SRP om sandhedsbegrebet i Matematik A og Dansk A

Side 1

i

Abstract

This paper examines what truth is, and why it cannot be clearly defined. This is done by examining the mathematic paradigm and by discussing how theorems acquire validity. It becomes clear that within the mathematical sphere there must be a formalistic tone due to the fact that statements are either true or false with nothing in between. It has been shown that arithmetic cannot prove its own consistency and thus it cannot be considered eternal nor static. Around 1900 there were a clash between three major schools in metamathematic: Logocentrism, Formalism and Intuitionism. Each of which had some shortcomings. The conclusion is that mathematic has no ontological foundation and thus it cannot be considered static nor immutable in platonic sense. I discuss why this line of thought cannot be implemented in the humanistic sphere based on an analysis of Erasmus Montanus. In this analysis it becomes clear that the main character exploits the rules of formal logic and thus the text becomes an example of incorrect use of mathematic. It’s further examined why we - theoretical speaking - cannot speak about a universal and absolute truth within humanism and mathematic.

Side 2

[navn fjernet] Gymnasium

Side 2 af 26

Indholdsfortegnelse

ABSTRACT .......................................................................................................................................................... I INDLEDNING ...................................................................................................................................................... 1 LOGIKALGEBRA .................................................................................................................................................. 1 BOOLESK ALGEBRA .......................................................................................................................................................... 2 DEN BOOLESKE MATEMATIKS ARITMETIK ............................................................................................................................ 3 EN VIDEREUDVIKLING AF LOGIKKEN .................................................................................................................................... 4 HVAD ER MATEMATIK? ...................................................................................................................................... 5 DET DIREKTE BEVIS .......................................................................................................................................................... 5 BEVIS VED KONTRAPOSITION ............................................................................................................................................. 6 MODSTRIDSBEVISER ........................................................................................................................................................ 6 INDUKTIONSBEVIS ........................................................................................................................................................... 6 METAMATEMATIK ........................................................................................................................................................... 6 DEN MATEMATISKE GRUNDLAGSKRISE .............................................................................................................. 8 LOGICISMEN .................................................................................................................................................................. 8 INTUITIONISME ............................................................................................................................................................... 9 FORMALISMEN ............................................................................................................................................................... 9 ER DET MULIGT AT GIVE MATEMATIKKEN ET SIKKERT GRUNDLAG? ......................................................................................... 10 ERASMUS MONTANUS ..................................................................................................................................... 12 HVAD ER SANDHED? ........................................................................................................................................ 16 KORRESPONDENSTEORIEN .............................................................................................................................................. 17 KOHÆSIONSTEORIEN ..................................................................................................................................................... 17 DEN PRAGMATISKE SANDHEDSTEORI ................................................................................................................................ 18 INDFØRING AF LOGIK I SPROGET ....................................................................................................................................... 18 SANDHED I DEN HUMANISTISKE SFÆRE.............................................................................................................................. 19 KONKLUSION ................................................................................................................................................... 20 LITTERATURLISTE ............................................................................................................................................. 22 BILAG 1 ........................................................................................................................................................... 25 BILAG 2 ........................................................................................................................................................... 25

Side 3

[navn fjernet] Gymnasium

Side 1 af 26

Indledning

Ofte bryster matematikken sig af at være universel og absolut. Dette skyldes først og fremmest matematikkens rigide format, som frem for alt er eksakt og utvetydigt. Faktisk er det matematiske paradigme historisk blevet tilskrevet en næsten guddommelig dimension. En historisk figur der vidner om dette, er Galileo Galilei (), der sagde: ”Mål alt hvad der kan måles. Og det der ikke kan måles

              1
gør det måleligt.” Den matematisk kvantitative metode blev hyldet, fordi viste sig utrolig anvendelig,

netop fordi tal i sig selv ikke bærer præg af subjektivisme. Galilei’s formalistiske projekts yderste konsekvens blev udmøntet af filosof og matematiker Gottfried Wilhelm Leibniz (). Hans ideal

                                            2
var en almen logik, som han kaldte scientia universalis.

Leibniz var af den opfattelse, at alt kunne formaliseres, og som han selv formulerede det: ”when there are disputes among persons, we can simply

                                                             3
say: Let us calculate [calculemus], without further ado, to see who is right.”

I hans optik er det altså muligt at implementere det matematiske paradigme i sproget, således at alle beslutninger vil bero på en matematisk slutning. Jeg vil i det følgende vise, at Leibniz’ drøm er utopi, og i bund og grund er en misforståelse af sproget og begrebet sandhed. For at gøre dette, er det først nødvendigt at forstå logik i matematisk regi.

          4
Logikalgebra

Logikalgebraen er en udsagnslogik^{5}, hvor et udtryk kan kun være sandt eller falsk. Udsagnslogik gør det

muligt at forenkle udsagn og systematisere dem således, at intet subjektivt vil præge udkommet. Præcision er derfor af uhyre vigtighed, da der ikke må eksistere nogen tvetydighed i det, man udtrykker. Der eksisterer derfor ingen grad af sandhedsgraduering. For at forstå hvordan Boolesk matematik tager sig ud, er det nødvendigt først at forstå udsagnslogik. Det er essentielt at forstå, at udsagnslogik forudsætter, at præmisserne er sande, dersom præmissen er falsk, vil konklusionen nemlig også være det. Logik i det hele taget fokuserer på måden hvorpå der ræsonneres, ikke hvad der ræsonneres som – der er en væsentlig forskel. I logikalgebraen bruges følgende symboler:

1

”Informationer lyver” Information 26. Juli 2002

2 lat. Universal videnskab.

3

Leibniz’s dream (2011)

4

Følgende afsnit og afsnittet om Boolesk matematik er udarbejdet på på baggrund af Ebert, Jørgen: Boolesk Algebra (Systime 1. opslag 1985)

s. 9-39. Beviset for sætning 8 er hentet direkte fra bogen, hvorimod jeg i beviset for dualitetsprincippet har omformuleret lidt. Eksemplet på side 4 er ligeledes mit eget påfund. Desuden har jeg af hensyn til plads valgt ikke at nævne mængdealgebra, som bogen ellers gør. Det skal derfor pointeres, at fremstillingen af boolesk algebra ikke er fuldstændig, idet mængdelæren udelades.

5

Den store danske: udsagnslogik

Side 4

[navn fjernet] Gymnasium

Side 2 af 26

¬𝑝 (læses non p) ”karakteriseres fuldstændigt som en udsagnsform, der er falsk, når p er sand, og

sand, når p er falsk”^{6}

∧ (læses som ”og”) ”Konjunktionen 𝑝 ∧ 𝑞 kan altså karakteriseres fuldstændigt som en udsagnsform,

                                                              7
der er sand i det tilfælde, hvor begge komponenter er sande, og ellers falsk.”

∨ (læses som ”eller”) ” Disjunktionen 𝑝 ∨ 𝑞 kan altså karakteriseres fuldstændigt som en udsagnsform,

                                                              8
der er falsk i det tilfælde, hvor begge komponenter er falske, og ellers sand.”

Ydermere bruges ækvivalenstegnet ≡. Et udtryk som 𝑝⋁𝑝 ≡ 𝑝 er et eksempel på brug af ækvivalenstegnet.

Ækvivalenstegnet kan siges at spille samme rolle i logikken, som lighedstegnet gør i den gængse aritmetik.

Begrebet ”tautologi” bruges om et udtryk, som er sandt uafhængigt af sandhedsværdien af udsagnene p og

q. (𝑞 ∨ (¬𝑞)) ⋀ (𝑝 ∨ (¬𝑝)) er således et eksempel på en tautologi. Af definitionen på ækvivalens og tautologi fås direkte, at alle (tautologier er indbyrdes ækvivalente. Alle tautologier repræsenteres derfor med konstanten S. Vi kan tillade os at kalde S en konstant, netop fordi den ikke er variabel. En tautologi kan derfor udtrykkes som: 𝑝 ∨ (¬𝑝) ≡ 𝑆. Som modsætning til tautologi bruges begrebet kontradiktion. En kontradiktion er et udtryk, som er falsk uafhængigt af sandhedsværdierne, der indgår i udtrykket. På samme måde som ved tautologier, kan alle kontradiktioner udtrykkes ved en konstant kaldet F: 𝑞 ∧ (¬𝑞) ≡ 𝐹.

Boolesk algebra

George Boole () var en filosof og matematiker. Boole indførte operatorer, så det blev muligt at manipulere med de logiske udtryk. Man kan sige, at det var et forsøg på at udleve Leibniz’ drøm (husk at referere). Den Booleske algebra tager udgangspunkt i ovenstående, men bruger nogle andre symboler:

LOGIKALGEBRA BOOLESK ALGEBRA

OBJEKTER Udsagn?^{9}
IDENTITET ≡ =
DYADISK OPERATOR (1)^{10} ∨ +

DYADISK OPERATOR (2) ∧ ·

MONADISK OPERATOR^{11} ¬ ¯¯

NEUTRALT ELEMENT (1) F 0

NEUTRALT ELEMENT (2) S 1

Tabel 1

6

Bollerslev, P. og Pedersen, Inge Wendell og Pedersen, Johs. Elementær matematisk logik (Gyldendal 1968)

7

Ibid s. 26

8

Ibid s. 31

9

Boolesk matematik opererer med variabler, og dens objekter kan derfor ikke defineres.

10

”en dyadisk operator i en mængde er en forskrift, der til ethvert par af element i mængden tilordner et element i mængden.” – Ebert, (1985)

s. 9. - Altså at operatoren tager to parameter

11

”en monadisk operator i en mængde er en forskrift, der til ethvert element i mængden tilordner et element et element i mængden” – Ebert,

(1985) s. 9 - Altså at operatoren tager en parameter

Side 5

[navn fjernet] Gymnasium

Side 3 af 26

De nye betegnelser bliver indført for at sikre, at der ikke hersker nogen tvivl om, hvorvidt vi opererer med logikalgebra eller Boolesk algebra. Men ud over det, kan betydningen af operatorerne, som jeg præsenterede i afsnittet om logikalgebra, overføres til de operatorer som Boolesk matematik gør brug af.

