SRP om Uendelighed og mængdelære i Matematik og Dansk

Side 1

Uendelighed og mængdelære

Studieretningsprojekt 2013

Side 2

07/03/19 Side 2 af 25

Abstract

Inside the great world of mathematics you will find many great minds each giving huge contributions to the development of the very base that mathematics are founded on. Even today it is affecting our everyday life. No computers, iPads, mobile phones etc. would work if not these great minds had developed the algorithms, which every modern technology builds on.

This project examines the features of infinity within mathematics using the set theory, paradoxes, infinite series and cardinality. The project is divided into three parts: a technical mathematical part, a popular science article of which the target group are the readers of Weekendavisen and at last a part where I debate my considerations about the contents of the article. The mathematical part explores areas such as the set theory including the mathematician Georg Cantor’s work with the natural-, real-, and rational numbers, Zenons paradoxes and the infinite series including the Taylor series and cardinality covering both finite and infinite sets.

The article is my way of transforming the technical mathematic theories, allowing non-mathematicians to understand the meaning of the set theory and Zenons paradox “Achilles and the Tortoise”. The debate of my considerations is based on the purpose of the article, the translation from the mathematic language to an understandable language and the type of person who reads Weekendavisen. Based on this project and my investigations I can conclude that there are to types of infinity, the infinity of the natural numbers and the real numbers. Through mathematical demonstrations I have shown that the cardinality of the real numbers are bigger than the cardinality of the natural numbers. Through the debate the project shows that one have to put a lot thoughts into the making a popular science article, one shall think about layout, type of words and one have to be able to write an article within the limits of the target group.

Side 3

07/03/19 Side 3 af 25

Indholdsfortegnelse

Indledning………………………………………………………………………………………………………………………………....... 4

Uendelighed…………………………………………………………………………………………………………………………………. 5

Matematikkens paradokser………………………………………………………………………………………………………… 12

Uendelighedens verden……………………………………………………………………………………………………………… 16

Meta-afsnit…………………………………………………………………………………………………………………………………. 20

Konklusion………………………………………………………………………………………………………………………………….. 24

Litteraturliste……………………………………………………………………………………………………………………………… 25

Bilag 1…………………………………………………………………………………………………………………………………………… 27

Bilag 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 28

Side 4

07/03/19 Side 4 af 25

Indledning

Uendelighed er meget bredt og for nogle utrolig abstrakt begreb, der kan være svært at forstå. I dette studieretningsprojekt vil jeg søge at gøre dette abstrakte begreb mere håndgribeligt. Dette vil jeg gøre ved en gennemgang af forskellige matematikfaglige betydninger af begrebet uendelighed. Jeg vil også fokusere på resultater, der umiddelbart kan virke som paradokser.

Ligeledes vil jeg gennemgå begrebet kardinaltal for både endelig og uendelig mængder. Yderligere vil jeg bevise eksistensen af ikke-rationale tal, samt bevise eksistensen af mængder med overtælleligt mange elementer. Med udgangspunkt i ovenstående vil jeg udarbejde en populærvidenskabelig artikel, der har til formål at formidle svært tilgængeligt stof til den typiske læser af ”Weekendavisen”. Afslutningsvis vil jeg reflektere over mine overvejelser, i forhold til artiklen, i et meta-danskfagligt afsnit.

Side 5

07/03/19 Side 5 af 25

Uendelighed

For at kunne forstå uendelighed, bliver man nødt til først at kunne forstå mængdelæren. Det var George Cantor, der definerede de første begreber i mængdelæren. En mængde defineres ved en samling af vilkårlige, forskellige objekter. Disse objekter kaldes for elementer, hvis de altså findes i en pågældende mængde. Mængderne bliver betegnet med store latinske bogstaver og elementerne bliver betegnet med små latinske bogstaver. Dette bliver dog ikke altid overholdt da

nogle mængders elementer, kan være andre mængder^{1}.

I stedet for at skrive med ord at elementet a tilhører mængden A kan man skrive det med tegn, dette ser således ud . Hvis jeg kalder en mængde for , kan jeg skrive at 3 er et element, der tilhører mængden A, ved at skrive og jeg kan skrive at 6 ikke tilhører A ved at skrive. På figur 1 kan man se, hvordan elementet a er en del af mængden A, hvorimod

2 elementet b ikke er en del af mængden A.

Hvis elementerne i en mængde A også er elementer i mængden B, siger man at A er en delmængde af B og dette kan skrives således eller , hvor man kan se at mængden A er en del af mængden B. Dette er illustreret på figur 2. Relationen mellem disse mængder kaldes

inklusion og tegnene og kaldes for inklusions tegn^{3}.

Indenfor matematikken arbejder man med nogle grundlæggende mængder. De fire som jeg vil arbejde med, kaldes de naturlig tal, de hele tal, de rationale tal og de reelle tal.

Mængden N består af alle de naturlig tal og indeholder elementer, som består af alle de positive, hele tal, altså .

Mængden Z består af alle de hele tal og indeholder elementerne, som består af alle de hele tal, både positive og negative, altså .

Mængden Q består af alle de rationale tal og indeholder alle de tal der kan skrives som en brøk, , hvor p og q ligger i Z.

1

Heiede, T. og Helms, H.J. (1964). Mængdelære og transfinite kardinaltal. Side 12.

2

http://da.wikibooks.org/wiki/Matematik_A/Tal_og_mængder

3

Heiede, T. og Helms, H.J. (1964). Mængdelære og transfinite kardinaltal. Side 14.

Figur 3. Eget arbejde.

Side 6

07/03/19 Side 6 af 25

Disse tal kan både være endelige eller periodiske decimal tal.

