SRP om Fibonaccital og det Gyldne Snit i Matematik A og Dansk A

Side 1

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 1 af 34

Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

STX 3.g

Matematik A

Dansk A

Note: I opgavestillingen er opgaven her sat til at skulle fylde 15-30 sider eksklusiv bilag

Side 2

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 2 af 34

Abstract

The following paper examines the connection between the literary period known as the renaissance and the mathematical aspects of the golden section. Furthermore it concludes to what extend the renaissance has influenced the posterity. In order to do so the project seeks to understand the view of human nature from that specific period. This is extracted from two of Leonardo da Vinci’s paint-ings and a selected part of the text Dekameron by Giovanni Boccaccio. Before these paintings can be analysed it’s necessary to go through an in depth examination of the golden section. This exami-nation applies standard algebraic method of calculation and the method of induction to demonstrate various connections with the golden section, among these the Fibonacci numbers. With this exami-nation the paper is able to use the golden section to draw out relevant content from the two da Vinci paintings. Boccaccio’s text is analysed by usage of the standard procedure of epic analysis. The study of the paintings indicates that man was considered of being an aesthetic creature, while the text of Boccaccio points out that man should be portrayed both for better or worse. However, man is still to be considered as aesthetic. By looking at the arrangements of the content in the text, it is concluded that Boccaccio was a revolutionary writer by the fact that his work, in spite of the sexual content, was accepted among the recipients of that time. By comparing the expression of the view of human nature from the paintings and the text it is seen that knowledge of the golden section is required in order to find the proper similarities between the works. Finally the paper compares the relationship between God and man in the renaissance with the same relationship in selected follow-ing literary periods. Through this the paper concludes that the renaissance is revolutionary in its view of human nature.

Side 3

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 3 af 34

Indholdsfortegnelse

Indledning………………………………………………………………………………... 4

Definitioner på det gyldne snit med Φ…………………………………………………… 4

Konstruktion af det gyldne snit…………………………………………………………... 8

Det gyldne snit i pentagoner og pentagrammer………………………………………….. 9

Den gyldne trekant……………………………………………………………………….. 11

Fibonaccital og det gyldne snit…………………………………………………………... 13

Renæssancen……………………………………………………………………………... 17

Billedanalyser…………………………………………………………………………….. 18

• Bebudelsen……………………………………………………………………………... 18

- Komposition…………………………………………………………………… 19

- Krops- tings- og verbalsprog…………………………………………………... 19

- Symboler………………………………………………………………………. 20

- Idé og budskab………………………………………………………………… 20

• Den sidste nadver………………………………………………………………………. 20

- Komposition…………………………………………………………………… 21

- Krops-, tings- og verbalsprog………………………………………………….. 21

- Bibelske paralleller …………………………………………………………… 22

- Idé og budskab………………………………………………………………… 22

Boccaccio: Dekameron – fortællingen om munken Rustico og Alibech………………… 23

• Komposition……………………………………………………………………………. 23

• Miljøkarakteristik………………………………………………………………………. 25

• Karakteristik af Rustico………………………………………………………………… 25

• Karakteristik af Alibech………………………………………………………………... 26

• Idé og budskab………………………………………………………………………….. 26

Mennesket og det litterære nybrud……………………………………………………….. 27

Konklusion……………………………………………………………………………….. 28

Litteraturliste……………………………………………………………………………... 31

Bilag……………………………………………………………………………………… 32

Side 4

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 4 af 34

Indledning

L'uomo è esteticamente

Mennesket er æstetisk.

Ja, mennesket er i sandhed et forunderligt væsen. Vi er tænkende, vi er skabende og vi er harmoni-ske – kort sagt æstetiske. I denne opgave vil jeg forsøge at uddrage nogle udtryk for selv samme påstand med udgangspunkt i kunstneriske levn fra den italienske renæssanceperiode. For at fastsæt-te renæssancens menneskesyn vil jeg dog først gå i dybden med det æstetiske begreb det gyldne snit, og se på hvilke matematiske sammenhænge, der er underlagt dette. Herunder har jeg valgt at fokusere på nogle særligt æstetiske figurer samt Fibonaccifølgen. Efter en dybdegående undersøgel-se af det gyldne snit vil jeg være i stand til at betragte renæssancen, hvor jeg vil fastsætte nogle rammer for menneskesynet i perioden. Med disse rammer vil jeg efterfølgende kunne tage udgangs-punkt i forskellige italienske kunstnere og uddrage menneskesynet samt væsentlige budskaber fra deres værker. Herunder vil jeg både analysere billeder med særligt fokus på det gyldne snit, men også analysere en renæssancetekst, hvorfra jeg kan sammenfatte et udvidet menneskesyn i forhold til de rammer, jeg allerede har fastlagt. På baggrund af teksten vil jeg samtidig vurdere dennes be-tydning i forhold til samfundsnormen for litterære tekster. Da vil jeg efterfølgende sammenligne analyserne af hhv. malerierne og teksten og konkludere på betydningen af det matematiske indhold for billederne. Slutteligt vil jeg se på renæssanceperiodens betydning for eftertiden og derunder konkludere på, om periodens menneskesyn har været revolutionerende for den fremtidige verden.

