STX Matematik A NET 2011 18. maj - Delprøven med alle hjælpemidler

Side 1

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011

1

STX Matematik A (Netadgang)

18. maj 2011

Delprøven med hjælpemidler

1frs111-MATn/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp STX 3.g

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMat’s egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 11 a)

Da der er tale om en eksponentiel model, anvendes eksponentiel regression i WordMat. Først opskrives data i en tabel: 𝑥 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑦 885 662 496 364 298 248 207 171 140 110

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9902748

𝑦=991,5371 · 0,7998828^{𝑥}

Konstanterne aflæses, afrundes og defineres: 𝑎≔0,8 𝑏≔991,5 b)

Vækstraten er givet ved:

Side 2

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011

2

𝑟=𝑎− 1
=−0,2
=−20%

Det vil sige, at opspringshøjden aftager med 20% pr. opspring.

Halveringskonstanten er givet ved:

𝑇 =−

1

2 ln ( 2) ln ( 𝑎)

≈3,106284

Halveringskonstanten er fundet til 𝑇 1_{2} =3,1 opspring.

Side 3

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011

3

Opgave 12 a)

En skitse tegnes og alle resterende sider og vinkler beregnes ved indtastning af de givne oplysninger i WordMat’s trekantsberegner:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: P_{1} = 55°, P_{2} = 50°, P_{1} P_{2} = 100

75° P_{1} = 55°
Q = 75°
P_{2} = 50°

QP_{2} = 84,80486
P_{1} P_{2} = 100
P_{1} Q = 79,30676

Vinkel Q findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝑄=180° − 𝑃1 − 𝑃2
=180° − 55° − 50°
=75°
Længden af siderne QP_{2} og P_{1} Q findes vha. sinusrelationerne

𝑃_{1} 𝑄=𝑃_{1} 𝑃_{2} ·

sin ( 𝑃_{2})

sin ( 𝑄)

=100 · =79,30676

sin ( 50°) sin ( 75°)

𝑄𝑃_{2} =𝑃_{1} 𝑃_{2} ·

sin ( 𝑃_{1})

sin ( 𝑄)

=100 ·

sin ( 55°) sin ( 75°)

=84,80486

Vi kan således konkludere, at længden af den stålwire, som går 𝑄 til 𝑃_{1}, er ca. 79,31 𝑚.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

55° 100 50°

79,3 84,8

Side 4

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011

4

Opgave 13 a)

Vi definerer de indgående størrelser:

𝑀≔()

2 5

7 9

𝑁≔()

−1 4
7 −3

𝑣⃗≔()

3

5

Nu lader vi WordMat om beregningerne, og konkluderer, at:

𝑀 · 𝑣⃗=()

31

66

𝑀 ·𝑁=()

33 −7

56 1

Side 5

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011

5

Opgave 14 a)

Ud fra de givne oplysninger kan vi fremskrive populationsstørrelserne med 1 år.

For de unge mus gælder, at hele generation 𝑛 dør eller bliver gamle. Samtidig fødes der 4 · 𝑥_{𝑛} + 2 · 𝑦_{𝑛} nye

unger:

𝑥_{𝑛+1} =𝑥_{𝑛} + Δ𝑥
=𝑥_{𝑛} + (4𝑥_{𝑛} + 2𝑦_{𝑛} − 𝑥_{𝑛})
=4𝑥_{𝑛} + 2𝑦_{𝑛}

For de gamle mus gælder, at hele generation 𝑛 dør. Samtidig bliver^{1}_{2} 𝑥_{𝑛} unge mus nu gamle.

𝑦_{𝑛+1} =𝑦_{𝑛} + Δ𝑦
=𝑦_{𝑛} + ( 𝑥_{𝑛} − 𝑦_{𝑛})

1

2

=0,5 · 𝑥_{𝑛}

Vi kan nu opskrive fremskrivningerne som en vektor:

()=()

𝑥_{𝑛+1}
𝑦_{𝑛+1}

4𝑥_{𝑛} + 2𝑦_{𝑛}
0,5𝑥_{𝑛}

Nu efterprøver vi, ved beregning i WordMat, at fremskrivningerne passer med modellen i opgaven:

()=() · ()

𝑥_{𝑛+1} 𝑥_{𝑛}
𝑦_{𝑛+1} 𝑦_{𝑛}

4 2

0,5 0

=()

