SRP: Kryptering og Enigma i Anden Verdenskrig

Side 1

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

1

Kryptologi og anden verdenskrig

Abstract

This paper concerns the breaking of the German Enigma cipher during the 2nd World War and the many advantages of having secure encryption communication. The British cipher department at Bletchley Park broke the Enigma cipher during the war, despite the Enigma-system getting upgrades to increase security. The Allies mainly used the gathered military intelligence to divert their own supply convoys from the German submarines, who unsuccessfully tried to cut off Britain from its' crucially important supply lines. With a superior economy and production of new ships as well as using the military intelligence from the deciphered German communication, the Allies won the Battle of the Atlantic, which eventually made it possible to invade France as early as 1944.

Without Enigma, the war would have been far more bloody and would approximately have lasted an additional 2-4 years.

Side 2

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

2

Indhold

Abstract ............................................................................................................................................................. 1 Indledning .......................................................................................................................................................... 3 Introduktion af begreber og grundlæggende koncepter .................................................................................. 3 Monoalfabetiske kryptosystemer ..................................................................................................................... 5 Permutationskryptosystemet ........................................................................................................................ 5 Angreb på monoalfabetiske kryptosystemer ................................................................................................ 6 Polyalfabetiske kryptosystemer ........................................................................................................................ 8 Vigenére-systemet ......................................................................................................................................... 8 Angreb på "Le carré Indéchiffrable" - Teori................................................................................................ 10 Kasiski Testen .............................................................................................................................................. 11 Angreb på Vigenére-systemet i praksis ....................................................................................................... 12 Enigma ............................................................................................................................................................. 13 Enigma brydes ............................................................................................................................................. 15 Slaget om Atlanten 16

USA kommer med ........................................................................................................................................ 17 Enigma og Operation BODYGUARD ............................................................................................................. 19 Kontrafaktuel diskussion - Hvad nu hvis? .................................................................................................... 19 Perspektivering ................................................................................................................................................ 21 Konklusion ....................................................................................................................................................... 22 Litteraturliste ............................................................................................................................................... 23 Bilag ................................................................................................................................................................. 24 Bilag 1 .......................................................................................................................................................... 25 Bilag 2 .......................................................................................................................................................... 26 Bilag 3 (opgave 1) ........................................................................................................................................ 26 Bilag 4 (opgave 2) ........................................................................................................................................ 27 Bilag 5 (opgave 2) ........................................................................................................................................ 28 Bilag 6 (opgave 2) ........................................................................................................................................ 29 Bilag 7 .......................................................................................................................................................... 30 Bilag 8 .......................................................................................................................................................... 31 Bilag 9 .......................................................................................................................................................... 32 Bilag 10 (opgave 3) ...................................................................................................................................... 32

Side 3

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

3

Indledning

I årtusinder har ledere været afhængige af effektiv kommunikation for at kunne regere over deres land og deres hære. Konsekvensen ved at en meddelelser ender i det forkerte hænder kan være knusende, hvilket netop var tanken bag opfindelsen af kodesproget. Siden dette blev opfundet har det været en konstant kamp mellem kodemagere og kodebrydere, hvilket kampen mellem det britiske chifferbureau i Bletchley Park og den tyske Enigma kodemaskine er et godt eksempel på.

Men hvordan lykkedes det briterne at bryde det meget avancerede Enigma-system, og hvilken indflydelse havde dette på ubådskrigen på Atlanterhavet, samt for slutningen af 2. Verdenskrig?

Dette vil blive diskuteret i følgende opgave, hvor en matematisk gennemgang af simple kryptosystemer tjener til en forståelse for hvor stor en bedrift brydningen af Enigma var, og betydningen af at have indsigt i fjenders efterretninger under krig.

I det følgende vil arbejdet med at bryde den tyske krypteringsmaskine Enigma blive undersøgt vha.

en grundig redegørelse for Enigma-systemets kombinatorik, herefter vil opgaven fokusere på Slaget om Atlanten () og give en grunding analyse omkring omstændighederne for hvorfor de allierede vandt dette slag. Slutteligt vil der blive konkluderet på hvor stor betydning brydningen af Enigma faktisk havde for Slaget på Atlanten samt på slutningen af 2. Verdenskrig, med en vurdering om de kryptosystemer vi benytter i dag er sikre og hvorfor.

Introduktion af begreber og grundlæggende koncepter

Ved enhver form for kommunikation, altså en overførsel af data, er der en risiko for at denne meddelelse bliver aflyttet og ender i de forkerte hænder. Dette kunne fx være vigtige beskeder af militær relevans eller anden omtålelig data som fx bankoplysninger. Derfor kan det være nødvendigt at sløre eller kode sin besked, således den bliver ulæselig for uvedkommende. Denne proces kaldes enkryptering, og er blevet benyttet af militæret og regeringer siden antikken [1].

Ligeledes kaldes det omvendte, altså at afkode en krypteret, ulæselig besked, at dekryptere.

                                       2
I kryptologi er der tre termer som er helt centrale :

1

Peter Landrock & Knud Nissen "Kryptologi" s. 9; citat af Suetonius (ca. 70-140 e.Kr) i "Divus Julies Caesar" (kap. 58)

2

Mikkel Kamstrup Erlandsen, Aarhus Universitet "Introduktion til Kryptologi", side 2 (kap. 1.2)

Side 4

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

4

1. Klarteksten, som er den originale besked som ønskes sendt. Denne besked er ikke krypteret og kunne fx være en besked fra en regering til en general eller bankoplysninger.

2. Kryptoteksten, som er den krypterede, slørede tekst. Denne er derfor fuldstændig ulæselig.

3. Nøglen, som er et tal eller en tekststreng benyttet til at kryptere og dekryptere klarteksten.

Eksempel 1: Følgende afsnit er baseret på "Eksempel 1.1" i Mikkel Kamstrup Erlandsen

"Introduktion til Kryptologi" side 3.

En person A ønsker at sende en person B den hemmelige besked "Angrib fra øst". Denne besked kalder vi m efter det engelske "message". Altså:

m = ANGRIB FRA ØST

Beskeden m står således som klartekst. For at kryptere beskeden, vil vi nu substituere hvert bogstav med det foregående i alfabetet, således A bliver til Å, N bliver til M, G bliver til F osv. Denne funktion kaldes e efter det engelske "encryption". Vi har da:

e(m) = ÅMFQHA EQÅ ÆRS

Som det kan ses er kryptoteksten e(m) fuldstændig ulæselig. For at gøre kryptoteksten læselig igen, skal vi benytte en ny funktion d (fra det engelske "decryption"), som substituerer et bogstav med det foranstående, således Å bliver til A. Vi ser at benyttes denne funktion på e(m) fås klarteksten m:

m = ANGRIB FRA ØST
e(m) = ÅMFQHA EQÅ ÆRS
d(e(m)) = ANGRIB FRA ØST

Det noteres at person A skal kende beskeden m samt krypteringsfunktionen e. Ligeledes skal person B kende dekrypteringsfunktionen d samt kryptoteksten e(m) for at få klarteksten m tilbage.

                                                                           3
Ved at indføre det centrale begreb nøgle i funktionerne e og d, kan vi definere et kryptosystem ;

I et kryptosystem gælder det, at det består af en mængde nøgler K. For enhver nøgle 𝑘 ϵ 𝐾 skal findes en krypteringsfunktion e og en dekrypteringsfunktion d, således at der for enhver klartekst k k

m gælder at d (e (m)) = m.

k k

3

Mikkel Kamstrup Erlandsen, Aarhus Universitet "Introduktion til Kryptologi", side 3

Side 5

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

5

I ovenstående det eksempel 1 noteres det at nøglen k er den samme brugt i krypteringsfunktionen e k som i dekrypteringsfunktionen d. Dette kaldes et symmetrisk kryptosystem.

k

Monoalfabetiske kryptosystemer

Følgende afsnit er baseret på Mikkel Kamstrup Erlandsen "Introduktion til Kryptologi" side 4 samt Peter Landrock & Knud Nissen "Kryptologi - fra viden til videnskab".

