SRP om Uendelighed og mængdelære i Matematik og Dansk

Indledning

Uendelighed er meget bredt og for nogle utrolig abstrakt begreb, der kan være svært at forstå. I dette studieretningsprojekt vil jeg søge at gøre dette abstrakte begreb mere håndgribeligt. Dette vil jeg gøre ved en gennemgang af forskellige matematikfaglige betydninger af begrebet uendelighed. Jeg vil også fokusere på resultater, der umiddelbart kan virke som paradokser. Ligeledes vil jeg gennemgå begrebet kardinaltal for både endelig og uendelig mængder. Yderligere vil jeg bevise eksistensen af ikke-rationale tal, samt bevise eksistensen af mængder med overtælleligt mange elementer. Med udgangspunkt i ovenstående vil jeg udarbejde en populærvidenskabelig artikel, der har til formål at formidle svært tilgængeligt stof til den typiske læser af ”Weekendavisen”. Afslutningsvis vil jeg reflektere over mine overvejelser, i forhold til artiklen, i et meta-danskfagligt afsnit.

07/03/19 Side 5 af 25

Uendelighed

For at kunne forstå uendelighed, bliver man nødt til først at kunne forstå mængdelæren. Det var George Cantor, der definerede de første begreber i mængdelæren. En mængde defineres ved en samling af vilkårlige, forskellige objekter. Disse objekter kaldes for elementer, hvis de altså findes i en pågældende mængde. Mængderne bliver betegnet med store latinske bogstaver og elementerne bliver betegnet med små latinske bogstaver. Dette bliver dog ikke altid overholdt da nogle mængders elementer, kan være andre mængder I stedet for at skrive med ord at elementet a tilhører mængden A kan man skrive det med tegn, dette ser således ud . Hvis jeg kalder en mængde for , kan jeg skrive at 3 er et element, der tilhører mængden A, ved at skrive og jeg kan skrive at 6 ikke tilhører A ved at skrive . På figur 1 kan man se, hvordan elementet a er en del af mængden A, hvorimod elementet b ikke er en del af mængden A.

Hvis elementerne i en mængde A også er elementer i mængden B, siger man at A er en delmængde af B og dette kan skrives således eller , hvor man kan se at mængden A er en del af mængden B. Dette er illustreret på figur 2. Relationen mellem disse mængder kaldes inklusion og tegnene og kaldes for inklusions tegn Indenfor matematikken arbejder man med nogle grundlæggende mængder. De fire som jeg vil arbejde med, kaldes de naturlig tal, de hele tal, de rationale tal og de reelle tal.