Mængden R består af alle de reelle tal og indeholder alle tal på tallinjen. Altså både de rationale og de ikke-rationale.

Figur 3, viser hvordan mængden N er en delmængde af Z, som er en delmængde af Q, som så til sidst er en delmængde af R.

Alle de endelige og periodiske decimal tal kan skrives som , og derfor ligger de i mængden af de rationale tal. Jeg vil nu bevise dette, ved at vise, at et vilkårligt periodiske decimal tal kan omskrives til en brøk.

Jeg starter med at definere .

Herefter ganger jeg x med det antal cifre der er i perioden, det vil sige 5 i mit tilfælde, og får

. Perioden er markeret med en streg over cifrene.

Herefter trækker jeg x fra på begge sider af lighedstegnet

Herefter dividere jeg med 99999 på begge sider af lighedstegnet for at isolere x

Man kan allerede se nu at mit decimal kan skrives som en brøk, jeg vil nu se om det kan forkortes yderligere

Jeg har med dette bevis, vist at et vilkårligt periodisk decimal tal, kan skrives som en brøk og dermed hører de til i mængden af de rationale tal.

Mængden af de reelle tal indeholder alle de rationale tal og de ikke-rationale, såsom, og .

Grunden til at disse tre tal ikke er rationale, er fordi de ikke er periodiske decimal tal. Da disse tal ikke er periodiske kan de ikke skrive som en brøk, hvilket gør at mængden af de reelle tal er ikke-tællelig. Jeg vil nu, ved hjælp af opgave 2 i bilag 1, bevise eksistensen af ikke-rationale tal.

Jeg starter med gå ud fra sætningen:

Side 7

07/03/19 Side 7 af 25

er ikke et rationelt tal og er forkortelig.

Et rationelt tal er et tal der kan skrive som en brøk. Enten som en endelig decimal brøk, såsom

og , som indeholder et endeligt antal cifre efter kommaet^{4}, eller som en

periodisk decimal brøk, såsom eller . Disse to brøker har

henholdsvis en periodelængde på 3 og 6, da perioden består af 3 og 6 cifre^{5}.

Jeg vil nu bevise det modsatte af sætningen ovenfor, ved et modstridsbevis. Så jeg antager at er et rationelt tal og at brøken er ikke-forkortelig.

Eftersom at jeg har antaget at er et rationelt tal og dermed kan skrives som en brøk, kan jeg skrive det således

Jeg kvadrerer nu på begge sider af lighedstegnet og får . Det kan skrives om til ,

da for enhver brøk og naturlig tal n, gælder at^{6}.

Heraf følger at , hvilket betyder at er et lige tal og dermed er p også et lige tal, da kvadratroden af et ulige tal altid vil være et ulige tal.

Jeg kan derfor skrive at , hvor .

Dette fundne p, kan jeg nu sætte ind i formlen ovenfor og jeg får og dette kan regnes om til .

                                                             2
Herefter dividerer jeg med 2 på begge sider af lighedstegnet for at isolere q , således

, og det giver , hvilket betyder at q^{2} også er et lige tal og dermed er q også

et lige tal. Både p og q er lige tal, og det vil sige at brøken forkortelig, da den kan i hvert fald

4

http://mata1stx.systime.dk/index.php?id=130

5

Ibid.,

6

https://www.matematikk.org/artikkel.html?tid=67857

Side 8

07/03/19 Side 8 af 25

forkortes med 2. Jeg er hermed nået frem til en modstrid, da min antagelse, om at var et rationelt tal, må være falsk. Det vil sige at er et irrationelt tal, og dermed har jeg bevist at der findes tal, der ikke er rationale.

Figur 4. http://www.buhlweb.dk/matwiki/index.php?n=MatematikB.Kvadratrod2

Man kan også vælge at kigge på geometrisk, og her kan man sige at er hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor begge kateter har længden 1. Dette er illustreret på figur 4. Fordi at er irrational, betyder det at der ikke findes nogen måleenhed, der kan bruges til at angive hypotenusen og kateterne. Altså kateterne kan selvfølgelig måles i mange forskellige måleenheder, det kunne f.eks. være og eftersom at kateterne er 1, kan de angives som

. Men eftersom at er irrational, og dermed ikke kan skrives som en brøk, kan man

ikke angive længden af hypotenusen som eller som nogen som helst anden måleenhed^{7}.

En af de centrale ideer i Cantors arbejde, var ideen om begrebet mægtighed og kardinaltal af uendelige mængder. Han sagde: ”Hvis der findes en éntydig afbildning , der til ethvert element i én uendelig mængde tilordner ét og kun ét element i en anden, siges de to mængder at have samme

           8
kardinalitet.” Den eneste måde hvorpå man kan beslutte om to mængder har det samme

kardinaltal er ved at kigge på elementerne i mængden, og derefter beslutte mægtigheden og kardinaltallet. Denne definition gjorde det muligt for Cantor at undersøge om to uendelig mængder er lige mægtige eller om den ene er mere mægtig end den anden. Overraskende nok beviste han, ved hjælp af denne definition, at mængden af de rationale tal har sammen mægtighed som mængden af de hele tal. Og hvorfor er det overraskende? Det overraskende er at de hele tal er en ægte delmængde af de rationale tal. Altså kan alle hele tal skrives som en brøk

med 1 i nævneren, men det er ikke alle brøker der er ikke lig med hele tal^{9}.

7

http://www.buhlweb.dk/matwiki/index.php?n=MatematikB.Kvadratrod2

8

Naturvidenskab : Det mekanistiske verdensbillede. (2008). Side

9

Naturvidenskab : Det mekanistiske verdensbillede. (2008). Side

Side 9

07/03/19 Side 9 af 25

Enhver mængde, der har samme mægtighed som de hele tal kaldes tællelig, fordi mængdens elementer kan nummereres med de hele tal. Cantor beviste også at mængden af alle de reelle tal ikke er tællelige og dermed har denne mængde en større mægtighed end de rationale tal. Altså er de reelle tal overtællelige, da de reelle tal ikke kan sammenparres med noget afsnit af de naturlige tal.

Dette vil jeg bevise ved at løse opgave 1 i bilag 1. Jeg vil vise at mængden af de reelle tal har overtælleligt mange elementer, og det vil jeg gøre ved at bevise at mængden indeholder flere elementer end de naturlige tal. Alle tal i mængden kan skrives som et decimal tal, fx

, hvor decimalerne er naturlige tal. Dette decimal tal kan enten være endeligt periodisk eller ikke-periodisk.

Jeg vil nu bevise at ikke kan skrives som en følge. For at den kan skrives som en følge kræver

det at den er tællelig^{10}: ”En uendelig mængde A kan sammenparres med mængden N af naturlige

                                       11
tal, hvis og kun hvis den kan opstilles i en følge”

. Det vil jeg bevise, ved at vise, at lige meget hvilken følge jeg udvælger af mængde , så vil det altid være et tal, det kalder jeg , som tilhører mængden , som ikke er med i følgen.

Jeg starter med at lave 4 forskellige følger, kalder

Og de kan f.eks. være disse decimal tal

Jeg vil nu lave følgen

, og for at lave den, tager jeg det første cifre efter kommaet i , det andet ciffer efter kommaet i, det tredje ciffer efter kommaet i og så fremdeles og får dette tal

10

Mejlbo Lars. (1991). Uendelighedens paradokser. Side 54-55.

11

Mejlbo Lars. (1991). Uendelighedens paradokser. Side 40.

Side 10

07/03/19 Side 10 af 25

Dette kaldes diagonalelementet. Jeg vil nu foretage en transformation, hvor jeg lader svarer til

, så at , hvis , mens at , hvis at , og jeg danner hermed

Og mit eksempel ser dette tal således ud

Jeg kan nu bevise at dette tal ikke er i følgen , da ikke kan være , fordi , som er det først i . kan heller ikke være en del af , da , som er det andet i .

Jeg har hermed bevist at ikke ligger i følgen, men tilhører jo , så det vil sige at ikke kan skrives op i en følge, og dermed må de rationelle tal have overtælleligt mange elementer, da de ikke kan sammenparres med de naturlige tal.

Det antal elementer, hver mængde indeholder, kaldes for mængdens kardinaltal. Enhver mængde kan kun være endelig, hvis den er ækvivalent med et afsnit af N, og hvis den ikke er det, er mængden uendelig. At noget er ækvivalent med noget andet betyder at deres mægtighed er lige stor. Ækvivalensen kan f.eks. vises ved dette simple eksempel:

Hvis jeg siger at der er 3 elementer i mængden , så mener jeg at der ligeså mange elementer som i mængden og dermed kan jeg sige at P er ækvivalent med denne mængde. Ækvivalensen kan påvises således , , . Den definerede afbildning af f er en entydig afbildning af P på .

Det kunne være smart hvis vi havde en betegnelse for mængder af samme type som . Vi kan starter med at lave denne definition: ”Hvis der om en mængde A gælder, at den er ækvivalent med afsnittet N, kaldes den en endelig mængde; tallet n kaldes mængdens kardinaltal (eller n mægtighed) og man skriver ”

12

Mængden N n er defineret ved at n er et vilkårligt naturligt tal eller 0.

I det eksempel jeg brugte ovenfor kan man se at mængden er ækvivalent med N og

3 den er derfor endelig og har kardinaltallet 3, altså .

12

Heiede, T. og Helms, H.J. (1964). Mængdelære og transfinite kardinaltal. Side 57.

Side 11

07/03/19 Side 11 af 25

Betyder det så at de uendelig mængder ikke har noget kardinaltal? Nej, de har skam også et kardinaltal, men hvordan kan man tælle elementerne hvis de er uendelige? Det kardinaltal disse uendelige mængder har, kaldes det transfinite kardinaltal. Vi ved fra før, at N er uendelig og det samme er Q, så disse to har det samme transfinite kardinaltal og eftersom at Q kan sammenparres med N, er Q tællelig. Dette betyder at der er lige mange elementer i N og Q. Der er altså på den måde ikke flere tal i Q end i N, selvom vi jo ved at der ligger tal i Q, som ikke ligger i N, f.eks. .

Derimod kan N og R ikke sammenparres og dermed er R overtællelig og har derfor et større kardinaltal end både N og Q.

For at kunne forstå og beskrive et så diffust begreb som uendelig, bliver man nødt til at have et ”sprog” eller nogle ”bygge klodser”, der kan gøre det mere håndgribeligt. Her er mængdelæren det værktøj, der kan bruges. Mængdelæren bygger på tanken om 6 grundlæggende mængder, ovenfor er der beskrevet 4, og de 2 sidste er de komplekse tal og den tomme mængde. Ud fra de principper der gælder for disse mængder, kan man bestemme en endelighed eller en uendelighed.

F.eks. kan en mængde beskrives som værende endelig, hvis den er ækvivalent, med et afsnit af N, hvilket betyder at elementerne i mængden kan sammenparres med elementerne i afsnittet af N.

Derimod er en mængde uendelig, hvis elementerne i mængden ikke kan sammenparres, med elementerne i N. Typisk siger man at periodiske decimal tal, det vil sige et decimal tal, hvor den samme sekvens af cifre går igen efter kommaet, er uendelige. Hvorimod et decimal tal, hvor der er et fast antal cifre efter kommaet, siges at være endeligt.

