SRP om Uendelighedsbegrebet i Matematik A og Filosofi B

Side 1

MATEMATIK A/ FILOSOFI B

Side 2

SRP

2

ABSTRACT

The concept of infinity

This study investigates the concept of infinity in different perceptions during eras. The concept of infinity has been a perennial source of mathematical and philosophical wonder. The ancient Greeks were uncomfortable with the concept in contemplation of Zeno’s paradoxes, especially Achilleus and Tortious paradox. Aristotle was the first thinker who attempted to define infinity, however, he distinguishes between potential and actual infinity but also insisted that potential infinity alone is enough for mathematics. Subsequently, the potential

                                                                     th
infinity was an integrated section of mathematics until Cantorian set theory. In late 18 century a German

mathematician named Georg Cantor accomplishes some revolutionary work with infinite sets. Cantor’s most remarkable achievement was to show, in a mathematically rigorous way, that the concept of infinity could be countable and non-countable. Not all infinite sets are the same size, and accordingly, some infinite sets can be compared with one another. Cantor’s revolutionary work was not at all accepted of all mathematicians in his time, meanwhile a number of logical and philosophical paradoxes stem from the Cantorian se theory, many of which were discovered or considered in Bertrand Russell’s work. Nevertheless Cantor’s theories received a lot of attention, due the visualization of his ideas by David Hilbert.

Side 3

3

INDHOLDSFORTEGNELSE

ABSTRACT ................................................................................................................................. 2 INDLEDNING .............................................................................................................................. 5 UDVIKLING AF BEGREBET UENDELIGHED ................................................................................. 7 AKTUELT OG POTENTIELT UENDELIGHED ....................................................................................... 7 MÆNGDELÆRENS FADER – GEORG CANTOR ............................................................................ 9 MÆNGDEBEGREBET ........................................................................................................................10 MÆNGDEN N – DE NATURLIGE TAL .................................................................................................. 10 MÆNGDEN Z – DE HELE TAL ............................................................................................................... 11 MÆNGDEN Q – DE RATIONALE TAL .................................................................................................. 11 MÆNGDEN R – DE REELLE TAL .......................................................................................................... 11 DE IRRATIONALE TAL ............................................................................................................................ 11 DELMÆNGDER OG ÆGTE DELMÆNGDER .......................................................................................... 12 KARDINALITET ........................................................................................................................................ 12 AFBILDNING ............................................................................................................................................. 13 ARITMETISK KONSTRUKTION AF DE REELLE TAL .................................................................. 14 MATEMATISK AFKLARING AF ZENONS PARADOKS .......................................................................15 PARADOKSET OM ACHILLEUS OG SKILDPADDEN ..........................................................................15 BESTEMMELSE AF SUMMEN AF EN KVOTIENTRÆKKE ..................................................................15 AFKLARING AF ZENONS PARADOKS VED BRUG AF KVOTIENTRÆKKEN .......................................16 OM TÆLLELIGE MÆNGDER OG IKKE TÆLLELIGE MÆNGDER ................................................. 17 DE RATIONALE TALS TÆLLELIGHED ..............................................................................................19 DE REELLE TALS OVERTÆLLELIGHED, ANDEN DIAGONALMETODE .............................................20 ER DE IRRATIONALE TAL NON—DENUMERABLE ? .......................................................................22 POTENSMÆNGDE .............................................................................................................................23 ALFERNE – DE TRANSFINITE TAL ..................................................................................................24 HILBERTS HOTEL .............................................................................................................................26 KONTINUUMS HYPOTESEN ( CH) ..................................................................................................28 BETYDNING AF UENDELIGHEDSBEGREB I MATEMATISK OG FILOSOFISKE FORSTAND .......... 28

MÆNGDELÆRENS PARADOKSER ............................................................................................ 31

Side 4

SRP

4

CANTORS FILOSOFISKE TANKER OM UENDELIGHEDSBEGREBET ........................................... 32 AKSIOMATISERING ..........................................................................................................................33 KONKLUSION .......................................................................................................................... 34 LITTERATURLISTE: ................................................................................................................ 35 KILDEKRITISK ..................................................................................................................................37 BILAG 01 ................................................................................................................................ 38 BILAG 02 ................................................................................................................................ 38

Side 5

5

INDLEDNING

Homo sapiens^{1} – det tænkende menneske- har altid undret sig over spørgsmålene om universets

dannelse, udvikling, livets opståen og ende. Har universet altid eksisteret? Og vil det fortsætte med at eksistere i evigt? Er verdensrummet begrænset eller udstrækker det sig i evige tid? Kan man finde en udeleligt materielt element? Eller kan vi fortsætte med at dele det uendelige? Hvad forstår vi ved uendelighedsbegreb?

Vi bruger det ofte i udtryk som ” der er uendelig mange riskorn på en rismark ”. Denne sætning bliver accepteret korrekt hos de fleste, selvom mange kan afgøre korrekthed af den, kun ved brug af vores logiske sans. Vi ved at det er teknisk muligt at bestemme antallet af riskornene på den bestemte rismark. Vi kommer bare til at få et utroligt stort tal.

Antikkens matematikere og filosofere har prøvet at undgå problemer med uendelige processer. Da

                       2
uendelighedsbegreb, apeiron - er ødelæggende for deres verdensopfattelse, og det vigtigste for dem var at

                                          3
finde kosmos i tingene. Eksempelvis Pythagoræerne

, og deres verdensopfattelse var baseret på bittesmå udelelige enheder med en meget lille udstrækning. Disse enheder kunne naturligvis tælles, hvis man altså kunne se dem. Denne religiøse broderskab kommer med udsagnet ”Alt er tal”. Efterhånden som grækerne gik dybere og dybere ind i deres teorier, indså de, at deres talsystem ikke kunne beskrive alt, blandt andet fordi det kun bestod af hele tal og brøker.

I geometrien prøvet Euklid at undgå uendelighedsbegrebet i hans lærebøger- Euklids elementer-

                                                         4
allerede i definitionen af en ret linje prøver han at undgå uendeligheden

, hvor han i postulat 2 formulerer, at

                                                   5
en begrænset ret linje kan forlænges i ret linje uden forbrydelse.

Altså at linjestykker kan forlænges vilkårligt, uden at blive uendeligt lange. Aristoteles er den første grækere, der analyserede begrebet uendelighed. Hans løsning på problemet var, at forkaste eksistensen af uendeligt rum udenfor himmelkuglen, der er ingenting. Og

                                        6
dels at opfatte det uendelige som noget potentielt.

Flere af matematikere var enige med Aristoteles indtil ca.

1850-60, men efter den tid sker der en drejning, således at Cantors mængdeteori kommer på banen, og et flertal nu tror på det aktuelt uendelige. Denne opgave vil netop ligge fokus på cantorske mængdelære.

I første del af min opgave vil jeg give en forhistorie af uendelighedsbegrebets udvikling, hvor jeg kort redegør for Parmenides og Zenons argumenter for bevægelses umulighed. Herunder bliver der forklaret med eksempler, hvad aktuelt og potentielt uendelighed er for noget. Dels ved at kigge på Aristoteles’ argumenter og dels på dens påvirkning på eftertidens matematikere, heriblandt bliver fokuseret lagt på Galilei

1

Latinske navnord for menneske, betyder ” Det vidende menneske”.

2

Apeiron, det græske begreb for uendelig, det indeholder kaos i sin betydning

3

Pythagoræerne var en broderskab omkring 6. århundrede f.v.t stiftet af filosoffen Pythagoras, de

beskæftigeret sig med matematik, musikteori.
4

(7), Side 93

5

Side 54, Q.E.D

6

(6), side 1.37

Side 6

SRP

6

Galileo, Carl Fredrich Gauss og Bernhard Bolzano, hvor der bliver kigget på deres tilgang og bevisførelse for uendelighed.

I anden del af opgaven, bliver fokusset lagt på Cantors mængdelære. Til at begynde med defineres og forklares begreber som mængdebegrebet, talmængder, afbildning, delmænger og kardinalitet, før vi kan være i stand til at kaste os ind i Cantors denumerabel og non-numerabel mængder. Efterfølgende vil Achilleus og skildpadden paradoks blive løst ved hjælp af uendelig kvotientrækker. Dernæst vil vi bevæge os hen til denumerabel og non-numerabel mængder, hvor jeg vil anvende Cantors første og anden- diagonalmetode til delvis at bevise dem. Ikke desto mindre, komme ind på det transfinite tal- alef og herindunder komme ind på uendeligheds illustration af Hilbert med hans såkaldte Hilberts hotel. Bagefter snakke om potensmængder, og afslutningsvis vil jeg præsentere Cantors kontinuumhypotese.

I tredje del af opgaven, vil der blive diskuteret om Cantors mængdelæres betydning for uendelighedsbegrebet i matematisk og filosofiske forstand. Herunder bliver der blandt andet gjort rede for en af mængdelærens paradokser- den såkaldte Russells paradoks. Derudover vil der blive diskuteret om Cantors filosofiske tanker om det forandrede uendelighedsbegreb. Til sidst vil jeg komme kort ind på Hilberts løsning til at redde mængdelæren fra de grusomme paradokser, hvor jeg blandt andet kommer ind på den såkaldte Hilberts program.

Jeg har i øvrigt valgt at placere de fleste af mine figurer ind i opgaven i stedet for bilag, da det er mere relevant at have dem ind i de passende steder end at henvise dem i bilaget.

Side 7

7

UDVIKLING AF BEGREBET UENDELIGHED

Det var oldtidens græske matematikere, der bragte uendelighedsbegrebet ind i matematikkens verden, og det var oldgræske filosoffer, der bragte det ind i filosofien. Det var naturligvis filosofferne, der begyndte med at rode sig ind i det uhåndgribelige begreb, apeiron. Dette begreb har været truende for de fleste grækere. Elea var en græske koloni i Syditaliens vestkyst og den var center for en filosofiske skole, der stod i opposition til

pythagoræerne^{7}. En af lærerne på skolen var Parmenides ( ca. 525 – 450 f.Kr.), som er kendt for at have

indført det mest almindelig begreb, som væren i det filosofiske diskurs. Han opdelte verden i det værende og

det ikke værende.^{8} Det værende var det uforanderlig og evig, og enhver ændring af det værende måtte ske fra

det ikke værende, det er jo simpelthen umuligt, da ikke-værende jo ikke er. Derfor måtte det værende altid eksistere, og samtidig være uforanderlig. Da dette er i modstrid med de ting vi observere med vores sanser, slutter Parmenides at sanseverdenen er en ren illusion. Parmenides’ tese blev stærkt forsvaret af hans elev Zenon.