Definitionen af boolesk algebra er som følger:

”En boolesk algebra, (B,+,·,¯ ), er en algebraisk struktur bestående af en mængde, B, med to dyadiske

operatorer, + og ·, samt én monadisk operator ¯. Mængden, B, skal indeholde et element, 0, og et element,

1. Desuden skal de følgende fire aksiomer være opfyldt.” [12]

Boolesk algebra er således blevet defineret på samme måde som logikalgebraen, og logikalgebraen er derfor en Boolesk algebra. ”Hermed er det klart, at enhver egenskab ved den generelle

Booleske algebra kan fortolkes som en egenskab ved logikalgebraen og ved mængdealgebraen, men ikke

omvendt.”^{13} De sætninger som kan udarbejdes i Boolesk algebra, kan direkte overføres på logikalgebraen.

På den måde kan Boolesk algebra bruges som metode til at understøtte logikalgebraen.

Den Booleske matematiks aritmetik

Boolesk algebra starter ligesom alt andet matematik med et sæt aksiomer:

( 1a ) 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 ( 1b ) 𝑥 · 𝑦 = 𝑦 · 𝑥
( 2a ) 𝑥 + ( 𝑦 · 𝑧) = ( 𝑥 + 𝑦) · ( 𝑥 + 𝑧) ( 2 b ) 𝑥 · ( 𝑦 + 𝑧) = ( 𝑥 · 𝑦) + ( 𝑥 · 𝑧)
( 3a ) 𝑥 + 0 = 𝑥 ( 3b ) 𝑥 · 1 = 𝑥
( 4a ) 𝑥 + 𝑥̅ = 1 ( 4b ) 𝑥 · 𝑥̅ = 0

En anden særlig egenskab ved Boolesk matematik er dualitetsprincippet:

Enhver formel, som kan udledes af den Booleske algebras aksiomer, forbliver gyldig, såfremt man overalt i formlen erstatter addition med multiplikation, multiplikation med addition, 0 med 1, og 1 med 0. Bevis: I hver af de fire aksiomer for den Booleske algebra optræder der to formler. Den ene af disse forekommer ved anvendelse af den beskrevne procedure i dualitetsprincippet. Da det aksiomatiske grundlag for den Booleske algebra således overholder den angivende symmetri, vil alle former, der udledes heraf, også optræde parvis (duale formler). En sætning må netop erklæres gyldig, såfremt den ikke strider imod aksiomerne, og dersom der ikke opstår inkonsistent i den pågældende algebraiske struktur. Da dualitetsprincippet ikke afføder dette, må den nødvendigvis erklæres som gyldig. Q.E.D.

Dualitetsprincippet er særdels brugbart idet, at når en sætning udledes af den Booleske algebra, fremkommer den duale formel også deraf. Den viste metode kan nu også gøre sig brugbar i logikalgebraen.

Nedenstående er et eksempel på anvendelsen af dualitetsprincippet:

12

Ebert, (1985) s.24

13 ibid s. 25

Side 6

[navn fjernet] Gymnasium

Side 4 af 26

𝑝 ∨ (¬𝑝) ≡ 𝑆 og skrevet op som boolesk algebra: 𝑥 + 𝑥̅ = 1. Ved anvendelse af dualitetsprincippet fås:
𝑥 · 𝑥̅ = 0 og på form som i logikalgebraen: 𝑝 ∧ (¬𝑝) ≡ 𝐹. Dualitetsprincippet er altså brugbart til at vise

andre sætninger. Et eksempel hvori dualitetsprincippet bliver brugt i beviset er følgende:

Givet et vilkårligt element x i gælder [14]:

( 8a ) x + 1 = 1 ( 8b) x · 0 = 0

Bevis: Ved anvendelse af aksiomerne fås:

𝑥 + 1 = ( 𝑥 + 1) · 1 ifølge (3b )
= ( 𝑥 + 1) · (𝑥 + 𝑥̅) ifølge ( 4a )
= 𝑥 + (1 · 𝑥̅) ifølge ( 2a )
= 𝑥 + (𝑥̅ · 1) ifølge ( 1b )
= 𝑥 + 𝑥̅ ifølge ( 3b )
= 1 ifølge ( 4a )

Hermed er ( 8a ) bevist. Ved at bruge dualitetsprincippet fås ( 8b ). Q.e.d

Måske kan den Booleske algebra godt tage sig ud som en meget abstrakt algebraisk struktur – hvilket den til dels også er – men den er i høj grad brugbar. Den Booleske algebras sætninger udmønter sig således i digitalalgebraen. [15] Et eksempel kunne være følgende: Peter, variablen z, overvejer at købe en is, men han køber kun en, såfremt den koster under 20 kr., og at solen, variablen y, skinner. Altså determinerer x og y udkommet af z. Det er samtidigt muligt at opstille en tabel:

Prisen er: 𝑥 = 0: Isen koster under 20 kr.
𝑥 = 1: Isen koster over 20 kr.
Vejrets tilstande er: 𝑦 = 0: Solen skinner.
𝑦 = 1: Solen skinner ikke.
Peter: 𝑧 = 0: Peter køber ikke en is
𝑧 = 1: Peter køber en is
Eller skrevet som 𝑧 = (𝑥̅ · 𝑦̅)

Den Booleske algebra har altså tydeligvis flere anvendelige aspekter. Men den har også sine begrænsninger. Boolesk algebra kan ikke bruges til at udtrykke udsagn så som: ”Sokrates er menneske.

Alle mennesker er dødelige. Ergo er Sokrates dødelig.”

En videreudvikling af logikken

Det blev vist, at Boolesk matematik ikke kunne udtrykke semantiske sammenhænge mellem sætninger.

Dette skyldes, at Boolesk matematik er første-ordens logik – altså, at der kun optræder konstanter og variabler. En videreudvikling af denne er anden-ordens logik. I denne kan variablerne antage mængder

14

I Boolesk matematik kaldes denne ”sætning 8”, og jeg har da også valgt at kalde den sætning 8 her.

15

Ebert, 1985, s. 40 x y z

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Side 7

[navn fjernet] Gymnasium

Side 5 af 26 som værdier. På den måde kan anden-ordens logik faktisk udtrykke al kendt matematik. [16] Denne form for logik blev indført af Gottlob Frege (). Han indførte de såkaldte kvantorer. De mest benyttede er eksistenskvantoren ∃ der læses ”der eksisterer” og alkvantoren ∀ som læses ”for ethvert”. Ved denne notation bliver det muligt at binde sine variable. Lad x og y være hele tal så læses: ∀𝑥∃𝑦(𝑦 > 𝑥) som ”for alle x eksisterer et y, så y er større end x.” [17]

Kvantorerne binder x og y, så de ikke er fri variabler. Som modsætning kan udtrykket x>2 nævnes. Sandhedsværdien af dette udtryk afhænger netop af værdien x.

Med bundne variabler kunne man udtrykke egenskaber ved variablerne ". [18]

Hvad er matematik?

Ordbogen definerer matematik således: ”videnskab om tal, figurer og mængder og de beregninger der kan

udføres på dem”^{19} Den brede definition kommer som et resultat af måden, vi bruger matematik på –

nemlig overalt. Det er svært at ”pege” på matematik, idet den er en indgroet del af samfundet. Matematik er i højere grad karakteriseret ved dens metode end ved dens område. [20] Matematik er komplicerede forhold i formatet sandt eller falsk – af denne grund fascineres nogle, mens andre synes at mangle graduering.

Hvad der kendetegner matematik, er dens rigide form, dens eksakte sprog, og ikke mindst dens konsistentsitet; også kaldet beviser. Men hvor skal man starte? Hvis alt skal bevises, vil man forsætte i det uendelige. Derfor må man altså starte med en grundantagelse, også kaldet et aksiom (fra græsk ”aksioma”, som betyder dom, bestemmelse, grundsætning) [21]. Et aksiom er et postulat, som qua sin selvindlysende natur ikke behøver bevis. Kravene til et aksiom er, at det skal være en simpel logisk antagelse. Desuden skal aksiomerne være konsistente, altså må 𝑝 og ¬𝑝 ikke kunne udledes af det samme aksiom. Dersom en kontradiktorisk sætning kan udledes af en algebraisk struktur, er alle sætninger i den algebraiske struktur principielt set forkerte. Matematiske sætninger bygger altså videre på allerede beviste sætninger, der af logiske slutninger tvinges til at være gyldige – heraf navnet ”den aksiomatisk deduktive metode”. Denne metode, eller fremgangsmetode om man vil, er ikke fuldstændig, for hvilke aksiomer skal vi godtage, og hvilke slutningsregler kan vi acceptere som valide? Beviser fungerer som logiske slutninger, og nedenstående er en gennemgang af disse.

Det direkte bevis

Dette bevis har formen ∀𝑥 ∈ 𝑀 ∶ 𝑝(𝑥) ⇒ 𝑞(𝑥) q(x) er altså sand for alle de værdier af x, hvor p(x) er sand. Et typisk træk ved det direkte bevis er at postulere, hvad man ønsker at vise. [22] Følgende er et eksempel på et direkte bevis: Postulat: Kvadratet på et lige tal er lige. Bevis: Lad x være et naturligt tal så

16

Doxiadis, Apostolos og Papadimitriou, Christos H: Logicomix (politisk revy 2012 1. udgave, 1. opslag) s. 334

17

Den store danske: kvantorer

18

Den store danske: prædikatslogik

19

Den danske ordbog: Matematik

20

Lützen, Jesper og Kiming, Ian: Matematisk Metode (2008), s. ix

21

Den danske ordbog: Aksiom

22

Lützen, og Kiming (2008), s. 14f

Side 8

[navn fjernet] Gymnasium

Side 6 af 26

                                                             2    2 2       2
x=2n hvor 𝑛 ∈ ℕ. n er stadig et lige tal, desuagtet multiplikationen med to. 𝑥 = 2 𝑛 = 2 ( 2𝑛 ) Da n er et

helt tal, er 2𝑛^{2} det også. Q.E.D.

Bevis ved kontraposition

Hvis det viser sig besværligt at gennemføre det direkte bevis, kan det være lettere at vise det negerede udsagn: ∀𝑥 ∈ 𝑀 ∶ ¬𝑝 ⇒ ¬𝑞 som da kan skrives: ∀𝑥 ∈ 𝑀:¬𝑞(𝑥) ⇒ ¬𝑝(𝑥) ≡ ∀𝑥 ∈ 𝑀:𝑝(𝑥) ⇒ 𝑞(𝑥).

                                                                  2
Nedenstående bevis er et eksempel på et bevis ved kontraposition: Postulat: Hvis 𝑥

er ulige, er x også

                                                                          2
ulige. Bevis: Hvis vi skal vise dette ved kontraposition, skal vi vise, at hvis x er lige, så er 𝑥 også lige.

Dette blev vist i sidste bevis. Q.E.D. [23]

Modstridsbeviser

Denne bevistype kaldes også ”reductio ad absurdum”, hvilket betyder ”reduceret til absurditet”. Måde hvorpå et udsagn q vises at være sand, er ved at postulere, at ¬𝑞 er sand. Hvis dette giver en modstrid, ses

det let, at q må være sand: ∀𝑥 ∈ 𝑀: 𝑞 ( 𝑥) ≡ ∀𝑥 ∈ 𝑀: (¬𝑞(𝑥) ⇒ ( 𝑝(𝑥) ⋀ ¬𝑝(𝑥))). Postulat: √ 2 er et

                                                      𝑚                      𝑚
rationalt tal Bevis: Dersom √ 2 er rationalt, skal der findes en brøk som er uforkortelig: √ 2 = . Man
                                                      𝑛                      𝑛

                     2
                         𝑚     𝑚
                                                    2    2
kan derfor sige: 2 = ( 2) = ( ) = . Hvilket vil sige, at 2𝑛 = 𝑚 . Som allerede vist må { 𝑛 ∈ ℕ } .
                  √
                                 2
                          𝑛     𝑛

2 2

                                                                       2    2
Derfor må der findes et naturligt tal p så 𝑛 = 2𝑝. Hvis dette indsættes i ligningen fås: 2𝑝 = 𝑚 . Det ses

da, at m er lige, og der kan derfor skrives 𝑚 = 2 hvor { 𝑞 ∈ ℕ}. Det er nu blevet vist, at både m og n går op
i 2, hvilket er i modstrid med, at^{𝑚}_{𝑛} er uforkortelig. Vi har derfor påvist en modstrid, hvoraf det følger, at det

modsatte af vores antagelse, at √ 2 ∈ ℝ, må være sand. Q.E.D.^{24}

Induktionsbevis

Vi ønsker at vise, at 𝑝

( 𝑛

) hvor 𝑛 ∈ ℕ, er sandt. Først vises det, at 𝑝(1) er sandt, kaldet induktionsstarten,

og derefter vises det at, 𝑝(𝑛 + 1) er sandt, hvilket kaldes induktionsskridtet. Induktionsaksiomet er
formuleret således: 𝑆 = { 𝑛 ∈ ℕ | 𝑃 ( 𝑛) er sand}, dvs. at S er mængden af de naturlige tal, for hvilke P(n) er

sand. [25] Vi har altså ikke vist, at P(n) er sandt for alle naturlige tal, men induktionsaksiomet siger, at såfremt man kan vise induktionsstarten og induktionsskridtet, er påstanden P(n) gyldig for alle naturlige tal. Dog vil der ikke her blive ført et induktionsbevis. [26]

Metamatematik

Tidligere spurgte jeg ”Hvad er matematik?”. Gennemgangen af bevistyperne godtgjorde, om end på et overfladisk niveau, for hvilke logiske slutningsregler man accepterer i den matematiske sfære. Men

23

Ibid s. 16f

24

Ibid. 17f

25

Møller, Jesper M: Tal-og gruppeteori s 5

26

Lützen,og Kiming, (2008), s. 43ff

Side 9

[navn fjernet] Gymnasium

Side 7 af 26 spørgsmålet var todelt, aksiomernes grundlag mangler stadig. For at forstå dette, er det også nødvendigt se på de tanker, der ligger til grund for matematikken. Hvordan man betragter matematik, har betydning for hvilke aksiomer, man kan acceptere. Det overordnede spørgsmål må være: Hvordan er matematik genereret? Som et produkt af menneskets tanker, altså noget vi opfinder, eller eksisterer matematik uafhængigt af individet, altså noget vi opdager? Matematisk sandhed bliver derfor et spørgsmål om, hvordan mennesket erfarer ting i verden. Kan man med rette påstå, at matematik er udtryk for sandheden, eller har matematik en iboende natur, der forhindrer dette? For at besvare dette, er det nødvendigt at gøre nogle ontologiske [27] overvejelser. Først er det nødvendigt at sondre mellem to former for domme [28] En måde

at se matematik på er analytisk. Dvs. at prædikatet er indeholdt i subjektet, og derfor er 1+1=2 netop fordi,

vi har defineret aritmetikken og aksiomerne således. En analytisk dom er altså en begrebsmæssig dom.

Modstykket til dette er de syntetiske domme. En syntetisk dom kan defineres som enhver dom, der ikke er analytisk [29]. Prædikatet er således ikke indeholdt i subjektet. En anden sondring der er nødvendig, er hvordan vi kan erfare. A priori (lat. ”fra det tidligere) er en viden, der går forud for sanseerfaringen. [30] Det er en viden, der kommer fra fornuften alene. A posteriori (lat. ”fra det senere”) er en erkendelse, der kommer fra sanserne. På baggrund af dette er det muligt at opstille et skema:

ANALYTISK DOM SYNTETISK DOM

A PRIORI Formalisme Platonisme^{31}

A POSTERIORI Ikke muligt Empirisme

Hvis matematik er a priori analytiske, er matematik et produkt af mennesket, og derfor opfinder vi matematik. Syntetisk a posteriori domme virker selvsagt mulige, men hvorfor skulle matematik være empirisk? Filosoffen John Stuart Mill () påstod, at vores forståelse af matematik sker på baggrund af gentagende sanselige erfaringer, og at det er qua de gentagende erfaringer, at matematik er blevet etableret. [32] Denne forestilling er problematisk i og med, at den ikke tillader matematik at udtale sig om det, vi ikke har sanset, hvilket matematik jo netop gør. Bevistyperne er netop fundamentet for matematik, og beviser sker jo uden empirisk belæg. Det interessante er hvorvidt, der findes noget, der erfares som en a priori syntetisk dom, altså noget som ikke er sandt qua definition, og noget vi kan erfare forud for sanserne. Hvis vi betragter matematik som syntetisk a priori, vil det være en platonistisk opfattelse. Nedenstående citat af Edward Everett () opsummerer på smukkeste denne opfattelse:

27

Ontologi (græsk ”læren om det værende”) er en filosofi disciplin, hvor man beskæftiger sig med måden hvorpå, noget kan være til. Det bruges desuden synonymt med begrebet metafysik

28

I erkendelsesfilosofi er det at fælde en dom et udtryk for at erfare noget.

29

Lagemaat, Richard van de: Theory of Knowledge for the IB Diploma (Cambridge University Press 2005, 2011) s 197.

30

Den store danske: a prior

31

Platons idelære vil ikke blive uddybet her, og det tages for givet, at læseren har kendskab til Platons filosofi.

32

Haugstrup, Asger og Juncher, Helene og Petersen, Søren Frejstrup Grav og Rauf, Mikkel Nichlas og Bryder, Rasmus Sylvester: Den matematiske grundlagskrise (2010), s.3

Side 10

[navn fjernet] Gymnasium

Side 8 af 26

” In the pure mathematics we are contemplate absolute truths which existed in the divine mind before the morning stars sang together, and which will continue to exist there when the last of their radiant host shall have fallen from haven” [33]

I denne optik eksister matematik som en uafhængig størrelse, og har derfor sandhedsværdi uafhængigt af mennesket. Altså opdager mennesket matematik. [34]

Denne retning kaldes også ontologisk realisme. [35]

Den diametrale modsætning til dette er ontologiske antirealisme. I deres opfattelse har sætninger om verden udelukkende eksistens qua vores bevidsthed om dem. [36]

Det er desuden værd at hæfte sig ved, at den gængse opfattelse blandt matematikere er en graduering af platonismen, hvor de tror, at matematik

                                                     37
eksisterer uafhængigt, men ikke abonnerer på hele Platons idelære.

Man kunne argumentere for, at det er qua den a priori erkendelse, at matematik får en æstetisk karakter. Det er den eneste naturvidenskabelige institution, hvor empiriske observationer ikke er nødvendige. Jeg mener, det er denne absolutte erkendelse, der vedrører noget af det mest komplicerede, som er muligt ved blot at tænke, og som kan formuleres med nøje eksakthed, der gør matematik smuk.

Den matematiske grundlagskrise

Denne – om end teoretiske - diskussion skal ses i lyset den opdagelse Bertrand Russell () gjorde

omkring mængdelæren fremsat i 1901: 𝑀 = { 𝐴 | 𝐴 ∉ 𝐴} Altså en mængde M der er defineret som mængden

af alle de mængder, der ikke er element i sig selv. [38]

Er M da element i sig selv? Dersom M er element i sig selv, kan M ikke være element i sig selv, og dersom M ikke er element i sig selv, er M element i sig selv.

Matematisk formuleret som: 𝑀 ∈ 𝑀 ⇔ 𝑀 ∉ 𝑀. [39]

Hvilket må siges at være ”reductio ad absurdum”.

Dermed er Freges logik, der netop beroede på mængdelæren, ikke længere gyldig. Ligeså stod matematikken med et problem, der skulle forklares. Med sine modsigelser kunne matematikken ikke længere med legitimitet siges at være et talerør for den absolutte sandhed. Målet var derfor at finde

                    40
matematikkens grundlag.

