SRP om Navigation i Matematik A og Historie A

Side 1

1

Navigation i 1700-tallets England

STX 3.g

Historie – A- DK

Side 2

2

Indhold

.......................................................................................................................................................... 1

.......................................................................................................................................................... 1

.......................................................................................................................................................... 1 Indledning: ........................................................................................................................................... 3 Længdegradsproblemet: ...................................................................................................................... 3 Den store længdegradspris: ............................................................................................................. 5 Grundbegreber i den sfæriske geometri: ............................................................................................. 6 Astronomisk Navigation: ................................................................................................................. 6 Timevinkel- og horisontsystemet: .................................................................................................... 7 Positionsbestemmelse ved stedlinjer: .............................................................................................. 9 Tangentmetoden ............................................................................................................................ 10 Højdemetoden ............................................................................................................................. 11 John Harrison – Tømrer, urmager og videnskabsmand ................................................................... 13 Harrisons maritime chronometere. ...................................................................................................... 14 Harrisons gennembrud....................................................................................................................... 16 Harrisons opfindelses indflydelse på Englands rolle i koloniseringen.............................................. 17 Konklusion: ........................................................................................................................................ 21 Perspektivering: ................................................................................................................................. 21 Litteraturliste ..................................................................................................................................... 23 Bilag: .................................................................................................................................................. 24 Figurer fra Vestergaard, Erik: Astronomisk Navigation- sfærisk geometri i anvendelse. 1. udg. Jelling

Bogtrykkeri A/S, 1997. (Bog) ............................................................................................................ 24

: ....................................................................................................................................................... 24 Bilag – Matematikken –De sfæriske cosinus og sinusrelationer ................................................... 26 Sfæriske cosinus og sinusrelationer ............................................................................................... 26

Side 3

3

Indledning:

Navigationskunsten fortaber sig som så meget andet i urtidens mørke. Mennesket må dog tidligt have opdaget at himmellegemerne kunne bruges til at styre efter. Ægyptiske, fønikiske og græske søfarere sejlede i et vist omfang efter stjernerne, og vikingerne og kineserne ligeså. Langsejlads på åbent hav, i modsætning til kystsejlads støttet af landkending, var og blev et meget risikabelt foretagende før det 14.-16. årh., hvor de antikke landvindinger indenfor sfærisk geometri og astronomi omsider blev systematisk nyttiggjort i søfartens tjeneste. Dette skete ikke mindst ved portugisisk og italiensk mellemkomst, hvor instrumenter (astrolabiet –sekstantens oldefar, jakobstaven og kompasset) vandt indpas og udbredelse i de bedre maritime kredse. Som denne udvikling tog fart, blev de første navigatører, med et begreb om astronomisk matematik, velbetalt og fik en særlig status, nogenlunde ligesom de store IT-specialister i dag. Historien om nautisk navigation er en fascinerende blanding af praktiske erfaringer, eventyr og opdagelsesrejser, teoretisk og praktisk videnskab, og penge og magt. Da emnet er så omfattende har jeg i denne opgave valgt at sætte fokus på navigationens betydning og udvikling i 1700-tallets England. Det var nemlig netop i denne periode, i dette land, at et af den nautiske navigations største problemer blev løst.

Længdegradsproblemet:

Kollegiet vil Planeten måle;

En sag de fleste håbløs tror.

Uvidenhed skal ingen tåle,

Men måle Længden som en snor.

Hver Sømand vil så uden vaklen kende

Den sikre våde vej til Verdens ende.

1

Fra det femtende århundrede hvor købmænd, opdagelsesrejsende og eventyrere fra alle de europæiske nationer vovede sig ud på det åbne hav i håb om at finde nyt land og rigdom, var et grundlæggende problem indenfor søfarten; man kunne ikke præcist bestemme sin position på Jorden. Ens position på jorden bestemmes ved to koordinater: Længdegraden, der er ens afstand øst

1 Anonym ca.1660 fra Visen om Gresham College. Manden der målte længdegraden s.50

Side 4

4 eller vest fra et bestemt startpunkt, og breddegraden, der er ens afstand nord eller syd for ækvator.

Breddegraden kunne let bestemmes ved matematiske beregninger ud fra observationer af solen ved middag, og (på den nordlige halvkugle) ud fra observationer af Nordstjernen om natten.

Bestemmelse af længdegraden havde dog altid været et problem for sømændene.

Pga. jordens rotation omkring sin egen akse, ser det ud som om solen bevæger sig fra øst til vest over himlen. Det tager som bekendt jorden 24 timer at rotere en hel gang rundt om sin egen akse, og som bekendt har vi inddelt jorden i 24 tidszoner. Da det tager jorden 24 timer for jorden at dreje

360° om sin egen akse, må kloden dreje sig 15° på en time. Der er altså 15° mellem meridianerne der opdeler jorden i de 24 tidszoner. Længdegraderne er altså en tidsforskel. For at kunne bestemme sin længdegrad til søs, skal man altså bare kunne beregne ens aktuelle tidsforskel fra sit udgangspunkt. Den fast universelle længdegrad 0 kaldes også ”The Prime Meridian” og er placeret i Greenwich London. Man kan fx. bestemme længdegraden mellem Greenwich og New York. Hvis klokken er 12:00 i Greenwich vi klokken i New York på samme tidspunkt være 19:00. Der er altså

5 timers tidsforskel mellem de to steder, og længdegraden mellem dem må derfor være:

15°*5=75°.^{2} Det var for de søfarende ikke noget større problem at bestemme den lokale tid, da dette

kunne gøres ud fra observation af solhøjden. Det reelle problem var for de søfarende at kende tiden

i deres hjemhavn.^{3}

Den oplagte løsning på dette problem ville naturligvis være at medbringe et ur, der viste hjemhavnenes lokale tid. Et sådant ur skulle gå præcis for at være brugbart og det skulle kunne tåle de bevægelser og temperaturskift der forekommer til søs.

Der var i starten af 1700tallet næsten ingen der troede på at et sådant ur kunne laves. Selvom det succesfulde pendulur var blevet opfundet af den hollandske videnskabsmand Christian Huygens var dette ur ikke brugbart til søs. For et ur, hvis præcision afhænger af tyngdekraften, er dømt til at fejle på et skib, pga. dets voldsomme rulninger. Selv den verdensberømte videnskabsmand Sir Isaac Newton troede ikke på at et sådant ur kunne skabes. Han troede på at svaret på længdegradsproblemet kunne findes ved astronomiske observationer.

2

Fra bogen - Harrison af Johnathan Betts s. 20

3

Fra bogen- Manden der målte længdegraden af Dava Sobel s.13

Side 5

5

Den store længdegradspris:

”That for determining the Longitude at Sea, there have been Prodjects, true in theory, but difficult to execute. One is a Watch to keep time exactly, but, by reason of motion of the Ship at Sea, the Variation og Heat and Cold, Wet and Dry, and Difference in Gravity in different latitudes, such a

Watch has not yet been made.”^{4} - Sir Isaac Newton d. 11 Juni 1714 i ”The House of Commons”:

Op gennem 15 og 1600tallet voksede langfarten både på Amerika og Asien og dermed blev tabet af varer og liv til søs forøget tilsvarende. At navigation var en del af problemet blev tidligt erkendt, og allerede i 1567 udlovede den spanske regering en dusør til den der kunne finde en metode til bestemmelse af længdegraden. Andre lande, Portugal, Holland og Frankrig fulgte efter, og mange matematikere og navigatører kom med forslag til løsninger. I Frankrig fik en månedistancemetode fremført af Jean-Baptist Morin () [5]

, initiativtageren til det parisiske observatorium, stor tilslutning.

Bestemmelsen af længdegraden var også et emne der løbende blev diskuteret i det engelske Royal Society, grundlagt af Charles d. 2. i 1660. Også i England var debatten om månedistancemetoden som løsning på længdegradsproblemet medvirkende til grundlæggelsen af et observatorium- nemlig The Royal Observatory of Greenwich i 1675 t. [6]

Der var her, ligesom i Paris, astronomer der udelukkende beskæftigede sig med at løse længdegradsproblemet.

I 1707 indtraf en begivenhed, der fik den store offentlighed i England til for alvor at interessere sig for navigationen og dens problemer, herunder længdegradsproblemet. Den 9. september dette år løb H.M.S. Association og tre andre engelske krigsskibe på Glistone Ledges ved Scillyøerne sydvest for Cornwall. Admiralen Sir Clowdisley Shovel druknede sammen med ca. 2000 andre og katastrofen chokerede den engelske befolkning på samme måde som Titanics forlis i 1912.

I juli 1713 blev der i londoner bladet The Guardian publiseret et brev, skrevet af den kendte engelske matematiker William Whiston () og mr. Humphrey Ditton (). I

4

Fra journalen - Journal of the House of Commons, 11 June 1714, 667

5

Fra bogen - Time in History, af G.J. Whithrow S.140

6

Fra bogen - Time in History, af G.J. Whithrow S.140

Side 6

6 brevet stod der at de havde fundet en løsning på længdegradsproblemet, og at de ville offentliggøre den mod en dusør. Sir Isaac Newton, der var formandsfor ”The Royal Society” var enig med mændene om at en dusør skulle udloves, dog ikke i deres metode. Udgivelsen af brevet gav anledning til stor offentlig debat, og der blev nedsat et parlamentsudvalg, der skulle undersøge problemet. Resultatet af udvalgets undersøgelse ledte til, at dronning Anne, d. 8 Juli 1714 gav skriftlig tilladelse til at offentlig dusør skulle uddeles til den person, eller de personer der skulle finde en løsning til bestemmelse af længdegraden til søs.

Der blev i realiteten udlovet tre dusører; Den første lød på £10.000 og skulle gives til den der kunne bestemme længdegraden til søs indenfor én grads nøjagtighed. Den anden lød på £15.000 og skulle

gives til den der kunne bestemme længdegraden til søs indenfor 2/3 grads nøjagtighed. Og den

sidste og største dusør blev sat til £20.000. Denne dusør (svarende til ca. £2.000.000 i dag), skulle gives til den der kunne bestemme længdegraden til under ½ grads nøjagtighed. Der blev dog stillet yderlige krav til denne dusør, den skulle være praktisk, let at anvende, og den skulle bestå en prøve.

Metoden skulle prøves på en rejse fra England til en hvilken som helst havn i Vestindien som ”The Board Of Longitude” måtte vælge. Hvis metoden bestod denne prøve og opfyldte reglerne for nøjagtighed, skulle dusøren tildeles opfinderen. En sådan opfinder skulle i sin metode tage højde for navigationens grundprincipper. Disse tager deres udgangspunkt i den sfæriske geometri.

Grundbegreber i den sfæriske geometri:

Sfærisk geometri er geometri på en kugleflade. Begreberne fra plangeometrien kan pga. dette ikke umiddelbart overføres til rumgeometrien. Den sfæriske geometri differerer fra plangeometrien idet man ikke regner ud fra punkter og rette linjer, men koncentrer sig om beregninger ud fra stor- og lillecirkler. En storcirkel er en cirkel der tager udgangspunkt i kuglens centrum, hvorimod lillecirklen ikke tager udgangspunkt i kuglens centrum. Hvis man tager jorden som eksempel på en sådan kugle, vil en storcirkel være analog med en længdegrad, og en lillecirkel være analog med en breddegrad. Sfærisk geometri er grundlaget for den astronomiske navigation.

Astronomisk Νavigation:

Formålet med astronomisk navigation er, at kunne bestemme sin position ud fra observationer af himmellegemernes positioner. Det vil i dette afsnit blive gennemgået hvordan man kan bestemme

Side 7

7 sin position ved hjælp af to astronomiske observationer. Når man indenfor astronomien skal beskrive positionen af et givent objekt O på himlen, er det nødvendigt at nedlægge denne på en fælles himmelkugle. Denne himmelkugle har jordens centrum som centrum og har en vilkårlig radius. Betragt fig. 1 [7] hvor O er objektet der observeres og P er himmelkuglens nordpol.

Idet jorden roterer omkring sin egen akse 1 gang på 24 timer, vil det fra jorden se ud som om, at objektets nedlagte punkt på himmelkuglen flytter sig 360° i løbet af et døgn. Man vil observere at denne ”flytning”, ved en omdrejning, danner en lillecirkel på himmelkuglen der tilnærmelsesvis ligger parallelt med ækvator (se fig.1) [8]. Radius fra jordens centrum og ud til lillecirklen kaldes en deklination. Et hvert punkt på denne dannede lillecirkel vil have samme deklination, i dette tilfælde på 60° (se fig.1) [9]. Begrebet deklination er her analogt med breddegraden på jorden. For positionsbestemmelse har man brug for endnu en vinkel, timevinklen.

Timevinkel- og horisontsystemet:

Timevinkelen er analog med en længdegrad på jorden. Vi kommer nu ind på timevinkelsystemet og horisontsystemet, der er to sfæriske koordinatsystemer der bruges til at inddele himmelkuglen.

Timevinkelsystemet er et sfærisk koordinatsystem der følger jordens bevægelse. Dets koordinater er

                               10
deklinationen og timevinklen (se fig.1) .

Ved astronomisk navigation vælger man som bekendt et bestemt himmellegeme at fiksere på, oftest fiksstjerner. Alle stjernerne, undtagen solen, har en deklination der varierer med mindre end 1´ på et år. Hvilket vil sige at lillecirklen der dannes på himmelkuglen på 1 døgn vil være tilnærmelsesvis cirkulær. Vi kan altså herfra slutte, at tilnærmelsen med lillecirkler, der er parallelle med ækvator, er så præcis for stjerner at de kan bruges til positionsbestemmelse.

Vi kan nu danne en cirkel på jordoverfladen der ligesom deklinationen er analog med breddegraden.

Det gælder derfor også, at denne breddeparallel er parallel med ækvator, og at alle punkter på en breddeparallel har samme bredde. Ved betragtning af en globus, ses det, at breddegraderne og længdegraderne der står vinkelret på hinanden. En længdegrad, også kaldet en meridian, er altså en storcirkelbue, der passerer igennem nord- og sydpolen, på jordens overflade. Hvis man danner en

7

Bilag. S- 25

8

Bilag. S- 25

9

Bilag. S- 25

10

Bilag. S- 25

Side 8

8 storcirkelbue på himmelkuglen, der er analog med længdegraden, vil denne kaldes en rektascension.

Man kan altså drage den slutning, at en længdegrad vil være analog med en rektascension på den før skabte himmelkugle. Man danner altså en himmelkugle hvorpå man kan danne en deklination og en rektascension, der svarer til breddegraden og længdegraden på jorden. Rektascensionen fortæller på hvilket siderisk tidspunkt et himmelobjekt vil passere en givet lokal meridian. En timevinkel for et givet objekt er defineret ved:

𝑂𝑏𝑗𝑒𝑘𝑡𝑒𝑡𝑠 𝑡𝑖𝑚𝑒𝑣𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙 = 𝐿𝑜𝑘𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑖𝑠𝑘 𝑡𝑖𝑑 − 𝑂𝑏𝑗𝑒𝑘𝑡𝑒𝑡𝑠 𝑅𝑒𝑘𝑡𝑎𝑠𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛

TV obj = LST - RA obj

Timevinklen viser hvor meget siderisk tid der er gået siden objektet passerede den lokale meridian.

Vi kommer nu ind på horisontsystemet, det andet sfæriske koordinatsystem for vores himmelkugle.

På figur 2. [11] er det skitseret hvad der ligger til grund for horisontsystemet. Figuren er ikke tredimensional da man kan nøjes med to dimensioner, planerne optræder derfor her som rette linjer.

Vi antager i vores eksempel at et givent skib befinder sig på en breddeparallel b og lodret under Z

(zenit). Det vandrette tangentplan (havoverfladen) tegnes nu, hvorefter en parallel linje hertil tegnes igennem jordens centrum. Denne rette linje kaldes horisontplanet, og det er det der danner grundlag for horisontsystemet. Horisontplanet deler således himmelkuglen i to halvkugler; den øvre halvkugle der er synlig for sømanden, og den nedre halvkugle som jorden skjuler. Vinklen til et objekt over horisontplanet (målt fra nord til øst) kaldes azimut (<Az). Højden og azimut ændrer, pga. jordens rotation, deres position over tid. Horisontsystemets koordinater er altså azimutvinklen og højden.