Definitioner på det gyldne snit med Φ

Jeg vil i dette afsnit forsøge at præcisere det gyldne snit, og hvad det indebærer. Det gyldne snit er et begreb, der stammer helt tilbage fra det antikke Grækenland, hvor man fandt du af at den mest harmoniske opdeling af en helhed, altid havde et bestemt længdeforhold. Det er dette harmoniske forhold, vi kender som det gyldne snit, hvilket har en yderst æstetisk virkning i dets udformning.

Før vi kan føre det over i mere konkrete sammenhænge, som geometriske figurer og de førnævnte Fibonaccital, er det nødvendigt at fastslå et par ting. Det første, der fastslås, er naturligvis definitio-nen på det gyldne snit. Hvor ingen anden henvisning gives, tager beviserne, der følger de forskellige sætninger, udgangspunkt i kildematerialet angivet ved sætningens introduktion i opgaven.

Side 5

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 5 af 34

Definition på det gyldne snit^{1}

Hvis det om linjestykket AB på figur 1 forneden gælder, at det er delt af punktet C, så a b

+ ba a
=

siges C at dele linjestykket AB i det gyldne snit.

Figur 1

Ifølge definitionen vil det sige at en linje, der deles i a og b af punktet C skal opfylde at forholdet mellem disse to længder skal svare til forholdet mellem summen af længderne og den største læng-de. Som eksempel deler punktet C et linjestykke i længderne 9,5 og 5,87. Da kan det ses, at C deler

                              +  87,55,9    5,9
linjestykket i det gyldne snit fordi  618,1 == . For at fastlægge en form for værdi for det
                                5,9        87,5

gyldne snit anvendes her sætning 1.1 til en mere præcis angivelse af sidelængdeforholdet:

Sætning 1.1 [2]: C deler linjestykket AB i det gyldne snit netop når b 2 a 51+

=

For at bevise denne sætning anvendes definitionen til at opstille følgende udtryk, der omskrives:

                      2222
( )                  babaaabbbab =−−⇔=+=+⇔= 0

+ ba a

a b

Ved at dividere med b^{2} fås udtrykket nu til:

=−−==−− 01

⎛ ⎞^{2}
b b^{22} bb^{2} ⎝ ⎠

a ab b 0 a

2

2 2

⎜_{b}^{a} ⎟

b

Her har vi et andengradspolynomium med_{b}^{a} som funktionsvariabel. Når denne skal løses finder

man først funktionens diskriminant for derefter at benytte denne til at finde en eller flere løsninger:

( ) ( )^{2} =−⋅⋅−−=d 51141

Da diskriminanten er positiv må der være 2 løsninger, hvilke vil kunne skrives som: b 2 a 51

+

−

=

1

De(t) gyldne snit – i kunst, natur og matematik, side 8

2

De(t) gyldne snit – i kunst, natur og matematik, side 9

A B

C a b

Side 6

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 6 af 34

Hvis de to løsninger udregnes, fås to tal, hvilke er hhv.:

...618034,1 Φ== og Φ=−= ´...618034,0

+ 51 − 51

2 2

Da, der her er tale om længder, vil den positive løsning kun kunne anvendes, hvilket hermed beviser

sætning 1.1 idet_{b}^{a}_{2} =.

51+

Med andre ord er_{b}^{a} Φ=, hvilket fastslås som symbolet for det gyldne snit. Det tilsvarende reci-

             b
prokke forhold, vil da kunne opskrives således:
             a

+ 51 + 51

211

2

==

b a

Her forlænges brøken nu med 51−, hvorefter der reduceres ned det følgende:

( ) 512 ( ) ( ) − 512 − 512 − 51
     =    =     −=
       − 51 − 4   2
  −+ 5151

( )( )^{−}

=Φ−= 618034,0´

Dvs. at den reciprokke værdi af forholdet ved et gyldent snit vil svare til 1−Φ.