2 · 𝑦_{𝑛} + 4 · 𝑥_{𝑛}
0,5 · 𝑥_{𝑛}
=()

4𝑥_{𝑛} + 2𝑦_{𝑛}
0,5𝑥_{𝑛}

Vi ser, at den udledte fremskrivningsvektor giver den samme fremskrivning som modellen i opgaven. Der er hermed gjort rede for, at udviklingen i fordelingen af antal unge og gamle mus kan beskrives ved:

()=() · ()

𝑥_{𝑛+1} 𝑥_{𝑛}
𝑦_{𝑛+1} 𝑦_{𝑛}

4 2

0,5 0 b)

Vi definerer nu:

𝑀≔()

4 2

0,5 0

𝐸≔()

1 0

0 1

Side 6

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011

6

Egenværdierne findes ved at løse:

det ( 𝑀−𝜆·𝐸) =0

⇕ Ligningen løses for λ vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝜆=−0,236068 ∨ 𝜆=4,236068

For den største af de to egenværdier, 𝜆_{1} =4,236, gælder, at vi for store værdier af 𝑛 kan fremskrive

populationsstørrelsen blot ved at gange med egenvektoren. Med matematisk notation får vi:

()→𝜆_{1} · () for 𝑛→∞

𝑥_{𝑛+1} 𝑥_{𝑛}
𝑦_{𝑛+1} 𝑦_{𝑛}

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011

7

Opgave 15 a)

WordMat skal arbejde med en funktion af to variable, og de uafhængige variable adskilles af semikolon.

Funktionen defineres som en funktion af to variable:

𝑤 ( 𝑡;𝑣) ≔13,3 + 0,62 · 𝑡 − 13,95 · 𝑣^{0,16} + 0,486 · 𝑡· 𝑣^{0,16}

Vi bestemmer nu:

𝑤 ( −5;20) ≈−16,25323

Windchill indekset ved −5°𝐶 og en vindhastighed på 20^{𝑚}_{𝑠} er altså ca. −16,25℃

b)

Vi løser nu:

𝑤 ( −3;𝑣) =−10

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣=7,883893

Den vindhastighed, som ved en temperatur på −3℃ giver et windchill indeks på −10℃ er således ca.
7,88^{𝑚}_{𝑠}.

Side 8

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011

8

Opgave 16 a)

Nulhypotese: Resultatfordelingen pr. 14/11 for sæsonen 2010/2011 følger samme fordeling som
resultatfordelingen for sæsonen 2009/2010.

Til undersøgelsen anvendes en GOF-test i WordMat. De forventede værdier beregnes i Excel vha.:

1) Antallet af kampe pr. 14/11 2010: 128
2) Den procentdel, som udfaldet 𝑛 udgjorde i 2009/2010. Det vil sige hhv. 50,8%, 25,3% og 23,9%

𝑓𝑜𝑟𝑣_{𝑛} =𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑑𝑒𝑙_{𝑛} · 128

Vi får nu:

Goodness of fit

Nul-hypotese: den forventede fordeling

Den observerede stikprøve stammer fra

Udfald Fordeling fordeling niveau: 5%

Obs. Forventet Signifikans

Hjemmesejr 55 65,024

Uafgjort 45 32,384 P-værdi: 3,54%

Udesejr 28 30,592 Konklusion: Nul-hypotese forkastet

Da 𝑝=3,54%<5% forkastes nulhypotesen på et 5% signifikansniveau. På et 5% signifikansniveau kan vi
således afvise, at resultatfordelingen pr. 14/11 for sæsonen 2010/2011 følger samme fordeling som
resultatfordelingen for sæsonen 2009/2010.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011

9

Opgave 17 a)

Ligningen søges opskrevet på formen:

𝑎 · ( 𝑥−𝑥_{0}) + 𝑏· ( 𝑦 − 𝑦_{0}) + 𝑐· ( 𝑧 − 𝑧_{0}) =0

Hvor 𝑛 ⎯ ⃗ = ( 𝑏) er en normalvektor til planen og 𝑃(𝑥_{0},𝑦_{0},𝑧_{0}) er et punkt i planen.