Zenon havde til formål at vise bevægelsens umulighed og det gjorde han ved en række argumenter, som sidenhen er blevet til paradokser. Den mest kendte af paradokserne for bevægelsens umulighed kendes som Achilleus og Skildpadden. Hvor Zenon argumenteret med at Achilleus aldrig vil kunne overhale

                                                                      9
skildpadden, for at nå frem til skildpadden måtte Achilleus igennem en uendelig proces. (Se side 15-16 )

Denne klassiske paradoks har haft en stor betydning for udvikling af det matematiske uendelighedsbegreb.

AKTUELT OG POTENTIELT UENDELIGHED

                                                                           10
Aristoteles (384-322 f.Kr.) er den første filosof, der for alvor tog fat i uendeligheds problemet , hvor han

skelnede mellem aktuelt og potentielt uendelighed. Aristoteles mente, at der ikke fandtes noget legeme som i

                                                                            11
realiteten er uendeligt, altså at uendelighed skulle have sin egen eksistens i den virkelig verden. Det behøves

ikke nødvendigvis være noget vi kan føle; men kunne f.eks. være tid og linjer. Aristoteles forkaster uendelighed som noget aktuelt, f.eks. det er potentielt muligt at universet altid eksistere, altså at det bliver uendeligt gammelt, men det er ikke uendelig gammelt på noget tidspunkt, og derfor må det aktuelle afvises.

Derimod er uendelighed en mulighed: F.eks. processen at tælle. Mængden af naturlige tal er potentielt uendelig da der ikke er noget største tal, men denne mængde er ikke aktuelt uendelig da mængden ikke findes

                 12
som en afsluttet ting.

Lad mig med et eksempel illustrere forskellen mellem potentielt uendelighed og aktuelt uendelighed:

7

(5): side 1.19

8

(7): Side 86

9

(7): Side 86

10

(5): side 1.36

11

(7): Side 87

12

(7): Side 87

Side 8

SRP

8

Et linje stykke EF kan halveres og man får et nyt punkt G, og derved fremkommer to nye punkter EG og GF, som hver for sig kan halveres :

G

E H I F

I figur 1.1 kan man se, at vi har fået fire linjestykker: I𝐸𝐻I, I𝐻𝐺I, I𝐺𝐼I, I𝐼𝐹I, og man kan blive

ved man at halvere dem hver for sig i uendelig små dele. Man kan sige, at der opstår: 1, 2, 4, 8, 16 ,32,..2^{n},

for hver gang man halvere linjestykket. Linjestykkerne kan stadig halveres og er derfor: 2, 3, 5, 9, 17, 33,…

2^{n} + 1 ..

Der er nu to muligheder, den ene at man fremstiller nye punkter på linjestykket I𝐸𝐹I, altså at der opstår flere punkter men på intet tidspunkt vil der være flere end endeligt mange punkter. Man kan sige med andre ord, at der opstår et antal punkter som ikke kan tælles, dvs. at antallet af punkter er potentielt uendeligt. Den anden mulighed er, at man på forhånd ser på linjestykket som en mængde af eksisterende punkter. Linjestykket er som en punktmængde, og punkterne ville man kunne finde nogle af efterhånden. Denne opfattelse bliver kaldt

                    13
for aktuelt uendelighed.

Aristoteles’ opfattelse af det uendelige, som potentielt bliver fremherskende opfattelse blandt matematikkerne, men der var få matematikere som prøvet at give et andet svar for uendelige processer.

Fra omkring år 1638 bliver problemet med linjestykke genopstået af renæssancens store

                                  14
matematikkere og fysikere Galileo Galilei

. Han stiller blot et spørgsmål om to linjestykker af forskellige længde indeholder flere punkter end det korteste. For at kunne løse dette problem ser han på tallenes verden.

Han påstod, at der lige så mange kvadrattal, som der er naturlige tal. Til ethvert kvadrattal svarer et helt, positivt tal, nemlig dets kvadratrod, og til ethvert helt, positivt tal svarer et kvadrattal, nemlig dets kvadrat.

                                      15
Han argumenteret nemlig med sammenparring,

dvs. man lader det første element i den ene følge svare til det første element i den anden følge, og sådan kan man fortsætte :

1 2 3 4 5 6……

↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ altså en enentydige afbildning f: N ↣ K, hvor f(n) = n^{2}^{16}

1 4 9 16 25 36…..

13

(6): Side 5-6

14

(1): side 145-146

15

(1): side 145-146

16

(6): side: 9

Figur: 1.1

Side 9

9

Galilei forfulgt denne tankegang videre således: at blandt tallene fra 1 til 100 findes der 10

                1                                  1
kvadrattal, altså er af disse tal kvadrattal, og desuden er kun af tallene op til 10 000 kvadrattal og kun
               10                                 100

1

1000 af tallene op til 1000 000, og så videre. Galilei udtalt sig omhyggeligt at hvis tallene er uendeligt, så må der være ligeså mange kvadrattal som der er tal. Heraf besluttet han, at mennesket ikke er i stand til at sammenligne samlinger af uendelig mange ting ved sammenparring, og man ikke kan anvende begreber

såsom; lige så mange som, flere end eller færre end på uendelige mængder^{17}.

Matematikkens fyrste – Carl Fredrich Gauss () hævdet at i matematikken, er det kun potentielle uendelig tilladt, eftersom han mente at uendelige størrelse, som noget tilendebragt ikke kan give

                                                               18
mening i den matematiske verden, tværtimod er uendelighed blot en talemåde.

En af de få fra Gauss’ samtidige matematiker, der havde anerkendt eksistensen af det aktuelt uendelighed, var den tjekkiske teolog, filosof og matematikker Bernhard Bolzano (). Han var hovedsagligt beskæftigede med integralregning og differentialregning, men samtidig var han optaget af begrebet kontinuitet. I løbet af hans levetid havde han ikke udtalt sig om uendelige mængder, men først efter hans død udgiver en af hans venner hans bog Paradoxien des Uendlichen i 1851, hvori han tager afstand fra Galiles definition om at to uendelige mængder indeholder samme antal elementer, hvis man kan lave en enetydelig afbildning af den ene på den anden. Men derimod mente han, at hvis man har to linjestykker med forskellige længder, ville den længste af

                                         19
linjestykke indeholde flere punkter end den længste

. Det lykkedes ham desuden ikke at give et nærmere svar på uendelighedsbegrebet, men mon ikke han har inspireret Georg Cantor. [20]

Galiles definition på, at to uendelige mængder har samme element, kommer til at få et kæmpe betydning 250 år senere for mængdelærens fader – Georg Cantor, som ændret for alvor Aristoteles traditionen i matematikken.

MÆNGDELÆRENS FADER – GEORG CANTOR

Georg Cantor er en tyske matematikere, som er født i 1845 i Skt. Petersborg og døde i Halle i 1918. Georg Cantor er grundlægger af den klassiske mængdelære. Han beskæftiget sig specielt med uendelig mængder, og han brugte hele sit liv på at finde de usædvanlige mysterier, som var gemt bag begrebet uendelighed. Det lykkedes ham i høj grad at give en dybere analyse af det, som andre matematikere havde taget alt for givet.

Han præsenterede begreber som kardinalitet af en mængde, og for deres mægtigheder gav han et kardinaltal

17

(1): Side 146

18

(1): Side 146

19

(1): Side 146

20

Der siges at Cantor og hans kollega Richard Dedekind havde kendskab til Balzano’s bog (Jf.

Torkild Heiede)

Side 10

SRP

10 eller også et såkaldte transfinite tal, ikke desto mindre fandt han flere grader af uendelighed. Hvilke jeg i følgende afsnit vil undersøge nærmere. Cantor så på uendelighed, som noget aktuelt, altså noget som forgår i tid og er til i tid. Denne tanke gik imod mange af tidens matematikere, de syntes at det var noget vrøvl.

Cantor havde et stort kendskab til filosofi og teologi, dette kendskab benyttet han både implicit og eksplicit i sine matematiske værker. I dag finder man ikke dette kendskab hos mange matematikere, og heller ikke fra Cantors samtidige matematikere, dog ikke så stort omfang. Det betyder ikke at Cantor var en stor filosof eller teolog, men det betyder at han var i stand til at løse eksistensproblemer ved at henvise til Guds tankeverden, som vil vendes tilbage til ved passende lejlighed. Til at begynde med, blev Cantors mængdelærer absolut ikke accepteret af alle, som ofte sker i tilfælde med nyt viden. Men flere af yngre matematikere begyndte med at benytte sig af mængdelærens begreber og betegnelser i deres arbejde, og fleste af dem arbejdede endda videre på den. Da mængdelæren fra midten af 1890’erne bliver mere og mere anerkendt, så deltog Cantor mindre og mindre. Efter år 1900 blev Cantor hyppigere syg, og døde i nerveklinikken i 1918.

Ifølge E. T. Bells [21] er grunden til mange af Cantors psykiske sammenbrud, var angrebene fra hans tidligere lærer Leopold Kronecker, som betragtede cantorske mængdelære som et farligt eksempel på matematisk vanvid.

Inden vi berører Cantors mængdeteorier ville jeg give et kort overblik over selve mængdebegrebet, og forklare nogle barsele begreber og metoder, for at vi kan være i stand til at forstå hans ideer.

MÆNGDEBEGREBET

Ved en mængde forstås en samling af forskellige objekter. Objekterne i en mængde bliver kaldt for elementer.

Man betegner en mængde med stort latinske bogstave og elementerne med små. F.eks.: 𝑏 ∈ 𝐵, dette kan læses

som b er et element i mængden B, eller hvis b ikke tilhører mængden B, skriver man: 𝑏 ∉ 𝐵.^{22} Herunder

bliver der gjort kort rede for tal mængderne. Man skal være opmærksom på at symbolerne for talmængder

( ℕ,ℤ,ℚ,ℝ ) er af nyere dato.^{23}

MÆNGDEN N – DE NATURLIGE TAL

Man betegner mængden af de naturlige tal med N og kan skrives N = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9……………} at

opskrive en mængde på denne måde kaldes en listeform. I dette tilfælde taler man om en ufuldstændig

21

Forfatteren til bogen Matematikkens Mænd

22

(2): side 11

23

(1): side 157

Side 11

11 listeform. Man kan ikke opskrive alle de naturlige tal, da vi har uendelige mange af dem, det vil tage uendelig lang tid. Man markere det med prikker, for at vise at tallene fortsætter i det uendelige. [24]

MÆNGDEN Z – DE HELE TAL

Man betegner de hele tal med Z= { …..,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4……} hele tal er en udvidelse af de

naturlige tal. Dette indebærer blandt andet, at de naturlige tal er en delmængde af hele tal, idet ethvert naturligt tal også kan betragtes som et helt tal. Da der er hele tal, som ikke er naturlige tal, siges at de naturlige tal er en

ægte delmængde af de hele tal. Dette skriver man som : N ⊂ Z^{25}

MÆNGDEN Q – DE RATIONALE TAL

                                                                          a
Med bogstavet Q betegner man mængden af alle brøker, dvs. tal med en nævner og tæller,
                                                                          b

, a og b skal være hele tal, undtagen 0 - da man ikke kan dividere med tallet 0. De rationale tals mængdenotation er

defineret således: Q= {^{𝑚}_{𝑛} I 𝑚 ∈ Z,n ∈ Z0 } Før den lodrette streg skriver man hvilken form

mængdens elementer kan skrives på eller hvilke grundmængde der er tale om. Man skriver et udsagn efter den lodrette streg, der bekriver de elementer som er med i mængden. I dette tilfælde består rationale tal af mængden af alle brøker, hvorom det gælder at tælleren tilhører mængden Z, og nævneren tilhører mængden Z0 dvs. alle hele tal undtagen tallet 0. De rationale tal er en udvidelse af de hele tal, der gælder altså:

N ⊂ Z ⊂ Q^{26}

MÆNGDEN R – DE REELLE TAL

De reelle tal skrives enten som en endelig decimalbrøk eller uendelig decimalbrøk, altså: 𝑞,𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4 …. I dette tilfælde er q et heltal, og 𝑎1,𝑎2, … er decimalerne fra 0-9 cifrene.