For Φ og ´Φ gælder der en række forskellige ting som bliver fastslået på side 10 i De(t) gyldne snit

– i kunst, natur og matematik. Disse er som følger:

Φ ´ −Φ 1´

1 1

1´ )6 =−Φ ´eller =Φ

Φ −Φ 1

1 1

1 )5 =−Φ eller =Φ

=Φ+Φ−=Φ⋅Φ 1´ 4) 1´ )3

=−Φ−Φ=−Φ−Φ 01´´ 2) 01 )1

22

Da en omskrivning af de to første regler er påkrævet senere i opgaven, vil denne blive foretaget her:

     22
101 Φ=+Φ⇔=−Φ−Φ

 22
´1´01´´ Φ=+Φ⇔=−Φ−Φ

En linje er ikke begrænset til kun at deles i det gyldne snit ét sted. I følgende sætning fastslås det, hvordan linjen AB deles to steder i det gyldne snit.

Side 7

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 7 af 34

Sætning 1.2 [3]: Hvis linjestykket AB set nedenfor er delt af C i det gyldne snit, gælder det, at

1) AD deles i det gyldne snit af både B og C

2) EB deles i det gyldne snit af A

Figur 2a

Figur 2b

Figur 2c

Heri er det fastlagt at C deler AB i det gyldne snit. Dvs. at_{b}^{a}^{+}_{a}^{ba} Φ==. Først kan den første på-

stand i sætningen bevises ved at se på den tilsvarende figur 2b og indsætte de angivne længdevær-dier. Da bliver:

BD a AC

AB CD

+ ba
= =

Da vi har fastlagt at_{b}^{a}^{+}_{a}^{ba} Φ== vil det sige at B deler længden AD i det gyldne snit. Tilsvarende

kan det ses, at det samme gælder for C. Den sidste påstand vises ligeledes:

= Φ=

+ ba

EA a

AB

Sætning 1.2 er hermed bevist i samtlige påstande.

3

De(t) gyldne snit – i kunst, natur og matematik, side 15

A C B a b

A C B D a b a

E A C B a a b

Side 8

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 8 af 34

Konstruktion af det gyldne snit

Det gyldne snit er ikke kun teoretiske angivelser af opdelinger af linjer, men har også en rent prak-tisk side. I det følgende vil jeg vise konstruktionen af det gyldne snit af et linjestykke kun ved hjælp af passer og lineal [4]. Idet, der nu redegøres for konstruktionens frem-gangsmåde, henvises der til figur 3a, 3b og 3c, hvor kon-struktionen kan ses afbilledet.

Linjestykket AB har en given længde vi kalder p. Først Figur 3a afsættes den halve længde af p vinkelret på linjen AB i punktet B. Den vinkelrette linje laves ved at afsætte længden p i forlængelse af linjen AB. Fra hvert af endepunkterne af linjen AF markeres der med ens radius et cirkeludsnit over punktet B. Det punkt, hvor cirkeludsnittene krydser, vil svare til et punkt på den vinkelrette linje fra B. Den vinkelrette linjes endepunkt D for-bindes med punktet A, hvorefter man med centrum i punktet D

tegner en cirkelbue med radius_{2}^{1} p. Punktet denne cirkelbue

skærer linjen AD med kaldes E. Nu anvendes punktet A som centrum, hvorefter en cirkelbue med radius AE tegnes. Dennes skæring med linjen AB kaldes C og vil svare til det gyldne snit.

Dette kan naturligvis bevises ved først at se på linjen AD [5]. Denne linje er sammensat af_{2}^{1} p og

længden AE. Denne ukendte længde vil svare til længden AC. Hvis C er korrekt placeret på linje-

stykket AB vil det ifølge sætning 1.1 gælde at Φ==. Den ukendte længde x kan nu findes

AC x p

AB

ved at benytte sig af en omskrivning med den reciprokke værdi af Φ. Dvs. at = ⇔ =⋅ xp.

p Φ Φ x 11

Da vi har vedtaget at den reciprokke værdi af Φ kan skrives som 1−Φ indsættes dette i udtrykket,

og der omskrives:

4

Selve konstruktionen er udarbejdet vha. bogen De(t) gyldne snit – i kunst, natur og matematik, side 23 nederst til 24

øverst.
5

Denne del af beviset tager udgangspunkt i analysen på side 23 øverst i De(t) gyldne snit – i kunst, natur og matematik Figur 3b

Figur 3c

Side 9

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 9 af 34

          ⎛      ⎞             ⎞         ⎞
           +  51                        1
( ) 1 −=⋅ ==⋅−Φ − 1          −+=⇔⋅ 1  −=⋅         ppppxpxp
          ⎜      ⎟             ⎟         ⎟
            2                           2
          ⎝      ⎠             ⎠         ⎠

2 2 2 2 2

5 1 5 5 1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ | ⎜
⎝ | ⎝
⎛ | ⎛

                                                  5   1
Dvs. hvis C er placeret i det gyldne snit gælder det at −= ppAC . Beviset for konstruktionen
                                                 2    2

                                                       1
ligger i at    AEAC = , og da vi kan se at           −=−= pADEDADAE kan det bevises at punktet
                                                       2

C opdeler linjen AB i det gyldne snit ved at anvende Pythagoras’ læresætning [6], hvilket er muligt, fordi vi har med en retvinklet trekant at gøre [7]. Her vil jeg bestemme længden af AD således:

           2
+=        pppAD += ⎜ ⎟                AD         ==⇔=+= p

2 ⎛ 1 ⎞^{2} ⎛ ⎞ 4 5 pppp 5 p^{22222} 5

42 44 4 4 2

2

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎝ ⎠

                       5                          1
Da vi nu har vist at =  pAD , og vi samtidig ved at = pED kan det ses, at
                      2                           2

−=−= ppEDADAE

2 2

5 1

                    5    1
Da vi har vist at      −= ppAC hvis C opdeler AB i det gyldne snit, må det konkluderes at kon-
                    2    2

struktionen er bevist at have gjort dette, idet AEAC =.

Det gyldne snit i pentagoner og pentagrammer

I det følgende afsnit vil jeg redegøre for det gyldne snits sammen-hæng med pentagoner og pentagrammer [8]. Den slags pentago-

ner/pentagrammer, jeg tager udgangspunkt i her, er naturligvis de

regulære, hvilket vil sige, de figurer hvor vinkelstørrelserne og sidelængderne er ens. Der henvises i det følgende til figur 3 og 4.

Ved indtegning af diagonalen fra A til C i den regulære pentagon fremkommer en trekant ABC. Idet trekantens to sidelængder er ens, kan det konkluderes at trekant ABC er ligebenet, hvilket be-tyder at vinkel A og C i trekanten er ens. Desuden fremkommer også firkanten ACDE, hvor vinklerne D og E er lige store pga. pentagonens regularitet. Da diagona-

6

Dette udgør mit alternative bevis til konstruktionen. Den bygger altså på egne overvejelser og egen baggrundsviden.

7

Resultatet ved anvendelse af Pythagoras’ læresætning vil naturligvis kun kunne være positivt, idet der arbejdes med et

længdeforhold.
8

Afsnittet tager udgangspunkt i De(t) gyldne snit – i kunst, natur og matematik, side 33-34.

Figur 4a

Side 10

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 10 af 34 len er en lige linje imellem vinkel A og C, og da vi har konkluderet, at disse vinkler er lige store i pentagonen som helhed samt i trekant ABC, må det konkluderes, at vinkel A og C også er lige store i firkant ACDE. Da vinklerne i firkanten er lige store parvis, må det betyde, at firkanten er en trapez, hvilket betyder, at AC er parallel med DE. Dette udgør grundopbyg-ningen af den regulære pentagon. Når sidelængderne forlænges til de skærer hinanden, dannes det regulære pentagram.

Som det fremgår af figur 4 afgrænser vinklerne FGD en trekant. Inde i denne trekant fremkommer endnu en trekant af vinklerne AGC. Det kan med det samme konkluderes, at AG og GC er parallelle med hhv. FG og GD, fordi FG og GD lig-ger i forlængelse af AG og GC. Da vi allerede har konkluderet, at AC er parallel med DE, og derfor også med DF, vil det sige at trekant FGD og trekant AGC er ensvinklede, idet samtlige sidelængder i den ene trekant er parallelle med tilsvarende sidelængder i den anden trekant. Dvs. at:

  GD
=    , hvor forholdet mellem siderne kan skrives som proportionalitetskonstanten k. Nu ved-
  GC

AG

FG tages at BG og de andre tilsvarende længder skrives som a, mens AB og dennes tilsvarende

længder sættes til b. Ved dette kan AG nemlig skrives som ba + og FG skrives som ba +2. Nu

indsættes disse værdier i proportionalitetsudtrykket, og der omregnes til følgende:

+ ba_{=} + ba_{⇔} ( ) 22 + baa

    2
                        2222
( )                    babaabbabaababa =−−⇔++=+=+⇔+= 022

2

+ ba a + ba

Ved at dividere med b^{2} fås^{a} =−− 01. Dette udtryk er nøjagtig det samme som i beviset af

⎛ ⎞^{2}
⎜_{b} ⎟

⎝ ⎠ b a

                             a
sætning 1.1. Dvs. i dette tilfælde er
                             b

ligeledes svarende til det gyldne snit

Φ

. Da der her igen er tale om længder, er

´Φ derfor ubrugelig. Med andre ord deles

FB i det gyldne snit ved punktet A.

Ifølge sætning 1.2 kan det også konkluderes, at A deler

FG i det gyldne snit. Tilsvarende deles både IJ og IE i det gyldne snit af punktet A. Dvs. at dét ene punkt deler 4 linjestykker i det gyld- Figur 4b

Side 11

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 11 af 34 ne snit, og det samme gælder for de resterende 4 punkter fra den oprindelige pentagon. Det resulte-rer i, at der i alt er 20 gyldne snit i et regulært pentagram, hvilket gør denne figur meget æstetisk.

Den gyldne trekant

Andre figurer end den regulære pentagon og det regulære pentagram, der har en æstetisk form, er den såkaldte gyldne trekant. Denne figur bygger også på længdeforhold, der bunder i det gyldne snit, hvoraf det æstetiske derfor kommer.

Definition på en gylden trekant^{9}

En ligebenet trekant med siderne a, a og b kaldes en gylden trekant, netop når:

Φ=

b a

Heri ligger der, at to af trekantens sider skal have samme længde, hvilket gør trekanten ligebenet.

For ligebenede trekanter ved vi, at de udover ens sidelængder også har ens vinkler ved skæring med linjen b. De følgende tre sætninger og deres beviser tager udgangspunkt i trekanter dannet af det regulære pentagram, og dermed også den regulære pentagon:

Sætning 2.1 [10]: De trekanter i pentagrammet, der ligger uden for pentagonen, er gyldne.

Som et eksempel på en sådan trekant henvises der igen til figur 4b, hvor trekant BGC opfylder for-

udsætningerne fra sætning 2.1. Fra forrige afsnit blev det vedtaget at hhv. aBG =, aGC = og

bBC =. Under samme afsnit blev det endvidere bevist, at Φ=. Da der er tale om et regulært

b a pentagram vil samtlige af disse ydre trekanter være ensartet med trekant BGC, hvilket ifølge defini-tionen af en gylden trekant betyder, at de fem ydre trekanter alle er gyldne trekanter. Dermed er sætning 2.1 bevist.

Sætning 2.2 [11]: En trekant er gylden, netop når dens vinkler 72°, 72° og 36°.

Idet der her er tale om to ens vinkler, tyder det på, at sætningen beskæftiger sig med ligebenede trekanter. Idet en vilkårlig pentagon kan opdeles i tre trekanter, en såkaldt triangulering, vil det sige, at vinkelsummen i en vilkårlig pentagon svarer til trekantens vinkelsum multipliceret 3 gange, altså

°=°⋅ 5401803. Da alle vinkler i den regulære pentagon er ens, vil det sige, at de alle svarer til

9

De(t) gyldne snit – i kunst, natur og matematik, side 36

10

De(t) gyldne snit – i kunst, natur og matematik, side 36

11

De(t) gyldne snit – i kunst, natur og matematik, side 36

Side 12

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 12 af 34

108 °=. Nu betragter vi igen trekant BGC i figur 4b. Vinkel C i trekant BGC er supplement-

540 °

5 vinkel til vinkel C fra pentagonen ABCDE, idet punktet ligger på en ret linje. Da vil

°=°−°=∠⇔°=°+∠ 180108 CC. Tilsvarende gælder det for vinkel B i trekant BGC at
°=°−°=∠ B. Det betyder så, at den resterende vinkel G vil have et udspænd på
( ) ( ) °=°⋅−°=∠+∠−°=∠ 180 CBG. Da vi i forbindelse med sætning 2.1 fik bevist, at

trekant BGC er gylden, vil det sige, at alle trekanter med de i sætning 2.2 fastlagte gradtal er gyld-ne [12]. Dette kan konkluderes ved, at man ikke kan lave nogen form for indgreb i den enkelte vinkels

                                                    a
størrelse, idet det ville påvirke sidelængdernes forhold. Så snart Φ≠ er trekanten ikke længere
                                                    b

gylden. Det eneste indgreb, man kan foretage for at overholde sidelængeforholdet, er en forlængelse af samtlige sidelængder med proportionalitetskonstanten k. Ved en forlængelse med k fås to ens-vinklede trekanter, hvilket vil sige, at alle gyldne trekanter er ensvinklede med netop disse tre grad-tal. Sætning 2.2 er hermed bevist.

Den sidste sætning, der lægger sig op ad gyldne trekanter, beskriver dannelsen af en gylden trekant ved diagonalen mellem to vinkler i den regulære pentagon og de tilsvarende to sidelængder, der forbinder de to vinkler igennem en tredje vinkel. Et eksempel på en sådan trekant ses i figur 4a.

Sætning 2.3 [13]: Hvis siden og diagonalen i pentagrammet kaldes hhv. b og d, gælder det, at

Φ=

b d

Diagonalen

AC i figur 4a vil da svare til d, mens hhv.