Kryptosystemet anvendt i Eksempel 1 kaldes Cæsar-substitution, idet den romerske feltherre Julies Caesar benyttede sig af denne simple form for kryptering [4]. Systemet er et monoalfabetisk kryptosystem, da kun ét kryptoalfabet er anvendt. I stedet for blot at substituere bogstavet én plads bagude, kan man ligeledes bestemme et tal 𝑘 ϵ ℕ og tælle k pladser bagud og substituere dette bogstav. Tallet k kaldes også kryptosystemets skift. Her ses kryptoalfabetet for Cæsars kryptosystem med et skift på 3:

Klartekstalfabet: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZÆØÅ

Kryptoalfabet, k = 3: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZÆØÅ

Enkrypteringsfunktionen e tæller således tre pladser tilbage og substituerer dette. Ligeledes tæller

3 dekrypteringsfunktionen d tre pladser frem og substituerer denne. Ser vi på antallet af nøgler 𝑘 ϵ

3 finder vi, at krypteringen med et skift på 30 og et skift på 1 vil give den samme kryptering. Faktisk

vil alle k på formen k + 29p, hvor 𝑝 ϵ ℤ give den samme kryptering. Dette skyldes at der kun er 29

bogstaver i det danske alfabet. Dette giver derfor kun 29 forskellige nøgler, hvoraf én vil være

triviel, da k = 0 giver ingen kryptering. Sådan et system kaldes et additivt kryptosystem.

Sikkerheden i Cæsars kryptosystem er derfor meget ringe pga. den meget begrænsede mængde nøgler. Dette skyldes imidlertid ikke udelukkende, at kun ét kryptoalfabet er benyttet i kryptosystemet.

Permutationskryptosystemet

Substitutionen i et kryptosystem behøver ikke nødvendigvis at være systematisk som i Cæsars kryptosystem. Ser vi på permutationskryptosystemet [5], som altså også er et monoalfabetisk kryptosystem, er antallet af nøgler drastisk øget idet rækkefølgen af bogstaver i kryptoalfabetet er

4

http://en.wikipedia.org/wiki/Caesar_cipher#History_and_usage

5

Peter Landrock & Knud Nissen "Kryptologi" side 22-23.

Side 6

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

6 ligegyldig og uden struktur. Man vælger således en fuldstændig tilfældig rækkefølge af substitutioner. Vi betragter dette system:

Klartekstalfabet: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZÆØÅ

Kryptoalfabet: NEVFGOQDJLÅPSÆHTUKWXYZØRMAIBC

Da enhver konfiguration af den nederste række giver en ny nøgle, er antallet af mulige nøgler

, altså mange gange flere end de 29 i Cæsars additive kryptosystem. Trods det store antal nøgler i dette kryptosystem, skal vi nu se hvorfor det heller ikke er spor sikkert.

Angreb på monoalfabetiske kryptosystemer

Svagheden i de monoalfabetiske kryptosystemer ligger i sproget, da nogle bogstaver vil forekomme oftere end andre, fx bruger vi på dansk E, R, N og T langt hyppigere end X, Z, W og Q [6]. Vi har altså ikke en fuldstændig jævn frekvensfordeling i en dansk tekst. Her ses standardfordelingen for

              7
en dansk klartekst :

Data til frekvensfordelingen er fra Peter Landrock & Knud Nissen "Kryptologi - fra viden til videnskab" side 26, hvilket det følgende afsnit også er baseret på.

Som det kan ses på frekvensfordelingen, forekommer bogstavet E langt hyppigere end alle andre bogstaver. Dette kan nemt udnyttes i et monoalfabetisk kryptosystem, da kun ét kryptoalfabet er anvendt, og derfor vil frekvensfordelingen af en meddelelse krypteret med et sådant system tilnærmelsesvis være bevaret, idet kryptoalfabetet blot er en permutation af klartekstalfabetet.

6

Peter Landrock & Knud Nissen "Kryptologi" side 26.

7

Se bilag 2.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z æ ø å

Frekvens (standard)

Side 7

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

7

Derfor vil enhver forekomst af bogstavet E i klarteksten være krypteret på samme måde. Altså, vil det hyppigst forekomne bogstav i kryptoteksten med størst sandsynlighed svare til E i klarteksten.

For Cæsars kryptosystem betyder dette, at hvis bogstavet E nemt kan bestemmes ved en frekvensanalyse, kan kryptosystemets skift bestemmes da vi allerede kender kryptoalfabetets rækkefølge. Således kan nøglen k bestemmes og kryptoteksten kan dechifreres.

Nedenstående eksempel demonstrerer dette; Kryptoteksten kan findes i Bilag 1 Opgave 1. Det er oplyst i opgaven, at det monoalfabetiske Cæsarsystem er det benyttede kryptosystem.

Frekvensanalysen er lavet over kryptoteksten i Opgave 1 Bilag 1. Sammenligner man standardfordelingen på foregående side med frekvensanalysen af denne kryptotekst, ses det tydeligt at denne er forskudt med 2, idet E-pinden er placeret i G, og at den letgenkendelige R-S-T-blok er

placeret i T-U-V; Der er altså benyttet et skift på 2. Nøglen bliver derfor k = 2.

Benyttes dekrypteringsfunktionen på kryptoteksten, fås klarteksten til:

ALAN TURING, BRITISK MATEMATIKER SOM HAR GIVET VIGTIGE BIDRAG TIL

DATALOGIENS GRUNDLAG. HAN VAR DEN FØRSTE DER FORMULEREDE BEGREBET

EN PROGRAMMERBAR COMPUTER ENCYCLOPYDIEN.

NB: For overskuelighedens skyld har jeg tilføjet mellemrum mellem ordene, samt punktegn. Disse er ikke at finde i kryptoteksten! Det skal desuden noteres at der er begået en mindre fejl i kryptoteksten.

Det sidste ord i klarteksten, "Encyclopydien" skulle højest sandsynligt være "Encyklopædien".

Kryptoteksten skulle altså være "GPEÆMNQRÅFKGP" i stedet for "GPEÆENQRÆFKGP".

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z æ ø å

Frekvensanalyse: Opgave 1

Side 8

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

8

Langt sværere bliver det dog hvis det monoalfabetiske permutationssystem er benyttet, idet rækkefølgen i kryptoalfabetet er helt tilfældig [8]. Man må derfor sammenligne hvert enkelt bogstav i frekvensanalysen med standardfordelingen, hvilket kun kan gøres hvis kryptoteksten er meget lang, da frekvenserne ellers vil være for upræcise. Man kan dog se på bogstaverne R, N og T, da de alle har en høj frekvens på omkring 8%, og derfor er gode at se på, når permutationen af klartekstbogstavet skal findes. Derudover er det en vigtig pointe at visse bogstavkombinationer benyttes hyppigere end andre, fx "ER","DE","EN" og "DET", "DEN", "DER" osv. Man kan således ofte gætte sig til nogle bogstaver, og alt i alt vil det ikke tage langt tid før denne kode er knækket.

Fælles for de monoalfabetiske kryptosystemer er deres "ringe" sikkerhed, men trods dette blev de monoalfabetiske kryptosystemer benyttet helt op til1700-tallet [9], trods opfindelsen af et langt stærkere, og kompliceret kryptosystem.

Vi skal nu se på mere komplicerede kryptosystemer, hvor flere kryptoalfabeter er benyttet, således at man får flere repræsentationer for det samme bogstav i klarteksten - de såkaldte homofoner. Vi skal nu se på de polyalfabetiske kryptosystemer.

Polyalfabetiske kryptosystemer

Det var dog først i 1400-tallet at idéen med at bruge flere kryptoalfabeter blev beskrevet af den florentinske polyhistor Leon Battista Alberti. Han skitserede et system hvor man skiftevis benyttede to forskellige kryptoalfabeter, hvilket ville forvirre en eventuel kryptoanalytiker, da man i et sådant system ikke kan få noget fornuftigt ud af en almindelig frekvensanalyse, pga. homofonerne [10].

Dette system blev forfinet gennem tiden, indtil Blaise de Vigenére (1523-96) kom på sit geniale "Le carré Indéchiffrable" - Det ubrydelige kvadrat.

Vigenére-systemet

Vigenére-kryptosystemet er bygget op omkring Vigenére-kvadratet, som er opbygget af 29 kryptoalfabeter af Cæsar-typen, hver forskudt med én position i forhold til det foregående (et fortløbende skift på 1). Nedenfor ses Vigenére-kvadratet [11].Vigenére Kvadratet:

8

Peter Landrock & Knud Nissen "Kryptologi" side 27.

9

Simon Singh "Kodebogen" side 369.

10

Simon Singh "Kodebogen" side 59-60.