Logicismen

Frege var den første, der for alvor forsøgte at fundere aritmetikkens grundlag på logik [41]. Men med Russells påpegning af de modsigelser der ligger i Freges mængdelære, opgav Frege projektet. Russell prøvede selv

33

Lagemaat s.187.

34

Ibid. 197ff

35

Engelbrecht, Mette og Pedersen, Kim og Hornbech, Morten og Baltzersen, Jerôme: VtMat-projekt. (Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet) (2007) s. 2

36

Grundlagskrise. 9

37

VtMat s.16

38

Grundlagskrise s. 5

39

Også kendt som: En barber skal barbere alle i byen, som ikke barberer sig selv. Skal barberen da barbere sig selv?

40

Den følgende gennemgang af logicismen, formalismen og intuitionisme vil blive foretaget i grove træk, og der tages ikke højde for forskellige tolkninger.

41

Grundlagskrise s. 4

Side 11

[navn fjernet] Gymnasium

Side 9 af 26 på at løse hans paradoks, hvilket han gjorde i samarbejde med Alfred North Whitehead () i deres omfattende og svært tilgængelige værk Principia Mathematica. I Russells optik var logik ikke en gren af matematikken, tvært imod. Han så matematikken som en gren af logikken, og det var på baggrund af dette, at han ville basere hele matematikken på de grundlæggende logiske love. [42]

Ved at gøre matematikken så abstrakt som muligt, ville den kun referere til sig selv, og ville derfor ikke være præget af menneskets fejlbarlighed. [43] Dermed ville matematikken blive absolut, og derfor også af platonistisk karakter. Intet

skulle altså tages for givet, og som et kuriosum kan det nævnes, at de brugte 362 sider på at vise, at 1+1=2

(jævnfør bilag 1). Russell prøvede at undgå sit paradoks ved at indføre den såkaldte typeteori, som forbød den type af mængder, som Frege havde formuleret. Problemet var dog, at det viste sig umuligt at fundere matematikken på logik. Russells avancerede typeteori tvang ham dog til at indføre aksiomer, som ikke var logiske tautologier, og dermed indrømmede Russell også selv, at logicismen ikke kunne finde sikker viden

i matematikken.^{44}

Intuitionisme

En eksponent for intuitionismen var matematikeren L. E. J. Brouwer (). Hans projekt var at konstruere et nyt fundament for matematikken – ikke at forklare det gamle. Brouwer afviste, at matematikken eksisterede på et metafysik plan, i stedet er matematik genereret på et mentalt plan – altså er intuitionisterne ontologiske anti-realister. Matematik har derfor ingen sandhedsværdi i sig selv. Som et resultat af dette er man i Brouwer optik tvunget til at droppe visse fundamentale logiske påstande og principper. Hvis man opgiver den ontologiske realisme, kan man ikke påstå, at en sætning er sand eller falsk, fordi man i en ontologisk antirealistisk opfattelse ikke besidder denne viden. Derfor tvinges man til at droppe principium exclusi tertii [45], og dermed også modstridsbeviser. Dermed bliver 𝑝⋁¬𝑝 ≢ 𝑆. [46] Dermed er meget af den allerede eksisterende matematik ikke gyldig i intuitionismen, og dette bliver da også et problem for intuitionismen. Ved at tage ontologisk antirealisme til det ekstreme, bliver matematik til en relativ størrelse, da den ifølge intuitionismen er en mental konstruktion [47], og netop denne grad af subjektivisme forhindrer, at der kan være tale om objektive sandheder. [48]

Formalismen

Især én fremstående matematiker kunne ikke klare denne tanke, hans navn var David Hilbert ().

Hans mål var meget tydeligt: “for us there is no ignorabimus^{49} ”^{50}. I formalistisk perspektiv er matematik

42

VtMat s.8

43

Naturvidenskabens filosofiske historie s. 265f

44

Grundlagskrise s. 8

45 lat. Det udelukkedes tredje princip. Altså, at ethvert udsagn er enten sandt eller falsk

46

Grundlagskrise s. 8ff

47

Ibid s.10

48

VtMat, 11ff

49

Lat. ”vil vi ikke få at vide”

50

David Hilbert’s Radio Address

Side 12

[navn fjernet] Gymnasium

Side 10 af 26 ikke mere end leg med ord og symboler. matematiske objekter har derfor ingen mening eller eksistens uafhængigt af mennesket, og det er netop også derfor, at formalisme betragtes som analytisk a priori.

Meningen kommer qua menneskets fortolkning, meningen findes ikke i matematikken selv. Man kan derfor betragte formalismen som ontologisk antirealisme. Matematiske udsagn har derfor ingen sandhedsværdi i platonistisk forstand, men i stedet blev matematisk sandhed defineret som matematisk

                                                                             5152
konsistens i et givet system, og hvad der kan udledes af dette system, må derfor også være sandt.

Matematik er derfor ikke noget, der er genereret på et mentalt plan, men fordi matematiske symboler er uden mening, tillader det os stadig at fortolke dem, som vi behager. Derfor undgår formalismen ikke helt subjektivismen. [53] Målet var at reducere matematik til et strengt formelt system, og gennem analyse af dette system ville man påvise konsistens, og når sandhed var defineret som konsistens, ville man altså have påvist sandhed. Men hvilket system skulle man bruge til at analysere matematikken, og hvordan kunne man sikre dette systems konsistent? Hilberts løsning var, at analysen skulle foregå efter en særlig art finit matematik, som utvivlsomt var sand, og systemet skulle derfor også kunne påvise sin egen konsistent. Et andet problem vedrører matematikkens anvendelighed: Dersom matematik ikke har mening og ikke handler om noget og kun er sandt qua konsistens, hvordan kan man så forklare verden via matematik?

Dette giver formalismen intet svar på.

Er det muligt at give matematikken et sikkert grundlag?

Hvad der dog for alvor skulle vise sig at kuldsejle ”jagten” på sandheden, var beviset fremsat af Matematikeren Kurt Gödel (): ufuldstændighedssætningen. Gödel havde tidligere vist, at første-ordens logik, altså den form for logik hvor variablerne ikke kan antage mængder, kan bevises ud fra nogle simple aksiomer. [54] Men i 1931 beviste han, at der for anden-ordens logik, altså den form for logik der kan beskrive al kendt matematik, findes sande matematiske sætninger, som ikke kan bevises. [55] For at forstå dette er det nødvendigt at sondre mellem to former for sandheder i matematik: De sætninger der er analytisk sande, da man logisk ud fra aksiomerne kan slutte sig til disse, og de sætninger der er semantiske sande, altså sætninger hvis påstand gælder i enhver model, der også opfylder aksiomerne. [56] De er altså sande, fordi de ikke er forkerte. Gödel beviste altså, at der altid være semantisk sande sætninger, som ikke kan bevises inden for systemet selv. Dermed var Hilbert og formalismen tvunget til at indse, at deres projekt var umuligt. Det er vigtigt at pointere, at Gödel ikke beviste, at der var inkonsistent, han beviste blot, at man ikke formelt kan bevise, at systemet på et tidspunkt ikke vil avle modsigelser. Der er altså

                                    57
semantiske sandheder, som ikke kan bevises.

Det matematiske samfund stod derfor med et væsentligt

51

Grundlagskrise s. 13

52

VtMat s. 14

53 ibid s.16

54

Doxiadis og Papadimitriou (2012), s. 326

55

Den store danske: Kurt Gödel

56

Den store danske: metamatemaktik

57 ibid

Side 13

[navn fjernet] Gymnasium

Side 11 af 26 problem. For at løse dette blev ZFC [58] udviklet i starten af 1900-tallet. ZFC består af 9 aksiomer, men det er meget atypiske aksiomer. De følger ikke de dyder et aksiom bør, nemlig, at de er selvindlysende. I stedet har aksiomerne en meget mere pragmatisk karakter. ZFC danner altså et semantisk sandt grundlag, hvoraf analytiske sande sætninger kan udspringe - uden ZFC var dette ikke muligt. [59] ZFC giver altså ikke matematikken et ontologisk fundament, men fungerer som et værktøj for matematikere. Man må altså acceptere, at matematikken er foranderlig. Det står nu klart, at ingen af de tre grundskoler formår at give matematikken et filosofisk fundament. Men her må man overveje, hvorvidt dette er et problem. Hvis man accepterer, at matematik ikke er universel sand og tillægger matematikken et pragmatisk perspektiv, er matematikkens ontologi af lille betydning, da denne netop ikke har afgørende betydning for anvendelsen af matematikken. Dersom man er ontologisk realist, vedkender man, at matematik eksisterer uafhængigt af mennesket, og derfor må dets grundlag altså også eksistere uafhængigt. Det er kun i et ontologisk antirealistisk perspektiv, at matematikkens grundlag er af afgørende karakter. [60]

Med det sagt, er det vigtigt at pointere, at de tre førnævnte grundskoler ikke arbejder med samme graduering af ontologisk antirealisme. Resultatet af den matematiske grundlagskrise er, at der i dag ikke eksisterer en filosofi, der kan legitimere matematik som absolut sand. Der findes dog en måde hvorpå, man til en hvis grad kan sikre matematik et ontologisk fundament. Hvis man ikke, som alle tre grundskoler ellers gør, betragter matematik som a priori, men som en videnskab der er i et dialektisk forhold med andre videnskaber, kan man give matematikken et grundlag ud fra et a posteriori perspektiv. Idet matematik bliver en empirisk videnskab, bliver det ikke længere nødvendigt at redegøre for grundlag, der legitimerer et a priori perspektiv. Altså er vi tilbage ved den opfattelse af matematik, som først blev præsenteret af Mill, nemlig at matematikken har empiriske aspekter. Men samtidig mister matematik sin status som videnskabens dronning, da det netop var den a priori universelle karakter, der gjorde matematik ”smuk”.

Men hvorom alting er, findes der i dag ikke nogen teori, der kan siges at udgøre matematikkens grundlag.

Konklusionen må følgelig være, at man ikke kan tale om universelle sandheder i platonistisk forstand, men kun om analytiske sandheder, der beror på semantiske sandheder – altså er matematik foranderlig.

Leibniz’ drøm ser nu ud til at være svær at realisere, da matematik på et teoretisk niveau ikke kan klassificeres som universelt gyldigt. Hvad der sker, når man alligevel prøver at instrumentalisere logikken, er skuespillet Erasmus Montanus et glimrende eksempel på.

58

Står for ”Zermelo, Fraenkel og Choice. Zermelo og Fraenkel er navnet på dem som primært udviklede systemet, og Choice henviser til aksiomet ”axiom of choice”

59

Grundlagskrise s. 16

60 ibids. 17

Side 14

[navn fjernet] Gymnasium

Side 12 af 26

Erasmus Montanus^{61}

Erasmus Montanus er et skuespil forfattet af Ludvig Holberg (). Stykket er skrevet i 1723, men blev først opført i Danmark i 1751. [62]

Selvom den nykritiske metode fordrer, at et værk forstås autonomt, mener jeg, at man ikke kan forstå værket til fulde, dersom man ikke forstår den epoke, som værket er skrevet i, nemlig Oplysningstiden. Oplysningstiden strækker sig fra ca. Fra 1690 til ca. 1780 [63]. I centrum var menneskets rationelle formåen og kunnen. Man skulle betvivle og udfordre autoriteter – religion kunne ikke længere bruges som hjemmel. Det er især troen på individet og menneskets intellekt, der bliver hyldet.

Empirismen, altså den filosofiske skole, der tror på at viden sker a posteriori, blev den dominerende retning. Dette skal ses i lyset af, at naturvidenskaben vinder frem, og at den naturvidenskabelige metode netop beror på empiriske observationer. Derfor er det også vigtigt at have in mente, at datidens publikum godt var klar over, at jorden er rund. Men nok om dette, nu til selve værket:

Da Rasmus Berg kommer hjem, føler man ikke lige frem, at han er et sympatisk menneske. I stedet for at glæde sig over den snarlige genforening med sine forældre, er han mere optaget af sine bøger og studier:

”Hvis jeg ikke havde mine gode bøger med mig, kunne jeg ikke leve på landet.”^{64} Karakteren fremstår

derfor lidt stereotyp, og er øjensynligt en karikatur – en opfattelse der varer ved stykket igennem. Det er også let nok at finde eksempler, hvor hans snobberi kommer til udtryk, fx kan det nævnes, at han partout vil kaldes Erasmus Montanus, thi det hedder han i København. Hans ophold i København har, efter hans egen opfattelse, givet ham en særlig status. Hans forhold til broderen Jacob vidner derom: ”jeg er jo din

bror ved fødslen. Men du må vide at de est endnu en bondedreng, og jeg er philosophiæ baccalaureus.”^{65}

Hans hjemmel for at hævde dette er slet og ret hans akademiske baggrund. Det faktum, at familiære bånd i Erasmus’ optik kan ophæves på baggrund af forskellig uddannelse, er vidne om hans selvopfattelse. Jacob synes desuden ret ilde om det faktum, at Rasmus Berg vil tiltales Montanus, da det understreger den forskel på status, som Erasmus prøver at instituere. Det bliver også tydeligt, at brødrene har et meget forskelligt syn på, hvad der er vigtigt. For Jacob er det at få folkene på gården til at arbejde. Erasmus’ mål er derimod mere diffust. Man skulle umiddelbart tro at målet med at disputere, var at erhverve en ny viden, og således blive mere oplyst. Men det er øjensynligt ikke målet for Erasmus. For ham er det at disputere en sport, hvor man skal vinde. Da Jacob spørger, hvad Erasmus vinder ved at disputere, svarer Erasmus: ”Der

følger så meget deraf at jeg har den ære at vinde og passere for en lærd mand.”^{66} Hvad de to brødre anser

som vigtigt, bliver tydeligere, når vi sondrer mellem res (i bøjet form rem) og modus rei. Modus rei er tingens måde, altså måden hvordan et fænomen udrykker sig (fænomenverden i platonistisk terminologi).

61

Det skal indledningsvist bemærkes, at følgende analyse ikke belyser alle aspekter i Erasmus Montanus, men at det overordnede fokus vil være Erasmus’ brug af sprog.

62

Fibiger, Johannes og Lütken Gerd: Litteraturens veje (systime 2. udgave, 12 opslag), s. 120

63

Den store danske: Oplysningstiden

64

Holberg, Ludvig: Erasmus Montanus (dansklærerforeningen forlag 6. opslag), s. 19

65 ibid s. 20

66 ibid s. 54

Side 15

[navn fjernet] Gymnasium

Side 13 af 26

Res er derimod den bagvedliggende ide, altså hvorpå objektet tager sig ud i ideverdenen. [67] Altså kan man karakterisere res som indhold og modus rei som udtryk. For Erasmus er kernen res, hvorimod den for Jacob og de andre bønder, er modus rei. Jacobs mål er at producere, og i hans optik er lærdom evnen til at kunne omsætte sin viden til et produkt: ”Niels Christensen er den lærdeste mand her i byen, eftersom han har forbedret sin jord således at en tønde hartkorn deraf er 30 rigsdaler bedre end i hans formands tid” [68].

Jacob bekymrer sig ikke om nogen abstrakt verden, der ligger hinsides. Derimod fokuserer Erasmus på, at denne verden ikke er virkeligheden, men at virkeligheden findes i ideverdenen, altså res. Jacob vægter erfaringen, altså viden der er kommet a posteriori højest, hvorimod Erasmus vægter a priori viden højest.

På den måde kan man se Erasmus som eksponent for parnasset, og Jacob som symbol på bønderne der gør grin med universiteters higen efter det uforanderlige. At Erasmus ikke har sit fokus i fænomenverdenen bliver tydeligt, da Jacob beretter om om deres tur til Jeronimus: ”Da vi kom til Jeronimuses port, gik han lige til den side som porthunden stod, som havde kalfatret hans lærde ben, hvis jeg ikke havde trækket ham til den anden side. [69] ” Jacobs evner ser ikke bare ud til at være af pragmatisk art, de ser også ud til at være af livsnødvendig karakter.

Men selvom Jacob på ingen måde betragter sin bror som værende vis, afholder dette ikke landsbybeborene

                                                                                 70
fra at gøre det, som da Nille, Erasmus’ mor, siger: ”hvorledes kan den være ulærd, der prædiker vel? .

Erasmus, som er så glad for at disputere, argumenterer hende imod ved at hævde, at det, at prædike ikke kræver, at man bruger sin egen fornuft, men blot kræver, at man kan recitere andres tanker. Erasmus er altså ikke blind for, at studenter også kan være ufornuftige og ulærde. Det paradoksale består i, at han rigtigt nok problematiserer begrebet visdom, men at hans svar på dette er absurd: ”Vil en sige at dette bord

                                71
er en lysestage, så vil jeg forsvare det.”

Det er her værd at hæfte sig ved Erasmus’ forhold til verden.

Dersom man virkelig ville forsvare fornuften og den sande viden, kan man vel næppe argumentere for, at man skal forsvare usandheder, bare for argumentets skyld? Men det er hvad Erasmus gør, idet det for ham er en sport. For ham er filosofi altså ikke en higen efter den højeste sandhed, men et spørgsmål om at vinde eller tabe. For at forstå hvorledes han gør det, er det nødvendigt at forstå måden hvorpå han ræsonnerer; ved brug af syllogismer. Begrebet syllogisme blev først indført af Aristoteles (384 f.kr.-322f.kr.), og har været brugt til at ræsonnere lige siden. En syllogisme defineres således ”En syllogisme er et verbalt skema i hvilket, når visse antagelser gøres (præmisserne), noget andet end disse antagelser nødvendigvis følger

                                                72
(konklusionen) af det faktum at antagelserne er som de er.”

Der findes i alt 256 forskellige former for syllogismer, hvoriblandt kun 19 er gyldige. Altså findes der 237 ugyldige syllogismer. En korrekt brug af en syllogisme fordrer, at præmisserne er sande, og såfremt de er det, og såfremt man bruger en gyldig

67

Bredsdorff, Thomas s. 77

68 ibid s. 56

69 ibid s. 29

70 ibid s. 24

71 ibid s. 24

72 ibid s. 75

Side 16

[navn fjernet] Gymnasium

Side 14 af 26 slutning, bliver konklusionen af logiske årsager sand. Altså kan konklusionen betragtes som a priori viden.

I det platonistiske hierarki er konklusionen et stykke res, altså universelt sandt. Og det er derfor, Erasmus er så fascineret af syllogismer. I hans optik er modus rei nemlig, som tidligere nævnt, ikke af afgørende karakter. Hans tilnærmelsesvis guddommeliggørelse af syllogismer ses ved, at han ikke accepterer andre måde at ræsonnere på: ”Jeg vil ikke indlade mig i disput med en bondeslyngel, som du est. Hvis du forstod latin, så skulle jeg straks fornøje dig.” [73]

For ham har ting udelukkende en sandhedsværdi, såfremt de kan bevises med en syllogisme. Sandhedsbegrebet er altså tæt beslægtet med syllogismer. Dette ses for eksempel da Per Degn hævder, han ikke er en hane. Dertil svarer Erasmus: ”Kan I sige mig noget som kan

              74
befri jer derfra?” Med brug af syllogismer instituerer han en virkelighed i sproget selv – som om der

ikke er forskel på rem og modus rei.

Men beherske alle syllogismens regler til fulde, det gør han ikke. I nedenstående tilfælde slutter han ud fra to negationer en positiv – hvilket man ikke kan. Og derfor er konklusionen da også forkert. ”En sten kan

                                                 75
ikke flyve. (…) I kan ikke flyve. (…) Ergo er morlille en sten.”

Morlille begynder derefter at græde – hun tror faktisk, at hun er blevet en sten. At hun tror på dette virker bizart, men man skal holde sig for øje, at gammel folketro har mange taburegler, hvad angår sprog. Hvad Erasmus egentlig gør, er at konstatere, at morlille og en sten deler fælles egenskaber. Matematisk kan det beskrives således: ∃𝑃 ( 𝑚):¬𝐹(𝑃 ( 𝑚)) hvor P er en egenskab, m er morlille (og derfor læses ∃𝑃(𝑚) som, at der er en egenskab P ved morlille), og F er egenskaben at flyve, og derfor er ¬𝐹, selvfølgelig egenskaben ikke at kunne flyve. Hele udtrykket læses derfor, at der findes en egenskab ved morlille, som er, at morlille ikke kan flyve. På samme måde kan man beskrive en stens egenskaber: ∃𝑃

( 𝑠

)

:¬𝐹(𝑃

( 𝑠

)

) hvor s er en sten. Der findes altså en egenskab, som de deler. Men gør det dem identiske? Erasmus pointerer selv, der er en egenskab, de ikke deler: ”En

                                                                     76
sten kan ikke tænke eller tale. (…) Morlille kan tale. (…) Ergo er morlille ingen sten.”

At en sten ikke kan tale, kan udtrykkes som: ∄𝑃

( 𝑠

)

:𝑇(𝑃

( 𝑠

)

) hvor T at tale. Men for morlille ser det således ud:

∃𝑃

( 𝑚

)

:𝑇(𝑃

( 𝑚

)

), og derfor er 𝑃

( 𝑚

)

≢ 𝑃(𝑠). Erasmus misbruger i den grad sin formåen. Hvorvidt

Erasmus tror på, at modus rei ændrer sig, er mere kompliceret end som så. På den ene side tror han ikke selv på, at morlilles beskaffenhed afhænger af hans eget forgodtbefindende. Dette ses tydeligt, da Jacob spørger: ”Jeg vil gerne vide at når Månsøren vinder disputationen, om Per Degn da straks bliver forvandlet til en hane? Hvortil Erasmus svarer: ”Hvilken snak, han bliver derfor den samme som han

var.”^{77} Selv ved han, at der er forskel på indhold og udtryk, på res og modus rei. Men idet Erasmus mener

han overholder sprogets regler, mener han også, at sproget gengiver verden, som den er – hans brug af sprog stemmer altså ikke overnes med hans viden om sprogbrug. Men denne stædighed er dog også ved at koste ham dyrt. Da han gentagende gange hævder, at jorden er rund, strider han imod hvad bibelen siger -

73 ibid s. 55

74 ibid s.48

75 ibid s. 25

76 ibid. 26

77 ibid s. 55

Side 17

[navn fjernet] Gymnasium

Side 15 af 26 og det er som bekendt ingen smal sag. Jeronimus, som er far til Erasmus’ fæstemø Lisbed, siger: ”Jeg vil

                          78
aldeles ikke være jer svigerfar.”

Jesper ridefoged går så langt som til at sige: ”Ja, han (Erasmus) er

                        79
noget nær ved at blive ateist.”

Erasmus’ elskede filosofi skaber altså splid mellem ham og beboerne på

Bjerget. Og ikke nok med det, hans evige stædighed har også et andet aspekt: Magt. Som tidligere vist, er hans mål med at disputere udelukkende at vise overlegenhed. Den etos han besidder qua sit studie, giver ham en status, som er hævet over bøndernes, og derfor vejer hans ord mere i bøndernes såvel som i hans egen optik. Og når han gør, som han gør, bruger han ord som magt. Det er måske også Holbergs pointe:

Eliten kuer og isolerer befolkningen med deres ord. I en ideologikritisk læsning ville dette i hvert fald være en pointe.

Men for at forstå hvad det er, Erasmus gør med sproget, er det nødvendigt at se sproget som mere end værende enten sandt eller falsk, som Erasmus ellers gør. Logikken, matematikken, og syllogismer arbejder

kun i termerne sort/hvid, mens sproget som bekendt er mere end det. J.L. Austin () var den

første, der udarbejdede en egentlig teori om ytringer. Han påstand er, at sprog ikke kan tillægges nogen

sandhedsværdi. I Ord der virker^{80} bliver hans teori ganske tydelig: Man skal se en ytring som en handlig.

Selv nævner han ”Jeg døber dette skib ”Queen Elizabeth” – som det siges idet flasken knuses mod skibssiden.” [81] Verbummet ”døber” kan ikke tillægges nogen sandhedsværdi, men ordet udgør den egentlige handling. I Austins optik er det en misforståelse at karakterisere sproget som værende sandt eller falsk. I stedet ser Austin ytringer som mere eller mindre vellykkede. For ham er sproget et socialt fænomen, og det skal derfor anskues pragmatisk. Konteksten og målet med ytringen skal derfor altid tages i betragtning. At tale er at handle, og netop derfor har sprog også en indvirkning på verden – sprog skaber noget i verden.

Hvis denne måde at betragte sprog på overføres til Erasmus Montanus, ses det tydeligt, at Erasmus handler med sine syllogismer. I Erasmus’ optik er sproget udgjort af grammatik, retorik, logik og idelære. [82] I dette perspektiv er sproget statisk, og sprog er konstateringer på formen sandt eller falsk. Men det er ikke sådan, han bruger sproget. Hans ord skaber en verden, og for morlille bliver denne skabte verden også hendes virkelighed – hun bliver til en sten!

Erasmus bliver først bevidst om dette, da løjtnanten giver ham penge. Løjtnanten får på snedigste vis givet

penge til Erasmus, og ”Hvo som har taget penge på hånden, er en hvervet soldat.”^{83}. Ergo er Erasmus

                                                                             84
blevet en soldat. Erasmus protesterer dog og siger: ”Distinguendum est inter rem & modum rei” .

Erasmus indser nu selv, at der er forskel på rem og modus rei, at indhold ikke er det samme som udtryk.

Løjtnanten har brugt Erasmus’ eget kneb imod ham – det er her, satiren står i fuldt flor. Erasmus får dog

78 ibid s. 41

79 ibid s.43

80

Bogen er ikke forfattet af ham selv, men udarbejdet på baggrund af noter til forelæsningen han holdt i ved Harvard i 1955.

81

Ord der virker s. 37

82

Bruges her synonymt med metafysik, som vi ved, Erasmus har studeret.

83

Holberg s..62

84

Der må skelnes mellem indhold og udtryk (idéen og måden den træder frem på). 63.

Side 18

[navn fjernet] Gymnasium

Side 16 af 26 mulighed for ikke at blive soldat ved at indrømme, at jorden er flad. Men som Erasmus rigtigt nok

                                                                85
pointerer: ”Jeg kan jo ikke give jorden anden skikkelse end den af naturen har”

. Men for Jeronimus er

                                                                                 86
det meget tydeligt, at Erasmus’ ord faktisk skaber: ”lad ham blive soldat igen, til jorden bliver flak!”

Ved at bruge verbummet ”bliver”, indikeres det netop, at der er tale om en forandring. Er jorden ”flak” som en pandekage, eller er den rund? Desuagtet hvad Erasmus svarer, vil hans konstatering være en handling i og med, at svaret determinerer hans fremtid. Spørgsmålet er derfor ikke alene et spørgsmål om sandt eller falsk som i logisk terminologi, spørgsmålet rækker ud over dette. Det bliver nemlig også et spørgsmål om en mere eller mindre vellykket talehandling. At konstatere at jorden er rund, vil i den givne kontekst være en mindre vellykket talehandling og være decideret malplaceret, da konsekvenserne af dette er ilde. Men omvendt vil det i den logiske sfære være en korrekt konstatering. Man kan altså sige, at når

Erasmus siger: “jorden er så flak som en pandekage.”^{87} er det egentlig en korrekt talehandling i den givne

kontekst, og således bliver ”jorden er rund” en forkert, netop fordi det er en forkert talehandling i den givne situation.

Slutteligt kommer løjtnanten med en opsang. Det virker oplagt at se ham som Holbergs talerør, og det er derfor i opsangen, at moralen skal findes. ”Mig synes det fornemmeste man burde lære i skolerne, er alt hvad som strider mod det som I er befængt med (…) Thi den sunde filosofi lærer os at vi bør dæmpe og

                                                                                88
stille tvistigheder, at stå fra vore meninger så tit vi overbevises af den ringeste at være vildfarende.” Der

skal være soberhed i fornuften og talens anvendelse. Argumenter skal derfor ikke formaliseres og ikke tjene noget mål i sig selv. I det formaliserede skema tænker man ikke selv. Løjtnanten, eller Holberg om man vil, spørger åbenlyst om oplysningstiden nu også rent faktisk er oplyst. Erasmus instrumentaliserer metafysikken og skaber splid derved, imens bønderne stadig tror blindt på biblens dogmatik. Holbergs pointe kan opsummeres i to ord: Sapere aude. [89]

Det er ikke vist at bruge sit intellekt som magt; viden forpligtiger. Man skal være sig bevidst, at viden ikke er universel, og man skal derfor altid ture tvivle. Det sofistikerede i Erasmus Montanus ligger i, at kritikken er tvetydig; Erasmus kan være en tåbe, men han kan også ses som en forsvarer af sandheden: Jorden er rund, han har principielt ret, men han bukker under for den stokkonservative masse. Der findes derfor ikke nogen entydig konklusion, da fortolkningen altid vil afhænge af, i hvor høj grad man identificerer sig med Erasmus – og det vil igen altid variere alt efter tidsånden.

Hvad er sandhed?

I Erasmus Montanus er der således mange forskellige opfattelser af virkeligheden. For Erasmus’ vedkommende ender hans stædige forsøg på indførslen af logikken i sproget med et nederlag. Spørgsmålet

85

Holberg s. 44

86 ibid s. 67

87 ibid s. 67

88 ibid s.. 66

89 lat. Hav mod til at være klog.

