STX Matematik A NET 2011 11. august - Delprøven med alle hjælpemidler

Side 1

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –11. august 2011

1

STX Matematik A (Netadgang)

11. august 2011

Delprøven med hjælpemidler

Frs112-MATn/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp STX 3.g

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMat’s egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 10 a)

Vi vælger en eksponentiel model på formen:

𝑁 ( 𝑡) =𝑏· 𝑎^{𝑡}

Her gælder, at:

𝑁 angiver antallet af ynglende skarver i Danmark 𝑡 angiver antal år efter 2005 𝑏 er en konstant, som angiver 𝑁(0) 𝑎 er en konstant kaldet fremskrivningsfaktoren

Data opskrives i en tabel, hvorefter der anvendes eksponentiel regression i WordMat:

Antal år efter 0 1 2 3 4

2005

Antal ynglende 39906 38014 35261 33700 32851 skarver i

Danmark

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9740714

Side 2

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –11. august 2011

2

𝑦=39696,26 · 0,9503218^{𝑥}

Modellen bygger altså på funktionsforskriften: 𝑁 ( 𝑡) ≔39696,26 · 0,9503218^{𝑡}

b)

Da 𝑎<1, er der tale om en eksponentielt aftagende funktion. Hvis der gælder, at 𝑁 ( 𝑡_{0}) =20000, må
antallet af skarver være under 20000 for alle værdier af 𝑡, som opfylder, at 𝑡<𝑡_{0}

Vi løser nu:

𝑁 ( 𝑡_{0}) =20000

⇕ Ligningen løses for t_0 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡_{0} =13,45363

Som årstal svarer dette til 2005 + 13,45=2018,45

Ifølge modellen vil antallet af ynglende skarver i Danmark altså være under 20000 fra cirka midt i år 2018 og fremefter.

Side 3

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –11. august 2011

3

Opgave 11 a)

WordMat's trekantsløser anvendes med input: BC = 4, AC = 7, AB = 6.

B A = 34,77194°
B = 86,41668°
C = 58,81138°

BC = 4
AC = 7
AB = 6

Vinkel A og B findes vha. cosinusrelationer:

𝐴=cos^{−1} ()

𝐴𝐵^{2} + 𝐴𝐶^{2} − 𝐵𝐶^{2}
2 · 𝐴𝐶·𝐴𝐵

=cos^{−1} ()

6^{2} + 7^{2} − 4^{2}
2 · 7 · 6
=34,77194°

𝐵=cos^{−1} ()

𝐴𝐵^{2} + 𝐵𝐶^{2} − 𝐴𝐶^{2}
2 · 𝐵𝐶· 𝐴𝐵

=cos^{−1} ()

6^{2} + 4^{2} − 7^{2}
2 · 4 · 6
=86,41668°

Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐶=180° − 𝐴 − 𝐵
=180° − 34,77194°− 86,41668°
=58,81138°
Vi kan således konkludere, at ∠𝐵=86,41668°.

b)

Da linjen BD er vinkelhalveringslinje for vinkel B, vil der i trekant ABD gælde, at

∠𝐵= · 86,41668°

1

2

=43,20834°

A AC C

AB BC

Side 4

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –11. august 2011

4

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 34,77194°, B = 43,20834°, AB = 6

B A = 34,77194°
B = 43,20834°
D = 102,0197°

BD = 3,498571
AD = 4,2
AB = 6

Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐷=180° − 𝐴− 𝐵
=180° − 34,77194° − 43,20834°
=102,0197°

Længden af siderne BD og AD findes vha. sinusrelationerne

𝐴𝐷=𝐴𝐵·

sin ( 𝐵) sin ( 𝐷)

=6·

sin ( 43,20834°) sin ( 102,0197°)

=4,2

𝐵𝐷=𝐴𝐵·

sin ( 𝐴) sin ( 𝐷)

=6 ·

sin ( 34,77194°) sin ( 102,0197°)

=3,498571

Arealet af trekant ABD kan nu bestemmes som:

𝑇_{𝐴𝐵𝐷} = · 𝐴𝐵· 𝐴𝐷· sin ( 𝐴)

1

2

= · 6 · 4,2 · sin ( 34,77194)

1

2

=12,6 · sin ( 34,77194)

≈7,185923

Arealet af trekant 𝐴𝐵𝐷 er altså ca. 7,186.

A AD D

AB BD

Side 5

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –11. august 2011

5

Opgave 12 a)

Arealet af det parallelogram, som udspændes af to vektorer i rummet, er givet ved længden af deres krydsprodukt. Vektorerne defineres: 𝑎⃗≔( 3)

2

6 𝑏 ≔( 5)

⎯ ⃗

−3

−4

𝐴= | 𝑎⃗× 𝑏 |

⎯ ⃗

≈47,16991

Arealet af det parallelogram, som udspændes af de to vektorer er ca. 47,1699.

b)

Afstanden fra et punkt 𝑃(𝑥_{1},𝑦_{1},𝑧_{1}) til en plan 𝛽 med ligningen 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧+ 𝑑=0 er givet ved:

𝑑𝑖𝑠𝑡 ( 𝑃,𝛽) =

| 𝑎· 𝑥_{1} + 𝑏 · 𝑦_{1} + 𝑐· 𝑧_{1} + 𝑑 |
√ 𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 𝑐^{2}

Vi aflæser og definerer nu de indgående koordinater og koefficienter:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑎=3,𝑏=6,𝑐=−2,𝑑=8,𝑥 =20,𝑦_{1} =−10,𝑧_{1} =18