Vi har nu vores to sfæriske koordinatsystemer, der begge tager udgangspunkt i jordens centrum. I begge disse systemer er der et fikspunkt på himmelkuglen, der er beskrevet ved 2 vinkler. I timevinkelsystemet er det som før nævnt vinkelparret (t, d), og i horisontsystemet er det vinkelparret (Az, h). På figur 3 og 4 [12] er vinklerne indtegnet og repræsenteret ved to storcirkelbuer.

Ved kombination af timevinkel- og horisontsystemet opstår der en sfærisk trekant på vores kugleoverflade; den astronomiske trekant. En sfærisk trekant, er ikke ligesom de trekanter man

11

Bilag. S- 26

12

Bilag. S- 26

Side 9

9 kender til fra plangeometrien. Denne sfæriske trekant består ikke af rette linjer, men af overlappende storcirkelbuer. Denne sfæriske trekant kaldes OPZ, og dens hjørner består af det

                                                             13
betragtede himmelobjekt O, himmelkuglens nordpol P, og zenit Z (se fig.10) . Længderne af en

sfærisk trekant angives ikke i længdemål, men i vinkelmål, svarende til de vinkler buerne spænder over. Hvert af de tre hjørner tillægges et vinkel mål, der svarer til vinklen mellem de to planer, der indeholder hver sin hosliggende side i trekanten og går gennem jordens centrum (se. Fig.10). For

                        14
nærmere information se bilag.

Positionsbestemmelse ved stedlinjer:

Det er på fastlandet ikke et større problem at måle horisontsystemets koordinater, azimutvinklen og højden. Det er dog ikke helt så let at bestemme disse til søs, da man står på gyngende grund. Det var derfor indenfor navigationen vigtigt at finde et vinkelmålingsinstrument der kunne akkurat kunne måle højden til himmelegemet til søs. [15]

Dette blev sekstanten der blev udviklet i det 18. åhr. Man kunne bruge denne til at bestemme højden, men da der er flere steder på jorden hvor højden til et himmellegeme er den samme, er det vigtigt at tage flere målinger på en dag. På figur 1-internet [16] ses en skitse over en sådan målingssituation. Man kan som på figuren se at der er to punkter på kuglen hvor højden til himmellegemet vil være den samme. Man kan pga. dette danne en ligehøjdecirkel, hvor højden til himmellegemet er lige stor alle steder på den. Det er derfor ikke tilstrækkeligt kun at kende højden på et himmellegeme, man bliver nødt til at måle på mindst to. Så får man dannet to ligehøjdecirkler, hvorpå navigatøren kan befinde sig. Disse vil som oftest ligge tilstrækkeligt langt fra hinanden til at kaptajnen kan beslutte hvilken én der er den mest sandsynlige.

Hvis der opstår en tvivl, kan der fortages en tredje måling, der så vil underbygge et af de foregående resultater. Ved brug af stedlinjer kan ens position bestemmes. Dette kan lade sig gøre ved hjælp at foretage bestik. [17] Ligehøjdekurven kaldes en bestemt afstand af Ligehøjdecirklen. En stedlinje defineres derudfra som en lineær tilnærmelse til ligehøjdekurven. Når man har et skæringspunkt for to stedslinjer, er det meget mere eksakt til at bestemme en navigatørs position end bare at gætte. Der

13

Bilag. S- 27

14

Bilag – matematikken, de sfæriske cosinus- og sinusrelationer s. 30-34

15

Astronomiske Navigation- af Erik Vestergaard - s.21

16

Hjemmeside af Erik Vestergaard - http://www.matematiksider.dk/navi_principper.html

17

Astronomiske Navigation- af Erik Vestergaard – s. 24

Side 10

10 findes tre måder til bestemmelse af en stedlinje; tangentmetoden, sekantmetoden eller

højdemetoden.^{18}

Tangentmetoden

Ved denne gennemgang tages der udgangspunkt i figur 14 [19]. Dette en metode hvormed man kan beregne stedlinjen til et givet ukendt sted på. Dette sker ved at tage tangenten til punkterne i ens

ligehøjdekurve. Rørignspunktet for denne tangering kaldes på figuren A = (b,). Dette kan

1 1 𝛌 udregnes ved at beregne den tilhørende længdegrad til en selvvalgt bredde.

Til beregning af himmellegemets højde h bruges formlen: sin(h) = sin(b)sin(d) + cos(b) cos(d)

cos(t)

Beviset for denne formel lyder således:

Formlen omformuleres til at ligne de sfærsike cosinusrealtioner (Se figur)

                                                       𝑐𝑜𝑠 ( 𝑎 ) −𝑐𝑜𝑠
cos(a) = cos(b) cos(d) + sin(b) sin(c) cos(A) ↔ cos(A) =
                                                          𝑠𝑖𝑛 ( 𝑏 ) 𝑠𝑖𝑛 (𝑐)

( 𝑏) 𝑐𝑜𝑠 (𝑑)

Siderne og viklerne i ovenstående, tager deres udgangspunkt i den før nævnte astronomiske trekant

(Se bilag S. **). Man skal dog huske at indsætte de rette variable; A betragtes her som t, h som a, c som d og b forbliver b. Formelen kommer således til at se sådan ud:

       𝑐𝑜𝑠 ( 90°−ℎ
cos(t) =

) −𝑐𝑜𝑠 ( 90°− 𝑏) 𝑐𝑜𝑠 (90°− 𝑑)
𝑠𝑖𝑛 ( 90°− 𝑏) 𝑠𝑖𝑛 (90°−𝑑)

Ved brug af nedenstående overgangsformel kan denne nu omskrives:

Overgangsformel: sin(90° - v) = cos(v) og cos(90° - v) = sin(v)

      𝑠𝑖𝑛 ( ℎ
cos(t) =            ↔ sin(h) = cos(t) cos(b) cos(d) + sin(b) sin(d)
        𝑐𝑜𝑠

) −𝑠𝑖𝑛 ( 𝑏) 𝑠𝑖𝑛(𝑑)

( 𝑏) 𝑐𝑜𝑠(𝑑)

Man har således udledt og bevist højdeformlen for tangentmetoden og kan derved også ved omformulering bestemme formlen for tangenten til azimutvinklen. Denne opskrives således:

Tan(Az) =
         𝑠𝑖𝑛 (

𝑐𝑜𝑠 ( 𝑑) 𝑠𝑖𝑛 (𝑡) 𝑏) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑑) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡) −𝑐𝑜𝑠 ( 𝑏) 𝑠𝑖𝑛 (𝑑)

20

18

Astronomiske Navigation s.22-23

19

Bilag. S- 29

20

Astronomisk Navigation s.26

Side 11

11

Da tangenten til azimutvinklen nu kann bestemmes kan der indtegnes en stedlinje på et søkort- altså det er nu muligt at bestemme sin position.

Højdemetoden

Vi tager her udgangspunkt i figur 15 [21], det skal dog bemærkes at der i beskrivelsen er valgt at kalde ligehøjdecirkel A for Y, da der kunne opstå forvirring mellem denne og azimutvinklen. Denne metode hænger sammen med tangentmetoden. I denne metode bestemmes først stedlinjen mellem et

kendt punkt Y (Y=(b,λ)) som ligger tæt på vores ukendte sted Z. Stedlinjen i Z bliver altså

y y parralelforskudt af Y’s stedlinje. Vi kan nu således lave bestik; kan vi således vælge (b, 𝛌) bestik bestik som er bare er et andet sted tæt på. Y’s stedlinje bestemmes ved brug af tangentmetoden, men inden dette kan gøres skal man først have fundet d og t fra timevinkelsystemet. Disse findes i en nautisk almanak, denne indeholder informationer om hvor himmellegemer befinder sig på et givet

                                                                 22
tidspunkt. Timevinklen i forhold til Y og bestemmes ved omskrivning af formlen :

𝛌

= t - t ↔ t = t –

G G 𝛌

Højden h er højden fra Y til himmellegemet og bestemmes ved formlen:

Y

t = t + t (Aries)

G s G

Vi husker at Y og Z er punkter på vores ligehøjdecirkler. Disse vil på søkortet tilnærmelsesvist ligne parallelle linjer. Ved at parallelforskyde stedlinjen i Y fås stedlinjen i Z. Hvor meget den skal forskydes kan beskrives således:

Vi skal først bestemme buelængden der spænder på jorden, for en storcirkelbue over 1 bueminut. Vi skal derfor føst bestemme en grads roterring af jorden. Vi beregner med et utryk fra navigationen til søs kaldet en nautisk sømil. Denne defineres som 1852 meter og da jordens omkreds ved ækvatore

                                            40000 km
cirka er 40.000 km er en grad givet ved:           ≈ 111,11 km

360

Dette resultat indsættes i formlen for et bueminut på tællerens plads:

21

Bilag. S- 29

22

Astronomiske Navigation s.27

Side 12

12

      1
1´ = ( )° 🡪                     ≈ 1,852 km.
     60

111,11 km

60

På figur 15. ses det at afstanden i sømil mellem ligehøjdecirklerne til Y og Z er svarer til vinklen

∆h. Denne beregnes i bueminutter ved følgende formel: ∆h = h –h

målt Y

Definitioner; h målt Y

,er observatøres målte højde og h er beregnet ved tangentmetoden. Der er således bestemt værdien for hvor langt stedlinje Y skal forskydes. Bestemmelsen af forskydningsretning determineres ud fra om højden for himmellegemet er positivt eller negativt. På figur 18 ses et søkort hvorpå der sker en forskydning. Linjen der går igennem Y og har retning mod polpunktet kaldes a.

Højden til himmellegemet bliver højere jo tættere en observatør befinder sig på polpunktet. Der drages herudfra at hvis ∆h er positiv, må stedlinjen til Y forskydes parallelt langs linjen a i retning mod polpunktet. Derfor må der også gælde, at hvis ∆h er negativ, skal Y forskydes parallelt langs linjen væk fra polpunktet.

Eksempel på brug af højdemetoden:

Et givet punkt vælges og koordinaterne angives: Y = (60° 50^{/}; 6° 05^{/})

Timevinklen t er givet ved:

t = t –

G 𝛌

Vi indsætter vores koordinater:

t=317° 10,1^{/} - 6° 05^{/} = 311° 5,1^{/}.

Vi benytter formlen for beregning af højden af et himmellegeme:

sin(h) = sin(60° 50^{/}) sin(16° 54,8^{/}) + cos(60° 50^{/}) cos(16° 54,8^{/}) cos(311° 5,1^{/}) = 0,56046

som giver h = 34,088° = 34° 34,3^{/}.

Y

Vi kan nu bestemme azinutvinklen , vi indsætter vores kendte værdier i tangentformlen for azinutvinklen:

Tan(Az) =
         𝑠𝑖𝑛 (

𝑐𝑜𝑠(16° 54,8^{/})𝑠𝑖𝑛 (311° 5,1^{/})
60° 50^{/}) 𝑐𝑜𝑠 ( 16° 54,8^{/}) 𝑐𝑜𝑠 ( 311° 5,1^{/}) −𝑐𝑜𝑠 ( 60° 50^{/}) 𝑠𝑖𝑛 (16° 54,8^{/})

Hvoraf Az = - 60,546° = 60°32,8^{/}.

Ved brug af tangentmetoden kan man nu tegne Y’s stedlinje. Forskellen mellem den teoretiske og den egentlige målte højde i Y er:

Side 13

13

∆h = h – h = 34°16,4^{/} - 34°5,3 = 11,1^{/}

målt Y

Vi kan altså drage at da ∆h har en positiv værdi skal stedlinjen til Y altså forskydes 11,1 sømil imod

         23
polpunktet.

Eksempel på beregning af solens retning den. 25. juni kl.11:30 i Skagen

Vi samler først den information vi skal bruge til beregning af dette i en almanak fra 2008.

                      24
Skagens geografiske bredde = 57° 43´

                      25
Solens deklination d.25 juni = +23° 22´

                         26
Solens kulminationstid i Skagen = kl. 13:20

Vi bestemmer timevinklen og regner den om fra tid til gradtal ved at bruge at benytte at 1h=15° og 1m=1´:
Timevinkel kl. 11:30: 11ℎ: 30𝑚 + 24ℎ − 13ℎ: 20 = 22ℎ: 10𝑚= 332° 30´

Vi kan nu indsætte vores kendte værdier i fomlen for højden fra tangentmetoden.

sin(h) = cos(t) cos(b) cos(d) + sin(b) sin(d)
sin(h) = cos(57° 43´ ) cos(23° 22´) cos(332° 30´) + sin(57° 43´) sin(+23° 22)=0.7702 = 50° 22’

Vi kan nu bestemme azinutvinklen , vi indsætter vores kendte værdier i tangensformlen for azinutvinklen:

Tan(Az) =
         𝑠𝑖𝑛 (

𝑐𝑜𝑠 ( 𝑑) 𝑠𝑖𝑛 (𝑡) 𝑏) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑑) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡) −𝑐𝑜𝑠 ( 𝑏) 𝑠𝑖𝑛 (𝑑)

27

Tan(Az) =                                      = -0.8895= 318° 21´
        𝑠𝑖𝑛 (

𝑐𝑜𝑠 ( 23° 22´) 𝑠𝑖𝑛 (332° 30´)

57° 43´) 𝑐𝑜𝑠 ( 23° 22´𝑑) 𝑐𝑜𝑠 ( 332° 30´) −𝑐𝑜𝑠 ( 332° 30´) 𝑠𝑖𝑛 (23° 22´)

Vi har nu bestemt solhøjden over horisontent til at være 50° 22’ og azimutregnet fra syd til at være

318° 21’.

John Harrison – Tømrer, urmager og videnskabsmand

John Harrison blev født som ældste søn af tømreren Henry Harrison i Foulby, i nærheden af Wakefield i Yorkshire d. 24 Marts 1693 [28]. Familien Harrison flyttede i 1701 til det nordlige

23

Astronomisk navigation s.28-29

24

S.83- Almanak, skriv- og rejse-kalender 2008- som er et skudår

25

S.26-, Almanak skriv- og rejse-kalender 2008- som er et skudår

26

S.41 , Almanak skriv- og rejse-kalender 2008- som er et skudår

27

Astronomisk Navigation s.26

28

Fra bogen Harrison af Johnathan Betts s. 30

Side 14

14

Lincolnshire, og det var her John Harrison voksede op. Den unge John fik foruden den tømrer uddannelse fra sin far en hel del hjemmeundervisning. Han var en intelligent ung mand, og dette blev ikke overset af en besøgende præst, der lånte ham et eksemplar af Nicholas Saunders (1682-

1739)^{29} forelæsninger om mekanik.

Det vides ikke hvor Harrisons interesse for umagerkunsten kom fra, men det antages at den bunder i hans almene interesse for mekanik. Man ved dog at han i en alder af kun 20 år havde færdiggjort sit første ur. Siden dette første ur udviklede Harrisons urmagerkunst sig, og hans interesse for præcisionen af ure voksede.

Der var en del problemer med de ure der allerede var opfundet på Harrisons tid. Et af dem beroede på metalkomponenternes sammentrækning og udvidelse ved skiftende temperaturer. Harrison løste til en hvis grad, problem ved at bruge stål såvel som messing komponenter i sine ure. Da disse to metallers udvidelseskoefficienter ligger i modsatte ender af skalaen ophæver de hinanden. Dette resulterede i pendulure der havde en afvigelse på mindre et 1 sekund pr. måned. Denne geniale løsning skulle vise sig at være afgørende for Harrisons karriere.

Harrisons maritime chronometere.

Harrison hørte for første gang om længdegradsprisen i 1726 [30]. Og han regnede sig frem til, at et ur der skulle leve op til kravene, maximalt måtte afvige med 2.8 buesekunder om dagen. De eneste ure der på daværende tidspunkt var så præcise var de stationære pendulure, som tideligere nævnt var disse ikke brugbare til søs. Harrison søgte derfor at konstruere et ur, der var transportabelt, men havde samme præcision som pendulurene. Han tog i 1727, 1728 eller i 1730 [31] til London for at søge, at få sit chronometer finansieret. Årstallet er usikkert, men vi har hans egen samtidige beskrivelse af hvordan han tænkte sig et maritimt kronometer.

I London kom Harrison i kontakt med ”the Astonomer Royal” Edmund Halley (c.), som modtog Harrisons ide med åbne arme. Halley var nemlig ved at fortvivle over manglende fremskridt indenfor månedistancemetoden. Halley følte sig imidlertid ikke i stand til at bedømme Harrisons plan, og henviste ham derfor til George Graham (), tidens fineste og mest anerkendte urmager i London.

29

- en Lucasiansk Professor i Matematik ved Cambridge Universitet i 1700 tallet

30

Fra bogen Harrison af Johnathan Betts s. 35

31

Fra bogen Harrison af Johnathan Betts s. 41

Side 15

15

Harrisons ideer for temperaturregulering i sine ure viste sig at vinde stor respekt hos Graham, idet han selv siden 1715 havde prøvet at løse dette problem. Graham blev overbevist om, at Harrison havde fat i noget, og han lånte Harrison £200 til at konstruere det første af fem maritime chronometere. Det tog Harrison og hans bror James omtrent fem år at konstruere, afprøve, og finpudse dette første mesterværk, kaldet H1. Det blev prøvet på floden Humber og resultaterne så lovende ud. Da Harrison var tilfreds med H1.’s nøjagtighed, vendte han med det, tilbage til London, hvor det blev offentliggjort for det øvre videnskabelige selskab af Graham. Harrison fik hurtig omtale, og H1 blev præsenteret for the Royal Society i 1735. [32]

Der blev her underskrevet et dokument der skulle vise sig at være med til at få H1. sendt på en foreløbig prøve.

Harrison og H1 d. 19. Maj 1736 [33] afsejlede med H.M.S. Centurion til Lissabon. På udrejsen var vejret dårligt, men ikke desto mindre viste uret sig meget præcis selvom det mistede tid. På hjemturen blev H1 placeret på skibet HMS Orford, og det var på dette skib at Harrison for første gang fik mulighed for at bestemme længdegraden ved brug af tiden. Selvom uret også på denne rejse mistede tid, lykkedes det Harrison ved brug af uret at undgå en potentiel katastrofe. Skibets kaptajn mente, da man fik land i sigte, at det var ”Start Point”, men Harrison havde beregnet deres position til at være lige udenfor halvøen Penzance. Denne er lokaliseret næsten 60 kilometer fra Start point og er omgivet af klipper. Harrison fik kaptajnen overtalt til at han havde ret, og skibet undgik således at forlise. Skibest kaptajn viste sin taknemmelighed overfor Harrison ved at skrive et brev om hændelsen hvori han svor, at uden Harrisons opfindelse ville skibet og hele hans mandskab være gået tabt. ”The Board of Longitude” ville dog ikke høre tale om en udbetaling af en dusør. De mente ikke at uret var præcist nok til at kunne bruges på en tur til Vestindien. Harrison bad så kommissionen om finansiering til at fremstille et forbedret ur, og de tildelte ham £250 til dette.

Harrison flyttede med sin familie til London og begyndte der at arbejde på sit andet ur H2. Dette ur lignede H1. i en mindre udgave. Det havde dog ikke mange forbedringer til forskel fra H1. Det tog Harrison kun to år at bygge H2. Dette ur kom dog aldrig ud på en sørejse, da Harrison opdagede at dette urs præcision blev påvirket når uret blev flyttet. Det var derudover også meget tungt, og på mange måder mere upraktisk end H1. Harrison brugte de næste 17 år på at bygge og afprøve sit tredje ur H3. Dette ur var for Harrison det mest problematiske, af alle hans ure, at bygge. Det var

færdigt i 1757.^{34}

32

Fra bogen Harrison af Johnathan Betts s. 44

33

Fra bogen Navigationens Historie bind 2. af Søren Thirslund- s.72

34

Fra bogen Navigationens Historie bind 2. af Søren Thirslund- s.73

Side 16

16

Harrisons gennembrud.

Indenfor urmagerkunsten var der et generelt grundprincip der hed at et håndholdt urs fjerdre og tandhjul skulle laves af så let et materiale som overhoved muligt. Harrison arbejdede under dette princip i H1, H2 og H3. Men Harrison gik imod dette princip, idet han byggede et håndholdt ur der efter sigende skulle være en kontrol til H3. Dette ur blev bygget af John Jefferys efter Harrisons specifikationer; alle komponenter skulle bygges af messing og jern og derefter monteres i en guldkapsel. Vægten af urets komponenter gjorde at det ikke var så let modtageligt for ydre påvirkninger. Uret H4 viste sig at være det første håndholdte ur der var nøjagtigt nok til at kaldes et chronometer.

Harrison præsenterede uret for ”The Board of Longitude”, og på trods af en del skepsis blev det besluttet at uret skulle afprøves på en rejse til Vestindien d. 18 November 1761. Harrisons søn William blev givet ansvaret for uret på rejsen. Han sejlede med skibet H.M.S. Deptford og hans beregninger af længdegraden ved brug af uret viste sig ikke kun at være præcise, men også at korrigere Jamaicas position på kortet. Ved ankomst til Jamaica blev urets præcision beregnet og det viste sig at denne varierede med 5 sekunder, hvilket svarer til 1,25 buesekunder. John Harrisons H4 burde således have vundet ham længdegradsprisen på £20.000, men sådan gik det ikke til. ”The

Board of Longitude”, og i særdeleshed medlemmet Nevil Maskelyne^{35}, kom med en masse falske

postulater om at Jamaicas længde ikke kendtes præcist nok, og at metoden ikke kunne bevises ved kun 1 forsøg. Det forlangtes derfor at H4 skulle ud på en ny sørejse. Kommissionen tildelte Harrison £2500 men nægtede at udbetale mere uden endnu en prøve. Harrison mente, at dette var uacceptabelt, men efter lang tids diskussion gav Harrison sig. H4 og William Harrison skulle denne gang med skibet HMS Tatar til Barbados og skibet sejlede d. 28 Marts 1764 [36]. Også på denne rejse viste uret sit værd, idet det kun mistede 10 længdeminutter på hele rejsen. Ved hjemkomsten blev resultatet accepteret som tilfredsstillende, men Harrison fik stadig ikke sin dusør. Han blev tildelt

£7500 der tilsammen med de £2500 gav £10.000. Komiteen stillede endnu engang flere krav til Harrison; Han skulle beskrive urets bygning og mekanik så detaljeret, at en anden god urmager ville kunne genskabe det. Harrison tænkte sig længe om, men efter lang tids overvejelser gav han sig endnu engang. Han gjorde som der forlangtes af ham, men han stolede nu ikke længere på, at ”The Board of Longitude” ville holde sit løfte.

35

Anstronom og fortaler for månedistancemetoden

36

Fra bogen Navigationens Historie bind 2. af Søren Thirslund- s.74 – Dato underbygget af bogen Harrison af Johnathan Betts

Side 17

17

Han konstruerede derfor i 1770 et endnu et chronometer, H5. Dette ur var ikke blot smukkere end H4, men det var også en forbedret mindre udgave. Dette ur blev skænket til Kong George d. 3. som blev meget imponeret over urets skønhed og nøjagtighed. Han udførte sin egen prøve af H5 i Richmond og fandt resultaterne utrolige. Da Kongen hørte om komiteen havde behandlet både John og William Harrison, lovede han, at han personligt ville se til at John Harrison fik sin belønning. Da Kong George den 3 ikke havde enevælde kunne han ikke bare udbetale dusøren til Harrison.

Harrisons eneste chance for at få sin retmæssige belønning var derfor at fremlægge sin sag i parlamentet. ”The Board of Longitude” blev, da denne sag blev fremført i ”The House of Commons”, sat under et voldsomt pres. Efter Harrison havde fremført sin sag, blev de sidste

£10.000 tildelt Harrison, og han blev officielt uråbt til vinder af dronning Annes længdegradspris.

Harrisons opfindelses indflydelse på Englands rolle i koloniseringen

I 16-1700tallet udviklede den europæiske økonomi sig betydeligt med udgangspunkt i kolonieringen, og velstanden blev generelt forøget. Udvidelsen af det britiske imperium ved kolonisering begyndte i midten af 1600tallet. Ved at udforske kloden ved sejlads fandt de europæiske stormagter frem til nye landområder. Hvis man opdagede et land eller en ø, kunne man gøre krav på denne og derved sikre sig retten til dets befolkning og naturresurser.

Nogle af de mest centrale lande i den verdensomspændende økonomi var, på dette tidspunkt, Portugal, Spanien, England, Frankrig, og Holland. Disse lande tog alle del i koloniseringen. Idet man ved udgangen af middelalderen, i disse stormagter, søgte at opbygge en moderne, enevældig stormagt, blev den tidligere feudalisme brudt. Der opstod, på baggrund af dette, et behov for at skaffe nye statsindtægter og for at øge landets areal. Man søgte altså kilder til dækning af statskassens udgifter. Det var i denne periode at merkantilismen kom fem som et økonomisk princip. Tanken bag merkantilismen var, at man skulle fremme sin økonomi ved at producere varer, og eksportere så mange af disse som muligt. Samtidigt med dette skulle man så udgå at importere varer fra udlandet. Dette ville resultere i en større økonomisk indtægt end udgift, og derfor i større velstand. Thomas Mun, der var en engelsk investor og erhvervsmand, var med til at skabe de teoretiske grundlag for merkantilismen. Om at øge et riges velstand skrev han:

”Et riges indtægter hvorved det forsynes med udenlandske varer er enten naturlige eller kunstige.

Den naturlige rigdom består i, hvad der kan spares i eget forbrug og hvad der kan eksporteres af

Side 18

18 forbrugsvarer til udlandet. Den kunstige rigdom beståri vores farbriks- og industrihandel med udenlandske varer, for hvilke jeg vil anføre nærmere retningslinjer” [37]

Han udgav flere værker der omhandlede økonomiske strategier, men hans hovedværk ”England’s Treusure by Foreign Trade” er dog den mest berømte. Den skulle efter sigende være skrevet i

1630’erne men den udkom efter hans død i 1664. Bogen var ment som en lærebog i handel til Muns søn John, som udgav den efter sin fars død. I en kilde, der er et uddrag af bogen, beskrives

                             38
merkantilismens principper og ideer :

Kilden er en primær kilde, da den er skrevet af Thomas Mun selv og ikke er gennemredigeret. Der er dog udtaget dele af den oprindelige tekst, men der er ikke skrevet om i teksten. Da bogen hvorfra den stammer, er udgivet efter hans død kunne det tænkes at han ikke selv har færdiggjort værket.

Det har dog ikke været mig muligt at finde oplysninger herom, og det må derfor antages at den er samtidig. Formålet med bogen var at beskrive de økonomiske principper England skulle arbejde under koloniseringen for at opnå større rigdom. Det er tydeligt i teksten at den ikke kun er ment som en forklaring på disse principper, men også som en overbevisning om, at netop den beskrevne metode er den rigtige. Kildens tendens ligger således i denne overbevisning. Da bogen, hvorfra kilden stammer, blev skrevet til Thomas Muns søn, John Mun, må man antage at faderen ønskede at videreføre, hvad han betragtede som værdifuld viden, til sin søn. Det må derfor være en personlig kilde til viden, men da bogen blev udgivet af sønnen er den sidenhen blevet brugt som institutionelt undervisningsmateriale. Bogen er således gået fra at være fortrolig til at være offentlig, og det er denne offentliggørelse der har bevirket at Thomas Mun beskrives som en af merkantilismens teoriers skabere.

Han delte sin teori op i ”den naturlige rigdom” og ”den kunstige rigdom”. Koloniseringen var en måde hvorpå man kunne opnå den såkaldte ”kunstige rigdom”. Om koloniseringen skrev Mun:

For det første, skønt dette rige er overordentligt rigt af naturen, kan det yderlige beriges ved at lægge det ubebyggede land, som der findes meget af, ud til brug som ingenlunde vil være en hindring for de nuværende indtægter af dyrket land. Herigennem vil vi blive selvforsynende og kunne undgå import af hør, hamp, tovværk, tobak og til forskellige ting som vi nu henter i udlandet med fare for forarmelse.

37

Se. Bilag – Thomas Mun: ”Merkantilismens principper” s. 244 afsnit 2,

38

Se. Bilag – Thomas Mun: ”Merkantilismens principper”

Side 19

19

Koloniseringen var altså en måde hvorpå man kunne få hurtig økonomisk fremgang ved at få monopol på et lands naturresurser. F.eks. Hvis et land havde monopol på sukkerproduktionen ville alle andre lande skulle købe sukker af det, samtidig med at det ville være selvforsynende med sukker. Dette ville udelukkende give overskud til sukkerproducenten og underskud til køberen. Der var selvfølgelig forskellige tanker i de forskellige lande om hvad der skulle eksporteres og om hvad det skulle importeres. Det afhang dog mest af hvilke naturresurser der var til rådighed i det pågældende land. Det var bl.a. derfor, at man begyndte at lede efter nyt land ved at sejle ud på de store verdenshave. Da det var ”først-til-mølle”-princippet der gjaldt for indtagelsen af nyt land, opstod der en oversøisk konkurrence landene imellem. I 1700-tallet var udvidelsen af det britiske imperium udfordret af Frankrigs udvidelse af landets kolonier. Alle kolonimagterne sloges om retten til at sejle på havene, og der fandt mange søslag sted. Igen her spillede navigationen til søs afgørende rolle.

Der var som før nævnt ikke kun kamp om land og rigdom under koloniseringen. Der var også kamp om bestemmelsen af længdegraden til søs. Alle kolonimagter søgte en løsning på dette problem.

Hvis man ser på dette problem ud fra merkantilismens principper ser man; hvis en kolonimagt havde monopol på bestemmelsen af længdegraden, ville de have en utrolig fordel over de andre lande. Ikke nok med at man bedre ville kunne sikre at ens skibe ville komme sikkert fra havn til havn, men man ville også kunne øge mængden af varer man fragtede over havet, da risikoen for tab ville være væsentligt formindsket. Man ville derudover stå bedre i en krigssituation idet man, alt andet lige ville kunne bestemme til hvilken tid man ville være et givent sted på jorden. Man ville kunne kortlægge jorden, og derudfra bestemme grænser på havet mellem landene. Fordelene ved præcis navigation var enorme.

Det kommer derfor ikke som nogen stor overraskelse at Franskmændene kontaktede John Harrison da de hørte om hans utrolige gennembrud med opfindelsen af H4. Man skulle tro at ”The Board of Longitude” ville have ønsket kan gemme denne opdagelse for franskmændene, men således gik det ikke til. Franskmændene blev inviteret til London af ”The Board of Longitude” efter de havde fået udleveret Harrisons tegninger af H4. Denne handling synes med den bunder nok i den uofficielle konkurrence mellem England og Frankrig og hvem der først ville finde en løsning. Englænderne ønskede sandsynligvis, at vise deres overlegenhed på emnet overfor franskmændene. Harrison forstod imidlertid ikke hvorfor disse franskmænd skulle have lov til at se på hans opfindelse. Han havde altid været under det indtryk at han arbejdede for den Engelske Konge. Harrison tillod derfor

Side 20

20 kun at franskmændene så det ydre af uret. Da Harrison kun havde fået halvdelen af længdeprisdusøren følte han sig dog snydt, og indvilligede i at forhandle med Franskmændene om detaljerne for H4. [39] Franskmændene undervurderede dog Harrisons opfindelse, og tilbød en, i Harrisons øjne, for lille sum på £500 for detaljerne.

Englænderne havde således stadig muligheden for monopol over bestemmelsen af længdegraden.

Men de valgte efter udbetalingen af længdegradsprisen til Harrison, at offentliggøre detaljerne om H4 for den videnskabelige verden. Hvorfor dette blev gjort har det ikke været mig muligt at finde ud af. Men om ikke andet kan man sige at denne handling på sigt øgede den generelle sikkerhed til søs. Man forhindrede nu ikke kun ens egene søfolk i at dø pga. dårlig navigation, men reddede søfolk fra andre lande. Om det så var en klog handling rent økonomisk kan diskuteres. Hvis man tager Thomas Muns 8. retningslinje om kunstig rigdom i betragtning ses det at han ikke ville være enig i at det var en klog beslutning:

”Vi bør ligeledes værdsætte og fremme den handel, vi har med de fjerne lande, thi foruden fremme af skibsfart og søfolk er de varer som sendes dertil og derfra langt mere fordelagtige for vort land

end den nærliggende handel… ”^{40}

Det viste sig dog ikke at være en større økonomisk ulykke at udgive værket, i den forstand at England ikke mistede noget af deres formue ved at gøre det. Det satte bare endnu engang alle lande på sammen niveau. De gik dog muligvis glip af formuer der kunne have været tjent på at sælge ideen, og på at have været havets absolutte mestre. Det tog de andre kolonimagter nogle årtier at oversætte og forstå detaljerne om H4, i en sådan grad at de kunne genskabe uret så at de havde samme præcision. Det blev først almindeligt at have et chronometer ombord på et skib midt i 1800- tallet. Dette skyldes bl.a. at det var kaptajnerne selv der skulle betale for et sådant ur, og det var derfor kun de rigeste kaptajner der havde råd til det. Derudover var der ikke mange i Europa der byggede disse ure. Så på trods af udgivelsen af detaljerne om H4, var England stadig foran i kapløbet om havet.

England gjorde samtidigt enorme fremspring indenfor kartografien. Det var bl.a. James Cook der berigede den engelske flåde med enormt præcise kort, ved at sejle jorden rundt for at opdage nyt land. Han havde på sin anden og tredje rejse en kopi af H4, bygget af Kendall, kaldet K1 med. På

39

Fra bogen Harrison af Johnathan Betts s.76-80

40

Se. Bilag – Thomas Mun: ”Merkantilismens principper”

Side 21

21 hans anden rejse udtalte Cook i sin dagbog: ”Her må jeg bemærke at vores fejl (i Længdegraden) i sandhed aldrig kan blive stor, så længe vi har så god en fører som ur(et).” [41]

Cook fik altså ved brug af K1 optegnet de første eksakte søkort over øerne i Sydhavet, der muliggjorde det, for andre søfarer at følge samme rute og komme sikkert hjem igen. [42] Konklusion:

Den selvlærte urmager John Harrison vandt den omdiskuterede engelske længdegradspris, med sin opfindelse af H4 og H5. Opfindelsen af disse ure løste et af de største problemer indenfor navigationen på dette tidspunkt, nemlig bestemmelsen af længdegraden til søs via sfærisk geometri.

Gennem denne øgede effektivitet af den engelske koloniseringsproces kunne landet bedre efterleve merkantilismens principper om selvforsyning og positiv handelsbalance. Med opfindelsen fik England adgang til mange værdifulde råstoffer, slaver og store landområder. Ved at have monopol på mange af disse råstoffer kunne varerne sælges dyrt til andre lande, og den engelske statskasse fyldtes hurtigt. Af min diskussion ses det således, at opfindelsen af H4 og H5 sandsynligvis muliggjorde det for englænderne at udvide deres imperium hurtigere end hvis opfindelsen ikke havde været tilgængelig.

Perspektivering:

Den massive fremgang indenfor videnskaberne og industrien siden det 18.åhr. har ført til langt mere præcise og sikre søkort og navigationsmetoder. Man har nu elektroniske søkort og satellitbaserede navigationssystemer, der løbende angiver skibets position med stor nøjagtighed. Denne udvikling har ført til at de fleste af de klassiske navigationsmetoder og instrumenter er gået ud af brug. Man navigerede faktisk kun ved brug af chronometre i omkring 100år før der kom andre metoder på banen. Det blev dog brugt indtil 1. verdenskrig hvor radioen blev opfundet og elektronisk navigation blev mulig. Radioen videregiver signaler om ens position på jorden ved hjælp af radiobølger. Systemet består af flere radiosendere med en kendt position, disse udsender et signal til skibet og ved at bestemme frekvensforskellen imellem to eller flere tårne kan stedlinjerne beregnes.

41

Manden det målte længdegraden s. 154

42

Manden det målte længdegraden s.166

Side 22

22

Denne metode var ganske præcis hvis man benyttede sig af den rette frekvens, da dette havde stor effekt på signalernes rækkevidde og stedlinjernes nøjagtighed.

Bølger med en høj frekvens udbredes efter rette linjer og giver derfor en meget større nøjagtighed end bølger med lav frekvens. Denne såkaldte radiopejling er stort set gået ud af brug, da denne også er blevet erstattet af ny teknologi.

De fleste mennesker i den moderne vestlige verden er bekendte med en GPS, mange har endda en i deres bil og på mobilen. Der er dog ikke mange der kender til dens virkemåde og oprindelse.

Det første satellitsystem TRANSIT blev åbnet for civiltrafik i 1967 og var operativt indtil 1998.

Sidenhen har det amerikanske NAVSTAR GPS og det russiske GLONASS været hovedsystemerne for satellitnavigation. Det amerikanske GPS, består i 2010 af 30 satellitter og en central kontrolstation, der styres fra jorden. Disse bevæger sig i seks forskellige cirkulære baner om jorden, og det giver 6-8 aktive satellitter hvorudfra man kan få sin position beregnet. Der er altså nok backup-satellitter selv hvis en skulle fejle. Hver af disse 30 satellitter udsender et signal om dens position og dens nøjagtige tid målt ved et atomur. Dette signal modtages af en computer på jorden der beregner afstanden til hver satellit ved at sammenligne afsendelses- og modtagelsestidspunktet.

Når en computer har modtaget signaler fra fire forskellige satellitter får den fire ligninger med fire ubekendte. Disse svarer til længdegraden, breddegraden, satellittens højde fra jordoverfladen, og den nøjagtige tid. Hvis man ser på disse oplysninger ses det at det også er disse der brugtes indenfor den sfæriske geometri i 1700-tallet. Her er satellitten dog vores fikspunkt i stedet for en stjerne.

Der har således været en betydelig fremgang indenfor navigationen, der bunder i den generelle udvikling af teknologi, siden Harrisons opfindelse af H4. Det bør dog ikke glemmes at Harrisons opfindelse gjorde det muligt for søfarende at bruge den sfæriske geometri i første omgang, og siden alle de efterfølgende metoder bygger på denne matematiks anvendelse. [43]

43

Den store Danske – Se litteraturliste under websider.

Side 23

23

Litteraturliste

• Sobel, Dava: Manden der målte længdegraden. 1. udg. Borgen, 1997. (Bog)

• Thirslund, Søren : Navigationens Historie, Træk af navigationens historie. Bind 1. 1. udg.

Gullandes Bogtrykkeri a-s, Skjern, 1987. (Bog)

• Thirslund, Søren: Navigationens Historie, Træk af navigationens historie. Bind 2. 1. udg.

Gullandes Bogtrykkeri a-s, Skjern, 1988. (Bog)

• Thirslund, Søren: Navigationens Historie, Træk af navigationens historie. Bind 3. 1. udg.

Gullandes Bogtrykkeri a-s, Skjern, 1989. (Bog)

• Whitrow, G.J.: Time in History. 1. udg. Oxford University Press, 1988. (Bog)

• Almanak 2008, Skrive- og rejsekaldener . Redigeret af: Nils Koudahl og Joakim Groth. 1.

udg. Schultz Grafisk, 2007. (Bog)

• Betts, Jonathan: Harrison. 2. udg. National Maritime Museum Greenwich, 2007. (Bog)

• Øhrstrøm, Peter: Tidens gang i tidens løb. Side 59-77. 3. udg. Schølin Grafisk ApS Aalborg,

1999. (Bog)

• Vestergaard, Erik: Astronomisk Navigation- sfærisk geometri i anvendelse. 1. udg. Jelling

Bogtrykkeri A/S, 1997. (Bog)

Hjemmesider:

• http://www.matematiksider.dk/navi_principper.html

• http://www.denstoredanske.dk/Bil,_b%C3%A5d,_fly_m.m./S%C3%B8fart/Navigation/navigation/n
avigation_(Navigation_til_s%C3%B8s)/navigation_(Navigation_til_s%C3%B8s_-_Historie)

• http://www.denstoredanske.dk/It%2c_teknik_og_naturvidenskab/Elektronik%2c_teletrafik_og_kom
munikation/Antenner_og_b%c3%b8lger/GPS
• http://www.denstoredanske.dk/Bil%2c_b%c3%a5d%2c_fly_m.m./S%c3%b8fart/Navigation/navigat
ion/navigation_(Navigation_til_s%c3%b8s)/navigation_(Navigation_til_s%c3%b8s_-

_Elektronisk_navigation)

Side 24

24

Bilag:

Figurer fra Vestergaard, Erik: Astronomisk Navigation- sfærisk geometri i anvendelse. 1. udg. Jelling

Bogtrykkeri A/S, 1997. (Bog)

:

Side 25

25

Side 26

26

Bilag – Matematikken –De sfæriske cosinus og sinusrelationer

Sfæriske cosinus og sinusrelationer

Indenfor sfærsisk geometri gælder der nogle andre formler for trigonomiske beregninger end dem i plantrigonometrien. Man kan, ved at se på ændringerne i koordinaterne for timevinkel- og horisont systemet udlede de væsentlige relationer mellem vinklerne og længderne i en sfærisk trekant. Da det er rumgeometri vi har med at gøre er det nøvendigt at drage på vores viden om beregning af vektore i rummet. Regnereglerne og formlerne for disse er dog ikke metaget men kan findes i en matematikbog for A-niveau i gymnasiet.