Videre gælder det for mængderne, at deres størrelser, kan beskrives via begrebet kardinaltal.

Kardinaltallet bekskriver, hvor mange elementer der er i en given mængde. For endelige mængder gælder det at kardinaltallet skal være ækvivalent med et afsnit af N. De uendelige mængder har et kardinaltal, der kaldes transfinit, da det er umuligt at tælle elementerne i disse mængder.

Matematiske paradokser

De første tanker om uendelighed startede i det Gamle Grækenland, hvor alle de store filosoffer og matematikere levede. I Ionien lå byen Miletos og her var der en elev, ved navn Anaximandros (ca.

610 f.kr – ca. 545 f.kr) , der ikke kunne acceptere at hans lære, Thales (ca. 624 f.kr – ca. 545 f.kr),

Side 12

07/03/19 Side 12 af 25

mente at vand var grundbestanden og det samlede princip for alt. Da han heller ikke kunne acceptere at det skulle være et allerede eksisterende stof, kom han op med princippet apeiron.

Dette græske ord betyder uendelighed eller ubestemt^{13}. I Elea, en græsk koloni i Syditalien, gik

Zenon rundt og filosoferede over nogle af de paradokser, der stadig, den dag i dag, bliver godt og grundigt diskuteret. Zenon har fremsat over 40 forskellige paradokser. Det vi i dag kender som Zenons paradokser er fire udsagn, der er givet videre af Aristoteles. Disse paradokser har til formål at vise bevægelsens umulighed, og de falder i to grupper med to i hver. Den ene gruppe har forudsætningerne at tiden og rummet er diskret, og den anden har forudsætningerne at tiden og rummet er uendeligt deleligt. Det paradoks jeg vil gå i dybden med hedder ”Achilleus og skildpadden” og det hører til i den gruppe, hvor tiden og rummet er uendeligt deleligt.

Dette paradoks handler om hvordan den rapfodede Achilleus ikke kan overhale den langsomme skildpadde i et væddeløb, hvis skildpadden har et forspring. Fordi hvis skildpadden har et forspring, så skal Achilleus først nå hen til der, hvor skildpadden startede fra og når han er nået der, er skildpadden nået lidt længere. Nu skal Achilleus så nå derhen hvor skildpadden er nu, og når han er kommet der, er skildpadden kommet lidt længere og så fremdeles. Achilleus ville altså kun kunne overhale skildpadden ved at nå uendeligt mange steder på en endelig tid, og dette er

antget umuligt^{14}.

Hvis en given tilstand skal bevæge sig fra punktet A til punktet B, så skal genstanden først halvdelen af vejen mellem A og B, det vil sige . Men for at kunne tilbagelægge den afstand skal genstanden først tilbagelægge halvdelen af , altså . Men for at kunne tilbagelægge

, skal genstanden først tilbagelægge halvdelen , altså og så fremdeles. Denne opdeling kan fortsætte ud i det uendeligt, fordi man altid kan finde halvdelen.

Konklusionen på dette er at genstanden aldrig kan begynde at bevæge sig fra A til B, da den må

                                                                  15
skulle tilbagelægge uendeligt antal afstanden på endeligt tid, og dette er umuligt .

13

Mejlbo, Lars. (1998). Om Uendelighedsbegrebet i Matematikken. Side 1.3-1.4

14

Mejlbo, Lars. (1998). Om Uendelighedsbegrebet i Matematikken. Side 1.19-1.21

15

http://matematikfilosofi.ruc.dk/slides04_raekker.pdf

Side 13

07/03/19 Side 13 af 25

Paradokset om Achilleus og skildpadden kan dog reddes, når man konstaterer at en uendelig række kan have en endelig sum, nemlig afstanden fra A til B. I dette tilfælde kunne det være, hvis Achilleus f.eks. løber 10 gange hurtigere end skildpadden, skildpadden har et forspring på 1 km og den går 1 km i timen, så ville Achilleus overhale skildpadden efter

time^{16}.

Det vil sige at ligegyldigt, hvor mange afstanden Achilleus skal tilbagelægge, vil han på et givent tidspunkt alligevel overhale skildpadden.

Disse uendelige rækker kan præciseres yderligere ved hjælp af et begreb der hedder

Taylorpolynomier. Disse polynomier kan bruges til at beregne tilnærmelser af funktionsværdier.

Definitionen af et Taylorpolynomium

17

. Og dette kaldes for

Taylorpolynomiet af n’te orden for funktionen f med udviklingspunkt i x. Den naturlig

0 eksponentiel funktion, , har et Taylorpolynomium med en meget simpel struktur . Funktionen er vilkårligt ofte differentiabel med . Her ser vi at alle de afledede af har en funktionsværdi på 1, ved , så derfor må Taylorpolynomiet af n’te orden med udviklingspunk i 0 være

Man kan nu se, at dette er blevet til en uendelig række.

16

Mejlbo, Lars. (1998). Om Uendelighedsbegrebet i Matematikken. Side 1.22

17

Hebsgaard, T m.fl. (1990). Matematik højniveau 2 (1. Udg.) Side 95.

Side 14

07/03/19 Side 14 af 25

Den eksponentielle funktion er også givet ved og her kan man se at den er skrevet op som en uendelig række, og denne række kaldes for Taylorrækken, med udviklingspunkt i for . Dette kaldes også for rækkeudviklingen for . Meningen med denne række er at jo flere led man sætter på, på højre side, jo tættere kan man komme på

funktionen . Man siger derfor, at den uendelige række er konvergent med sum^{18}.

Derfor ville det være fristende at sige at den uendelige række fra før, bare er et polynomium af ”uendelig høj grad”, men man skal passe på hvis man begynder at regne med uendelig rækker, som man regner med polynomier, da der kan komme nogle mærkelig ting ud af det. Jeg vil forsøge at regne med de uendelig rækker, som man regner med funktioner.

Jeg opskriver denne uendelig række .

Ved at gange med x på begge sider af lighedstegnet får jeg

Jeg trækker nu fra på begge sider af lighedstegnet, og hermed forsvinder alle leddene på højre bortset fra 1, og jeg får

Ved at sætte x udenfor parentesen får jeg

Og herefter dividere jeg med på begge sider af lighedstegnet og får

Hvis mine udregninger er korrekte så skulle det gælde at

Men dette gælder dog kun, hvis . Hvis man begyndte at regne med de , ville der komme nogle underlige ting ud af det, og derfor kan det være farligt at regne med uendelige rækker som

man regner med funktioner^{19}. Da man ikke altid ved, hvilke x de gælder for.

18

Hebsgaard, T m.fl. (1990). Matematik højniveau 2 (1. Udg.) Side 101-102.

19

Hebsgaard, T m.fl. (1990). Matematik højniveau 2 (1. Udg.) Side 102.

Side 15

07/03/19 Side 15 af 25

Lige siden matematikkens barndom har man til alle tider forsøgt at beskrive, den verden man så via regler og definitioner. Til trods for at disse regler og definitioner, når de står alene, er korrekte og uantastelige, kan der opstå der modsætninger og paradokser, når de stilles op mod andre regler og definitioner. I eksemplet med ”Achilleus og skildpadden” har vi uendelig mange halve distancer, der gør at Achilleus i princippet aldrig kan komme i gang. Men ved hjælp af Taylorpolynomierne og reglen om at uendelige rækker kan have en endelig sum, bliver tanken om uendelighed stoppet, da summen af distancerne aldrig kan overstige afstanden mellem punkterne A og B.

Uendelighedens verden

Af CECILE IBSEN

Kan man virkelig bestemme uendelighed? Matematikerne Georg Cantor og David Hilbert gjorde et forsøg, ved hjælp af en yderst kreativ tankegang og nogle lignelser som selv almindelige dødelige kan forstå.

eorg Cantor var en tysk matematiker, der beskæftigede sig med det, der kaldes for mængdelæren, se fakta boks. Denne lære bliver man nødt til at kunne forstå, for at kunne arbejde med et så diffust begreb som uendelig. Mængdelæren kan, sammen med logik, siges at være grundstenen i al moderne matematik. Mængdelæren beskæftiger sig med mængderne og deres elementer, men også med uendelig og endelig mængder. Mængder består at forskellige objekter, der kaldes for elementer. Man kan se på det som småkager i en skål. Skålen repræsentere hele mængden, mens hver enkelt småkage repræsenterer et element.

For at kunne bestemme om en mængde, af f.eks. småkagerne, er endelig eller uendelig, skal elementerne kunne sammenparres med de naturlige tal. Altså hvis vi siger at der er 10 småkager i Fire af de mængder som mængdelæren arbejder med kaldes:

De naturlige tal (N): 1,2,3,4,…

De hele tal (Z): …-2,-1,0,1,2…

De rationale ta (Q): Alle de tal der kan skrives om en brøk.

De reelle tal (R): Alle tal på tallinjen.

G

Side 16

07/03/19 Side 16 af 25

skålen, så kan vi stille dem op på en række fra 1 til 10. Hermed har vi bestemt at denne mængde er endelig.

David Hilbert opfandt en anden måde at forklare dette på. Det gjorde han ved hjælp af det magiske Hilberts hotel

Hilberts Hotel er et hotel med uendelig mange værelser, og disse værelser er nummereret med tallene 1, 2, 3, 4,…. Det magiske ved dette hotel er, at selvom der er fuldt hus, vil der altid være plads til flere gæster. Alle gæsterne sover naturligvis på enkeltværelse.

Så lad os tage et eksempel. Hvad gør receptionisten hvis der kommer en ny gæst der mangler et værelse? Han tager det helt rolig. Han laver et ’allekald’ og beder gæsten i værelse nr. 1 om at flytte til værelse nr. 2, gæsten i værelse nr. 2 om at flytte til værelse nr. 3 og så fremdeles. Det vil sige at nu er værelse nr. 1 ledigt og her kan den nye gæst flytte ind. Nu sover alle roligt.

For at alting kan forløbe stille og roligt – og hurtigt – skal gæsterne være meget fredsommelige, men også hurtigere end lyset, hvilket også gælder for receptionisten. Så derfor ligger Hilberts Hotel ikke i vores verden, men i en parallel verden, kaldet Nisseland, hvor alting foregår hurtigere end lyset.

Vi prøver med et nyt eksempel, hvor vi presser receptionisten lidt mere. Hvad gør han, hvis der pludselig dukker et rejseselskab op med uendelig mange deltagere, som navngives a, b, c, d,…?

Hvordan kan de alle sammen få et alene værelse? Det er slet ikke noget problem for den snedige receptionist. Han flytter blot gæsten i værelse nr. 1 til værelse nr. 2, gæsten i værelse nr. 2 til værelse nr. 4, gæsten i værelse nr. 3 til værelse nr. 6 og så fremdeles. Det er her hurtigheden spiller ind. Det kan godt være at gæsten i værelse nr. 1 ikke har noget problem med at skulle over i værelse nr. 2, men gæsten i værelse nr. 1111 kunne bruge flere måneder på at komme hen til værelse nr. 2222, hvis ikke han var hurtigere end lyset. Nu har alle de før nævnte, så sødt sovende gæster fået et nyt værelse, hvor de kan sove videre, mens alle de nye gæster kan komme til at sove i værelserne med de ulige numre. De ulige numre bliver ledige, da alle tal automatisk bliver lige, når de bliver ganget med 2.

Lige pludselig ankommer der uendelige mange rejseselskaber, hver med uendelig mange gæster, der igen kan navngives med a, b, c ,d…. Dette er et meget alvorligt problem, og vi antager her – for nemheds skyld – at hotellet er tomt. Kan receptionisten for plads til alle dem? Ja selvfølgelig kan han det, han skal dog være rimelig smart. Han starter med at anbringe det første selskab i de

Side 17

07/03/19 Side 17 af 25

uendelig mange værelser med ulige numre. Det andet selskab anbringes i de værelser hvis numre er to gange et ulige tal. Dem er der nemlig også uendelig mange af. Det tredje selskab anbringes i de værelser, hvis numre er det dobbelte af de foregående, altså de uendelig mange værelser, hvis numre er fire gange et ulige tal og sådan fortsætte det ud i det uendelige.

Dette er et fantastisk eksempel på, hvordan to mængders elementer kan sammenparres, da vi får parret mængden af gæster med mængden af værelser.

Uendelig mængders størrelse

For at kunne bestemme størrelse på både uendelig og endelig mængder, bruger Cantor et begreb, der kaldes kardinaltal. Kardinaltallet beskriver, hvor mange elementer der er i en given mængde.

Det kan vises ved hjælp af endnu anekdote. Den hedder Jessens Balsal.

På Hilberts hotel findes der en kæmpe festsal, den kaldes for Jessens balsal. Denne sal er flankeret med to meget lange stolerækker. På disse stolerækker skal der sidde drenge på den ene side og piger på den anden side. Lad os kalde drenge mængden for Y og pige mængden for X. I denne sal, er det mængdelærens fader, Georg Cantor, der er dansemester.

Hvad skal denne store sal så bruges til? Vi kan bruge salen til at finde ud af om der er flest drenge eller flest piger. Dette kan vi gøre ved at bede drengene om at tage på plads på stolene i den ene side af rummet og pigerne tage plads på stolene i den anden side af rummet. Herefter beder Cantor alle drengene om hver at byde én pige op til dans, og lykkes det for alle drengene at komme ud og danse må det betyde at der i hvert fald er mindst lige så mange piger, som der er drenge.

Hvis vi siger at alle drengene får budt én pige op og kommer ud og danse, så er der tale om at drengen inklinerer for pigen. Dette kaldes en drenge-inklination. Denne drenge-inklination er en injektiv afbildning af mængden Y på X, det betyder at alle drenge får én pige at danse med, det er dog ikke sikkert at alle pigerne for en dreng at danse med. Men hvis tilfældet er at alle drengene får en pige at danse med og at der ikke er nogle piger tilbage, så kaldes det en fuldstændig drenge-inklination, og denne opfylder betingelserne for en bijektiv afbildning.

Injektiv afbildning.

Side 18

07/03/19 Side 18 af 25

Det vil altså sige, at hvis drengene alle sammen får budt en pige op, altså ved drenge-inklination, kan vi konstatere at mængden af drengen enten er mindre eller lig med mængde af piger, og dermed må kardinaltallet også være mindre eller lig med. Hvis derimod alle drengene får budt alle pigerne op til dans, så er mængden af drenge lig mængden af piger og kardinaltallet for mængderne er ens.

Achilleus og skildpadden

I lighed med Cantor og Hilbert, var man allerede fra matematikkens barndom stærk betaget af tanken om det uendelige. I det gamle Grækenland boede en mand, ved navn Anaximandros, som ikke kunne acceptere sin læres tanken om at vand var grundbestanden for alt. I stedet kom han op med begrebet apeiron. Apeiron betyder ubestemt eller uendelig. Et andet sted i Grækenland gik Zenon rundt med tankerne om at rummet og tiden enten var endeligt eller uendeligt deleligt.

Zenon udarbejdede nogle paradokser, og de havde til formål at bevise bevægelsens umulighed.

Det mest kendte paradoks er ”Achilleus og Skildpadden”. Dette paradoks omhandler den græske helt Achilleus, der skal løbe om kap med en skildpadde. Achilleus er dog så godhjertet af han lader skildpadden få et forspring. Hvis man undgår at kigge logisk på dette og udelukkende kigger på matematikken bag, kan Achilleus i princippet aldrig overhale skildpadden. Da skildpadden har et forspring, skal Achilleus først nå op til der, hvor skildpadden oprindeligt startede fra. Men på den tid det har tage Achilleus at komme derop, er skildpadden igen nået et lille styk længere. Nu skal Achilleus så derhen, men igen er skildpadden nået længere væk. Achilleus kan blive ved med at løbe og han vil komme tættere og tættere på, faktisk uendeligt tæt på, men han vil aldrig fange skildpadden, skønt han dog løber meget hurtigere end sin modstander. I princippet ville han så skulle løbe uendelig mange distancer på endeligt tid, hvilket er umuligt.

Denne uendelige række af distancer håndteres i matematikken ved hjælp af et værktøj, der bliver kaldt Taylorpolynomier. Disse polynomier, eller talrækker, bliver brugt til at gengive funktioner så tilnærmelsesvist præcist som muligt.

De berømte matematikers kamp for at forstå matematikkens inderste væsen, har ikke været nogen nem kamp og langt fra spildt. De fleste mennesker er i dag dagligt i berøring med teknologier, som kun er gjort mulige på grund af en lang kongerække af matematikers indsigt og Bijektiv afbildning.