11

Peter Landrock og Knud Nissen "Kryptologi" side 36.

Side 9

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

9

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å

A A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å

B B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A

C C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B

D D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C

E E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D

F F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E

G G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F

H H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G

I I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H

J J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I

K K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J

L L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K

M M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L

N N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M

O O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N

P P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O

Q Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P

R R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q

S S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R

T T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S

U U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T

V V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U

W W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V

X X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W

Y Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X

Z Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y

Æ Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Ø Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ

Å Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø

For at benytte Vigenére-kvadratet skal en nøgle k bestemmes. I dette system er nøglen en tekststreng, som kun afsenderen og modtageren kender. Nøglen i følgende eksempel vil være ordet "KLO". Dette betyder at kryptoalfabeter startende med hhv. "K", "L" og "O" skal benyttes. Disse tre kryptoalfabeter er fremhævet for overskuelighedens skyld. Da tre kryptoalfabeter skal benyttes, siger man at perioden er 3.

Følgende eksempel er baseret på kap 2.8 i Peter Landrock & Knud Nissen "Kryptologi - fra viden til videnskab" side 36-37.

Eksempel 2

Nu skrives nøglen, "KLO", gentagne gange over klarteksten, således der er lige mange bogstaver i nøgle-rækken som i klarteksten. Vi ønsker altså at kryptere meddelelsen "Angrib fra øst igen" ved brug af nøgleordet "KLO":

Side 10

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

10

nøgle = KLOKLO KLO KLO KLOK
m = ANGRIB FRA ØST IGEN

Vigenére-kvadratet skal forstås således at det øverste horisontale alfabet, markeret med grå, er "klartekst-alfabetet" mens det vertikale alfabet, også markeret med grå, er "nøgle-alfabetet." For at kryptere det første bogstav A i klarteksten, opsøges A i klartekst-alfabetet og K i nøgle-alfabetet.

Det bogstav som står hvor de to rækker skærer, er det krypterede bogstav. Til det andet bogstav opsøges N i klartekst-alfabetet og L i nøgle-alfabetet.

Den krypterede meddelelse bliver derfor:

e(m) = K Y U Ø T P P Å O I A E S R S X

Det meget interessante ved denne kryptering er, at både "B" og "F" i klarteksten, bliver krypteret til P i kryptoteksten samt at både "I" og "E" i klarteksten, bliver krypteret til S. Dette skyldes at det samme bogstav kan krypteres med 29 forskellige monoalfabetiske kryptosystemer, hvilket skaber

29 homofoner for ethvert bogstav. Man kan derfor ikke benytte sig af frekvensanalysen som vi benyttede tidligere - i hvert fald ikke uden at tage højde for de forskellige alfabeter!

Angreb på "Le carré Indéchiffrable" - Teori

At bryde Vigenére-systemet går alt sammen ud på at bestemme perioden, altså længden af nøgleordet [12]. Hvis perioden bestemmes, kan man dele kryptoteksten op i et antal rækker, hvor alle bogstaver i hver række er krypteret med det samme monoalfabetiske kryptoalfabet. Man må huske på, at Vigenére-systemet blot er opbygget af 29 monoalfabetiske kryptoalfabeter af Cæsartypen.

Hvis nøgleordet fx er 3, vil det 1., 4.,7. osv. bogstav derfor være krypteret med det samme kryptoalfabet. Ligeledes gælder det for rækkerne 2., 5., 8. og 3., 6., 9. at de hhv. er krypteret med det samme kryptoalfabet.

Når perioden er bestemt, laver man blot en frekvensanalyse over én række ad gangen og sammenligner denne med standardfordelingen af en dansk klartekst. Således kan man bestemmes systemets skift, og dermed bestemme hvilket kryptoalfabet der er benyttet til at kryptere den pågældende række. Denne proces gentages for de øvrige rækker.

Det egentlige problem er altså at bestemme et Vigenére-kryptosystems periode, for hvis denne er kendt kan kryptoteksten nemt deles op i rækker med samme monoalfabetiske kryptering. Der er

12

Peter Landrock & Knud Nissen "Kryptologi - fra viden til videnskab" side 40

Side 11

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

11 flere metoder til dette, bl.a. "Friedmans Test" [13] og "Kasiski testen". Vi skal nu se nærmere på

Friedrich W. Kasiski's geniale analysemetode, Kasiski Testen!

Kasiski Testen

Metoden blev oprindeligt opfundet fuldstændigt uafhængigt af den geniale matematiker Charles Babbage omkring 10 år før Friedrich Kasiski i 1863 beskrev systemet i bogen "Die Geheimschriften

                     14
und die Deschiffrir-Kunst" .

                                                                    15
Denne metode går ud på at analysere kryptoteksten, og lede efter gentagne sekvenser . Idéen er, at

hvis identiske sekvenser i klarteksten optræder, bliver de almindeligvis krypteret forskelligt i kryptoteksten. Kun hvis positionen af de to ens sekvenser er således, at krypteringen foregår med de samme bogstaver fra nøglen, vil en gentaget sekvens opstå.

Et simpelt eksempel til at demonstrere dette. Nøgleordet er det samme som i Eksempel 2:

nøgle = KLOKLOKLOK LOK LO KLOK

m = KJØBENHAVN HAR EN HAVN

Det noteres at begge forekomster af ordet "HAVN" i klarteksten krypteres ved alfabeterne K-L-O- K. Dette giver identiske sekvenser i kryptoteksten:

e(m) = UUMLPØRLGX SOØ PØ RLGX

Som det kan ses gentages sekvenserne "PØ" for klarteksten "EN", og sekvensen "RLGX" for klarteksten "HAVN". Man skal nu se på afstanden mellem disse sekvenser, da denne afstand vil være et multiplum af perioden. Perioden er med andre ord en divisor i afstanden mellem identiske

sekvenser^{16}.

Det noteres at afstanden mellem begge ovenstående sekvenser er 9. Perioden kan altså enten være 3 eller 9, hvilket er korrekt da vi ved at perioden er 3, nemlig "KLO". På større mængder kryptotekst bliver det betydeligt nemmere at bestemme perioden ud fra Kasiski testen.

Da gentagne sekvenser i kryptoteksten også kan skyldes tilfældigheder, og ikke blot gentagne sekvenser i klarteksten, ser man oftest bort fra sekvenser under 4 bogstaver.

13

Peter Landrock & Knud Nissen "Kryptologi - fra viden til videnskab" side 43-47

14

Simon Singh "Kodebogen" side 92

15

Peter Landrock & Knud Nissen "Kryptologi - fra viden til videnskab" side 41

16

Peter Landrock & Knud Nissen "Kryptologi - fra viden til videnskab" side 42

Side 12

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

12

Vi skal nu angribe kryptoteksten fra opgave 2 i bilag 1, som er krypteret med Vigenére-systemet.

Angreb på Vigenére-systemet i praksis

For at bestemme perioden skal man som sagt se på gentagne sekvenser. Dette er en svær opgave at gøre manuelt, og en computer kan med fordel benyttes til dette formål. Jeg har benyttet et sekvensanalyse-redskab [17], som meget overbevisende [18] har bestemt perioden til 3. Dette stemmer overens med opgaveformuleringen, idet det her oplyses at perioden virkeligt er 3.

Da perioden nu er kendt kan kryptoteksten deles op i tre rækker. Nøgleordet, som vi for nu blot kalder L1-L2-L3, er stadig ukendt. Et udsnit af den første række kan ses her:

(1) JVVDIATDRASKDMEENKMBHMOEUOITHEIATEESOIKESLD...

19

Ved at sammenligne frekvensanalysen over hele række 1 med standardfordelingen i en dansk klartekst [20], ses det tydeligt at kryptoalfabetet benyttet er det samme som klartekstalfabetet, da både E, og R-S-T-blokken ligger hvor de skal. Alfabetet benyttet til at kryptere række 1 er altså det først alfabetet i Vigenére-kvadratet, A-alfabetet. Det første bogstav i nøgleordet er altså A.

Denne proces gentages for de øvrige to rækker. Nøgle ordet bestemmes til A-B-E, ved at se på rækkernes skift. De tre alfabeter benyttet på skift til at kryptere meddelelsen er altså A-alfabetet, B-alfabetet og E-alfabetet.

