sikker. Det kan være, der kun er en nuance til forskel og det kan være, der ingen forskel er, men usikkerheden er der. I en diskussion om, hvordan man hver især oplever begrebet ’forelskelse’, vil man måske nå til et punkt, hvor første person siger til anden person, ”jeg forstår dig”. Begge vil sandsynligvis efter en lang konversation, mene at have en fælles forståelse, dog uden at vide det. Og i selve diskussionen om forelskelse, vil man hver især bruge begreber, man ikke ved om den anden forstår som sig selv – der vil derfor altid være en hvis usikkerhed. Jo mere konkret man laver eksemplet, jo mere abstrakt bliver fællesforståelsen. Ganske som Heisenbergs-

                  8
usikkerhedsrelationer.

Del 4: Udviklingen af uendelighedsbegrebet

Gennem tiderne har behovet for anvendelse af uendelighedsbegrebet ændret sig flere gange. Med uendeligheden har man forsøgt at beskrive ting fra universets størrelse, til rent tankemæssigt uendelige størrelser som for eksempel kontinuum-hypotesen.

Matematisk udvikling

I matematikken har uendelighedsbegrebet været igennem en, man fristes til at sige uendelig, stor udvikling. Da man startede med at beskæftige sig med uendelighed, tænkte man på det som en uendelig stor størrelse – sandsynligvis fordi det var det mest aktuelle for tidens spørgsmål.

Spørgsmål om universets størrelse, var det virkelig uendeligt stort, og om det i det hele taget var muligt. Spørgsmål om tidens udstrækning, vil tiden fortsætte i det uendelige, eller vil tiden stoppe og hvad det ville resultere i. Alle disse spørgsmål, handlede om uendelighed som en stor størrelse.

8

Heisenberg usikkerhedsrelationer gik ud på, at man ikke samtidig, men stor nøjagtighed, kan måle en elektrons

position og hastighed - http://da.wikipedia.org/wiki/Heisenbergs_ubestemthedsrelationer

Side 19

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

19

Før Pythagoræerne og Zenon, var det ikke nødvendigt at beskæftige sig med uendeligt små størrelser.

Da man havde fastlagt, at uendeligheden kunne betragtes som både stort og småt, begyndte man endnu engang at kigge anderledes på begrebet. Hidtil havde man betragtet uendelighed som en størrelse. Nu, med Georg Cantor i spidsen, begyndte man at betragte uendeligheden i flere størrelser eller grader. Dette resulterede i, at man begyndte at beskæftige sig med uendeligheden som tællelig og over-tællelig. For at definere dette, begyndte man at anvende en helt ny form for matematik, mængdelære. Med dette kunne man undersøge, om der var mulighed for at lave en bijektiv afbildning af N (som repræsentant for det tællelige) på en anden uendelig mængde, for på den måde at klargøre om der var tale om en over-tællelig mængde. Altså en større grad af uendelig end N selv.

Georg Cantor var også manden, der optænkte ideen om kontinuum-hypotesen.

Kontinuum-hypotesen må siges at være et af nutidens matematiske store uendelighedsspørgsmål.

Selv så mange år efter Cantors død, foreligger endnu ikke et endegyldigt svar på dette.

Filosofisk udvikling

Rent filosofisk har uendelighedsbegrebet ikke ændret sig synderlig meget gennem tiden. Filosofisk set, opfattes uendelighed ikke som en størrelse eller mængde, men snarere som et begreb for det ufattelige, transcendente og menneskeligt overkommelige. Dette har ikke ændret sig særlig meget siden, da der sandsynligvis ikke har været behov for dette ligesom i matematikken. Filosofferne betragter dog begreberne forskelligt, men disse forskellige holdninger er ikke nødvendigvis et produkt af en fortløbende udvikling.