AB og

BC vil svare til b, som det frem-går af figur 4b. Da vi allerede tidligere har konkluderet, at trekant FGD er ensvinklet med trekant AGC, må det betyde, at idet længderne

FD og

GD i trekant FDG er lige store, vil længderne

AC og GC i trekant AGC dermed også være lige store. Med andre ord er GCAC = fordi

GDFD =. Da vi har vedtaget at aGC =, må det betyde, at adAC ==, hvilket beviser sætning

2.3, idet_{b}^{a} Φ=, og da ad = kan udtrykket derfor også skrives som_{b}^{d} Φ=.

12

Forklaringen i bogen De(t) gyldne snit – i kunst, natur og matematik er ret tynd, derfor vælger jeg at uddybe konklu-

sionen i det følgende.
13

De(t) gyldne snit – i kunst, natur og matematik, side 37

Side 13

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 13 af 34

Fibonaccital og det gyldne snit

Under dette punkt vil jeg definere og forklare nogle af de indbefattede matematiske aspekter ved Fibonaccifølgen. Derudover vil jeg forsøge at indkredse sammenhængen mellem Fibonaccitallene og det gyldne snit Φ. For at skabe overblik over begrebet Fibonaccital vil jeg først se på definitio-nen af Fibonaccifølgen:

                         14
Definition af Fibonaccifølgen

Ved Fibonaccifølgen forstås den følge af tal  FFFF ..., , ..., , , , hvor == FF 1 , og det for n > 1
                                          321 n              21

gælder, at

FFF += .
 nnn

−+ 11
F_{n} kaldes det n’te Fibonaccital.

Ud fra definitionen fremkommer det altså, at et Fibonaccital er summen af de to forrige Fibonaccital for alle Fibonaccital større end 1. De første tal i følgen bliver således:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, osv.

Da Fibonaccitallene svarer til den summerede værdi af de to foregående Fibonaccital, må det betyde at tallene hurtigt bliver meget store.

Da et Fibonaccital ud fra definitionen forudsætter kendskab til de to foregående tal i følgen vil det

være umenneskeligt at skulle sætte sig til at regne alle Fibonaccital op til F_{56} bare for at finde F_{57}.

Til bestemmelse af et vilkårlig Fibonaccital findes dog en formel kaldet Binets formel. Det forun-derlige ved denne formel er dels, at den anvender tallene

Φ og

´Φ

, men også at dens resultat jo kun er hele tal på trods af, at et tal som

5 indgår i formlen. Binets formel ser ud som følger:

Binets formel^{15}
Det n’te Fibonaccital F_{n} er for alle ∈Zn_{+} bestemt ved

⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎝ | ⎠
⎛ | ⎞

⎜ | ⎟ | ⎜ | ⎟
⎜ | ⎟ | ⎜ | ⎟
⎝ | ⎠ | ⎝ | ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞^{nn}
1 + 51 − 51
F_{n} = −

2 2

5

En hurtig omskrivning af Binets formel giver en mere overskuelig udgave til det følgende bevis [16]:

           nn
F ´5 Φ−Φ=
 n

14

De(t) gyldne snit – i kunst, natur og matematik, side 93

15

De(t) gyldne snit – i kunst, natur og matematik, side 117

16

Jeg synes beviset af Binets formel i bogen De(t) gyldne snit – i kunst, natur og matematik er opbygget unødvendigt i forhold til det relevante for min opgave. Derfor vælger jeg en anden fremgangsmåde for beviset, der involverer indukti-onsmetoden direkte på Binets formel uden hjælpesætningen, bogen fremstiller.

Side 14

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 14 af 34

For at bevise Binets formel skal vi vise, at den gælder for det vilkårlige tal n, som kun kan være et positivt helt tal som følge af definitionsmængden. Et sådan bevis vil da skulle bygge på induktions-princippet, hvilket indebærer det såkaldte induktionsaksiom, der siger:

Induktionsaksiomet [17]: Hvis det om et åbent udsagn ( ) np gælder, at

( ) 1p er sand

( ) ( ) 1+⇒ npnp for alle ∈Zn_{+},
Så er ( ) np sand for alle ∈Zn_{+}

Da induktionsmetoden er en anerkendt metode i matematikken, vil den af hensyn til opgavens om-fang ikke blive gennemgået mere end det, der allerede er skrevet om den her. Vi kan nu allerede se,

at det på forhånd kun er tilladt at anvende n-værdier, hvor ∈Zn_{+}, idet dette blev fastlagt ved intro-

duktionen af Binets formel. Det første, vi skal tjekke om Binets formel, er, at den er sand for 5F_{1}.
Dette gøres ved at indsætte n = 1 og det tilsvarende Fibonaccital for denne n-værdi i formlen:

´5 =Φ−Φ= − = == 5

2 2 2 2

+ 51 − 51 +−+ 5151 52

  11
Φ−Φ=F ´5

1

Da er formlen bevist for 1=n
Man kan yderligere bevise det for n = 2 således:

Φ−Φ= ´5^{22}

Φ−Φ=F ´5^{22}

2

                                 2           2
Da vi tidligere har vedtaget, at 1 Φ=+Φ og  ´1´ Φ=+Φ , indsættes disse nu i udtrykket, og der

isoleres færdigt:

( ) ´1´15 Φ−Φ=+Φ−+Φ=
Dette udtryk er det samme som udtrykket ved n = 1. Da konkluderes det, at påstanden også er sand
for n = 2, idet resultatet er ens for begge disse n-værdier.
Nu skal det bevises, at F_{n} medfører F_{1+n}, hvilket vil sige, at vi forudsætter, at F_{n} er sand, hvorefter

                                             18
vi skal finde ud af, om den følgende n-værdi også er sand . Da += FFF forudsætter vi og-
                                                             nnn 11 −+

så, at F_{1−n} er sand. Vi har altså at:

17

De(t) gyldne snit – i kunst, natur og matematik, side 114

18

Her er hjemmesiden http://www.georgmohr.dk/vinderseminar/vindsem07induk.pdf brugt med henblik på at se hvilket

udtryk, der skulle opstilles for at opnå det ønskede bevis.

Side 15

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 15 af 34

           nn                 nn −− 11
F ´5 Φ−Φ=   og   F          Φ−Φ= ´5
 n                 n − 1

Da bliver           += 555 FFF , og vi kan nu bevise at F og F medfører F :
                         nnn −+ 11             n      1−n        1+n

F_{n}_{+}_{1} ( ) ( )^{nn}^{−−}^{11} +ΦΦ−+ΦΦ= 1´´15

                       nnnn
F                    Φ−Φ−Φ+Φ= ´´5
 n + 1

                      nnnn −− 11
F                   Φ−Φ+Φ−Φ= ´´5
 n + 1

−− 11

                                      2           2                 2     2
Da vi, som tidligere omtalt, har set at 1 Φ=+Φ og ´1´ Φ=+Φ , indsætter vi hhv. Φ og ´Φ i

udtrykket:

                      2121
F                    ´ ´5 Φ⋅Φ−Φ⋅Φ=
 n + 1

nn −−

Ved hjælp af potensregnereglerne kan vi nu se følgende:

                                            nnnnnn +++−+−−− 21
F                                         Φ−Φ=Φ−Φ=ΦΦ−ΦΦ= ´´´´5
 n + 1

Her bevises det altså, at F_{n} og F_{1−n} medfører F_{1+n}, og, da vi har bevist, at F_{1} og F_{2} er sande, må
det betyde, at F_{3} også er sand. Ligeledes vil det betyde at F_{4} er sand idet F_{2} og F_{3} er sande. Ifølge
induktionsaksiomet har vi altså vist, at F_{n} er sand for alle ∈Zn_{+}, hvilket nu også gør F_{1−n} sand for
alle ∈Zn_{+}. Dermed kan det konkluderes, at Binets formel er bevist.

Det essentielle ved Fibonaccitallene er, at forholdet mellem et Fibonaccital og dets foregående nærmer sig tallet Φ jo større Fibonaccital, man bruger. Som eksempel kan det ses, at det tyvende tal i følgen vil give dette forhold til det nittende:

==....618033,1
F_{19} 4181

F_{20} 6765

Dette er allerede meget tæt på tallet Φ og ved at se på forholdet mellem_{6}_{5} =F 8 og =F 5, kan det

ses at give 1,6. Man kan allerede nu forestille sig, at forholdet vil nærme sig Φ yderligere ved endnu større Fibonaccital. Her kommer så sætning 3.1 ind i billedet:

Sætning 3.1 [19]: Idet F_{n} er det n’te Fibonaccital, gælder det, at

Φ→ for ∞→n
F_{−1n}

F_{n}

19

De(t) gyldne snit – i kunst, natur og matematik, side 96 – beviset, der følger sætningen, tager ligeledes udgangspunkt i side 96.