Side 19

07/03/19 Side 19 af 25

teoretiske landvindinger. Meget af det de store matematikere fandt ud af, for flere hundrede år siden, er det der i dag driver de matematiske algoritmer, som styrer processerne i lommeregnere og computere. Selvom de kun enkeltvis bidrog med en lille brik til puslespillet, og sikkert aldrig har set hvor det startede eller hvor det sluttede, så har de alle bidraget til et smukt puslespil som vi i eftertiden har kunnet nyde og gøre stor brug af.

Meta-afsnit

At skulle lære det matematiske sprog kan nogle gange sammenlignes med at skulle lære et nyt fremmedsprog. Det er svært og til tider fuldstændigt umuligt. Derfor er det praktisk at, der bliver udarbejdet populærvidenskabelige værker, hvor besværlige matematiske emner, bliver formuleret så de er nemmere at forstå, og det er det jeg har forsøgt med min artikel.

Overskriften på min artikel er ”Uendelighedens verden”, fordi der gemmer sig en ny verden bagved ordet uendelighed, både for folk der til daglig arbejder indenfor matematikken og for folk, hvor matematikkens verden er helt fremmed. Jeg har valgt at starter min artikel med en underrubrik, der gerne skulle vække læserens interesse for emnet, ved at stille spørgsmålet ”Kan man virkelig bestemme uendelighed?”. Hensigten er at få læseren til at reflekterer over hvad han mener at uendelighed er og om det overhovedet kan gøres op i størrelser og mængder. Herefter vælger jeg at komme med en gennemgang af den grundlæggende mængdelære, som er nødvendig at have som basis, for at kunne anskueligøre uendeligheden. Cantors mængdelære og eksemplet om Hilberts Hotel hjælper med at gøre den abstrakte uendelighed, mere håndgribelig for ikke-matematikere. Gennem Zenons paradoks, ”Achilleus og Skildpadden”, bliver uendeligheden taget op til et højere niveau, ved at bevæge sig fra tal til uendelige rækker, her distancer. Jeg afslutter med en konklusion, der linker generationer af matematikers hårde arbejde med den verden vi har idag.

Artiklens formål

Formålet med denne artikel er at kunne formidle noget abstrakt og vanskeligt matematik fra et højt fagligt niveau ned til et letforståeligt sprog. Artiklen skal hjælpe med at komme fra den lille

Side 20

07/03/19 Side 20 af 25

kreds, der hvor forskere skriver til forskere, ud i den store kreds, der hvor forskere skriver til ikke-

forskere^{20}.

Dette har jeg forsøgt at gøre med lidt hjælp fra Cantor og Hilbert. For at kunne formidle så abstrakt matematik til folk, der ikke har brugt lang tid på at sætte sig ind i emnet, bliver man nødt til at bruge anekdoter eller lignelser, der sætte tingene op i et helt andet perspektiv og gør det til noget nærværende. I matematikken har man så at sige opfundet sit eget sprog og til tider sine egene bogstaver og tegn. Det holdt sammen med tunge teorier kan for nogen være besværligt at rumme. Jeg bliver nødt til, som formidler, at transformere teorierne og begreberne til et sprog, der er nemmere at begribe. Dette gøres ved hjælp af Hilberts hotel, Jessens Balsal og paradokset om Achilleus og skildpadden.

Weekendavisen og deres læsere

Weekendavisen er en kombination af dagblade og magasiner og det har resulteret i en højt respekteret avis. Læserene bruger meget tid på Weekendavisen, ja faktisk helt op til 2 ½ time, det kan ikke engang de tykkere søndagsaviser hamle op med. Grunden hertil er at skribenterne er seriøse og har forstand på det de skriver om. Skribenterne er højt uddannede inde for mange

områder, ligesom 58% af læserne^{21}.

Hvordan ser en typisk læser af Weekendavisen ud?

• 58% har en højere videregående uddannelse.

• 39% bor i en husstand, hvor der bliver tjent 600.000 kr. Eller mere om året.

• 7 ud af 10 af læserne bor øst for Storebælt.

• Læserne handler gerne i specialeforretninger og giver gerne lidt ekstra for god kvalitet.

• 74% køber helst miljøvenlige produkter.

• Desuden er Weekendavisens læsere nogle af dem der rejser mest og er flittigst til at besøge

                                  22
teatre, kunstudstillinger og koncerter mm .

20

Puladan, K. (2005). Kandidatspeciale: At fortælle om videnskab. Side 9.

21

Bilag 2, side 1.

22

Bilag 2, side 1-2.

Side 21

07/03/19 Side 21 af 25

I grove træk er Weekendavisens læsere veluddannede, højtlønnede og med sans for kultur og rejser. De er generelt nysgerrige på livet omkring dem og beviste om deres valg. Det vil sige at det sprog artiklen skal skrives i, ikke bør være for børn, men samtidig så interessant så ikke kun matematikere forstår det.

Weekendavisen består af 5 sektioner: 1. Sektion, Kultur, bøger, Ideer og Faktisk. Jeg har valgt at skrive min artikel til den sektion, der hedder Ideer. I denne sektion bliver der skrevet om ånds-, natur-, og samfundsvidenskab og her kan tænkende mennesker fremlægge og debattere deres

ideer om verden^{23}. Min artikel skal skrives til denne sektion, da artiklen bygger på noget

videnskabeligt, der ikke vil høre til i nogle af de andre sektioner. Alternativt kunne artiklen også være bragt i sektionen Faktisk. Denne sektion er til drenge og piger der gerne vil vide noget om

                                                         24
alt. Den indeholder korte og lange artikler, tegneserier og opgaver mm

. Det er i forvejen en udfordring at skulle omformulere denne vanskelige matematik, for mig ville det være en yderligere udfordring, hvis det også skulle formidles til børn.