Mængden af de tal, som er i reelle tal, men ikke i de rationale tal, for de irrationale tal, som jeg vil præsentere senere i opgaven. Man kan sige at de reelle tal kan deles op i to disjunkte mængder: de rationale tal og de irrationale tal, dvs. de har ikke noget element til fælles. [27]

DE IRRATIONALE TAL

24

Wiki: Naturlig tal

25

Wiki: Hele tal

26

Wiki: de rationale tal

27

Wiki: de reelle tal

Side 12

SRP

12

Som nævnt overfor kan irrationale tal være reelle tal, men ikke rationale tal. Et eksempel på irrationale tal kan

være tallet 𝜋 = 3,1415926….^{28} og kvadratroden af 2 = √2 kvadratrod 2 er lig

                                                           29
= 1,414213562373095. De irrationale tal kan være transcendent eller algebraisk. Et eksempel på

transcendent tal er 𝜋 eller 𝑒 , et transcendent tal kan heller ikke være et rod i noget polynomium. Hvorimod de algebraisk tal er rod i et polynomium med rationale koefficienter. Kvadratroden af 2 er et eksempel på algebraisk tal, og der findes uendeligt mange algebraisk tal, men dog er mængden af dem tællelige som betyder at mængden af algebraiske tal ikke er større end f.eks. naturlige tal eller de rationale tal. [30] DELMÆNGDER OG ÆGTE DELMÆNGDER

Hvis man har to mængder, mængde A og mængde B. Hvis alle elementerne i A også er elementer i B. Altså

hvis 𝑎 ∈ 𝐴 => 𝑎 ∈ 𝐵, siger man at A er en delmængde af B, skriver vi 𝐴 ⊆ 𝐵. Denne relation mellem
mængderne bliver kaldt for inklusion og man benytter sig af den såkaldte inklusionstegn: ⊆ 𝑜𝑔 ⊇.^{31}

Hvis A er en delmængde af B, men A ikke er identisk med B, siger man at A er en ægte delmængde af B, for at vise det skriver man: 𝐴 ⊂ 𝐵.

KARDINALITET

Begrebet kardinalitet skal forstås som mægtighed i en mængde, dvs. en mængdes kardinalitet er et mål for antallet af elementer i en given mængde. Man har to tilgangsvinkler til kardinalitet. Den ene er en direkte sammenligning af mængder ved brug af bijektioner, injektioner og surjektioner ( se under afsnit - afbildning)

                                32
og den anden ved at benytte kardinaltal. For eksempel: En mængde 𝐴 = { 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 } har

kardinaliteten 10. En anden mængde 𝐵 = { 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50} har ligeledes Kardinaliteten 10 og

man kan konkludere at mængderne A og B er ækvipotente – de har samme kardinalitet.

28

En japanske forsker har i 2009 regnet alle 𝜋’s cifre ud ved hjælp af en supercomputer, det tog

computeren 73 timer til at udføre beregning og cifrene er på 2000 milliarder!!
29

Wiki: De irrationale tal

30

Wiki: De algebraisk tal

31

(2) : side 15

32

Wiki : Kardinalitet

A

B

Figur: 2.1

𝑨 ⊆ 𝑩

Side 13

13

AFBILDNING

To mængder A og B gælder, at der til ethvert element 𝑎 ∈ 𝐴 på en entydig måde er knyttet et element 𝑏 ∈ 𝐵, siger man, at der foreligger en afbildning af A ind i B eller, især hvis b er en talmængde, en funktion fra A til

                                                              33
B; A kaldes afbildningens definitionsmængde og B dens dispositionsmængde

. En afbildning betegnes typisk med en et lille bogstav, og at f er en afbildning af A ind i B skrives således: 𝑓:𝐴 ↦ 𝐵 , en afbildning kan forekomme på tre måder; injektiv, surjektiv og bijektiv.

a) Injektiv, hvis der for alle elementer 𝑎,𝑎 ∈ A gælder:

1 2

𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑎) => 𝑎 = 𝑎

1 2 1 2

b) Surjektiv, hvis der til ethvert 𝑏 ∈ 𝐵 findes mindst et 𝑎 ∈ 𝐴 med 𝑓 ( 𝑎)

                                        34
c) Bijektiv, hvis den både er injektiv og surjektiv      1                         1

33

(2): side 29

34

(11): Side 1

a | b

1 | 1

a | b

2 | 2

a

3 b

3

A B

a | b

1 | 1

a | b

2 | 2

a

3

a | b

4 | 3

A B

a | b
a | b

2 | 2

a | b

3 | 3

a | b

4 | 4

A B

Figur: 2.2

Injektiv afbildning

Figur: 2.3

Surjektiv afbildning

Side 14

SRP

14

Man siger, at f er en bijektion afbildning, og skrives som: 𝑓:𝐴 → 𝐵

Denne afbildning afbilder således ethvert element i A til et og kun et element i B, og omvendt. Dvs. alle elementerne i

A og B er med i afbildningen. Som er illustreret i figur 2.4.

ARITMETISK KONSTRUKTION AF DE REELLE TAL

I årene omkring 1869 bliver Cantor ansat som privatdocent i Halle. Cantor bliver ansporet af Heine, som er professor i universitetet til at løse nogle af konvergensforhold af trigonometriske rækker, altså rækker af

       1
                                                                            35
formlen: 𝑎0 + a1 cos𝑥 +𝑏1 sin𝑥 + 𝑎2cos2𝑥 + 𝑏2 sin2𝑥 + a3cos3𝑥 +𝑏3sin3𝑥 + ⋯   , for at kunne
       2

løse nogle af problemerne med trigonometriske række havde han brug for nye begreber og betegnelsesmåder, specielt for at kunne illustrere beliggenhed af punkter på tallinjen. I denne forbindelse begynder han at overveje, hvad et reelt tal er for en størrelse. I denne periode var der bl.a. andre matematikere som Richard Dedekind (), der prøvet at analysere de rationale tal. Dedekind ville ordne de rationale tal efter størrelse ved hjælp fra det han kaldte for snit i de rationale tal.. Lad mig her, så kort som det er muligt gentage

                           36
tankegangen i det Dedekinske Snit

. Snittet frembringer to klasser af tal A.1 og A.2, der er uendelige, disjunkte (se under afbildning), og tilsammen udgør ℚ. Tallene i A.1 er mindre end tallene i A. 2 og tallene i

A. 2 er derfor større end tallene i A. 1^{37}. Spørgsmålet er; hvor er det tal t, hvor snittet foretages er et irrationalt

tal? Dette spørgsmål vendes tilbage til under diskussion afsnittet.

Cantor brugte den såkaldte fundamentalfølger også kaldt Cauchy-følger [38], en følge a, a,a,a,

1 2 3 4 a …. af rationale tal, hvis elementer i sidste ende ville ligge vilkårligt tæt ved hinanden, hvis denne følge ikke n konvergeret, altså hvis den ikke nærmeret sig mod et rationale tal så fik han ideen om at knytte det med et irrationale tal, som dens grænseværdi. Og til de funamentalfølger som lå vilkårligt tæt ved hinanden, knyttede han det samme irrationale tal.

35

(1): Side 148

36

(1): side 149

37

(3): Side 87

38

Har fået navnet fra sin opfinder, den franske matematiker Augustus-Louis- Cauchy (1789-

1857)

Figur: 2.4

Bijektiv afbildning

Side 15

15

MATEMATISK AFKLARING AF ZENONS PARADOKS

Cantor forholdte sig kritisk til Zenons paradoks ” Achilleus og skildpadden”. Zenons teori om at Achilleus aldrig vil nå frem til skildpadden, altså at han vil komme uendelig tæt på den men aldrig nå op på siden af skildpadden, dette argument modbeviser Cantor fuldstændigt. Ifølge Cantor vil en uendelige decimalbrøk der konvergerer, altså når den nærmere sig, imod et tal, der vil have samme egenskab som grænseværdien af

     39
tallet.

PARADOKSET OM ACHILLEUS OG SKILDPADDEN

Den oldgræske helt Achilleus skal løbe om kap med en skildpadde. Achilleus løber med en fart på 10 m/s og
skildpadden med 0,1 m/s. Da Achilleus er antikkens hurtigste løber får skildpadden et forspring på 100 meter

Derefter begynder Achilleus at løbe, og efter 10 sekunder når han de 100 meter, i mellem tiden er skildpadden kravlet 10 meter længere. Han løber de 10 meter på 0,01 sekunder, men i mellemtiden har skildpadden kravlet

1 meter længere frem. Han løber den ene meter, men i mellemtiden har skildpadden kravlet 0,1 meter frem.

Således vil helten Achilleus aldrig være i stand til at overhale skildpadden, faktisk vil han komme uendelige

tæt på den uden at kunne overhale den.^{40} Han skal nemlig bruge:

10 + 0,01 + 0,001 + ⋯

sekunder og summen af disse uendelige mange tal er uendelig stor.

Zenons paradoks kan afklares, da paradokset egentlig beskriver en kvotientrække. Det specielle ved kvotientrækker er, at summen af en uendelig række under visse forudsætninger kan tillægges en endelig værdi.

Den generelle kvotientrække ser således ud:

∑ 𝒂𝒅^{𝒏} = 𝒂 + 𝒂𝒅 + 𝒂𝒅^{𝟐} + 𝒂𝒅^{𝟑} + ⋯+ ⋯𝒂𝒅^{𝒏} + ⋯

∞

𝒏=𝒐

39

Wiki: Georg Cantor

40

(7): side 86

Side 16

SRP

16

BESTEMMELSE AF SUMMEN AF EN KVOTIENTRÆKKE

Vi bestemmer summen af en generel kvotientrække med kvotienten d, der har formen:

∑ 𝒂 𝒅^{𝒏} = 𝒂 + 𝒂𝒅 + 𝒂𝒅^{𝟐} + 𝒂𝒅^{𝟑} + ⋯+ 𝒂𝒅^{𝑵} + ⋯

∞

𝒏=𝟎
Idet benytter vi sumtegnet ∑ og det matematiske uendelig symbol ∞ ovenpå sumtegnet, hvor a og d er givne

reelle tal.

Vi summerer de N første led i rækken under summen S

N

, derved fremkommer det N’te afsnit i rækken:

1) 𝑆𝑁 = +𝑎𝑑+ 𝑎𝑑 + 𝑎𝑑^{3} + ⋯+ 𝑎𝑑^{𝑁−1}

2

Vi multiplicere med d, dvs. vi ganger med d og vi får:

2) 𝑑 𝑆𝑁 = 𝑎 + 𝑎𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑎𝑑^{3} + ⋯+ 𝑎𝑑^{𝑁}

2

Derefter subtraheres (2) fra (1), altså S trækkes fra 𝑏 𝑆𝑁 :

N

S − 𝑑 𝑆𝑁 = 𝑎 + 𝑎𝑑 + 𝑎𝑑^{2} + 𝑎𝑑^{3} + ⋯+ 𝑎𝑑^{𝑁−1} – ( 𝑎+ 𝑎𝑑 + 𝑎𝑑^{2} + 𝑎𝑑^{3} + ⋯+ 𝑎𝑑^{𝑁}) =>

N

SN − 𝑑 𝑆𝑁 = 𝑎 + 𝑎𝑑 + 𝑎𝑑^{2} + 𝑎𝑑^{3} + ⋯+ 𝑎𝑑^{𝑁−1} – ( 𝑎 + 𝑎𝑑 + 𝑎𝑑^{2} + 𝑎𝑑^{3} + ⋯+ 𝑎𝑑^{𝑁}) =>
SN − 𝑑 𝑆𝑁 = 𝑎 − 𝑎𝑑^{𝑁} ⬄ SN ( 1 − d) = 𝑎 − 𝑎𝑑^{𝑁} =>

SN =

𝑎− 𝑎𝑑^{𝑁}
1 − 𝑑

Når N vokser uendeligt og

| 𝑑

|

< 1, vil summen af kvotientrækken bestemmes som følgende:

𝑆 =

𝑎

1 − 𝑑

Kvotientrækken er konvergent med summen S, altså den vil nærme sig summen, når | 𝑑 | < 1^{41}^{,}^{42} for 𝑁 → ∞

AFKLARING AF ZENONS PARADOKS VED BRUG AF KVOTIENTRÆKKEN

Nu kan vi regne på den uendelig række, der opstod ved Zenons paradoks. Vi fik den uendelig række:

10 + 0,01 + 0,001 + ⋯

                                            1
Den er en uendelig kvotientrække med a= 10 og 𝑑 =
                                           100

Nu kan vi regne summen ud, ved at bruge formlen for kvotientrækkens:

∑ 𝒂𝒅^{𝒏} =

∞

𝒏=𝟎

𝒂

𝟏 − 𝒅

41

(7): Side 89

42

(9): side 24

Side 17

17

Vi sætter værdierne for a og d ind på formlen, og regner summen ud:

∑ 10 () = = = 10

1 10 1000 10

100 99 99 𝑛

∞

𝑛=0

1 −

1

100

                                                   10
Vi har nu regnet, at Achilleus vil indhente skildpadden efter 10 sekunder.
                                                   99

OM TÆLLELIGE MÆNGDER OG IKKE TÆLLELIGE MÆNGDER

Cantor bruger begreberne tællelighed og overtællelighed [43]

(el. Ikke-tællelighed) til at bestemme, hvorvidt det er muligt at opstille elementerne i en uendelig mængde. Han kommer med definitionen, at en mængde er

                                                                                 44
tællelig eller numerable, hvis elementerne i mængden kan sammenparres enentydigt med naturlige tal , altså

hvis elementerne i mængden kan opstilles i en følge, dvs. hvis tallene kan nummereres i en rækkefølge.

Mængden af naturlige tal, for eksempel, er tællelig, da man teoretisk kan liste alle mængdens elementer i en uendelighed, så at hvert element få sin egen plads i rækkefølgen. Man kan lave en bijektiv afbildning af de naturlige tal med naturlige tal: 𝑓: ℕ → ℕ

Galilies tanke fra 1638 kan vi formulere således: 2 2

Kvadrattallene er en numerabel mængde. Dette gælder både de ulige og lige tal samt primatallene, for vi kan opstille hver af dem i en følge, men de har ikke samme antal elementer, som de naturlige tal:

ℕ_{𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒} = ( 1,3,5,7,9,……...)
ℕ_{𝑙𝑖𝑔𝑒} = ( 2,4,6,8,10,………)
𝑃 = ( 2,3,5,7,11,………)

Hermed har vi vist 4 3

43

Tællelig mængder bliver også kaldt numerable eller denumberable, og overtællelig mængder bliver kaldt for nondenumerabel

44

(1): side 150

1 1

3 3

1 . 1 .

. 2. 4

. 9 . 16

. .

.

. . .

Naturlige tal Kvadrattallene

Figur: 2.6

Bijektiv afbildning af

𝒇 ( 𝒏) = 𝒏^{2}

ℕ ℕ

Figur: 2.5

Bijektiv afbildning af 𝒇 ( 𝒏) → ℕ

Side 18

SRP

18 at enhver delmængde af de naturlige tal er en uendelige numerabel mængde

Men hvad med mængden af hele tal? Dette spørgsmål, kan man nemt svare ud fra definition af en tællelig mængde: mængden af de negative hele tal kan opstilles i en følge:

ℤ ∶ ( −1,−2,−3,−4,−5,−6,−7,−8……..,)

Og denne følge kan man flette sammen med følgen af de naturlige tal med tallet 0 forrest:

0,1,−1,2,−2,3,−3,4,−4,5,−5,………^{45}
Hermed har vi bevist, at de hele tal er numerable^{46}.

Man kan altså lave en bijektive afbildning 𝑓: ℤ → ℕ , som kan defineres ved :

𝑓 ( 𝑛) = {, 𝑛 ∈ ℤ.^{47}

2𝑛 ℎ𝑣𝑖𝑠 𝑛 > 0

−2𝑛 + 1 ℎ𝑣𝑖𝑠 𝑛 < 0

Hvis vi vælger et hele tal større end 0, dette kan være 2, så bliver værdien 2 indsat i 𝑓 ( 𝑛) = 2𝑛
𝑓 ( 2) = 2 × 2 = 4
Hvis vi vælger et negativ hele tal, dette kan være -2, så bliver værdien indsat i 𝑓 ( 𝑛) = −2𝑛+ 1
𝑓 ( −2) = ( −2 × − 2) + 1 = 5

Afbildningen illustreres af figuren:

ℤ = ⋯ ,−4 , −3, −2 , −1, 0 ,1 , 2, 3 , 4 ….

𝑓 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

ℕ = .. 9 7 5 3 1 2 4 6 8

På figur 2.7 kan man se at for hvert de negativ hele tal og positive hele tal er der en tilsvarende naturlige tal, og hermed har vi opstillet de hele tal efter størrelse.

45

(1): Side 150

46

(1): Side 150

47

(11): Side 3

Figur: 2.7

Side 19

19

DE RATIONALE TALS TÆLLELIGHED

Argumentet for de rationale tals tællelighed er lidt komplekst. Da de rationale tal ligger så ”tæt” på tallinjen modsat de hele tal, at uanset hvilke to rationale tal, vi vælger, kan vi finde et ”nyt” rationalt tal. Hvis vi f.eks.

tager^{2}_{7} og^{3}_{7}, vil tallet midt imellem være_{14}^{5} - det er jo også en brøk. Og vi kan så igen finde tallet, der ligger

midt mellem f.eks.^{2}_{7} og_{14}^{5}, nemlig_{21}^{7}. Og sådan kunne vi blive ved.

Cantor fandt et system, hvor man opstiller alle de positive rationale tal i en tabel. Udover den ene akse

placeres tællerens tal 1 − ∞, og ud af den anden akse placeres nævnerens tal 1 − ∞. Lad os tegne et skema

over alle de positive rationale tal, som findes i dette skema:

1 2 3 4 5 6

1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2
1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3

. . .

. . .

. . .

1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4
1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5
1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6

. . .

. . .

. . .

. | . | . | . | . | .
. | . | . | . | . | .
. | . | . | . | . | .

Man kan finde hvert af dem - endda flere gange, bare i forlænget udgave f.eks. 3/3 optræder som 6/6 osv. For

at undgå gentagelserne får Cantor en idé om at gennemløbe skemaet langs diagonaler, som illustreres i skemaet (Se Bilag 02. figur 1.0), og ved hjælp fra den springer man de brøker over, som man allerede har været igennem.

                                                        48
Denne fremgangsmåde bliver kaldt for Cantors første diagonalmetode

, og med hjælp fra denne metode kan man opstille de rationale tal i en følge:

( 1,,2,,3,,,,4,,5,,,,,,6,,,,,,,7,………)

1 1 1 2 3 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6

2 3 4 3 2 5 6 5 4 3 2 7 6 5 4 3 2

Nu kan man tilføje de negative rationale tal på samme måde og derefter kan man sammenparre dem med de naturlige tal , hvor vi har 0 allerforrest:

48

(1): Side 151

Figur: 3.1

Positive rationale tal

Side 20

SRP

20

         1   1      1  1      1   1 2   2 3  3      1   1
                                                                 49
0,1,1,−1, ,−  ,2,−2, ,−  ,3,−3, ,− , ,−  , ,−  ,4,−4, ,− 5,−5,...
         2   2      3  3      4   4 3   3 2  2      5   5

Hermed har vi bevist de rationale tals tællelighed, og de er ikke opstillet efter størrelse, men det var heller ikke påkrævet i vores definition af tællelighed.

På figur 3.2 kan man få et overblik over, hvordan hvert tal fra mængden af de naturlige tal kan sammenparres med et rational tal.

Hvis man kunne anbringe enhver uendelige mængde i en følge, havde alt dette været rimelig banalt. Men i 1891 opdager Cantor noget banebrydende: at mængden af de reelle tal ikke er numerabel, altså de ikke tælles og man heller ikke anbringe dem i en følge.

DE REELLE TALS OVERTÆLLELIGHED, ANDEN DIAGONALMETODE

Sætning : De reelle tal er ikke tællelig.

For at vise at de reelle tal er non-numerable, så skal vi vise at vi ikke kan anbringe de reelle tal som en følge.