Koordinaterne fra koordinatsystemerne kaldes henholdsvis (x, y, z) og (x^{’}, y^{’}, z^{’}). Vinklen A i

                                 ’  ’ ’
trekanten beskriver hvor mange grader (x , y , z ) har roteret om x-aksen. Et vilkårlig valgt punkt P’s

position, i en enhedscirkel med radius på 1, givet ved to vinkler. Viklen B skildre hvor langt punktet er drejet fra x-aksen. Det viser også hvordan punktet er drejet langs niveauet for x & y. Det er nu givet at vinkel C beskriver hvor meget det vilkårlige punkt er hævet over xy niveauet. Vi skal nu have dannet to retvinklede trekanter og dette opnås ved at vi nedsætter nu punktet P på xy niveauet.

Ud fra P’s projection dannes en linje vinkelret hen imod x-aksen. Ned langs x-aksen ligger den hosliggende katete Cos<B. Den hosliggende katete til vinklen C, Cos<C, kan ud fra dette beskrives

ved 𝑂𝑃_{𝑥𝑦 𝑛𝚤𝑣𝑒𝑎𝑢}: 𝑂𝑃 = 1cosC.

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝑥𝑦 𝑛𝚤𝑣𝑒𝑎𝑢} ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

For vores retvinklede trekant kan forholdet mellem de forskellige sider opstilles for vinklen C ved denne formel: 𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡å𝑒𝑛𝑑𝑒 ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒𝑛

= sinC ↔ modstående = hypotenusen ꞏ sinC

Man kan nu drage at der tilsvarende må gælde: ℎ𝑜𝑠𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒 = ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝐶

Vi mangler at finde koordinaterne til x og y. Disse bestemmes ved at betragte den bue der strækker sig over vinklen. Denne svarer til afstanden mellem den projekterede P, og x-aksen. For koordinaterne til y gælder samme princip. Til punktet P beskrives x & y-koordinaterne således:

𝑂𝑃_{𝑥𝑦 𝑛𝚤𝑣𝑒𝑎𝑢} = 1cosC

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

y = 𝑂𝑃_{𝑥𝑦 𝑛𝚤𝑣𝑒𝑎𝑢} cosB

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

y = 1 cosC cosB

Side 27

27

𝑂𝑃_{𝑥𝑦 𝑛𝚤𝑣𝑒𝑎𝑢} = 1cosC

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

x = 𝑂𝑃_{𝑥𝑦 𝑛𝚤𝑣𝑒𝑎𝑢} cosB

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

x = 1 cosC cosB

Idet vi nedlagde punktet P på xy niveauet blev der også dannet en anden trekant. For beregning på denne trekant følger man samme procedure som for foregående. Man foretager en vinkelret projection af P til y-aksen. Vi betegner linjen, den modstående katete til vinklen B, som sinB.

𝑃𝑃_{𝑥𝑦 𝑛𝚤𝑣𝑒𝑎𝑢} =Projektionen af P. Denne svarer til den modstående katete til vinklen C.

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Koordinaterne for siden z kan skrives altså sinC. [44]

                                         ’  ’ ’                     ’    ’
Det er gennerelt accepteret at antage at vinklerne (x , y , z ) fortolkes som analog til B og C .

I de sfærsike koordinatsystemer betegnes de rektangulære koordinater til et vilkårligt punkt således:

x = cosB cosC x = cosB^{’} cosC^{’}

’

y = sinB cosC y = sinB^{’} cosC^{’}

’

z = sinC z = sinC^{’}

’

Ved at rotere siden yz i koordinatsystemet har vi fået nye koordinater til siden P. Ved denne rotation roteres y- & z-aksen i negativretning omkring vinklen A. x-koordinaterne forbliver dog de samme, da x-aksen ikke ændre sin position. Betragt fiugr 1 [45]

De tidligere y-koordinater bliver nu større eftersom de er blevet forskudt. Efter at være blevet roteret omkring <A, ændre y-aksen sig nu til y’-aksen.

Den hosliggende katete til vinklen A, der roterer y-aksen betegnes som y,CosA. Dette bruges til beskrivelse af det nye punkt.

 ’                                               ’
y -koordinater til et ubestemt punkt P bestemmes således: y = y cosA + z sinA

Samme fremgangsmåde benyttes nu på z’-koordinaterne af P. Da der her roteres mod venstre over i den negtive del af x-aksen er de nye koordinater negative. Man skal derfor huske at den modstående katete til vinklen A, skal subtraheres og ikke adderes.

 ’                                  ’
z -koordinaterne for P bestemmes således: z = - y sinA z cosA

44

http://www.matematiksider.dk/sfaere/tillaeg.pdf

45

http://www.matematiksider.dk/sfaere/tillaeg.pdf

Side 28

28

P’s nye koordinater der ved en rotation af yz niveauet nu er bestemt ud fra de gamle vil betegnes således:

x^{’} = x

y^{’} = y cosA + z sinA

z^{’} = - y sinA + z cosA

Ved at indsætte disse i koordinater ind i vores formler for de rektangulære koordinater fra før fås:

cosB^{’} cosC^{’} = cosB cosC

sinB^{’} cosC^{’} = sinB cosC cosA + sinC sinA

sinC^{’} = - sinB cosC cosA + sinC cosA

Vi har nu fundet en måde at beregne ud fra et vilkårligt punkt i en trekant. I et kombineret koordinatsystem, bestående af horisontsystemet og timevinkelsystemet, med koordinaterne (x, y, z)

og (x^{’}, y^{’}, z^{’}) som vi allerede har arbejdet med, indtegnes den sfæriske trekant.

(Bemærk at den sfæriske trekant der her er skabt hedder ABC, i stedet for OPZ.)

Om at bestemme siderne i en sfærisk gælder følgende:

Vi ved at deklinationen af P er 90° og at deklinationen af O er d. Der må om siden OP derfor gælde:

𝑂𝑃 = 90° − 𝑑

Vi kan på analog vis slutte at Z har højden 90° og O har højden h. Der må om siden OZ derfor gælde:

𝑂𝑍 = 90° − ℎ

Vi kan ud fra fig.2, hvor situationen er set fra siden, se at der om siden PZ gælder:

𝑃𝑍 = 90° − 𝑏

For at bestemme timevinklen i den astronomiske trekant gælder der en række sfæriske geometriske formler. Se. Figur 11.

Side 29

29

Figur 11 Enhver sfærisk trekant opfylder

(F1) cos(a) = cos(b) cos(c) + sin (b) sin(c) cos(A)

(F2) sin(a) sin(B) = sin(b) sin(A)

(F3) sin(a) cos(B) = cos(b) sin(c) – sin(b) cos(c) cos(A)

(F4) cos(A) = - cos(B) cos(C) + sin(B) sin(C) cos(a)

(F5) sin(A) cos(b) 0 cos(B) sin(C) + sin(B) cos(C) cos(a)

(F1) er en såkaldt (sfærisk) cosinusrelation for sider, (F2) en (sfærisk) sinusrelation og (F4) en

(sfærisk) cosinusrelation for vinkler. Bemærk, at hver af ovenstående fem relation her en række

                                                 46
”søsterrelationer”, som fremkommer ved bogstavombytning.

46

Astronomisk navigation s.16