𝑎 𝑐

En normalvektor til planen 𝛼 kan findes som krydsproduktet mellem to ikke-parallelle vektorer i tagfladen ABCD. To sådanne vektorer defineres:

𝐴𝐵 ≔( 110 − 105)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

110 − 105

0 − 50

𝐴𝐷 ≔( 105 − 105)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

5 − 105

50 − 50

Vi får så, at:

𝑛 ⎯ ⃗ =𝐴𝐵 × 𝐴𝐷 =( 5000)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

0

500

Vektoren kan skaleres med_{500}^{1} og stadig være normalvektor til planen. Vi definerer nu:

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝛼} ⃗ ≔( 10)

0

1

Ligningen opskrives nu vha. ovenstående normalvektor og punktet 𝐶:

𝛼: 0 · ( 𝑥− 0) + 10 · ( 𝑦− 110) + 1 · ( 𝑧− 0) =0

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

𝑧+ 10· 𝑦 − 1100=0

Vi kan konkludere, at 𝛼 kan beskrives ved ligningen 10𝑦 + 𝑧− 1100=0.

b)

Vinklen mellem de to tagflader kan bestemmes som vinklen mellem en normalvektor for hver af planerne 𝛼 og 𝛽. En normalvektor for 𝛽 aflæses direkte af ligningen og defineres:

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝛽} ⃗ ≔( 84)

−4

21

Side 10

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011

10

Vinklen kan nu bestemmes ved at løse:

cos ( 𝑣) =

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝛼} ⃗ · 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝛽} ⃗

| 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ | | 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ |
  𝛼  𝛽

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣=cos^{−1} ()

861

√ 101 · √ 7513

≈8,732886

Denne vinkel er den spidse vinkel mellem planerne. Vinklen mellem de to tilstødende tagflader svarer til den stumpe vinkel mellem planerne. Vi får nu:

𝑤=180 − 8,732886

≈171,2671

Vinklen mellem tagfladerne ABCD og ADT er altså ca. 171,27°

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 11

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011

11

Opgave 18 a)

Funktionerne defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔−0,01𝑥^{3} + 0,03𝑥^{2} + 0,28𝑥

𝑔 ( 𝑥) ≔0,05𝑥^{2} − 0,35𝑥

Skæringspunkterne findes ved at løse:

𝑓 ( 𝑥) =𝑔(𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−9 ∨ 𝑥=0 ∨ 𝑥=7

Andenkoordinaterne findes nu som:

𝑓 ( −9) ≈7,2

𝑓 ( 0) =0

𝑓 ( 7) =0

Koordinatsættene for de tre skæringspunkter således:

𝑆_{1} (−9;7,2)
𝑆_{2} (0,0)
𝑆_{3} (7,0)

Vha. koordinatsættene og figuren indser vi nu, at punktmængden 𝑀 afgrænses af graferne for 𝑓 og 𝑔 i

intervallet [0,7], samt at 𝑓≥𝑔 i hele intervallet. Arealet af punktmængden kan da beregnes som:

∫ 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈7,145833

7

0

Arealet af 𝑀 er ca. 7,146 b)

Den lodrette afstand mellem de to grafer kan beskrives som en funktion af 𝑥:

𝑑 ( 𝑥) = | 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥)|
= | 0,01 · 𝑥^{3} + 0,02 · 𝑥^{2} − 0,63 · 𝑥 |

Da 𝑑(𝑥) er absolutværdien af et tredjegradspolynomium, vil den ikke have nogen globale ekstrema. Der vil

nemlig gælde, at 𝑑 ( 𝑥) →∞ 𝑓𝑜𝑟 𝑥→±∞
På figuren antydes det dog, at man udelukkende søger at finde den største værdi af 𝑑 for 0≤𝑥≤7.

Side 12

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011

12

For at finde den største værdi af 𝑑 i dette interval kan vi nu ændre definitionen på 𝑑(𝑥). For det første behøver vi ikke tage absolutværdien, da 𝑓>𝑔 i hele definitionsmængden, og for det andet har vi nu en begrænset definitionsmængde:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑑 ( 𝑥) ≔𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥),0≤𝑥≤7

Nu løser vi:

𝑑^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=3,964148

Der er kun et stationært punkt, og vha. figuren kan vi vide os sikre på, at dette er et globalt maksimum.

Afstanden findes nu: 𝑑 ( 3,964148) ≈1,560179

Den største lodrette afstand mellem de to grafer (i intervallet [0,7]) er således 𝑑=1,560179.