17

http://www.simonsingh.net/The_Black_Chamber/vigenere_cracking_tool.html

18

Se bilag 4

19

Samtlige komplette rækker (1), (2) og (3) findes i bilag 6

20

Se bilag 2

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z æ ø å

Frekvens (L1)

Side 13

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

13

For overskuelighedens skyld har jeg delt ordene op. Meddelelsen i klartekst bliver således:

JEG VAR VENDT TILBAGE TIL DJURSLANDS BAKKEDE SMILENDE LANDSKAB MED

BLÅ HIMMEL OG REN LUFT OG TIL STILHEDEN TILBAGE TIL ENGENES RO OG

TIL SKOVENS STILHED JEG VENTEDE PÅ POSTBILEN EN AF DAGENS STORE

BEGIVENHEDER I DAG ER DER BREV FRA CELINE

Den fulde dekrypteringsproces af opgave 2 bilag 1, kan ses i bilag 4-6.

Enigma

Efter kryptoanalytikere som Kasiski og Friedman havde bevist at de foregående århundreders variationer af mono- og polyalfabetiske kryptosystemer ikke længere var sikre, hvilket tyskernes mislykkede offensiv mod Paris i år 1918 kun bekræfter [21], måtte der en ny, stærkere kode til, som var nem og hurtig at anvende. Derfor ledte man efter 1. verdenskrig efter en metode til at mekanisere krypteringen [22]. Løsningen blev den tyske elektro-mekaniske maskine Enigma, designet af ingeniøren Arthur Scherbius. Maskinen var oprindeligt til kommercielt brug, men da den 2.

verdenskrig nærmede sig, adopterede det tyske militær maskinen efter nogle væsentlige opgraderinger. Følgende afsnit er baseret på Lars Vestergaards artikel om Enigma. [23] Enigma-maskinen byggede på et meget avanceret polyalfabetisk kryptosystem. Selve maskinen har et tastatur som vi kender det, hvis knapper er forbundet til et plugboard. En elektrisk impuls sendes igennem denne, videre igennem en serie af 3 rotorer hen til en reflektor, som sender den elektriske impuls tilbage gennem systemet, som til sidst er forbundet til lampepanelet. Dette kredsløb er illustreret i bilag 8.

Plugboardet lokaliseret lige under tastaturet (se bilag 7), og her bliver par af bogstaver byttet om, ved at forbinde dem med ledninger. Idet der er 26 bogstaver i det tyske alfabet, kan der således anvendes mellem 0 og 13 ledninger. Plugboardet var netop den opgradering det tyske militær tilføjede, for at gøre maskinen mere sikker, da denne væsentligt øger maskinens antal af kombinationer. Enigmas overvældende mængde af kombinationer var en af grundene til at tyskerne

regnede den for ubrydelig^{24}.

21

Simon Singh "Kodebogen" side 117.

22

http://www.matematiksider.dk/enigma.html#before_enigma

23

http://www.matematiksider.dk/enigma.html#how_enigma_works

24

Andrew Williams "Slaget om Atlanten" side 130.

Side 14

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

14

Rotorerne (også kaldet scramblere) er nogle hjul med forskellige indre ledningsnetværk. Disse ledningsnetværk er illustreret på rotorerne L, M og N i bilag 8. På hvert hjul er indgraveret de 26 bogstaver i alfabetet, og hvert hjul kunne således indstilles i 26 startpositioner. Hver gang der trykkes på en tast, roterer en eller flere rotorer én position. Dette sikrer at et nyt kryptoalfabet benyttes til hvert bogstav.

Endelig er der reflektoren. Reflektoren betød at maskinen var reciprok, altså hvis man indtaster kryptoteksten med de eksakt samme maskinindstillinger som da beskeden blev krypteret, vil klarteksten lyse op på lampepanelet. Dette muliggjorde hurtig og nem kommunikation, hvilket var essentielt da tusinder af beskeder hver dag blev sendt og modtaget hver eneste dag [25].

Ser man på Enigma-systemets kombinatorik, forstår man at det ikke var helt uden grund at tyskerne havde fuldstændig tillid til Enigma. Til at starte med er der de 3 rotorer hver med 26 mulige

startpositioner. Dette giver 26 ∗ 26 ∗ 26 = 17.576 kombinationer

Disse 3 rotorer kunne arrangeres på 6 forskellige måder i maskinen da 3! = 6. Dette øger antallet af
kombinationer med 6, altså 6 ∗ 17.576 = 105.456 mulige kombinationer. Endelig kommer

plugboardet, som øger antallet af kombinationer drastisk!

Ved hjælp af følgende formel kan antallet af kombinationer K m ud fra m antal ledninger benyttet i plugboardet og n huller i plugboardet med udregnes [26]:

Formelen giver mening, da den ene ende af den første ledning kan sættes i ét af 26 forskellige huller, den anden kan herefter sættes i 25 forskellige huller; deraf de 26! Dette kan naturligvis kun gøres indtil alle ledningerne m er brugt, hvorfor der deles med (n - 2m)! Da der i teorien er to måder hvorpå én ledning kan sidde i to huller, men ingen praktisk forskel, skal dette tages højde for; deraf

de 2^{m}. Til slut skal der tages højde for at ledningerne også er ens. Derfor er permutationen af

ledninger uvedkommende; der divideres derfor med m!

Nedenfor er et skema med antal kombinationer ved brug af m antal ledninger:

25

Simon Singh "Kodebogen" side 175.

26

http://www.codesandciphers.org.uk/enigma/steckercount.htm

Side 15

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

15

Det noteres at der fås flest kombinationer når m = 11. Det noteres desuden at denne mængde

kombinationer stammer fra plugboardet alene! Det totale antal kombinationer er altså overvældende stort, og dette er blot en af de simpleste militære Enigma. I december 1938 fik Enigma en opgradering, da to ekstra mulige rotorer blev tilføjet [27]. Man kunne nu benytte hvilke som helst 3 ud

af de 5, hvilket øgede antallet af måder at arrangere rotorerne på fra 6 til nPr(5,3) = 60.

Det skal i øvrigt noteres at der var forskel på Enigma-maskinerne, og at disse løbende fik opgraderinger [28]. Fx fik den tyske efterretningstjeneste (Abwehr) samt flåden (Kriegsmarine) tilføjet en 4. rotor i 1942, den såkaldte M4 Enigma. Dette betød også at disse var de vanskeligste at bryde.

Enigma brydes

Trods Enigmas kompleksitet havde det polske Biuro Szyfrów, som var det polske cifferbureau, i år

1932 knækket dele af Enigma-systemet og dechifreret Tysklands mest hemmelige meddelelser i flere år. Motiveret af frygten for en invasion, enten fra øst hvor Sovjet havde ambitioner om at udbrede kommunismen eller fra vest, hvor Tyskland oprustede, desperat efter at genvinde territorium efter 1. verdenskrig, havde polakkerne arbejdet dag og nat på at bryde Enigma-systemet, dog med assistance fra tyske dokumenter om Enigmas indre ledningsnetværk, suppleret af den tyske

spion Hans-Thilo Schmidt^{29}.

Polakkernes succes stoppede dog brat, da der i slutningen 1938 blev tilføjet flere rotorer, og Biuro Szyfrów ikke havde ressourcerne, eller tiden, til at bryde disse [30]. Det lykkedes dog polakkerne, kort før invasionen, at give englænderne muligheden for at fortsætte deres arbejde, ved at smugle en af

27

Simon Sing "Kodebogen" side 171.

28

http://en.wikipedia.org/wiki/Enigma_machine#Military_Enigma

29

http://en.wikipedia.org/wiki/Hans-Thilo_Schmidt

30

Simon Sing "Kodebogen" side 172.

m Antal kombinationer m Antal kombinationer

0 1 7 89.500

1 325 8 638.375

2 44.850 9 191.875

3 3.453.450 10 4.937.250

4 5 11 3.096.250

5 75 12 6.548.125

6 1.500 13 80.625

Total kombinationer: 8.200.576

Side 16

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

16 de polsk fremstillede Enigma-kopier til Bletchley Park, England, hvor en nyoprettet kodebrydningsorganisation skulle få afgørende betydning for krigen!

Slaget om Atlanten

Slaget om Atlanten var et søslag afgørende for 2. verdenskrig! Havde de allierede ikke vundet, er det sandsynligt at England ville være blevet tvunget ud af krigen [31], da England var helt afhængige af at få tilført ressourcer som råvarer, brændstoffer, fødevarer og krigsmateriel fra USA over Atlanten [32]. Tyskland var klar over dette, og forsøgte derfor at afskære England dets livsnødvendige forsyningslinje. Dette foregik primært med de tyske ubåde, som efter erobringen af Frankrig i 1940 nu havde en enorm rækkevidde da ubådsbaserne nu kunne flyttes til Brest og Lorient. De allierede handelsskibe led enorme tab de første år af krigen, idet der blev sænket langt flere skibe end der

blev produceret nye^{33}.

Det var derfor af højeste prioritet for England at bryde den tyske Krigsmarines Enigma, således de kunne styre deres konvojer af handelsskibe uden om ubådene og begrænse tabene. De allierede forsøgte sig af samme grund med konvojer af handelsskibe, hvilket førte til den berygtede Ulvekobbeltaktik fra ubådenes side, som gik ud på at følge efter konvojen indtil tilstrækkelig mange ubåde var til stede til at gennemføre et stort, samlet angreb. Tyskerne havde nemlig helt frem til årsskiftet 1943-44 kunne læse den britiske handelsflådes koder, og havde af den grund også præcise efterretninger om hvor flere af de britiske handelsskibe befandt sig. [34]

Allerede i 1940 havde kodebryderne i Bletchley Park knækket Enigma-systemet. Alan Turing, en genial matematiker havde arbejdet videre på de polske mekaniske vidundere, de såkaldte "Bomber", som bestod af flere Enigma-maskiner koblet sammen, som hurtigt tjekkede samtlige kombinationer.

I løbet af krigen var det en hård kamp mellem kodemagerne og kodebryderne, og trods tyske opgraderinger af Enigma-systemet i flere omgange, lykkedes det i længere perioder for briterne at bryde Krigsmarinens Enigma og læse deres beskeder. Dette skyldes dels Bletchley Parks dygtige kodebrydere, men i ligeså høj grad kapringen af Enigma-maskiner og hemmelige dokumenter fra ubådene U-110 [35] i 1941 samt U-559 [36] i 1942. Herefter indledte de allierede operation ULTRA, som

31

Simon Singh "Kodebogen" side 197; citat af Winston Churchill

32

Niels Ole Faurholt side 25

33

Se bilag 9

34

Denstoredanske.dk, artikel "Slaget om Atlanten" side 3.

35

Andrew Williams "Slaget om Atlanten" side 137-140 .

36

http://en.wikipedia.org/wiki/U-559#Aftermath

Side 17

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

17 dels gik ud på at dekryptere de tyske efterretninger, dels at holde hele operationen hemmelig. De allierede frygtede at hvis tyskerne skulle opdage at deres kommunikation var blevet brudt, ville tyskerne benytte et andet og mere kompliceret system, og de allieredes dyrebare efterretningskilde tørre ud.

USA kommer med

Følgende afsnit er baseret på afsnittet "Enigma og Slaget om Atlanten" i artiklen af Niels Ole Faurholt i Krigshistorisk tidsskrift nr. 2 (2009).

Hvis man skal vurdere betydningen af at Krigsmarinens Enigma-system i perioder blev brudt, må man se på hvilke faktorer der spillede ind i Slaget om Atlanten.

Efter japanernes overraskende angreb på den amerikanske flådebase Pearl Harbor i 1941, erklærede Tyskland krig mod USA. Dette betød at den tyske admiral for Krigsmarinen, Karl Dönitz, sendte et stort antal ubåde helt ind til USAs kyst, hvor de med succes sænkede flere allierede skibe. Da tyskerne indførte den 4. rotor i Krigsmarinens Enigma, M4 systemet, steg de allieredes tab af skibe voldsomt, da kodebryderne i Bletchley Park ikke længere kunne bryde Enigma-systemet og dermed styre konvojerne uden om ubådene. I slutningen af år 1942, hvilket havde været et forfærdeligt år med de største tab af handelsskibe hidtil, kunne de allierede igen dechifrere den tyske marines meddelelser, og dirigere konvojerne uden om ubådene. Succesen var dog kort, da det i 1943 blev for vanskeligt at benytte denne information, eftersom Krigsmarinen nu rådede over så stor en ubådsstyrke at det ville være ineffektivt og afslørende for operation ULTRA at omdirigere konvojerne.

Men i 1943 skete vendepunktet; der blev nu indsat krigsskibe samt hangarskibe som ydede luftstøtte til konvojerne, forbedrede dybhavsbomber, et forbedret radarsystem samt et forbedret SONAR-system, kaldet ASDIC hvilket gjorde det nemmere for de allieredes krigsskibe at angribe ubådene. ULTRA projektet gjorde alt dette effektivt. Desuden var produktionen af nye skibe nu kommet op i gear, og oversteg antallet af sænkede handelsskibe [37]. Med ny teknologi, og flere militære ressourcer til rådighed, begyndte de allierede at jagte de tyske ubåde, hvis tab steg til uacceptable højder. Det var imidlertid risikabelt for hemmeligholdelsen af ULTRA at angribe ubådene og der blev derfor taget flere forholdsregler, bl.a. et fiktivt super-radarsystem som tyskerne mente måtte være grunden til de mange tabte ubåde. Dette var med til at fastholde tyskernes tillid til Enigma-systemets sikkerhed. De store tab af ubåde førte til at Krigsmarinens admiral, Karl Dönitz,

37

Se Bilag 9.

Side 18

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

18 trak ubådene væk fra Atlanterhavet. Dermed havde Tyskland tabt "Slaget om Atlanten", da den livsvigtige forbindelse mellem USA og England ikke længere var truet.

Årsagerne til dette er mange, og Enigma-systemet er da ikke helt uvæsentligt heller. En væsentlig grund må siges at være de allieredes enorme produktion af nye skibe; denne oversteg langt antallet af sænkede skibe. Som det kan ses på bilag 7, sænkede tyskerne ikke færre skibe end tidligere; de allierede producerede bare flere! Derudover kommer de militære strategier, som indførelsen af konvojer og indsættelsen af luftstøtte til disse, foruden en række teknologiske fordele, som radarsystemet og langtrækkende bombefly [38]. En anden ofte overset, men meget væsentlig grund, er at det kun var et fåtal af de allierede konvojer som de tyske ubåde overhovedet fandt. Selv i den værste periode fra februar 1942 til februar 1943, fandt de tyske ubåde kun 63 ud af 174 konvojer.

Ud af de 63 slap hele 23 over uden at lide tab [39]. Dertil kommer at de tyske ubåde i starten af krigen, da England stod svagt og alene, ikke var talstærke nok til at knække England.

Dekrypteringen af Krigsmarinens Enigma-system var altså ikke alene om sejren i "Slaget om Atlanten". Den var derimod betydelig for at de øvrige militærstrategiers succes, og for begrænsning af materielle og menneskelige tab. Det anslås at ULTRA alene i efteråret 1941 redede 350 handelsskibe fra sænkning [40]. Dertil skal det siges, at Englands premierminister Winston Churchill vurderede kodearbejdet i Bletchley Park af højeste prioritet, da han i 1941 sendte følgende memorandum til sin stabsofficer: "DAGSBEFALING: Skaf vished for at de (kodebryderne i

Bletchley Park) får alt det de ønsker med højeste prioritet og rapportér til mig, at det er blevet

     41
gjort."

Der skal ikke herske nogen tvivl om at indtil årsskiftet hvor den allierede produktion af nye skibe for alvor kom i gang, havde Tyskland stadig muligheden for at få stoppet tilførslen af de livsvigtige ressourcer til England. Man kunne tænke sig at hvis Tyskland havde haft en mulighed for at angribe med en tilstrækkelig stor ubådsstyrke, ville tyskerne have haft en reel chance for at tvinge England ud af krigen, inden den tyske invasion af Sovjetunionen og inden USAs indtræden i

krigen.^{42}

ULTRA havde altså ikke alene afgørende betydning for "Slaget om Atlanten". De allierede ville uden tvivl have mistet flere skibe uden efterretningerne fra ULTRA, men dette ville være på

38

Denstoredanske.dk, artikel "Slaget om Atlanten" side 4

39

Denstoredanske.dk, artikel "Slaget om Atlanten" side 4

40

Niels Ole Faurholt side 26

41

Simon Singh "Kodebogen" side 195, citat af Winston Churchill, 1941.

42

Denstoredanske.dk, artikel "Slaget om Atlanten" side 5

Side 19

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

19 bekostning af mange mistede tyske ubåde, især fra 1943 hvor de allierede intensiverede ubådsjagten.