1

Vi får nu i WordMat:

𝑑𝑖𝑠𝑡 ( 𝑃,𝛽) =

| 𝑎· 𝑥_{1} + 𝑏 · 𝑦_{1} + 𝑐· 𝑧_{1} + 𝑑 |
√ 𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 𝑐^{2}
=4

Afstanden fra 𝑃 til 𝛽 er 4.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 6

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –11. august 2011

6

Opgave 13 a)

Ligningen løses i WordMat:

() · ()=()

2 4 5

5 3 6 𝑥 𝑦

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥= ∧ 𝑦=

9 13

14 14

                                           9       13
Ligningen er således løst med følgende resultat: 𝑥= og 𝑦= .
                                           14      14

Side 7

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –11. august 2011

7

Opgave 14 a)

Matricen M defineres:

𝑀≔()

0,8 0,4

0,2 0,6

Vi definerer nu startværdierne:

𝑎_{0} ≔0

𝑏_{0} ≔30

𝑎_{4} og 𝑏_{4} kan bestemmes som:

()=𝑀 · ()

𝑎_{4} 𝑎_{0}
𝑏_{4} 𝑏_{0}

4

≈()

19,488

10,512

Vi kan nu konkludere, at 𝑎_{4} =19 og 𝑏_{4} =11 (der er afrundet til nærmeste hele tal, da der er tale om hele

individer).

b)

Udtrykket i den oplyste udvikling ganges ud:

()=𝑀· ()=()

𝑎_{𝑛+1} 𝑎_{𝑛}
𝑏_{𝑛+1} 𝑏_{𝑛}

0,4 · 𝑏_{𝑛} + 0,8 · 𝑎_{𝑛}
0,6 · 𝑏_{𝑛} + 0,2 · 𝑎_{𝑛}

Forøgelserne fra år 𝑛 til år 𝑛 + 1 altså givet ved:

Δ𝑎=0,4𝑏_{𝑛} + 0,8𝑎_{𝑛} − 𝑎_{𝑛}
=0,4𝑏_{𝑛} − 0,2𝑎_{𝑛}

Δ𝑏=0,6𝑏_{𝑛} + 0,2𝑎_{𝑛} − 𝑏_{𝑛}
=0,2𝑎_{𝑛} − 0,4𝑏_{𝑛}

Hver gang, der går et år fra år 𝑛, vokser population 𝐴 med 0,4𝑏_{𝑛} − 0,2𝑎_{𝑛}.

Hver gang, der går et år fra år 𝑛, vokser population 𝐵 med 0,2𝑎_{𝑛} − 0,4𝑏_{𝑛}

Disse tal er fremkommet ved at multiplicere matricen 𝑀 med den vektor, som indeholder de to populationsstørrelser. Denne multiplikation foretages hver gang, der går et år. Dette er altså sammenhængen mellem tallene i matricen 𝑀 og udviklingen i fordelingen mellem antal individer i de to kategorier fra år til år.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 8

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –11. august 2011

8

Opgave 15 a)

Funktionen defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = ( 1 − 𝑥) · ( 𝑥− 𝑎), 𝑎>1

Vi løser nu:

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=1 ∨ 𝑥=𝑎

Førstekoordinaten i hvert af de to skæringspunkter er fundet til: 𝑥 =1 og 𝑥 =𝑎.
                                                     1        2

b)

Da hele punktmængden 𝑀 ligger under 𝑥-aksen, vil det bestemte integral af 𝑓 i intervallet [0,1] give en

negativ talværdi. Ganges denne med −1, får vi arealet af 𝑀. Det vil sige, at:

𝐴_{𝑀} =−1 · ∫ ( 1 − 𝑥) · ( 𝑥− 𝑎) 𝑑𝑥

1

0

=

3 · 𝑎− 1

6

Vi har nu arealet af 𝑀 udtrykt ved 𝑎:

𝐴_{𝑀} ≔

3𝑎 − 1

6

Hele punktmængden 𝑁 ligger over 𝑥-aksen. Arealet af 𝑁 svarer således til det bestemte integral af 𝑓 i intervallet [1,𝑎]. Vi definerer nu:

𝐴_{𝑁} ≔∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑎

1

Nu løses ligningen:

𝐴_{𝑁} =𝐴_{𝑀}

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎=3

Tallet 𝑎, så de to arealer bliver lige store, er således bestemt til 𝑎=3.

Side 9

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –11. august 2011

9

Opgave 16 a)

Funktionen defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑓 ( 𝑥) =0,046173 · 𝑥 · ( 9,36334 − ln ( 𝑥)), 𝑥>0

Stationære punkter bestemmes ved at løse:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=4286,989

Der er således kun 1 stationært punkt, og vha. grafen kan vi se, at dette må være funktionens globale maksimum (det vil sige der, hvor væksten af kræftceller er størst).

Antallet af celler i kræftknuden, når væksten er størst, er således fundet til ca. 4287,0 𝑚𝑖𝑜.𝑐𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟.

b)

Vi ved, at 𝑓(𝑥) er aftagende for 𝑥>4287. Når væksten rammer 𝑓 ( 𝑥) =0, vil knuden have nået sin

maksimale størrelse. Vi løser nu:

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=11653,25

Det maksimale antal celler, der kan være i kræftknuden er således fundet til ca. 11653,3 𝑚𝑖𝑜.𝑐𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟.