STX Matematik A NET 2011 Forår - Delprøven med autoriseret formelsamling

Side 1

Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011

1

STX Matematik A (Netadgang)

Forår 2011 - Vejledende opgave

Delprøven med formelsamling

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Til denne delprøve er det tilladt at anvende en autoriseret formelsamling.

Opgave 1 a)

Først bestemmes hældningskoefficienten 𝑎:

𝑎 =

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}
=

29 − 17
8 − 5
=

12

3

= 4

Vi har nu, at:

𝑦 = 4𝑥+ 𝑏

⇕

𝑏 = 𝑦 − 4𝑥

Nu indsættes koordinatsættet for punktet 𝑃:

𝑏 = 17 − 4 · 5
= 17 − 20
= −3

Vi kan således konkludere, at ligningen 𝑦 = 𝑎𝑥+ 𝑏 for den rette linje, som går gennem punkterne 𝑃 og 𝑄,

er givet ved:

𝑦 = 4𝑥 − 3

Side 2

Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011

2

Opgave 2 a)

Et boksplot tegnes:

Tallet 17 er værdien af den øvre kvartil. Den angiver, at 75% af observationerne antager en værdi, som er mindre end 17.

Opgave 3 a)

En ligning for tangenten til grafen for en funktion 𝑓 i et punkt 𝑓(𝑥 ,𝑓 ( 𝑥 ) ) er givet ved:
                                                     0    0

𝑦 = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

De oplyste værdier indsættes:

𝑦 = −4 · ( 𝑥− 2) + 5
= −4𝑥+ 8 + 5
= −4𝑥+ 13

En ligning for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet 𝑓(2,𝑓

(

2

)

) er således fundet til:

𝑦 = −4𝑥+ 13

Opgave 4 a)

Der er tale om en eksponentiel model på formen:

𝑁(𝑡)= 𝑏· 𝑎^{𝑡}

Side 3

Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011

3

Konstanten 𝑏 = 4,087 angiver størrelsen af 𝑁(0). Der var således 4,087 mio. mobilabonnementer i Afrika i

år 2002.

Konstanten 𝑎 = 1,498 fortæller os noget om funktionens vækstrate. Denne kan findes som:

𝑟 = 𝑎 − 1
= 1,498 − 1
= 0,498
= 49,8%

Det vil sige, at antallet af mobilabonnementer i Afrika vokser med 49,8% om året efter år 2002.

Opgave 5 a)

En skitse tegnes:

Vi har nu inddelt trekant ABC i tre mindre trekanter: 𝐵𝐻𝐶,𝑉𝐻𝐶 og 𝐴𝑉𝐶. På denne måde er vinkel 𝐶 blevet inddelt i:

𝐶_{𝐴𝐵𝐶} = 𝐶_{𝐵𝐻𝐶} + 𝐶_{𝑉𝐻𝐶} + 𝐶_{𝐴𝑉𝐶}

Vinklen mellem 𝑣_{𝑐} og ℎ_{𝑐} er den samme som vinkel 𝐶_{𝑉𝐻𝐶}. Denne isoleres nu af ovenstående ligning:

𝐶_{𝑉𝐻𝐶} = 𝐶_{𝐴𝐵𝐶} − 𝐶_{𝐵𝐻𝐶} − 𝐶_{𝐴𝑉𝐶}

De indgående vinkler beregnes hver for sig

𝐶_{𝐴𝐵𝐶} findes, idet vinkelsummen i en trekant er 180°:

𝐶_{𝐴𝐵𝐶} = 180 − 𝐴 − 𝐵
= 180 − 40 − 60

Side 4

Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011

4

= 80

𝐶_{𝐵𝐻𝐶} findes på samme måde:

𝐶_{𝐵𝐻𝐶} = 180 − 𝐵− 𝐻
= 180 − 60 − 90
= 30

Da 𝑣 er vinkelhalveringslinje for 𝐶 , må der gælde, at:
    𝑐                       𝐴𝐵𝐶

𝐶_{𝐴𝑉𝐶} = · 𝐶_{𝐴𝐵𝐶}

1

2

= · 80

1

2

= 40

Vi får nu:

𝐶_{𝑉𝐻𝐶} = 80 − 30 − 40
= 10

Vinklen mellem 𝑣_{𝑐} og ℎ_{𝑐} er 10°.

Opgave 6 a)

Funktionen differentieres (𝐼):

𝑓^{′} ( 𝑥) = · ( 5𝑥+ 3)^{′}

1

2 √ 5𝑥+ 3
= · 5

1

2 √ 5𝑥+ 3
=

5

2 √ 5𝑥+ 3

Vi kan konkludere, at:

𝑓^{′} ( 𝑥) =

5

2 √ 5𝑥+ 3

(𝐼):

Kædereglen for sammensatte funktioner

(𝑓 ( 𝑔 ( 𝑥))) = 𝑓′(𝑔 ( 𝑥)) · 𝑔′(𝑥)

′

Side 5

Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011

5

Ledvis differentiation

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

Konstant udenfor parentes

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘· 𝑓^{′} ( 𝑥)

Funktion Afledt funktion

√

𝑥

1

2 𝑥

√

𝑥 1

Opgave 7 a)

Funktionen integreres:

∫ ( 2𝑥 + 𝑒^{𝑥}) 𝑑𝑥 = 2 · 𝑥^{2} + 𝑒^{𝑥} + 𝑘 (𝐼)

1

2

= 𝑥^{2} + 𝑒^{𝑥} + 𝑘

Vi har således, at alle stamfunktioner til 𝑓 kan skrives på formen:

𝐹 ( 𝑥) = 𝑥^{2} + 𝑒^{𝑥} + 𝑘

Da grafen for 𝐹 går gennem 𝑃(0,12), har vi, at 𝐹 ( 0) = 12. Det vil sige:

12 = 0^{2} + 𝑒^{0} + 𝑘

⇕

12 = 𝑘 + 1

⇕

𝑘 = 11

Forskriften for den stamfunktion til 𝑓, hvis graf går gennem 𝑃 er således givet ved:

𝐹 ( 𝑥) = 𝑥^{2} + 𝑒^{𝑥} + 11

(𝐼): Ubestemt integral hvor F(x) er stamfunktion til f(x)

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 ( 𝑥) + 𝑐

Side 6

Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011

6

Sætte konstant udenfor ∫ 𝑘· 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘· ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫ 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Funktion Stamfunktion

𝑒^{𝑥} 𝑒

𝑥

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1

Opgave 8 a)

                                                                       ′
Begge grafer er positive i det viste interval. I samme interval må der således gælde, at 𝑓 (𝑥) > 0.

Dette medfører, at 𝑓 må være voksende i hele det viste interval. 𝐴 repræsenterer en voksende funktion, mens 𝐵 repræsenterer en aftagende funktion (i det viste interval).

Vi kan nu konkludere, at:

𝐴 er grafen for 𝑓, og 𝐵 er grafen for 𝑓′.

Opgave 9 a)

En eksponentiel funktion kan skrives på formen:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑏 · 𝑎^{𝑥}

Det ses af tabellen, at 𝑓(𝑥) vokser med 100%, når 𝑥 vokser med 1. Følgende sammenhæng gælder mellem fremskrivningsfaktoren 𝑎 og vækstraten 𝑟:

𝑎 = 1 + 𝑟
= 1 + 100%
= 1 + 1
= 2

Vi har nu bestemt fremskrivningsfaktoren til 𝑎 = 2

Vi anvender nu, at 𝑓 ( 1) = 6:

Side 7

Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011

7

6 = 𝑏· 2^{1}

𝑏 =

6

2

= 3

Der gælder for eksponentielle funktioner af denne type, at 𝑓 ( 0) = 𝑏

Vi kan således konkludere, at 𝑓 ( 0) = 3

Opgave 10 a)

Vi har, at 𝑦 = 𝑥 ln ( 𝑥) + 2𝑥

𝑦 differentieres med hensyn til 𝑥: 𝑑𝑦 1 𝑑𝑥 𝑥

= 1 · ln ( 𝑥) + 𝑥· + 2 (𝐼)
= ln ( 𝑥) + 1 + 2
= ln ( 𝑥) + 3

Nu indsætter vi ovenstående udtryk i differentialligningen og kontrollerer, om begge sider viser det samme:

ln ( 𝑥) + 3 =

𝑥ln ( 𝑥) + 2𝑥 + 𝑥

𝑥

⇕

ln ( 𝑥) + 3 =

𝑥· (ln ( 𝑥) + 2 + 1)

𝑥

⇕

ln ( 𝑥) + 3 = ln ( 𝑥) + 3

Da ligningen viser det samme på begge sider, kan vi konkludere, at 𝑓 er en løsning til den angivne differentialligning.

(𝐼):

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘· 𝑓^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) · 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) · 𝑔 ( 𝑥) + 𝑓(𝑥) · 𝑔′(𝑥)

Side 8

Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011

8

Funktion Afledt funktion ln(𝑥)

1 𝑥 𝑥 1

Opgave 11 a)

Trekanterne ADC og BDC er ensvinklede, idet:

𝐴_{𝐴𝐷𝐶} = 𝐶_{𝐵𝐷𝐶}

𝐷_{𝐴𝐷𝐶} = 𝐷_{𝐵𝐷𝐶}

𝐶_{𝐴𝐷𝐶} = 𝐵_{𝐵𝐷𝐶}

Der må således gælde, at:

𝐶𝐷 𝐷𝐵 𝐵𝐶

𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐶

= =

Indsætter vi kendte sidelængder, får vi:

2 5 − 𝑐 𝐵𝐶

𝑐 2 𝐴𝐶

= =

Heraf, kan vi konkludere, at:

2 5 − 𝑐

𝑐 2

=

b)

Ligningen løses:

2 5 − 𝑐

𝑐 2

=

⇕ (Begge sider af ligningen ganges med 2𝑐)

2 · 2 = ( 5 − 𝑐) · 𝑐

⇕

4 = 5𝑐− 𝑐^{2}

Side 9

Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011

9

⇕

𝑐^{2} − 5𝑐+ 4 = 0

Der er tale om en andengradsligning på den generelle form 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑘 = 0. (𝐼).

Vi anvender nu den generelle løsningsform (med tanke på, at vores ubekendte er 𝑐 fremfor 𝑥):

𝑐 =

−𝑏 ± √𝑏^{2} − 4 · 𝑎 · 𝑘
2 · 𝑎

=

− ( −5) ± √ ( −5)^{2} − 4 · 1 · 4
2 · 1
=

5 ± √ 25 − 16

2

=

5 ± 3

2

Der er to løsninger:

𝑐_{1} =

5 + 3

2

=

8

2

= 4

𝑐_{2} =

5 − 3

2

=

2

2

= 1

Vi kan nu konkludere, at de mulige værdier af 𝑐 er 𝑐_{1} = 4 og 𝑐_{2} = 1

(𝐼): Normalt skrives den generelle form som 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, men da vores ubekendte også hedder 𝑐

kalder vi den sidste konstant for 𝑘 i stedet. Vi kunne samtidig erstatte 𝑥 med 𝑐, så:

𝑎𝑐^{2} + 𝑏𝑐 + 𝑘 = 0

Denne forklaring er ikke nødvendig i en eksamensbesvarelse, da det opfattes som underforstået.