Vi vil argumentere for sætningen ved et indirekte bevis . Princippet i dette er, at man antager at det modsatte er sandt og beviser, at det ikke passer ved at finde en modstrid [50]. I dette tilfælde antager vi, at de reelle tal kan nummereres i en rækkefølge, som får alle reelle tal med. Derefter vil vi vise, at denne antagelse fører til en modstrid. Altså at vores antagelse er forkert, og dermed er sætningen sandt.

Vi starter med at antage at de reelle tal er numerabel, derfor må enhver delmængde af de reelle tal være numerabel. Jeg forstiller mig altså, at der rent faktisk kan fortages en bijektive afbildning af 𝑓: ℕ ⟶ ℝ [ 0;1].

Og at vi derved kan opstille dem i en størrelsesorden, der gør det muligt at tælle alle tal for ℝ [ 0;1]. Hvis vi vælger en delmængde af de reelle tal, der kan skrives som en uendelige decimalbrøker med 0 foran kommaet og alle cifre enten 5 eller 4, og derfor må tallet som :

0,544545455545545454….

Også være numerabel.

49

(1): side 151

50

Wiki : Bevis (matematik)

1/2 1/1

. .

. 2/1

. . .

3/1 . 16

1 .

. 2

. . .

4 . 3

ℕ ℚ

Figur: 3.2

Bijektiv afbildning af

𝒇: ℕ × ℕ → ℕ

Side 21

21

Vi kalder denne delmængde af de reelle tal for A. Vi antager at mængden A er numerabel – tallene i | 𝐴 | kan opstilles i en rækkefølge. De første tal i rækkefølgen kunne være disse:

𝑎_{1} − 0,45454555545454545454….
𝑎_{2} − 0,55545454545454545544…..
𝑎_{3} − 0,54545454554545444555…..
𝑎_{4} − 0,45454545454544545554…..

osv.

Hvis | 𝐴 | kan stilles i rækkefølge, vil alle dens elementer kunne findes et eller andet sted i rækkefølgen. Nu kan vi argumentere for at dette ikke er tilfældet ved at konstruerer et tal a fra

|

𝐴

|

, som med garanti ikke kan findes i rækkefølgen.

Vi starter med at se på det første decimal i a: 𝑎_{1} − 0,𝟒5454555545454545454…., den første decimal i

1 denne følge er 4 og vi udskifter den med tallet 5.

I den næste følge udskifter vi anden decimal: 𝑎_{2} − 0,5𝟓545454545454545544….., den anden decimal i

denne følge er 5 og den bliver udskiftet med tallet 4.

I den tredje decimalbrøk bliver den tredje decimal udskiftet: 𝑎 − 0,54𝟓45454554545444555….., så vi får
                                                  3

tallet 4. Således fortsætter vi.. De rødfarvet tal i opskrivningen viser de cifre, hvor vi vælger det modsatte af i tallet a. Da disse tal følger diagonalerne i talskemaet, har denne bevis fået navnet: Cantor anden

            51
diagonalbevis.

𝑎_{1} − 0,𝟒5454555545454545454….
𝑎_{2} − 0,5𝟓545454545454545544…..
𝑎_{3} − 0,54𝟓45454554545444555…..
𝑎_{4} − 0,454𝟒4545454544545554…..

osv.

De første fire cifre i tallet a vil være:

𝑎 − 0,54445

Vi begyndte med at antage at talfølgen kunne indeholde alle tal af mængden A, og vi har nu vist at vi kan konstruerer et tal, som ikke optræder i følgen, så er antagelsen forkert. Her har vi en modstrid! Og derved har

                                           52 . 53
vi bevist, at de reelle tal ikke kan opstilles i en følge.

51

(1): Side 153

52

(1): Side 152

53

(5): Side 4.33-4.37

Side 22

SRP

22

ER DE IRRATIONALE TAL NON—DENUMERABLE ?

De irrationale tal er ikke-tællelige: de kan ikke opstilles i en rækkefølge. For hvis det lod sig gøre, kunne denne følgen flettes sammen i den følge, som de rationale tal blev stillet overfor, men det viste sig at dette ikke var muligt, og ud fra det kan vi konkludere, at ligeledes er de irrationale tal non-denumerable.

I figur 4.1 kan man se nogle af de reelle tal på tallinjen, men mægtigheden af den er så stor at vi ikke engang er I stand til at tælle de reelle tal, der ligger mellem intvallet 1 til 0, og dette beviste vi med med Cantors anden diagonalmetode.

-3 -2 -1 0 1 2 3

Figur: 4.1

Reelle tal på tallinje

−𝜋 − 𝑒 − √ 2 − √ 2 𝑒 𝜋

1 1

2 2 𝜋 .

. −8

. . . 4

. . .

√ 3 . 0,777634

1 .

. 2

.

. . 3

ℕ ℝ

Figur: 4.2

Injektiv afbildning

Side 23

23

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ 𝐴_{𝑅} ⊂ R Dette læses: de naturlige tal er en ægte delmængde

af de hele tal, som er en ægte delmængde af de rationale tal, som er en ægte delmængde af de reelle tal.

POTENSMÆNGDE

Efter at Cantor havde vist de naturlige tals mægtighed og reelle tals mægtighed (eller kontinuitet) , undrede han sig over om der fandtes mængder der havde større mægtighed end de reelle tals. I en foredrag i 1981, hvori han offentliggjorte sin anden diagonalmetode, viste han at en ændring af den kunne bruges til at vise at enhver mængde er mængden af dens delmængde af større mægtighed. Dette er indlysende med de endelige mængder: hvis vi har en mængde med to elementer n og m, så har denne mængde fire delmængder, altså:

∅ , { 𝑛}, { 𝑚} 𝑜𝑔 { 𝑛 ,𝑚}

Og hvis vi har S som en mængde med tre elementer bestående af n, m og o, så har denne mængde otte delmængder:

𝑃 ( 𝑆) = { ∅ , { 𝑛}, { 𝑚}, { 𝑜}, { 𝑛 ,𝑚}, { 𝑛 ,𝑜}, { 𝑚 ,𝑜} 𝑜𝑔 { 𝑛 ,𝑚 ,𝑜}}

ℕ

Naturlige tal

0 1 2 3

ℤ

Hele tal

-1

-2

-3

Rationale tal

ℚ Irrationale

1/2 Transcen

- 2/3

2,25

Algebraiske tal

Reelle tal

√ 2

− √ 3

A_{𝑅}

𝜋 𝑒

−2𝜋

ℝ dent

De reelle tals Venn diagram

Figur: 4.3

Side 24

SRP

24

Således kan man fortsætte. Det viser sig, at en mængde med n elementer har 2^{n} delmængder,
hvilket betyder at potensmængden af en mængde har større kardinalitet end mængden selv.^{54}

Altså, for enhver uendelige mængde havde dens potensmængde en endnu højere kardinalitet.

Lad os se på et par eksempler: Vi kan starte med mængde af de naturlige tal: ℕ = { 1 ,2,3…}

Nu havde man pludselig fundet mængder, der havde større kardinalitet end de reelle tal. Dette viste at der er ingen ende på de uendelige mægtigheder, man havde simpelthen uendelige mange af dem, og således kunne man blive ved. Mængden af delmængder af en vilkårlig uendelig mængde er selv en mængde, og mængden af denne mængdes delmængder har endnu højere mægtighed, osv.

ALFERNE – DE TRANSFINITE TAL

Ved at lave en enentydigt sammenparring med de naturlige tal, altså hvis der kan laves en bijektive afbildning, kunne man bestemme mængdens tællelighed, eller denumerable, men nu ville han sætte størrelser på mægtigheden af en mængde. Cantor anvendte den hebraiske alfabet alef ( ℵ ) til at beskrive de uendelige kardinaliteter. Som betegnelse for kardinaltallet for mængden ℕ benyttet Cantor sig af ℵ. Alef-nul blev brugt

0 til alle denumerable mængder, herunder de naturlige tal, de hele tal og de rationale tal. For de non-

                                      55
                                    ℵ0
denumerable, f.eks. de reelle tal brugte han 2 . For disse transfinite tal skabte Cantor en helt ny algebra,

med regneregler som addition, multiplikation, potensopløftning.

For enhver vilkårlig naturlig tal, gælder følgende:

𝑛 + ℵ_{0} = ℵ_{0}

Mængden ℤ af de hele tal er denumerabel, dette beskrives som:

ℵ_{0} + ℵ_{0} = ℵ_{0}

Produkt af de tællelige mængder:

ℵ_{0} × ℵ_{0} = ℵ_{0} <=> ℵ_{0}^{2} = ℵ_{0}

54

(1). Side 155

55

Mængden af de reelle tal (kontinuum) har samme størrelse som P(N) – potensmængden.

Mængde: ℕ 𝑃(ℕ) 𝑃(𝑃 ( ℕ))……….

(størrelse): ℵ < 2^{ℵ0} < ℵ <

0 2

Side 25

25

Figuren 4.2^{56} skal læses nedefra og op, det skal give et billede af mængdernes rækkefølge, mange af de

betegnelser som f.eks. ordinaltal og tallet omega (𝜔) har jeg ikke været ind på i denne opgave, men hvis vi kort skal berøre dem, så bruges ordinaltal til at fortælle os om placering af en ordnet liste; første, anden og tredje osv.

56

Er en gengivelse af figuren i (14) på side 157

0 = 𝜙, den tomme mængde

Der er ingen mængde nedenunder .

Antallet af mængder herunder er

65.536.

Antallet af herunder har

20.000 cifre

Mængderne herunder er alle transfinite.

𝜔 = ℵ

0

Første ordinaltal, og alef-nul

( Mængden af ℕ) 𝜔 𝑥 2

Den første kardinal 𝑘, som 𝑘 = ℵ (tallet er så stor at

k man at man har brug for noget stort at sige hvor stort det egentlig er)

ℵ_{𝜔} den første kardinal indledes med uendelige

mange kardinaler

ℵ, den første uendelige kardinal, og den første non-

1 numerabel ordinaltal ( Mængden R) 𝜀, det er betegnelse for den sidste ordental

0

Man kan ikke bruge ZF-aksiom til at bevise eksistensen af mængder herunder

Meget aktuel forskning i mængdelære er i berørte med at udforske nye aksiomer, der beskæftiger sig med kardinaler, der ligger her.

∎

∎

∎

Figur: 4.2

Cantors Mængdelære

Side 26

SRP

26

HILBERTS HOTEL

Den tyske matematikere David Hilbert () var en stor beundrer af Cantors mængdelære. I en af sine forelæsninger prøvet han at illustrere mængdelæren til sine studerende. Dette gjorde han ved, at fortælle dem om en magiske hotel, som sidenhen har fået navnet Hilberts Hotel. Det magiske ved hotellet er at den har uendelige mange værelser, og alle værelserne kan nummeres med de naturlige tal:

1,2,3,4,5,6,… , 𝑛 , …

Selvom hvis Hilberts Hotel er fyldt, så er der alligevel plads til flere gæster, og alle gæsterne har naturligvis enkeltværelse. Vi forstiller os at alle hotellets værelser er fyldt, og vi ser på hvordan receptionisterne kan løse de problemer der kan opstå, når der kommer flere gæster til hotellet.

En dag kommer en mand til det fyldte hotel, og han ønsker at overnatte. På hotellet tager Receptionen det roligt og beder gæsten i værelse nr. 1 om ar flytte sig til værelse nr. 2, gæsten i værelse nr. 2 til at rykke sig i værelse nr. 3, gæsten i værelse nr. 3 om at flytte sig til værelse nr. 4, altså gæsten i værelse nr. n om at flytte sig Figur: 5.1

til værelse n + 1 osv. Efter at alle er flyttet, kan manden

flytte ind i nr. 1. Receptionens arbejdsmetode kan

matematisk skrives ved bijektiv afbildning:𝑓: ℕ ⟶ ℕ , hvor 𝑓 ( 𝑛) = 𝑛 +1
Dette beviser, at: ℵ_{0} + 1 = ℵ_{0}

Til det fyldte hotel, kommer der et brudepar med deres 21 gæster. For receptionisten er der ikke et stort

problem. Han benytter sig af bijektiv afbildning: 𝑓: ℕ ⟶ ℕ , hvor 𝑓 ( 𝑛) = 𝑛+ 23
Altså han beder gæsten i værelse nr. n om at flytte sig til værelse med nr. n+ 23, derved kan de 23 nye gæster

flytte ind i hotellet.

Dette beviser igen, at: ℵ_{0} + 23 = ℵ_{0}

Efter en måned er der en uendelig kø foran hotellet. Udenfor hotellet står uendelig mange gæster, de vil alle gerne have et værelse. Intet problem for receptionen, han beder alle gamle gæster om at flytte til det værelse,

der har det dobbelte nummer. Den tilhørende bijektiv afbildning er: 𝑓 ( 𝑛) = 2𝑛, på denne måde bliver alle
værelse med ulige numre ledig , altså numrene: 2 𝑛 − 1 , hvor n = 1, 2, 3, 4, 5, 6…

Et år senere rammer finanskrisen hotellet, og derved mister de alle deres uendelig mange kunder. Hotellet er ved at gå konkurs, men en dag begynder økonomien ar gå fremad. Uden for hotellet står 7 køer med uendelig mange forretningsmænd i hvert af dem, de ønsker alle et værelse. Nu er det op til de fornuftige receptionister,

Kilde: http://www.mathcs.org/

Side 27

27 at finde løsning til problemet. Løsning bliver at den første forretningsmand fra kø nr. 1 anbringes på værelse nr. 1, hvor de næste 7 værelser bliver sprunget over. Den næste forretningsmand fra kø nr. 1 bliver anbragt på værelse nr. 8, derefter springes 7 værelser igen, så den tredje forretningsmand fra kø nr. 1 får værelse nr. 15 osv.

1,8,15,22,29,36,….,7𝑛 + 1,…

Forretningsmænd i kø nr. 2 får værelserne:

2,9,16,23,30,37,….,7𝑛 + 2,…

således fortsættes, og forretningsmænd i den sidste kø kommer til at få værelserne:

7,14,21,28,35,42,….,7𝑛,……

Året efter er der inflation og mange bliver arbejdsløse, og hotellet er tomt, men en dag bliver økonomien stabilt. Pludselig ankommer uendelig mange køer, hver med uendelig mange familier. Kan vi få plads til dem alle?

Ja, det kan de fornuftige receptionister. De giver personerne i kø nr. 1 værelserne med ulige numre:

(1) 1,3,5,7,…,2𝑛− 1,…

familien i kø nr. 2 får det dobbelte værelse nr. end (1), således:

(2) 2,6,10,14,18,22…,2 ( 2𝑛 − 1),….

familien i kø nr. 3 får de værelser, der fremkommer når man ganger (2) med 2:

(3) 4,12,20,28,36,44…,4 ( 2𝑛 − 1),….

familien i kø nr. 4 får de værelser, der fremkommer, når 2 ganges med (3):

(4) 8,24,40,56,72,88…,8 ( 2𝑛 − 1),….
Og således kan man fortsætte.^{57}^{,}^{58}

Der er derfor altid plads til uendelige mange gæster i Hilberts Hotel, så længe de uendelige mange gæster er en tællelig uendelig mængde. Hvis der pludselig kommer en mængde af overtællelige gæster så ville der ikke være plads til dem på dette hotel, da man ikke kan lave en bijektiv afbildning af 𝑓: ℝ → ℕ og det viste vi under de reelle tals overtælleligheds afsnit, at det er umuligt!

57

(6): Side 9-11

58

(8): Side 108-111

Side 28

SRP

28

KONTINUUMS HYPOTESEN ( CH)^{59}

Af de forgående afsnit har vi bevist at

|

ℕ

|

<

|

ℝ

|

, at de reelle tal har en større mægtighed end de naturlige tal.

                                                     ℵ0
Vi kan beskrive dette med de transfinite alef ved at skrive: ℵ < 2
                                                0

Cantors kontinuumshypotese går ud på, at der ikke findes en mængde M, så ℕ ⊂ 𝑀 ⊂ ℝ, altså at de naturlige tal skal være en ægte delmængde af

|

𝑀

| og

|

𝑀

| skal være en ægte delmængde af de reelle tal.

Man kan skrive dette med de transfinite alef, idet kardinaltallet af de naturlige tal er ℵ og kardinaltallet af de

0

reelle tal er 2^{ℵ0}, kan kontinuumhypotesen^{60} formuleres:

ℵ < | 𝑀 | < 2^{ℵ0}

0

61

Hvis dette kunne afkræftes måtte 2^{ℵ0} være lig ℵ. Cantor kunne hverken vise eller modbevise denne

1 hypotese. Det meste af tiden troede han på den, men af og til troede han på det modsatte, og ind i mellem troede han at han havde bevist den, nogle gange at han havde modbevist den. Det skulle vise sig at blive et af de mest problematiske matematiske spørgsmål nogensinde. I 1900 holdt David Hilbert et foredrag i Paris, hvor han redegjorte treogtyve mest alvorlige problemer for den moderne matematik, som det første af disse

                                                      62
problemer stillet han spørgsmålet vedrørende kontinuums hypotese

. En slags afklaring fik man først efter

Cantors død, da Kurt Gödel [63] i 1938 viste, at kontinuumhypotese ikke strider imod aksiomerne [64] i det Zermelo

-Fraenkel opstillede aksiomsystem for mængdelæren ( Se evt. side 33 ). Den næste store gennembrud kom i

1963 da Paul Cohen viste, at kontinuumshypotesens negation ikke strider mod det Zermelo- Fraenkel

aksiomsystem^{65}. Gödel nåede bl.a. frem til, at kontinuumhypotesen hverken kan bevises eller modbevises med

Zermelo-Fraenkels aksiomer og udvalgsaksiomet. Kontinuumshypotesen er en såkaldte ufuldstændigheds-

sætning^{66}, som hverken kan bevises eller modbevises.^{67}

BETYDNING AF UENDELIGHEDSBEGREB I MATEMATISK OG

FILOSOFISKE FORSTAND

”Ingen skal uddrive os af det paradis, som Cantor har skabt os”

59

Ofte forkortet CH fra det engelske Continuum hupothesis

60

Da de reelle tal repræsentere et linæret kontinuum, kaldes denne hypotese derfor for

Kontinuumhypotese

61

(1) 158-159

62

(13) side 48

63

Østrigske logikker matematikere (1906 – 1976)

64

Et aksiom, eller et postulat, er kort fortalt et udsagn, som antages at være ”sandt”, og derfor

kan/skal et aksioms gyldighed ikke bevises. Ud fra aksiom beviser man andre sætninger.

65

(5) side 4.130

66

Gödel Kurt’s udfuldstændighedssætninger: Et modsætningsfrit matematisk system er ufuldstændigt, dvs. det er muligt at finde udsagn, som hverken kan bevises eller modbevises.

67

(13) side 50-51

Side 29

29

- David Hilbert^{68}

Georg Cantors teoretiske arbejde inden for uendelige størrelser er i dag en integreret del af matematikken. Han indførte en ny måde at betragte det uendelige på i matematikken, men det har viste sig at vi er stødt på visse paradokser, visse tilsyneladende modsigelser, som ville have opmuntrede Zenon fra Elea. Cantors revolutionerende opdagelse af at der findes flere grader af uendelighed har sat sit eget præg på vores moderne matematik, se evt. figurerne 4.3 og 4.2 , de vil give en fornemmelse af hvordan Cantors mægtigheder forholder sig indbyrdes til hinanden. Det laveste størrelse som han kaldte for tællelige (denumerable) uendelighed, og højere niveauer for overtællelige (non-denumerable) uendeligheder. Det naturlige tal er et eksempel på en denumerabel uendelig mængde, og de reelle tal er et eksempel på en non-numerabel uendelig mængde. Med Cantors anden diagonalmetode er det blevet klart at uendelige mængder er af forskellige størrelser. Ved hjælp af Cantors transfinite tal har vi fået muligheden for at kalkulere med uendeligheder, vi kan pludselig fortælle hvor uendeligt noget er. Han konstrueret et helt nyt begreb, alef. Alef bliver opfattet som et slags tal. Det er et tal, som har fået sin helt specielle regneregler – regneregler som går imod fundamentale regler for de naturlige tal. Tager vi et vilkårlig tal 2: gælder følgende vilkårlige regler:

Subtraherer vi 2 fra 2 så er resultatet nul. Multiplicere vi tallet 2 med sig selv er resultatet 2 i anden potens.

Dividere vi 2 med sig selv er resultatet en. Derimod er regnereglerne for alef helt forskellige. Subtraherer vi ℵ fra ℵ , så er resultatet ikke nul, men ℵ. Multiplicere vi ℵ med sig selv bliver resultatet ikke ℵ i anden potens

men blot ℵ. Hvis vi dividere ℵ med ℵ så får vi ikke et, men derimod ℵ.^{69} Hvordan kan vi være i stand til at

trække uendelighed fra en uendelighed og resultatet bliver uendelighed? Hvis man nu har uendelige tællelige mange skriftelige afleveringer for, og bruger delvis lang tid på at skrive dem. Det vil vise sig i sidste ende, at man stadig har uendelige mange skriftelige afleveringer tilbage. Vi har alle svært ved at forholde os til eksistensen af uendelighed i vores omgivelser. Bare tanken om at mængden af de naturlige tal er en uendelige tællelige mængde, så tænker vi straks på at der må være en sidste tal i denne mængden i dette vi opfatter begrebet tællelig, som en proces der kan fortsættes og har en ende. Vores hjerne har ikke altid nemt ved godtage ideen om uendelige tællelige og ikke tællelige mængder. Det gør ikke teorien mindre håndgribelig.

Et andet eksempel som illustreret problemerne knyttet til aktuelt uendeligheds eksistens er den berømte Hilberts Hotel. ( Se side 23-24). Til trods for at det absurd, bliver vi tvunget til at slukke for vores indbygget realitetssans, og acceptere ideen om at der findes dette uendelige hotel med uendelige mange værelser. Dette hotel må strække sig udover hele universet, så dukker et nyt spørgsmål frem, er vores univers så uendelig? På den anden side må den ”sidste” værelse på Hilberts hotel være ledige, hvis der skal være plads til de nye gæster.

Cantor mente selv, at han havde bevist eksistensen af aktuelt uendelighed ved hjælp af de irrationale

68

(4): Side 461

69

(3): side 80

Side 30

SRP

30 tal, i dette han mente at tallene refereret til punkter. Han var punktualist ligesom Dedekind, der siges at han

                        70
begik den punktualistiske fejl . Lad os kigge kort på begrebet punkt. Selve begrebet punkt er en ret

problematisk og har bragt modstridende betydninger i både filosofien og matematikken. Begrebet punkt kan dels forstås som en ontologiske størrelse og dels non-ontologisk størrelse. Ontologisk størrelse i den forstand at punkterne repræsentere en del af et linjestykke og derfor må punkterne have en udstrækning, ellers ville

                     71
linjestykket ikke eksistere. For at se at begrebet punkt ikke udgør dele af et linjestykke: lad os antage vi har

et linjestykke A- B. Halvdelen af dette er rød og halvdelen af det er grøn og dette linjestykke har et punkt t som midtpunkt. Ethvert punkt venstre for t er rød mens ethvert punkt til højre for t er grøn. spørgsmål er, hvor ender det røde og det grønne i linjestykket? Svaret er, og må udelukkende være, at det er i t. Men nu kommer det afgørende spørgsmål, hvilke farve har punktet t? Da t er et punkt i linjestykket, må den enten være rød eller grøn. hvis vi antager at den er rød, så er den røde del af linjestykke større end det grønne.- da det er det halvdelen plus punktet t. Men hvis vi antager at den er grøn så er den grønne del af linjestykke større end det

                                                                                  72
røde. Konklusionen må være at en punkt på en linjestykke må udelukkende være en del af linjestykket.

Enten må punkterne betragtes som en matematisk størrelse, dvs. som udstrakte punkter og derfor kan de ikke være punkter på en linje. Hvis man begynder at tale om at der eksisterer tre, seks eller uendelig mange udstrakte non-ontologiske punkter, er dette et kategorifejl, altså de to udtryk tilhører forskellige kategorier, og derfor kan man ikke sammenblande dem. Eller punkter betragtet som ontologiske punkter i hvilke tilfælde at de kan deles i det uendelige. Cantors teorier medførte for mange absurditeter. F.eks. hævdede at en uendelig lang linje indeholdt uendelig mange punkter, der kunne parres med punkterne på et stykke af linjen, lige meget hvor kort dette stykke end må være. Man må sige at argumentet for eksistensen af aktuelle uendelighed hviler først og fremmest på opfattelsen af at tallenes funktion referer til punkter, eftersom der er uendelige mange naturlige tal og endnu flere reelle tal, ergo må punkterne også være uendelig mange.

Cantors argumenter for den aktuelle uendelighed blev ikke anerkendt af mange, men accepteret af nogle. Matematikere som Gauss og Kronecker kunne kun acceptere potentielle uendelighed, og for Cantors aktuelle uendelighed var der kun barske ord, ikke mindst fra Kronecker.

Leopold Kronecker var imod hele ideen med at matematikken skulle have sin egen eksistens uafhængig af os mennesker, og at vi blot støder på matematikkens evige sandheder ved vor rejse gennem livet på samme måde som en tur gennem en by, hvor vi støder på utallige mange gader, som ikke var en del af vores plan. Hvorimod, for Kronecker var matematikken en rent menneskelig opfindelse, som han havde

                                                                       73
udtrykt i sin berømte sætning: ” Gud skabte heltallene og alt andet er menneskets værk” Det ville have

70

(3): side 90-92

71

(3): Side 92-93

72

(3): side 65

73

Wiki: Kronecker

Side 31

31 opmuntrede Kronecker, hvis han havde levede indtil mængdelærens paradoksers opståen. Som vil blive forklaret herunder.

MÆNGDELÆRENS PARADOKSER

Nu skal vi omtale mængdelærens paradokser eller dens antinomier [74], som de også bliver kaldt. Den berømte

engelske filosof og matematiker Bertrand Russel () opstillet flere paradokser ved mængdelæren^{75}.

Jeg vil nævne den ene af dem, som har fået navnet efter dets skaber ”Russels paradoks”. I 1908 havde Russel sendt sit berømte paradoks: ”Mængden af alle elementer, som ikke er et element af sig selv” til den berømte

                                                                      76
logikker Gotltob Frege, som havde samtidig gjorte sig mange tanker om mængdelæren, men på baggrund af

opgavens begrænset omfang, får vi ikke muligheden for at snakke om Frege. Men lad os snakke om den paradoksale udsagn- mængden af alle mængder, som ikke er et element af sig selv. Vi har defineret en mængde ud fra en betingelse. F.eks. mængden af alle lakridser har betingelsen at man skal være en lakrids for at være en element i mængden. En lidt mere matematisk eksempel kunne være mængden af alle retvinklet trekanter eller mængden af alle lommeregner. Nu betragter vi mængden af alle mængder, betegnelsen for at være et element i denne mængde er at man er en mængde. Denne mængde må være en element i sig selv, da den selv er en mængde. Så mængden af vores retvinklet trekanter må være et retvinklet trekant selv. Derimod er f.eks.

mængden af alle lommeregner ikke en lommeregner. Mængderne bliver altså inddelt i dem som er element i sig og dem som ikke er et element i sig selv. Men hvad med dem mængden af alle mængder der ikke er et element i sig selv? Lad os kalde mængden af alle elementer for D, betegnelsen for, at man er et element i D, er

altså, at man ikke skal være et element i sig selv, dvs. : 𝐷 = { 𝑥 | 𝑥 ∉ 𝑥}. Men er mængden D et element i sig

selv? Hvis vi antager at:

a) D er et element i sig selv: dvs. D kan ikke være et element i sig selv pga. betegnelse for at være et element i D.

b) D er et element i sig selv: dvs. den opfylder betingelsen for at være et element i D, og er derfor et element i sig selv.

Vi har modstrid i begge vores antagelser og heri ligger paradokset. Man er i stand til at forme sådan et dæmonisk udtryk der på en måde forekommer at være legitimt, men alligevel må vi afvise det. Selv

                                                                       77
skaberen af paradokset- Russell- kunne bruge flere timer på at løse problemet uden held. Man har hidtil

ikke fået afklaret denne paradoks.

74

To udsagn, der begge er logisk gyldige, men samtidig modsiger de hinanden.

75

(1): side 159-160

76

(10): Side 105

77

(10): Side 106

Side 32

SRP

32

CANTORS FILOSOFISKE TANKER OM UENDELIGHEDSBEGREBET

“I entertain no doubts that as the truth of the transfinites, which I have recognized with God’s help and which, in their diversity, I have studied for more than twenty years; every year and almost every

                               78
day brings me further to this sciences”

- Georg Cantor

Som skaberen af mængdelæren burde han jo føle sig slået helt ud af alle mængdelærens paradokser, men det gjorde han ikke. I offentligheden udtalt Cantor sig aldrig om paradokserne, men i sine breve til Hilbert og Dedekind havde han udtalt sig om paradokserne. Han nævner, at han ikke følte sig enormt ramt af

                                                                    79
paradoksernes opdagelse, da han havde taget højde for dem, måske allerede fra 1883 . Cantor tilhørte

platonismens [80] retning. Han var platoniker i den forstand at han troede på sine ideers og begrebers reelle eksistens på en betingelse, hvis de er modsigelsesfrit. Han mente f.eks. at et matematisk begreb, som alef,

                                          81
eksisterer i vores verden, blot det er modsigelsesfrit.

Det gælder specielt hans opfattelse af det uendelig, som var i strid med den opfattelse, som mange samtidige matematikere havde, også selvom de ikke var ligeså benhårde som Kronecker. De fleste af modtanderne til Cantors mængdelære sad på en stor del af magten og gjorde alt hvad de kunne for at krakelere hans naive mængdelære. Derfor var enhver form for erkendelse og støtte velkommen hos Cantor, blot man viste villighed til at diskutere problemet. De fleste katolske teologer og filosoffer havde tilsvarende ideer, men alligevel var de ikke altid enige med Cantor. Det gælder først og fremmest om en professor i religionsfilosofi Constantin Gutbertlet. I 1878 udgiver Gutbertlet en bog med titlen Das Unendliche metaphysisch und mathematisch betrachtet, hvor han gik ind for eksistensen af aktuelt uendelige, som mængder og metafysisk, mens han havde afvist eksistensen af de transfinite tal. Hele hans verdensopfattelse var opbygget af hans teori, han så sig selv som guds profet, der havde fået til opgave at videreføre uendelighedsteorier til sine medmennesker. [82] Til de matematikere og filosoffer, der var imod hans brug af uendelige tal gav han svaret, at det er let nok at bevise, at de uendelige

                                                                      83
tal er umulige, hvis man på forhånd kræver at de skal give en endelige tals egenskaber! Cantor havde ikke

afvist det potentielle uendelighed, men for ham var det potentielle uendelige i realiteten en ubestemt foranderlig endelig størrelse, og dets realitet var kun sikret, fordi det altid henviser sig til et aktuelt uendeligt, men det er det, der gør det muligt. Det aktuelt uendelighed delte han i det transfinite og det absolutte. Det

78

(1) Side 147

79

(5): Side 4.96-4.98

80

Tilhængder af Platon ( ca. 428-348) dualisme - ideernes verden-> det gode idé

81

(5) Side 4.99

82

(20) BBC dokumentar

83

(5): side 4.100

Side 33

33 transfinite, som går ud over det endelige, men dog stadig kan håndteres af mennesker. I modsætning hertil er

                                                                        84
det absolut uendelige ufattelig for den menneskelige tanke, og kun Gud kan overskue det.

AKSIOMATISERING

I forbindelse med Cantors opbygning af mængdelæren var dukket nogle paradokser op, som rejste tvivl om pålideligheden af visse dele af matematikken og dermed dens grundlag. Jeg har i denne opgave kun valgt at nævne Hilberts hotel og Russells paradoks, men det var blot to af en række paradokser, der havde deres oprindelse i den naive mængdelære [85]. Der opstod derfor et ønske om at udvikle et deduktiv system [86] for hele matematikken på et sundt og sikkert grundlag. Så det ikke var muligt at skabe flere paradokser. Flere

                                                                                 87
matematikere gik i gang med give deres forslag på en løsning til problemet, heriblandt David Hilbert.

David Hilbert var en af Cantors mængdelæres varme tilhænger, og han havde et stort respekt for Cantors definition af uendelige mængder. Han beskrev mængdelære som et ”paradis”, og ingen havde lov til at skabe kaos i paradiset. Cantors paradis var måske ikke helt fejlfrit, derfor skyndte Hilbert sig at gå i gang med såkaldte Hilberts program. Kort fortalt, skulle programmet sikre matematikkens grundlag ved hjælp af aksiomer. Han bliver hovedmanden bag den såkaldte formalisme, som er en retning der havde til formål at matematikken skal formaliseres og aksiomatiseres, og konsistensen af aksiomerne skulle vises. Det viste sig at være et nederlag, for der kan eksistere matematiske sætninger, som den tidligere nævnt kontinuumshypotese, der hverken kan afkræftes eller bekræftes. Men i 1908 formulere Ernst Zermelo () et sæt aksiomer

for mængdelæren, den bliver omformulerede i 1922 af Adolf Abraham H.F ().^{88} I dag bygger alt

matematikken indenfor mængdelæren på disse såkaldte Zermelo- Fraenkel aksiomer.

84

(5): Side

85

Cantors mængdelære blev ofte kaldt for ”naiv mængdelære”, men synes overhovedet ikke at den er naiv!

86

Et aksiomsystem, hvor både aksiomerne og de tilladte slutningsregler er formuleret eksplicit

87

(4) Side 460

88

(12) Side 49

Side 34

SRP

34

KONKLUSION

Jeg indledte denne opgave med nogle spørgsmål og tanker om uendeligheds eksistens, og på hvilken måde vi som mennesker har været optaget af uendelighed. Uendelighedsbegreb blev forbundet med noget faretruende og paradoksalt i det antikke Grækenland. Det var uendelige processer, som var et paradoks for datidens matematikere og filosoffer, specielt ideen om hvordan et linjestykke kan deles i det uendelige. Ved hjælp af kvotientrækker ved man dog nu, at en uendelig mængde under visse forudsætninger kan have en endelig sum.

Som det fremgår af opgaven fik Aristoteles indført skelnen mellem aktuelt og potentielt uendelighed.

Aktuelt er det hvis uendelighed eksisterer, eller er givet ved i tid, og potentielt uendelighed er det hvis eksistens er en mulighed, givet over tid. Aristoteles forkaster brugen af aktuelt uendelighed i matematikken, og sidenhen blev det potentielle uendelighed til en tradition, som ingen turde at bryde. Mange matematikere var så påvirket af denne Aristoteles-tradition, at de simpelthen ikke har formået at acceptere, en muligvis eksistens af aktuelt uendelighed.

Cantor begyndte at se på uendelighed som noget i sig selv. Han konstrueret et nyt tal system, de såkaldte transfinite tal, han benyttet sig af dem til at sætte størrelser på mægtigheden af en mængde. En mængde hvis elementer kunne sammenparres med de naturlige tal kaldte han for numerabel og non-numerabel, hvis de ikke kan. For at vise at to mængder havde samme kardinaltal benyttet han bijektiv afbildning. For numerable mængder gav han betegnelsen ℵ

0 og for de ikke non-numerable, som de reelle tal

benyttet 2^{ℵ0}. Med kontinuumhypotesen, prøvet han at finde frem til om der fandtes en uendelig mængde
mellem de ℵ og 2^{ℵ0}. Denne hypotese må siges, at være et af nutidens store matematisk

0 uendelighedsspørgsmål, der foreligger endnu ikke et endegyldigt svar på dette.

Cantor delte det aktuelt uendelighed i det transfinite og det absolutte. Det transfinite, som går ud over det endelige, men dog stadig kan håndteres af mennesker. I modsætning hertil er det absolut uendelige ufattelig for den menneskelige tanke, og kun Gud kan overskue det.

Med Cantors transfinite tal er der pludselig ingen ende på de uendelige mægtigheder, der er ligefrem mange af dem. Det var for meget for mange tidens matematikere, heriblandt Kronecker, de kastede sig med glæde over mængdelærens paradokser, der blandt andet blev fundet af Russell- den sålkaldte Russells paradoks. Mængdelærens paradokser var destruktiv for matematikkens grundlag, derfor opstået der en række ønske om en aksiomatisering af mængdelæren. Hilbert som den varme tilhænger af Cantors mængdelære gik straks i gang med den såkaldte Hilberts program, som viste sig at være fiasko. I dag bygger mængdelæren på Zermelo- Fraenkel aksiomer.

Matematisk set, har uendelighedsbegreb været gennem en utrolig forandring. Fra at man i starten betragtede uendelig som en størrelse, til man i dag kan regne med den, og betragter og opdeler den i flere

Side 35

35 grader. Filosofisk har der ikke været behov for at ændre uendelighedsbegrebet- da uendelig har været tilstrækkelig til beskrivelse af det ufattelig.

LITTERATURLISTE:

1) Heiede, Torkil: Cantor og mængdelæren. I: Nordisk Matematik Tidskrift, 49.4.2001, s. 145-160

(Artikel)

2) Heiede, Torkil og Hans Jørgen Helms: Mængdelære og transfinite kardinaltal. Bind 10, Nordisk

Matematik Tidskrift. 1. udg. Universitetsforlag, 1964. (Bog)

3) Hartnack, Justus : Erkendelsens Grundlag, paradokser indenfor Logikkens og matematikkens filosofi. Side 57-95. 1. udg. C. A. Reitzel Forlag, 1993. (Bog)

4) Det Tabte Paradis? . Bell, E. T. m.fl.: I: Matematikkens Mænd. 1. udg. C. A. Reitzel Forlag,

1944. side 437-464. (Afsnit i bog)

5) C. Mejlbo, Lars : Om Uendelighedsbegrebet i Matematik, Elementærafdeling. Bind 21. 1. udg.

Matematisk institut, 1988. (Bog)

6) C. Mejlbo, Lars : Om det uendelige, Matematikkens Aspekter. 1. udg. Matematiklærerforeningen,

1991. (Bog)

7) Lundsgaard Hansen, Vagn: Matematikkens uendelige univers. Side 85-120. 1. udg. Den Private

Ingeniørfond Danmarks Tekniske Universitet, 2002. (Bog)

8) Begrebet "Uendelig". Christensen, Jens m.fl.: I: MAT 2A. 1. udg. System , 1998. side 103-113.

(Afsnit i bog)

9) 1.Talfølger 2. Uendelige rækker. Christensen, Jens : I: Talfølger og rækker. 1. udg. System ,

1997. side 7-27. (Afsnit i bog)

Side 36

SRP

36

10) Christensen, Ole og Ole Ravn: Matematikfilosofi. Side 76-106. 1. udg. System A/S, 2011. (Bog)

11) Dina: Lidt om uendelighed. Udgivet af Henrik Holm. Internetadresse:

http://www.dina.kvl.dk/~hholm/download/Lidt_om_uendelighed.pdf - Besøgt d.

(Internet)

12) Sondheimer, Ernst og Alan Rogerson: Numbers and infinity. 1. udg. Cambridge University Press,

1981. (Bog)

13) Nyere matematik. Baktoft, Allan: I: Matematikkens historie. 1. udg. Natskyggen, 2010. side 48-

51. (Afsnit i bog)

14) A.W, Moore: The Infinite. Side 110-158. 1. udg. Routledge London and New York, 1989. (Bog)

15) Ajac: Om Gödels bevis og karakteren af matematisk tækning. Udgivet af Asger Jakobsen og

Morten Bakkedel. Sidst opdateret: Internetadresse: www.ajac.dk/projects/godel.pdf -

Besøgt d. (Internet)

16) Standford Encyclopedia of philosophy : Hilberts program. Udgivet af Richard Zack. Sidst

opdateret: 31.7.2003. Internetadresse: http://plato.stanford.edu/entries/hilbert-program/ - Besøgt d.

(Internet)

17) Standford Encyclopedia of philosophy : Set Theory. Udgivet af Thomas Jeck. Sidst opdateret:

Internetadresse: http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/ - Besøgt d.

(Internet)

18) (Hilberts program) udarbejdet af studerende på RUC: Akira.ruc: Beviset. Udgivet af Gitte

Andersen, Lise Mariane Jeppesen, Klaus Frovin Jørgensen og Ivar Peter Zeck. Internetadresse:

http://akira.ruc.dk/~frovin/bevist.pdf - Besøgt d. (Internet)

19) Dangerous Knowledge (Philosophy, Physics, Mathematics). Instruktion: BBC - Dokumenter.

Internetadresse: http://www.youtube.com/watch?v=x0hALyh40xg - Besøgt d. 7.12.2011 (Film)

Side 37

37

20) Wikipedia - Den Fri Online Encyklopædi: [Opslag listet nedenfor]. Udgivet af GNU Free

Documentation License. Opslag:

- ”Naturlig tal” – Sidst opdateret: 9.10.2011 – Besøgt: d.

- ”Rationale tal” – Sidst opdateret: – Besøgt: d.

- ”Reelle tal” – Sidst opdateret: – Besøgt: d. 9.12.2011

- ”Irrationale tal” – Sidst opdateret:11.1.2011 – Besøgt: d.

- ”Georg Cantor” – Sidst opdateret: 26.1.2008 – Besøgt: d. 9.12.2011

- ”Bevis - matematik” – Sidst opdateret: 6.11.2011 – Besøgt: d.

Internetadresse: http://da.wikipedia.org/wiki/[xxx] - (Internet – Flere undersider til

overordnede side)

KILDEKRITISK

De udvalgte kilder er alle af anerkendte matematikere, hvilket betyder troværdigheden er høj. Derudover er der brugt forskellige PDF-dokumenter af ph.d. studerende som har specialiseret sig indenfor et bestemt område i matematikken, hvilket giver meget specifik viden indenfor det område man vil undersøge.

Wikipedia er en encyklopædi, og kan derfor heller aldrig tillægges en totalt troværdighed, men har vurderet om kilden er skrevet i fagligt sprog, og derudfra vurderet om det kan anvendes.

Side 38

SRP

38

BILAG 01

Figur 1.1

- Reference side 15

- Achilleus og skildpadden^{89}

BILAG 02

Figur 2.1

- Reference side 19

- Første diagonal metode^{90}

89

Figur fra http://rosarubicondior.blogspot.com/2011/11/xenos-religious-

paradox.html

90

figur fra: http://andrewsullivan.thedailybeast.com/2011/08/hurt.html