Artiklens udformning

Generelt skal artikler gerne være udformet så læseren bliver fristet til at kigge nærmere på indholdet. Min artikel er starter med en rubrik, der gerne skulle fange læserens matematiske interesse. Rubrikken skulle gerne lede læserens blik hen til underrubrikken, hvor dennes interesse bliver vakt endnu mere til live. Både rubrikken og underrubrikken er skrevet med Cambria, hvor resten af artiklen er skerevet med Calibri. Dette er valgt bevist da jeg ønsker at det skal fremstå vigtigt og træde ud fra mængden. Artiklen indledes med en blød introduktion til mængdelæren.

Herefter tages fat på den lidt hårdere uendelighed. Gennem artiklen har jeg delt emnerne op, ved hjælp af mellemrubrikker. Det er mit håb at dette gør artiklen mere overskuelig for læseren.

Mellemrubrikkerne, samt faktaboksen og figurteksterne, har jeg også valgt at skrive med Cambria, ud fra samme ovenfor nævnte argument. Faktaboksen og figurerne har til formål at gøre nogle af

23

Bilag 2, side 2-4.

24

Bilag 2, side 4.

Side 22

07/03/19 Side 22 af 25

de sværere begreber mere håndgribelige. Det er min erfaring at illustrationer ofte hjælper på forståelsen af den læste tekst.

Fravalg

Det ville være for omfangsrigt at skulle formidle alt mit matematiske materiale ind i artiklen. Jeg har derfor udeladt alle ligninger og formler i matematisk skrevet form, til trods for at disse er en stor del af det matematikken. Jeg vurderer at deres tilstedeværelse i artiklen ville forstyrre ikke-matematiskkyndige læsere og fjerne fokus fra formidlingen. Men det har været en udfordring at skulle transformere denne svære matematik uden brug af ligninger og formler. I matematikkens verden er disse ligninger og formler nærmest en rygrad i forståelsen af problemerne. Så når disse udelades, bliver jeg tvunget til at finde andre måder at illustrere mine tanker og ideer på. Målet med artiklen er ikke at fremstå som en svært tilgængelig lærebog, men netop som en populærvidenskabelig artikel, der kan læses – og forstås – af målgruppen, der er valgt.

Side 23

07/03/19 Side 23 af 25

Konklusion

Jeg har i projektet forsøgt at belyse begrebet uendelighed fra to forskellige vinkler. En matematikfaglig gennemgang er mængdelæren, som er en nødvendighed for at kunne forstå uendeligheden, samt uendelige rækker og Taylorpolynomier. I løbet af gennemgangen beviser jeg eksistensen af ikke-rationelle tal, dette gøres ved at modbevise at ikke er et rationelt tal.

Herudover beviser jeg eksistensen af mængder med overtælleligt mange elementer, gennem beviset om at mængden indeholder flere elementer end de naturlige tal. Endvidere behandler jeg begrebet kardinaltal for både endelig og uendelig mængder.

Ligeledes har jeg beskrevet uendeligheden i en populærvidenskabelig artikel, hvor jeg uden brug af ligninger og formler, har søgt at transformere den svært tilgængelige matematik til læsevenligt stof.

I et danskfagligt meta-afsnit har jeg ligeledes diskuteret mine valg og fravalg i forhold til artiklen.

På baggrund af ovennævnte tillader jeg mig at konkludere at jeg har mødt de forudsætninger jeg, i min indledning, satte for projektet.

Side 24

07/03/19 Side 24 af 25

Litteraturliste

Bøger:

Hebsgaard, T. M.fl. (1990) Matematik højniveau 2. (1. Udgave, 1. Oplag). Forlaget Trip.

Heiede, T. og Helms, H.J. (1964). Mængdelære og transfinite kardinaltal. (1. Udgave) Universitetsforlaget

Mejlbo, Lars. (1998). Om Uendelighedsbegrebet i Matematikken. (1. Udgave) Matematisk institut, Århus Univeritet.

Mejlbo Lars. (1991). Uendelighedens paradokser. (1. Udgave) Matematisk institut, Århus Universitet

Naturvidenskab - : Det mekanistiske verdensbillede. (2008). I: H.S. Jensen, O. Knudsen & F. Stjernfelt (Red.), Tankens magt: Vestens idéhistorie, bd. 2 (s. ).

Fundet d. 10. December 2013 på http://www.statsskolen.dk/ressourcerum/2009-
10/opgave01/12_maengdereel.pdf

Paludan, K. (2005). Kandidatspeciale: At fortælle om videnskab. Dansk, institut for Nordiske Studier og sprogvidenskab.

Hjemmesider:

MatWiki. (2010). Kvadratrod 2 et er irrationelt tal. Kvadratrod 2.

Fundet d. 5. December 2013 på

http://www.buhlweb.dk/matwiki/index.php?n=MatematikB.Kvadratrod2

WikiBooks. (2011). Matematik a/Tal og mængder.
Fundet d. 6. December 2013 på http://da.wikibooks.org/wiki/Matematik_A/Tal_og_mængder

Mat A STX. (2011). Eksperiment 1.6: Brøk og decimalbrøk. Systime.

Side 25

07/03/19 Side 25 af 25

Fundet d. 5 december 2013 på http://mata1stx.systime.dk/index.php?id=130

Vedeld, K. Og Venheim, R. (intet år). Potenser og brøker.

Fundet d. 5. December 2013 på https://www.matematikk.org/artikkel.html?tid=67857