Enigma og Operation BODYGUARD

Et helt andet sted hvor ULTRA også havde væsentlig betydning, var i forbindelse med landgangen i Normandiet 1944, Operation OVERLORD. [43] Da man i 1943 havde knækket det tyske efterretningsvæsens (Abwehr) Enigma-system, benyttede de allierede sig af dobbelt-agenter [44], som forsynede det tyske efterretningsvæsen med falske og vildledende oplysninger. Dette var alt sammen en del af Operation BODYGUARD, som gik ud på at vildlede tyskerne, om hvor, hvornår og i hvilket omfang de allieredes invasion skulle foregå [45], og derved få dem til at sprede deres kræfter. Man kunne således følge Abwehrs reaktioner på dette, og justere på vildledningsindsatsen.

Desuden kunne man nøje følge den tyske "Order-of-Battle" og justere den egentlige invasion efter denne. En af grundene til at invasionen, D-dag 1944 kunne gennemføres skyldtes at 16 tyske divisioner i Norge-Danmark, 24 divisioner i Balkan, samt hele den 15. tyske Armé ventede i Calais-området på General Patton og hans fiktive invasionsstyrker, selv længe efter invasionen. Alt dette skyldtes ULTRA, samt at tyskerne stadig regnede Enigma-systemet for ubrydeligt.

At Briterne havde forceret Enigma forblev da også en hemmelighed efter krigen. Idet briterne havde erobret tusinder af Enigma-maskiner, fordelte de disse i de tidligere Commonwealth-kolonier, hvor man troede koden stadig var sikker. Man lod således kolonierne blive i troen, og læste deres hemmelige meddelelser de følgende år. Først i 1974 blev det afsløret at kodebryderne i Bletchley park havde brudt Enigma, da kolonierne for længst var stoppet med at bruge Enigma-systemet var der ingen grund til at holde det hemmeligt [46].

Kontrafaktuel diskussion - Hvad nu hvis?

Følgende afsnit er baseret på Sir Harry Hinsleys transskript "The Influence of ULTRA in the Second World War" samt artiklen af "Hvor stor betydning havde de allieredes brydning af Enigma-telegrammerne for 2. Verdenskrigs forløb?" af Niels Ole Faurholt.

43

Niels Ole Faurholt side 29

44

http://en.wikipedia.org/wiki/Double_Cross_System

45

http://en.wikipedia.org/wiki/Operation_Bodyguard

46

Simon Singh "Kodebogen" side 201-204.

Side 20

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

20

Hvad nu hvis kodebryderne i Blechley Park aldrig havde knækket Enigma-systemet? Hvilken betydning ville dette få for "Slaget på Atlanten" og på resten af krigen? Det er meget svært at svare på, netop hvor meget indflydelse forceringen af Enigma havde under 2. Verdenskrig pga. de mange faktorer der spiller ind. Ifølge Sir Harry Hinsley, der er den engelske efterretningstjenestes officielle historiker for krigsårene, vurderer han at ULTRA-projektet havde størst indflydelse under "Slaget om Atlanten", og at det i alt forkortede krigen med mellem 2-4 år. [47] Hinsley overvejer desuden muligheden for en eventuel tysk sejr, men afviser dette, da både England og Sovjet overlevede en tysk invasion helt til juni 1941 uden at drage nytte af efterretninger fra ULTRA. Det synes altså givet at Tyskland ville tabe krigen før eller siden til Englands, Sovjets og USAs samlede tropper.

Hinsley vurderer at uden ULTRA ville tabene af krigsmateriel i Atlanterhavet have været større, hvilket ville have forsinket invasionen i Juni 1944 med op til ét år. Hinsley vurderer at en sådan invasion ét år senere ville have været mange gange sværere, måske endda umulig, da tyskerne ville have færdiggjort deres Atlanterhavsforsvar, haft kontrol over en større Panzer Armé samt været i stand til at bombardere hele England med de netop færdigbyggede tyske V2-raketter. Hinsley vurderer altså ULTRAs fordele som mange og væsentlige, men ulempen ved at hemmeligholde ULTRA begrænsede dets brug i praksis. Fx skulle Churchill efter sigende have vidst at et tysk flyangreb på den tyske på den engelske by Coventry skulle finde sted 2 timer senere, men valgte ikke at evakuere byen for ikke at afsløre ULTRA. [48]

Dette afviser Niels Ole Faurholt dog som en myte i sin artikel. [49] I praksis måtte de allierede altså altid have en anden grund udover ULTRA for at kende en ubåds position. Fx måtte de ofte sende et fly ud, som over radioen rapporterede at en ubåd var blevet set, velvidende at tyskerne ville opsnappe denne og ikke ane at Enigma var blevet knækket. En af de store strategiske fordele ved Enigma opstod ved landgangen i Normandiet på D-dag i 1944, hvor de allierede kendte de tyske bataljoners positioner og forsvarsstillinger, pga. man havde knækket det tyske efterretningsvæsens Enigma-system. At tyskerne troede på vildledningerne i Operation BODYGUARD, og overvurderede de allieredes styrke, tildeler Hinsley således ULTRA en stor del af æren for landgangens succes.

Niels Ole Faurholt deler generelt dette synspunkt. Han konkluderer at hvis ULTRA ikke havde eksisteret, ville det være sandsynligt at invasionen af Frankrig ville være blevet udskudt, eller endnu værre mislykket. Han er dog enig i, at Tyskland under ingen omstændighed ville have vundet krigen, men pointerer at der er for mange ukendte faktorer for at give et præcist billede. Han nævner

47

http://www.cl.cam.ac.uk/research/security/Historical/hinsley.html

48

http://en.wikipedia.org/wiki/Coventry_Blitz#Coventry_and_Ultra

49

Niels Ole Faurholt side 26.

Side 21

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

21 muligheden for at USA ville benytte atombomben for at gennemtvinge en tysk kapitulation, hvilket i den grad ville have ændret slutningen på krigen.

Den danske historiker Hans Kirchhoff er dog ikke enig i Hinsleys og Faurholst konklusion om, at ULTRA var af stor betydning for krigens udfald:

"Da nyheden om "Ultra" kom frem, var der dem, der mente, at nu skulle krigens historie skrives helt om. Det var imidlertid alle sensationer til trods ikke E-tjenesten, der vandt krigen. Dens bidrag var værdifulde, endda uvurderlige, og der var efter krigen ikke længere nogen magt, der syntes, at nu skulle gentlemen ikke længere læse andres post. Men den var dog kun én faktor blandt mange andre til at bestemme krigens forløb og udfald. Med en god E-tjeneste går det hele bedre. Men uden økonomisk styrke, omfattende rustninger, mandskabsressourcer, kompetent

                                                   50
føring og krigsvilje hos både tropper og civile går det slet ikke.”

Kirchhoff giver altså udtryk for at det i højere grad var de allieredes økonomiske styrke og mandskabsressourcer som førte til de allieredes sejr, og at ULTRA spillede en mindre rolle.

Perspektivering

Siden internettet blev opfundet har det været nødvendigt at beskytte data som bliver sendt og modtaget. Det kunne være bankoplysninger, personfølsomme data eller e-mailkommunikation som skal beskyttes mod uvedkomne. Dette problem blev i 1977 løst, da 3 unge matematikere opfandt RSA-kryptosystemet. Systemet bygger på aritmetikkens fundamentalsætning, at ethvert tal ℕ ϵ ℤ større end 1 er et primtal, eller kan skrives som produktet af primtal. Vi har tidligere set på de såkaldte "symmetriske kryptosystemer" som anvender den samme nøgle til både enkryptering og kryptering; RSA-systemet er et såkaldt "asymmetrisk kryptosystem", og der anvendes derfor forskellige nøgler til enkryptering og dekryptering. Dette er RSA-systemets styrke! Begge disse nøgler, den offentlige nøgle e og den hemmelige nøgle d, er konstrueret ud fra tallet n som er produktet af to store primtal p og q (se regneeksemplet, Bilag 8 (opgave 3)).

En angriber må således faktorisere n og bestemme de to primtal p og q, som n er et produkt af, og herefter beregne den hemmelig nøgle d. Systemets sikkerhed bygger på antagelsen om at primtalsfaktorisering er et "svært" problem at løse. Der findes med andre ord, på nuværende tidspunkt ikke en funktion som hurtigt kan bestemme hvilke to primtal, p og q, som et tal n er produktet af. Den eneste måde at undersøge dette er ved at prøve samtlige muligheder. Så længe

50

Hans Kirchhoff, "Den Anden Verdenskrig " side 365.

Side 22

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

22 tallet n er stort nok vil det tage, selv med en meget stor mængde computerkraft, urealistisk langt tid at bryde [51]. Det skal dog noteres, at primtallene p og q i Bilag 8 (opgave 3) er meget små, og at de, for at kunne garantere sikkerhed, skal være af størrelsesordenen 250 cifre! [52]

RSA-krypteringen er altså både meget sikkert, og nemt at bruge. Dette gør det samtidigt tilgængeligt for hvem som helst der har et ønske om at skjule sin kommunikation eller sine data.

Derfor har det amerikanske National Security Agency (NSA) op gennem tiden efter 1970'erne prøvede at begrænse spredningen af RSA-systemet, da systemet blev anset som en hjælp til organiseret kriminalitet, og en trussel mod nationen.

Konklusion

Krigen mellem kodebrydere og kodemagere har stået på gennem århundreder. Dygtige matematikere og kryptoanalytikere som Kasiski og Friedman viste, at selv de tilsyneladende ubrydelige kryptosystemer kan brydes - En lektie som tyskerne lærte, idet de regnede Enigma-systemet for ubrydeligt pga. systemets omfattende kombinatorik. Grunden til at forceringen af Enigma-systemet lykkedes, skyldes en stor indsats fra Blechley Park, samt erobringer af Enigma-maskiner og hemmelige dokumenter. Briterne benyttede i de første år af krigen de tyske efterretninger til at styre de livsvigtige konvojer sikkert forbi de tyske ubåde, og valgte senere en mere aggressiv strategi mod ubådene, som blev trukket væk fra Atlanterhavet pga. store tab.

Dermed havde de allierede vundet Slaget om Atlanten, da den engelske forsyningslinje ikke længere var livstruet. De allierede benyttede efterretninger fra det tyske Abwehr til at planlægge og udføre Operation Overlord, landgangen i Normandiet 1944. Krigens endelige udfald afhang ikke alene af ULTRA, men nok nærmere af en samlet indsats fra de allierede styrker, deres stærke økonomi og deres overlegne ressourcer. ULTRA havde dog betydning for længden og mængden af tab, da en allieret invasion af Frankrig i 1944 ikke ville have været mulig, og en eventuel senere invasion ville være langt mere besværlig. Det er blevet vurderet at ULTRA forkortede krigen med omkring 2-4 år. Det er usikkert om USA ville benytte atomvåben til at tvinge Tyskland til kapitulation. I alt fald kan man konkludere, at ULTRA var en væsentlig medspiller under krigen, og en af flere årsager til den allierede sejr.

Underskrift:

51

http://www.rsa.com/rsalabs/node.asp?id=2088 afsnit III, Historical Results and the RSA Challenge

52

Mikkel Kamstrup Erlandsen, Aarhus Universitet "Introduktion til Kryptologi", side 23

Side 23

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

23

Litteraturliste

Bøger:

En bog med to forfattere: Mathiassen, Søren og Svend-Aage Nielsen. Born in the USA. Holsted: Futurum,

1984.

Landrock, Peter & Knud Nissen. Kryptologi - fra viden til videnskab, Abacus, 1997.

Singh, Simon. Kodebogen. Overs. af Jan Teuber, Gyldendal 2005.

Williams, Andrew. Slaget om Atlanten. Overs. af Hans Christian Koch m.fl., Gyldendal 2003.

Kirchhoff, Hans m.fl.. Den 2. Verdenskrig , Gyldendal 2005.

Bantz, Martin. Mellem bomber og torpedoer. Redigeret af Kåre Lauring, Gyldendal 2004.

Luke, Doreen. My road to Bletchley Park, M & M Baldwin, 2010.

Artikler:

Erlandsen, Mikkel Kamstrup. Introduktion til Kryptologi, Aarhus Universitet

Faurholt, Niels Ole. Hvor stor betydning havde de allieredes brydning af Enigma-telegrammerne for 2.

Verdenskrigs forløb?, bragt i "Krigshistorisk Tidsskrift nr. 2 (2009)" side 18-33.

Bjerg, Hans Christian. Slaget om Atlanten - en oversigt, bragt i "De befriede os". Folk & Forsvar, 2005.

Bjerg, Hans Christian. Slaget om Atlanten.

Denstoredanske.dk den 9. December 2011

http://www.denstoredanske.dk/Rejser,_geografi_og_historie/Milit%C3%A6re_forhold_og_krigshistorie/M
arine-_og_s%C3%B8krigshistorie/Slaget_om_Atlanterhavet (dato: 18/12-09)

Links:

Lars Vestergaard, Enigma den tyske kodemaskine

http://www.matematiksider.dk/enigma.html (dato: 15/12-09)

http://www.matematiksider.dk/enigma.html#before_enigma (dato: 15/12-09)

http://www.matematiksider.dk/enigma.html#how_enigma_works (dato: 15/12-09)

http://www.matematiksider.dk/enigma/enigma_rotors_800.jpg (dato: 15/12-09)

http://www.matematiksider.dk/enigma/enigma%20big.jpg (dato: 15/12-09)

http://www.matematiksider.dk/enigma/enigma_kredsloeb_big.png (dato: 15/12-09)

Sir Harry Hinsley, The Influence of ULTRA in the Second World War (1996)

http://www.cl.cam.ac.uk/research/security/Historical/hinsley.html (dato: 18/12-09)

http://www.codesandciphers.org.uk/enigma/enigma3.htm (dato: 16/12-09)

Side 24

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

24

http://www.codesandciphers.org.uk/enigma/steckercount.htm (dato: 16/12-09)

http://ed-thelen.org/comp-hist/NSA-Comb.html (dato: 16/12-09)

http://www.simonsingh.net/The_Black_Chamber/vigenere_cracking_tool.html (dato: 14/12-09)

http://en.wikipedia.org/wiki/Caesar_cipher#History_and_usage (dato: 11/12-09)

http://en.wikipedia.org/wiki/Hans-Thilo_Schmidt (dato: 14/12-09)

http://en.wikipedia.org/wiki/Enigma_machine#Military_Enigma (dato: 14/12-09)

http://en.wikipedia.org/wiki/Double_Cross_System (dato: 16/12-09)

http://en.wikipedia.org/wiki/U-559#Aftermath (dato: 16/12-09)

http://en.wikipedia.org/wiki/Operation_Bodyguard (dato: 16/12-09)

http://en.wikipedia.org/wiki/Coventry_Blitz#Coventry_and_Ultra (dato: 16/12-09)

http://en.wikipedia.org/wiki/RSA_(algorithm)#A_working_example (dato: 11/12-09)

http://www.rsa.com/rsalabs/node.asp?id=2088 (dato: 18/12-09)

http://www.wolframalpha.com/ (dato: 11/12-09)

Bilag

Side 25

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

25

Bilag 1

Side 26

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

26

Bilag 2

Standardfordelingen i en dansk klartekst. Tallene er taget fra bogen "Kryptologi - fra viden til videnskab" af Peter Landrock & Knud Nissen, side 26:

A: 0.057 B: 0.015 C: 0.003 D: 0.055 E: 0.163 F: 0.025

G: 0.043 H: 0.012 I: 0.057 J: 0.004 K: 0.033 L: 0.049

M: 0.028 N: 0.073 O: 0.051 P: 0.024 Q: 0.000 R: 0.087

S: 0.053 T: 0.078 U: 0.023 V: 0.032 W: 0.001 X: 0.000

Y: 0.010 Z: 0.000 Æ: 0.010 Ø: 0.007 Å: 0.008

Bilag 3 (opgave 1)

Sammenligner man standardfordelingen (bilag xx) med frekvensanalysen af kryptoteksten i Opgave1, ses det tydeligt at denne er forskudt med 2, idet E-pinden er placeret i G, og at den

letgenkendelige RST-blok er placeret i TUV; Nøglen er altså K = 2.

Kryptotekst:

CNCPVWTKPIDTKVKUMOCVGOCVKMGTUQOJCTIKXGVXKIVKIGDKFTCIVKNFCVCNQIKGPUITWPFNC

IJCPXCTFGPHATUVGFGTHQTOWNGTGFGDGITGDGVGPRTQITCOOGTDCTEQORWVGTGPEÆENQRÆFKG

P

Klartekstalfabet: AB CD EF GH IJ KL MN OP QR ST UV WX YZ ÆØ Å

Nøgle: K = 2

Klartekst:

ALAN TURING, BRITISK MATEMATIKER SOM HAR GIVET VIGTIGE BIDRAG TIL

DATALOGIENS GRUNDLAG.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z æ ø å

Frekvens (standard)

Side 27

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

27

HAN VAR DEN FØRSTE DER FORMULEREDE BEGREBET EN PROGRAMMERBAR COMPUTER

ENCYCLOPYDIEN

Det skal noteres, at der er begået en fejl i kryptoteksten. Det sidste ord i klarteksten, "ENCYCLOPYDIEN" skulle højest sandsynligt være "ENCYKLOPÆDIEN" - Kryptoteksten skulle således være "GPEÆMNQRÅFKGP" i stedet for "GPEÆENQRÆFKGP".

Bilag 4 (opgave 2)

Kasiski test over kryptoteksten i opgave 2 bilag 1 fra

http://www.simonsingh.net/The_Black_Chamber/vigenere_cracking_tool.html

Side 28

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

28

Bilag 5 (opgave 2)

Frekvensanalyse over de tre rækker kryptotekst, række 1 = L1, række 2 = L2 og række 3 = L3.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z æ ø å

Frekvens (L1)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z æ ø å

Frekvens (L2)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z æ ø å

Frekvens (L3)

Side 29

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

29

Bilag 6 (opgave 2)

Den fulde kryptotekst fra opgave 2 bilag 1 er inddelt i 3 rækker, efter perioden er bestemt ved en Kasiski Test til 3, hvilket stemmer overens med det som er oplyst i opgaveformuleringen.

Nøgleordet er bestemt til "ABE" efter frekvensanalyse af de tre rækker (se bilag 5). Kryptoteksten er markeret med fed, og den dekrypterede klartekst står nedenunder:

Række 1: Alfabetet begyndende med A er benyttet til kryptering.

JVVDIATDRASKDMEENKMBHMOEUOITHEIATEESOIKESLDGNDÅSINAANTEGEERARREREN

JVVDIATDRASKDMEENKMBHMOEUOITHEIATEESOIKESLDGNDÅSINAANTEGEERARREREN

Række 2: Alfabetet begyndende med B er benyttet til kryptering.

FBFUMHJKTOCLFJOMEBFMJFHOGHMJFOMHJOOSHMPOUIKWUFQUMFGHTPCJOEJHECWBMF

EAETLGIJSNBKEINLDAELIEGNFGLIENLGINNRGLONTHJVTEPTLEFGSOBINDIGDBVALE

Række 3: Alfabetet begyndende med E er benyttet til kryptering.

KVRXFIPYPHEIWPHEWFHDQPVPXXWPHXFIPKISXWZWMIIIITSFIRHIWVIZLIHIIVJGM

GRNTBELULDAESLDASBDÅMLRLTTSLDTBELG_EOTSVSIEEEEPOBENDESREVHEDEERFCI

Selvom øjnene måtte bløde giver nedenstående grafiske visning en hvis forståelse for hvordan Vigenére-kryptosystemet løses; række 1 er præsenteret i sort, række 2 i rød og række 3 i grøn:

JEGVARVENDTTILBAGETILDJURSLANDSBAKKEDESMILENDELANDSKABMEDBLÅHIMMEL

OGRENLUFTOGTILSTILHEDENTILBAGETILENGENESROOGTILSKOVENSSTILHEDJEGVE

NTEDEPÅPOSTBILENENAFDAGENSSTOREBEGIVENHEDERIDAGERDERBREVFRACELINE

Den dekrypterede besked bliver altså:

JEG VAR VENDT TILBAGE TIL DJURSLANDS BAKKEDE SMILENDE LANDSKAB MED

BLÅ HIMMEL OG REN LUFT OG TIL STILHEDEN TILBAGE TIL ENGENES RO OG

TIL SKOVENS STILHED JEG VENTEDE PÅ POSTBILEN EN AF DAGENS STORE

BEGIVENHEDER I DAG ER DER BREV FRA CELINE

Side 30

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

30

Bilag 7

Billede fra Lars Vestergaards artikel om Enigma,

http://www.matematiksider.dk/enigma/enigma_kredsloeb_big.png

Side 31

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

31

Bilag 8

Billede fra Lars Vestergaards artikel om Enigma, http://www.matematiksider.dk/enigma/enigma%20big.jpg

Side 32

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

32

Bilag 9

Artikel fra artiklen "Slaget om Atlanten 1939-45 - en oversigt" af Hans Christian Bjerg side 123.

Bilag 10 (opgave 3)

Krypter beskeden "GODT" ved brug af RSA-kryptosystemet.

Side 33

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

33

To primtal, p = 37 og q = 89, vælges.

Tallet n bestemmes ved at multiplicere p og q, således:

n = pq = 37*89 = 3293

Herudover skal φ(n) beregnes:

φ(n) = (p-1)(q-1) = (37-1)(89-1) = 3168

Derudover skal et tal e, som er indbyrdes primisk med φ(n ):

0 < e < φ(n) OG gcd(e,φ(n)) = 1

Jeg vælger e = 19, da denne værdi opfylder både

0 < 19 < 3168 OG gcd(19,3168) = 1

                                     -1
Endeligt skal et tal d beregnes, således at d = e (mod φ(n)):

d = 19^{-1} (mod 3168) = 667

Tallet d er udregnet med Wolframalpha^{53}

For at opsummere har vi altså:

n = 3293
e = 19
d = 667

Tallene p, q og φ(n) har tjent deres formål i konstruktionen af n, e og d, og benyttes ikke hverken til

                           54
krypteringen eller dekrypteringen.

Altså, hermed er

offentlige nøgle: (n,e) = (3293,19)

private nøgle: d = 667

Vi repræsenterer nu bogstaverne i beskeden m "GODT" ved 2 decimale cifre, således A = 01, B =
02, C = 03 osv.

Den kodede(tal) besked m bliver herefter opdelt i blokke á 4 cifre, idet værdien af den enkelte blok skal være mindre end n (0 < m < n).

Altså, Jo større primtal p og q, jo større n og jo større blokke kan krypteres på én og samme tid.

De to blokke ses her, repræsenteret med deres talværdi:

G O D T

53

http://www.wolframalpha.com/input/?i=19%5E-1+mod%283168%29

54

Kryptologi - Fra viden til videnskab af Peter Landrock & Knud Nissen side 102.

Side 34

SRP Mat A/Historie A

Næstved Gymnasium & HF

34

Enkrypteringen med den offentlige nøgle foregår blokvist således:

m → m^{e} (mod n) = kryptoteksten c

mBlok 1: 715^{19} (mod 3293) = 1122

mBlok 2: 420^{19} (mod 3293) = 283

Begge blokke er udregnet med Wolframalpha; mBlok 1 & mBlok 2.

55 56

Endeligt er beskeden "GODT" krypteret med RSA-kryptosystemet til 1122283.

For at dekryptere kryptoteksten c, skal man kende den krypterede besked c, samt tallene p og q, så man kan konstruere tallene n og d.

Dekrypteringen med den private nøgle foregår blokvist således [57]:

c → c^{d} (mod n) = m

cBlok 1: 1122 → 1122^{667} (mod 3293) = 715

cBlok 2: 283 → 283^{667} (mod 3293) = 420

Igen er blokkene udregnet med Wolframalpha; cBlok 1 [58] & cBlok 2 [59].

Endeligt kan den dekodede besked m laves om til klartekst ved at substituere talværdierne med bogstaver:

G O D T

Således er beskeden krypteret og dekrypteret med RSA-kryptosystemet. Grunden til at det er umuligt at dekryptere uden nøglen skyldes at primtalsfaktorisering er et "svært" problem, og der ikke findes nogen algoritme som hurtigt kan løse dette problem.

55

http://www.wolframalpha.com/input/?i=715%5E19+%28mod+3293%29

56

http://www.wolframalpha.com/input/?i=420%5E19+%28mod+3293%29

57

Kryptologi - Fra viden til videnskab af Peter Landrock & Knud Nissen side 102.

58

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1122%5E667+%28mod+3293%29

59

http://www.wolframalpha.com/input/?i=283%5E667+%28mod+3293%29