Side 19

[navn fjernet] Gymnasium

Side 17 af 26 er nu: Kan logikken bruges til at beskrive fænomener i den virkelige verden, som de er, eller har logikken, og dermed også matematikken, sine begrænsninger? For at besvare dette spørgsmål er det nødvendigt at eksplicitere, hvad der forstås med sandhed.

Først er det tydeligt, at der må skelnes mellem absolut sandhedsværdi, så som tautologier, og sætninger med en relativ sandhedsværdi. Sætninger med en relativ sandhedsværdi er sætninger, der er sande alt efter konteksten. [90] Sætninger der har en absolut sandhedsværdi, har det af logiske årsager, og er derfor sande uanset omstændighederne. Derfor kaldes sandhedsteorier, der beror på et logisk princip, da også for statiske teorier. [91] De to nedenstående sandhedsteorier er eksempler på statiske teorier:

Korrespondensteorien

I denne teori er sandhed defineret ud fra, hvor godt et udsagn er i overensstemmelse med virkeligheden.

Denne måde at opfatte sandheden på forudsætter naturligvis, at der findes en bevidsthedsuafhængig virkelighed, og at vores meninger om denne er sande. Denne opfattelse af sandhed er meget i overensstemmelse med naturvidenskabens, da naturvidenskaben forsøger at tilpasse en teori til et fænomen i verden, så teorien på bedst mulig måde er i overensstemmelse med, hvad den forsøger at beskrive. Dette virker, om end trivielt, men er faktisk problematisk; hvordan vurderer man, om et udsagn er i overensstemmelse med verden? Fx: Alle svaner er hvide. [92]

Udsagnet er et a posteriori udsagn og er sandt, dersom man ikke har set andet. Men betyder det, at der ikke findes svaner med andre farver? Nej, for sorte svaner findes faktisk. Pointen er, at når en dom er a posteriori, kan man aldrig være sikker på, at det altid vil være sandt. Men i stedet for at sige ”alle svaner er hvide”, kunne man sige: ”Den svane er hvid”. Men dette afføder et andet problem: Kan sprog gengive verden, som den er? Svaret vil være, at sprog umuligt kan gengive verdens faktiske beskaffenhed, da nuancer ofte negligeres i sproget – forstil dig bare at beskrive et maleri. Et eksempel på at sproget kan bedrage, er maleriet ”La Trahison des imageser” [93] af René Magritte () (jævnfør bilag 2). Om det er en pibe, eller ikke er en pibe, afhænger af, hvad man forstår ved en pibe. Altså er korrespondensteorien ikke uden problemer. [94]

Kohæsionsteorien

Denne teori siger, at noget er sandt, hvis den passer til det, vi allerede ved. Som allerede vist, blev et udsagn i formalismen defineret som sandt, såfremt at udsagnet ikke skabte inkonsistens. Man kan altså sige, at det matematiske paradigme er tæt beslægtet med kohæsionsteorien. Problemet er dog imidlertid, at denne teori ikke tillader ny viden. Dersom ny viden ikke må være i modstrid med den viden, man allerede har akkumuleret, ville man ikke være i stand til at lære noget nyt. Kohæsionsteorien tillader altså en høj

90

Den store danske: Sandhed ( absolut og relativ)

91

Den store danske: Sandhed (Sandhed som sætningsprædikat)

92

Dette eksempel blev brugt af Karl Popper ()

93

På dansk: Billedernes bedrag.

94

Lagemaat s. 440f

Side 20

[navn fjernet] Gymnasium

Side 18 af 26 grad af subjektivisme, og man kan derfor ikke tale om den faktiske sandhed, men derimod om den sandhed

              95
individet oplever.

Som modstykke til de statiske teorier står de dynamiske teorier, som alle tager udgangspunkt i, at sandheden afhænger af konteksten. Den pragmatiske sandhedsteori er et eksempel på en dynamisk teori.

Den pragmatiske sandhedsteori

Som navnet antyder, er sandhed nært beslægtet med anvendelighed. Dersom et udsagn er brugbart og kan omsættes til praksis, er det sandt. Denne teori går så langt, som til at kunne gøre Guds eksistens til en

                                                                              96
sandhed:”If the hypothesis of God works satisfactorily in the widest sense of the world, it is true.” Men

bare fordi noget tilsyneladende virker, bliver det jo ikke nødvendigvis sandt. Hvis jeg beder bønner, og det derefter går mig godt, ville det være oplagt at sige, at der er en kausal sammenhæng mellem bønnerne og det faktum, at det går mig godt. Men det kunne tænkes, at bønnerne ikke var den direkte årsag, og at der i stedet var en anden forklaring. Ud over dette kausalitets problem, kan man også betvivle, om noget først er sandt, når det omsættes til praksis. Dette ville betyde, at teoretisk matematik burde kvalificeres som ikke sandt. Men forestil os nu, at denne teoretiske matematik bliver anvendelig om 100 år. Har matematikken så været falsk i de 100 år, hvor den ikke har været anvendt? Dette ville virke absurd. Man kunne også spørge sig selv, om anvendelighed er et kriterium for sandhed, eller om anvendelighed ikke blot er en konsekvens

af sandhed?^{97}

Indførsel af logik i sproget

Ovenstående viser med al tydelighed, at begrebet sandhed er mere diffust end som så. Alle teorier har deres forcer og pointer, men alle har de også svagheder. Lad os nu tage Erasmus Montanus. Erasmus’ forsøg på at indføre syllogismer i sproget, ender grelt. Men hvorfor lader det sig ikke gøre? Svaret skal findes i den matematiske metode. Logik og matematisk fordrer, at præmisserne er sande. Men ovenstående gennemgang af sandhedsbegrebet viser, at det er umuligt at definere ”sandt” entydigt. Der er en hårfin grænse mellem relativt og absolut sandt, og når man som Erasmus ikke skelner, ender man med absurde udsagn. Hvis den matematiske sandhedsforståelse skulle overføres på sproget, ville det kræve, at det matematiske paradigme blev overført til sproget. Men dette ville være problematik, for ikke at sige umuligt. Det ville kræve, at der blev indført aksiomer i sproget. Hvad skulle dette være? Her kunne man dog argumentere for, at tautologier kunne fungere som en form for aksiomer, og at man ud fra disse kunne definere nogle gyldige slutningsregler. Men det beskriver stadig ikke, hvilke krav man skulle stille til præmisserne. Man kunne sige, at de skulle være sande, men hvis det var tilfældet, så overvej følgende: I kohæsionsteoriens optik er jorden flad, thi sådan tænker bønderne. Men samtidig er jorden også rund, thi

95 ibid s. 442f

96 ibid s. 444

97 ibid s. 443 f

Side 21

[navn fjernet] Gymnasium

Side 19 af 26 sådan tænker Erasmus. Altså 𝑝 ∧ ¬𝑝, som selvfølgeligvis er en modstrid. Lignende modstrid kunne også vises med de øvrige sandhedsteorier. Eftersom sandhed ikke kan defineres, giver det ikke mening at formalisere relative sandheder, da dette afføder modstridigheder, og derfor i sin natur slet ikke lader sig formalisere. Men det er vel stadig muligt at formalisere absolutte sandheder? Praktisk set ja: ”Sokrates er menneske, alle mennesker er dødelige, ergo er Sokrates dødelig.” Men hvad forstås der med universel?

Som det blev vist tidligere, er det ikke muligt at give matematikken et sikkert grundlag og bevise dens konsistent, og man kan derfor ikke med rette sige, at matematik er universel. Mange matematikere er jo ontologiske antirealister og mener altså, at matematik er opfundet af mennesker. En anden ting at overveje er, hvorvidt matematik kan forstås uden fortolkning? Formalisterne hævdede jo netop, at matematik ikke symboliserede noget. I dette perspektiv kan matematik altså kun forstås, fordi mennesket fortolker meningsløse symboler. Det er derfor ikke teoretisk muligt at kvalificere noget som universelt, og deraf følger, at sætninger - i et rent teoretisk perspektiv - kun kan være relative, hvilket jo ser ud til at undergrave hele logikken. Men man kan desuden spørge sig selv, om det virkelig kræver en syllogisme for at konstatere, at Sokrates er dødelig? Skal hele logikken så opgives? Svaret er selvfølgelig nej. For logikken har et pragmatisk aspekt (faktisk bygger al datalogi i bund og grund på logik), og som den pragmatiske sandhedsteori foreskriver, er noget sandt, når det kan anvendes. Pointen er, at logik er en graduering af sandhed, og den kan derfor ikke beskrive den universelle sandhed. Man skal være påpasselig med brug af logikken. Som Austin netop pointerede, er sprog også handlinger. Sprog kan faktisk skabe sin egen sandhed. At dette er tilfældet kan ses ved religion. Religion bygger udover rituelle handlinger først og fremmest på ord. Gud ville ikke eksistere uden ord, og i den pragmatiske sandhedsteoris optik, kunne Gud netop godt fortolkes som en relativ sandhed. Et andet eksempel kan ses i Erasmus Montanus, da morlille bliver en sten. Med ord skaber Erasmus en verden, som morlille fortolker som virkeligheden, og det bliver derfor sandheden for hende. Spørgsmålet må nu være: Hvad er alt dette evigt foranderlige, som logik ikke kan bekrive? Svaret er menneskets virke.

Sandhed i den humanistiske sfære

Uanset hvordan man prøver at beskrive mennesket, vil man aldrig til fulde forstå mennesket. En videnskabelig biologisk beskrivelse af mennesket vil uden tvivl beskrive mennesket, men man vil ikke have forstået mennesket. End ikke psykologien, som jo er studiet af mennesket, forstår mennesket fuldt ud.

At logikken skulle kunne formalisere noget så komplekst som menneskets tanker, er derfor utopi. Overvej alle de udsagn hvor præmisserne ikke er sande eller falske, men nuancerede. Som fx ytringen: ”Jeg føler ikke, du bridrager nok til vores forhold.” Er det sandt eller falsk? Svaret afhænger uomtvistelig af perspektiv. Og det gunstige svar er i hvert fald ikke bare placering af ansvar. I et tilfælde som dette kan logiske slutninger ikke bruges, da denne metode har særlige rammer, og dersom emnet falder uden for denne ramme, er logik malplaceret. Et andet eksempel på malplaceret logik er, når Erasmus ”beviser”, at

Side 22

[navn fjernet] Gymnasium

Side 20 af 26

                                                                                98
Per Degn er en hane. Dog konstaterer Jesper: ”jeg finder i min samvittighed at jer mening er falsk”. Hans

hjemmel bliver noget så abstrakt som ”samvittighed”, men desuagtet har han ret. Hans pointe er, at der findes noget som syllogismer, og dermed også logikken, ikke kan udtale sig om. Nemlig livet selv.

Spørgsmålet bliver nu: Hvad skal der til for at beskrive livet?

Over scenen på Odense Teater står der ”I kunsten kan livet kendes”, hvilket jeg personligt tror er rigtigt.

Sandt på den måde, at der i den humanistiske sfære ikke kan tales om sandhed. Hvorfor dette er tilfældet, skyldes, at sprog ikke kan gengive verden, som den er, og at ting er foranderlige. Sandhedsteorierne viste netop også, at der findes personlige sandheder. Man kan derfor tale om forskellige sandheder, da den egentlige sandhed (hvis den findes) ikke umiddelbart kan forstås af os, og fordi alting forstås relativt i forhold til individet. Der er derfor en sandhed for mig og en sandhed for dig. Hvorvidt disse sandheder vi føler faktisk er rigtige, kan i og for sig være irrelevant. Religion spiller en enorm rolle i vores samfund på trods af, at ingen har kunne bevise Guds eksistens. [99]

Nok eksisterer den religiøse praksis som fænomen i verden, men den egentlige tro på Gud eksisterer kun i individet. At noget opdigtet, som ikke findes fysisk i verden, kan have stor betydning, ses i Erasmus Montanus. Skuespillet, som er fiktivt og egentligt blot er en opdigtet verden, resulterede i, at samfundet var nødt til at revidere sin selvopfattelse. [100] I et matematisk perspektiv ville intet sandt kunne komme af noget falsk, men selvom historien er fiktiv, kan den stadig rumme elementer af sandhed. Fiktion og kunst er der, hvor holdninger, følelser og passion kommer til udtryk. Men frem for alt problematiserer kunsten de fænomener i verden, der er under konstant forandring.

Der er derfor umuligt at formalisere kunst, da kunst ikke er statisk og objektiv, men foranderlig, og altid afhænger af en subjektiv fortolkning. Jeg vil derfor mene, at sandhed i den humanistiske sfære er en helt anden form for sandhed end den, der er i den matematiske sfære. Det giver ikke mening at sammenligne

disse former for sandhed. 1+1=2, og dette er også rigtigt om 500 år. Derimod vil kønssynet uden tvivl vil

være et andet om 500 år. Matematik har altså mere universelle (men som vist ikke absolutte) udsagn, hvorimod der i den humanistiske sfære, snarere er tale om universelle temaer, som aldrig vil være sandt eller falsk, men alt det ind i mellem.

Konklusion

Jeg kan på baggrund af min diskussion om det matematiske sandhedsbegreb konkludere, at der i matematik ikke er tale om absolutte sandheder. Derimod kan matematik tale om analytiske sandheder institueret af mennesket inden for afgrænsede matematiske rum. At matematik ikke kan tale om absolutte sandheder skyldes for det første, at aritmetikken ikke kan bevise sin egen konsistentsitet og for det andet, at matematikken ikke har et ontologisk fundament, der kan legitimere, at matematiske udsagn har en sandhedsværdi i platonistisk forstand. Jeg kan også konkludere, at det er umuligt at sammenligne det

98

Holberg s.50

99

Matematikere, blandt andre Gödel, har dog bevist Guds eksistens med logik, men her vil jeg hævde, at dette er et andet eksempel på malplaceret brug af logikken.

100

Bredsdorff, Thomas s. 117.

Side 23

[navn fjernet] Gymnasium

Side 21 af 26 matematiske sandhedsbegreb, med det sandhedsbegreb der eksisterer i den humanistiske sfære. Da man kan se sproget som værende mere end blot konstateringer, kan logikken ikke implementeres i sproget.

Dette skyldes, at logik fordrer et matematisk paradigme, og dette kan ikke etableres i den humanistiske sfære, da sandhedsbegrebet i denne er knyttet til et subjektivistisk perspektiv. Som følge af forskellige definitioner på sandhed kan en komparativ analyse af sandhedsbegrebet i matematik og humaniora derfor ikke lade sig gøre. Konsekvensen af dette er, at Leibniz’ drøm om et scientia universalis må opgives.

Ultimativt betyder det, at hverken matematik eller humaniora kan udtrykke en universel og absolut sandhed.

There are many kinds of eyes… and consequently there are many kinds of ”truths”, and

                          101
consequently there is no thruth”

101

Citat af Friedrich Nietzsche () Lagemaat s. 439

Side 24

[navn fjernet] Gymnasium

Side 22 af 26

Litteraturliste

Austin, J.L.: Ord der virker (Gyldendal 1997) Overstat af Andersen, John E.

Bollerslev, P. og Pedersen, Inge Wendell og Pedersen, Johs. Elementær matematisk logik (Gyldendal

1968)

Doxiadis, Apostolos og Papadimitriou, Christos H: Logicomix (politisk revy 2012 1. udgave, 1. opslag) Ebert, Jørgen: Boolesk Algebra (Systime 1. opslag 1985)

http://www.ugle.dk/boole.pdf

(Dato: )

Engelbrecht, Mette og Pedersen, Kim og Hornbech, Morten og Baltzersen, Jerôme: VtMat-projekt. (Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet) (2007)

http://baltzersen.info/files/_vtmat_projekt.pdf

(Dato: )

Forkortelse: VtMat

Fibiger, Johannes og Lütken Gerd: Litteraturens veje (systime 2. udgave, 12 opslag)

Haugstrup, Asger og Juncher, Helene og Petersen, Søren Frejstrup Grav og Rauf, Mikkel Nichlas og Bryder, Rasmus Sylvester: Den matematiske grundlagskrise (2010)

http://math.ananas.nu/vtmat/projekt.pdf

(Dato: )

Forkortelse: Grundlagskrise

Holdberg, Ludvig: Erasmus Montanus (dansklærerforeningen forlag 6. opslag) Bogen er desuden forsynet med et efterskrift af Bredsdorff, Thomas.

Lagemaat, Richard van de: Theory of Knowledge for the IB Diploma (Cambridge University Press 2005,

2011)

Forkortelse: Lagemaat

Lützen, Jesper og Kiming, Ian: Matematisk Metode (2008)

http://www.math.ku.dk/noter/filer/matm09.pdf

(Dato: )

Side 25

[navn fjernet] Gymnasium

Side 23 af 26

Møller, Jesper M: Tal-og gruppeteori

http://www.math.ku.dk/kurser/1998-2/mat1algebra/noter.ps

(Dato: )

Naturvidenskabens filosofiske historie

http://robinengelhardt.info/pdf/ergoonline/261-

267%20Formaliseringens%20graenser%20i%20matematik%20og%20logik.pdf

(Dato: )

David Hilbert’s Radio Address

http://math.sfsu.edu/smith/Documents/HilbertRadio/HilbertRadio.pdf

(Dato: )

Redaktionen: ”udsagnslogik”

http://www.denstoredanske.dk/Sprog%2c_religion_og_filosofi/Filosofi/Logik/udsagnslogik

(Dato: )

Redaktionen: ”Kvantorer”

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Regning,_algebra_o
g_talteori/kvantorer

(Dato: )

Redaktionen: ”prædikatslogik”

http://www.denstoredanske.dk/Sprog,_religion_og_filosofi/Filosofi/Logik/prædikatslogik

(Dato: )

Redaktionen: ”A priori”

http://www.denstoredanske.dk/Sprog,_religion_og_filosofi/Filosofi/Filosofiske_begreber_og_fagudtryk/a_

priori

(Dato: )

Side 26

[navn fjernet] Gymnasium

Side 24 af 26

”Kurt Gödel”

http://www.denstoredanske.dk/Sprog,_religion_og_filosofi/Filosofi/Logik/Kurt_Gödel

(Dato: )

Redaktionen: ”Metamatematik”

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Matematik_generelt/

metamatematik

(Dato: )

Redaktionen: ”Oplysningstiden”

http://www.denstoredanske.dk/Sprog,_religion_og_filosofi/Filosofi/Oplysningstiden,_engelsk_deisme_og_
kritisk_filosofi/oplysningstiden

(Dato: )

Redaktionen: ”sandhed (Absolut og relativ sandhed)”

http://denstoredanske.dk/Sprog,_religion_og_filosofi/Filosofi/Filosofiske_begreber_og_fagudtryk/sandhed
/sandhed_(Absolut_og_relativ_sandhed)

(Dato: )

Redaktionen: ”sandhed (Sandhed som sætningsprædikat)”

http://denstoredanske.dk/Sprog,_religion_og_filosofi/Filosofi/Filosofiske_begreber_og_fagudtryk/sandhed
/sandhed_(Sandhed_som_sætningsprædikat)

(Dato: )

Den danske ordbog: Aksiom.

http://ordnet.dk/ddo/ordbog?query=aksiom

(Dato: )

Den danske ordbog: Matematik

http://ordnet.dk/ddo/ordbog?query=matematik

(Dato: )

”Informationer lyver” Information 26. juli 2002

http://www.information.dk/71188

(Dato: )

Side 27

[navn fjernet] Gymnasium

Side 25 af 26

Leibniz’ dream. (2011)

http://ratioc1nat0r.blogspot.dk/2011/06/leibniz-dream.html

(Dato: )

Bilag 1

Billede hentet fra: http://mathground.net/philosophiae-naturalis-principia-mathematica-sir-isaac-

newton/

Bilag 2

Billede hentet fra: http://www.hojskolebladet.dk/nyheder/2013/april/dette-er-ikke-en-pibe