Side 20

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

20

Del 5: Konklusion

I midten af 1800-tallet begyndte matematikere rigtig at beskæftige sig med uendelige størrelser, små som store. En af de største, Georg Cantor, optænkte mængdelæren og kardinaltal. Med mængdelæren som redskab kunne han opdele uendeligheden i grader. Dette betyd, at uendelig ikke længere var én og samme ”størrelse”, hvad umiddelbart kan virke ulogisk. Mængdelæren førte samtidig til opdagelsen af begreberne tællelige og over-tællelige uendelige mængder. Cantor beviste, at mængden af naturlige tal, hele tal og rationale tal alle er tællelige mængder. Der er ganske vidst uendeligt mange af dem, men han indførte et system, hvorpå man kunne stille dem op efter størrelse og derpå tælle dem (hvilket ganske vidst ville kræve uendelig meget tid). På samme tid løste man flere af tidens tusindårgamle paradokser, såsom Zenons paradoks med Achilleus og skildpadden. Hidtil så det ud til, at bevægelse var umulig, og at Achilleus aldrig ville kunne indhente skildpadden, men kun komme uendelig tæt på. Det viste sig så at kunne opskrives på

formen: 1_{2}^{1} =++++= 2..., da 2 svarer til summen af den uendelige række udtrykt_{2}^{1}_{n}.

4 8 16

1 1 1

∑^{∞}_{=n}_{1}_{2^{n}}^{1}

Heraklit var uenig med Zenon i, at bevægelse var umulig. Da han ikke kendte til nyere matematik, måtte han tage andre metoder og beviser i brug. Han mente, at man ikke kan stige ned i samme flod to gange, og at alt derfor er en evig foranderlighed, og at al eksistens derfor kun eksisterer i et uendeligt lille punkt, en såkaldt singularitet. Dette ville blandt andet medføre, at man ikke havde et ansvar, og derfor heller ikke behøvede at føle skyld. Platon opstillede en model, der gav plads til både Zenons og Heraklits filosofier, nemlig idelæren. I den materialistiske verden, den onde verden – levede man i en illusion, hvor man modsat til ideernes verden, fandt det rene og fuldkomne.

Eksistentialisten Søren Kierkegaard, snakker i sin antropologi meget om at i øjeblikket må man vælge sig selv og vælge Gud, for virkelig at kunne eksistere. Da der er en evig forskel mellem det immanente og transcendente, og Gud alligevel formår at sende Jesus fra det transcendente til verden som det immanente, kan Gud ikke anskues fornuftigt – man må i stedet tro. Kun ved at tro og vælge, kan man opnå ’det teologiske selv’ – der står i en uendelig kontrast til det ikke kristne menneske.

Uendelighedsbegrebet har, matematisk set, været gennem en utrolig forandring. Fra at man i starten betragtede uendelig som én størrelse, til at man i dag kan regne med den, og betragter og opdeler den i flere grader. Filosofisk har der dog ikke været behov for at ændre uendelighedsbegrebet – da uendelig, som en beskrivelse af ’det ufattelige’, har været tilstrækkelig.

Side 21

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

21

Del 6: Litteraturliste samt kildekritik og bilag

Litteraturliste

Bøger

Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper: Mat 2A,

Nørhaven A/S Viborg, Systime, 1988

Jacoby, Edmund & Braun, Ulrike: 50 klassiske filosoffer, Aschehoug, 2004

Lundsgaard, Vagn Hansen: Matematikkens

uendelige univers, Scantryk A/S

Mejlbo, Lars: Matematikkens aspekter – Om det uendelige, Matematiklærerforeningen, 1991

Mejlbo, Lars: Matematikkens aspekter –

Uendelighedens paradokser,

Matematiklærerforeningen, 1991

Rahbek, Birgitte: Når mennesket undrer sig,

WS Bookwell, 1. bogklubudgave – 3. oplag,

Forlaget Centrum 2002

Rienecker, Lotte & Jørgensen, Peter Stray:

Den gode opgave – Håndbog i opgaveskrivning på videregående uddannelser, Narayana Press,

Forlaget Samfundslitteratur, 2006

Thielst, Peter: Man bør tvivle om alt – og tro

på meget, Nørhaven Paperback A/S, Det lille

forlag, 2002

Andre tekster____________________________________________________________________

Kierkegaard, Søren: Philosofiske Smuler

Kierkegaard, Søren: Sygdom til Døden

Elektroniske_____________________________________________________________________

DR - Lundsgaard, Vagn Hansen

http://www.dr.dk/DR2/VidenOm/Programmer/
Arkiv/Tallenes+historie/104127.htm

Wikipedia, encyklopædi http://da.wikipedia.or
g/wiki/Heisenbergs_ubestemthedsrelationer

Kildekritik

Jeg har valgt at anvende forfattere med stor faglig autoritet, for at undgå utroværdighed fra kilderne.

Jeg har ydermere overvejet, at kilderne er let tilgængelige, så en læser evt. ville have let ved at læse disse.

