SRP: Reaktionskinetik og Differentialligninger i Kemi og Matematik

Indledning

Der findes langsomme reaktioner og der findes hurtige reaktioner. Og vi møder dem hver dag. F.eks. er rusten på cyklen resultat af en langsom reaktion, hvorimod en eksplosion er en meget hurtig reaktion. Man kan også nævne eksemplet med diamanter. Diamanter er egentlig en ustabil form af carbon, så det er utroligt at de er så holdbare, som de er. ”Diamond last forever” som man jo siger, men dette skyldes udelukkende, at reaktionen går så umådeligt langsom. I denne opgave arbejdes der med reaktionskinetik, som er undersøgelser af kemiske reaktioners hastighed. I opgaven arbejdes der både med 0., 1. og 2. ordens reaktioner og deres hastighedsudtryk. Opgaven skrives i matematik og kemi, og ved hjælp af matematikkens differentialligninger og løsningsmetoden separation af de variable, kan der løses de differentialligninger, der mødes i kemien. I opgaven beskrives også eksperimentelle metoder til at undersøge en kemisk reaktions hastighed og hvorledes man kan finde hastighedsudtrykket, og det påvises ved hjælp af to forsøg.

Hvilke faktorer, der kan påvirke en reaktionshastighed bearbejdes ligeledes i opgaven, og ved et enkelt forsøg undersøges temperaturens indflydelse.

Differentialligninger

Normalt forstår man en ligning som et udtryk med et ubekendt tal, der f.eks. benævnes x. Men i nogle ligninger er det ikke tal, der er den ubekendte, men funktioner. Disse kaldes funktionalligninger. F.eks. kan man kigge på ligningen Til denne ligning forstås løsningen som en funktion, der gør ligningen sand for alle tal s og t. Potensreglen, der lyder viser, at enhver eksponentialfunktion er løsning til funktionalligningen.

I denne opgave har jeg valgt at beskæftige mig med den type funktionalligninger, der kaldes differentialligninger. I en differentialligning, skal man bestemme funktionen ud fra en funktionalligning, hvor en eller flere af den ukendte funktions afledede funktioner indgår. F.eks. kan man kigge på differentialligningen I dette tilfælde skal vi finde en funktion, der afledet giver sig selv. Fra regnereglerne for differentiering ved vi at dette kan være e , da denne differentieret giver sig selv. Derfor kan en løsning til denne differentialligning være funktionen f(x)=e . Dette kaldes en partiel løsning. Der skelnes mellem partielle løsninger og fuldstændige løsninger, hvor den fuldstændige løsning er, når man har fundet samtlige løsninger til ligningen. Til dette eksempel vil den fuldstændige løsning være Vi ved at differentialkvotienten f’(x) fortæller noget om en ændring over et uendeligt lille interval.