Disse kilder er valgt med det grundlag, at der ikke har været fortolket på dem, da det er originale tekster fra Kierkegaard selv.

Jeg søgte at vælge elektronisk information, der kom fra en så troværdig kilde som mulig. Jeg vurderede at DR havde den fornødne troværdighed, til at acceptere dette som en pålidelig kilde.

Wikipedia er en encyklopædi, og kan derfor heller aldrig tillægges en komplet troværdighed – dog har jeg vurderet, at en kilde som den jeg har fundet, er skrevet i et tilpas fagligt sprog, og har derudfra vurderet artiklen som værende en sikker kilde

Side 22

[navn fjernet] van Ee 7. december, 2007

Odense Katedralskole 3.y Vejleder: HR & FG

Studieretningsprojekt – Rundt om uendeligheden

22

Del 7: Abstract

Infinity

This paper defines the conceptions countable and uncountable sets and proves that both the integers and the rational numbers are countable, while the amount of real numbers are not. This knowledge will be used for Zeno’s paradox: Achilleus and the tortoise. From this it illuminates several of the ancient Greek philosophers and their different opinions from these conceptions. It explains some of Søren Kierkegaard’s main thoughts from his anthropology and finally illustrates the most important changes of the conceptions through the time. To do so, the paper uses some of the famous mathematicians such as Georg Cantor, the father of the set theory, and their mathematical proves.

To explain and illustrate the different thoughts of the philosophers, the paper uses many reliable sources, to maintain the objectivity to the subject. It is shown, that the conception, infinity, mathematically, has changes immensely, from being considered as an extent, to become considered as a conception with more than one size or rank. It is also shown, that philosophical, it has not been through such a huge change, likely because there was any need for it.

a

Mejlbo, Lars – Matematiske aspekter: Om det uendelige – Matematik lærerforeningen – s.9-11 b

Rahbek, Birgitte – Når mennesket undrer sig – Forlaget Centrum – s. 21, l.2-4 c

Lundsgaard Hansen, Vagn – Matematikkens Uendelige Univers – Scantryk A/S – s.102, l.13-14

Tallenes+historie/
d

Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper - Mat 2A – Systime A/S – s.113, Fig. 9 → skabelon fundet på Internettet

e

Rahbek, Birgitte – Når mennesket undrer sig – Forlaget Centrum – s.20, l.37 – s.21, l.17 + s. 22, l.19-25

f

Lundsgaard Hansen, Vagn – Matematikkens Uendelige Univers – Scantryk A/S – s.102 l.13-14

g

http://www.dr.dk/DR2/VidenOm/Programmer/Arkiv/Tallenes+historie/104127.htm

h

Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper – Mat 2A – Systime A/S – s.114

i

Mejlbo, Lars – Matematikkens aspekter: Uendelighedens paradokser – Matematik lærerforeningen – s.59: 2.

j

Lundsgaard Hansen, Vagn – Matematikkens Uendelige Univers – Scantryk A/S – s.120, l.15-18

k

Mejlbo, Lars – Matematikkens aspekter: Uendelighedens paradokser – Matematik lærerforeningen – s. 60 l.3-11 l

Rahbek, Birgitte – Når mennesket undrer sig – Forlaget Centrum – s.23, l.16-17 m

Jacoby, Edmund & Braun, Ulrike – 50 klassiske filosoffer – Aschehoug – s.36 øverst n

Jacoby, Edmund & Braun, Ulrike – 50 klassiske filosoffer – Aschehoug – s. 39-41 o

Thielst, Peter - Man bør tvivle om alt – og tro på meget – Det lille forlag – s.76, l.1-35 p

Thielst, Peter - Man bør tvivle om alt – og tro på meget – Det lille forlag – s.78, l.20-s.79, l.2 q

Thielst, Peter - Man bør tvivle om alt – og tro på meget – Det lille forlag – s.79, l.6-22 r

Rahbek, Birgitte – Når mennesket undrer sig – Forlaget Centrum – s. 272 s

Rahbek, Birgitte – Når mennesket undrer sig – Forlaget Centrum – s.282, l.16-22 t

Rahbek, Birgitte – Når mennesket undrer sig – Forlaget Centrum – s.282, l.27-29

Figur 1 af
u

Kierkegaard, Søren –Philosofiske Smuler – Kap. 1+2

v

Kierkegaard, Søren - Sygdom til Døden, SV bd. 15 s.73-74