Side 16

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 16 af 34

Denne sætning siger netop, at forholdet mellem et Fibonaccital og dets foregående Fibonaccital vil nærme sig tallet Φ, det gyldne snit, jo større værdier, der anvendes. For at bevise sætningen vil vi anvende Binets formel, hvilken allerede er bevist. Udtrykket

F_{1−n}

F_{n}

vil da kunne skrives som:

( ) Φ−Φ⋅ ´^{nn}
( ) Φ−Φ⋅^{=} ´^{nn}^{−−}^{11}

F ( ) Φ−Φ ´^{nn}
F_{n}^{n}_{−}_{1} ( ) Φ−Φ ´^{nn}^{−−}^{11}

5

1

5

1

=

Her sættes Φ^{n}^{1−} udenfor en parentes i udtrykket både i tælleren og nævneren, hvorefter man kan

isolere til følgende:

Φ^{n}^{−}^{1}

F_{n}_{−}_{1} ⎛ ⎞ Φ ´^{n}^{−}^{1}

Φ^{1}

⎜ 1 ⎟

Φ ´^{n}^{−}^{1}
n − 1

⎜ −ΦΦ_{n}_{−}_{1} ⎟

n − 1

⎜ ⎟ 1 −

Φ ´^{n}

1 −Φ_{n}

⎛ Φ ´^{n} ⎞
⎜ ⎟ −Φ_{n}_{−}

Φ^{−}

= =

⎝ ⎠

⎝ ⎠

F_{n} Φ

Da vi på forhånd ved at Φ > 1 og -1 < Φ´ < 0, vil det derfor gælde at

∞→Φ for ∞→n og 0´ →Φ for ∞→n, som det kan ses nedenfor:

n n

Når vi nu kigger på udtrykkene_{n}_{−}_{1} og, kan det ses, at deres grænseværdi vil blive 0, idet

Φ ´^{n} Φ ´^{n}^{−}^{1}
Φ Φ^{n}^{−}^{1}
tælleren i begge tilfælde vil nærme sig 0 for ∞→n. Dvs. at:

lim    = 0 og lim    = 0
     n            n
n ∞→         n ∞→

Φ ´^{n} Φ ´^{n}^{−}^{1}
Φ^{−}^{1} Φ^{−}^{1}
Idet, vi sætter ∞→n, medfører det at:

→ = Φ=

F_{n} −Φ 0 Φ
F_{−}_{1n} − 101

Derved er det nu bevist, at forholdet mellem et Fibonaccital og dets foregående vil nærme sig tallet

Φ for ∞→n. Dette understreger Fibonaccital som en æstetisk talfølge, idet sammenhængen med

det gyldne snit her fremkommer.

Φ^{n} Φ´^{n}

0

50

100

150 0,6

2 n

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

2 n

Side 17

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 17 af 34

Renæssancen

Udover at det gyldne snit kan sammenkædes med matematiske aspekter som Fibonaccifølgen, kan det også føres over i helt andre fakulteter. Foruden at være et kendt begreb i matematikken er det gyldne snit i høj grad også kendt i kunsten, musikken, arkitekturen, anatomien osv. Det gyldne snit Φ er et alsidigt og bredt begreb, som mange mennesker har arbejdet med gennem tiderne. Idet tallet Φ er så æstetisk i dets udformninger, har det været utrolig nærliggende at tage i anvendelse for kunstnere i den litterære periode, vi i dag kender som renæssancen. I denne periode gik man om-kring 1300-tallet væk fra middelalderens menneske- og livssyn og genoptog, som periodens navn også antyder [20], de gamle antikke værdier indenfor filosofi, astronomi, kunst osv. I antikken har man anvendt det gyldne snit pga. dets harmoniske og førnævnte æstetiske udformning. Denne anvendel-se er fulgt med den antikke genfødsel i renæssancen og er blevet et stort fokuspunkt for mange kunstnere og arkitekter i periodens løb. Renæssancen er altså dels et tilbageblik på de antikke tider, men samtidig også et fremadskuende blik mod udviklingen. I renæssanceperioden skete der en voldsom udvikling på mange kulturelle fronter, hvilket hænger sammen med den menneskeopfattel-se, man genoptog fra antikken, hvor mennesket også dengang var i centrum som det smukke, har-moniske og tænkende væsen. Netop det tænkende har man taget til sig i renæssancen, hvor man stilede efter at være oplyst – at besidde viden og lærdom [21]. Denne viden hører sammen med, at man i renæssancen begyndte at fokusere på sig selv som individ og derved fik en selvstændighedstrang, der medførte en trang til selvrealisering, hvilken tog form gennem muligheden for at skabe. Denne skaberkraft blev central for renæssancens selvbevidste mennesker, idet den gav dem en frihedsfølel-se i den forstand, at deres skaberværker kun var underlagt skaberen selv. Endvidere medførte ska-berkraften hos mennesket en følelse af at kunne udrette noget i det store billede – at have magt til at ændre verden [22]. Renæssancen afledte desuden det, vi kender som humanismen [23], hvilket indeholder de væsentligste dele af menneskesynet fra perioden – nemlig mennesket i centrum. Ordret huma-nisme, der kommer af det latinske ord humanus, hvilket betyder menneskelig, tyder jo i høj grad også på, at mennesket har været det væsentligste for humanisterne. Mennesket var ikke kun i cen-trum som det smukke og æstetiske men endda sådan, at mennesket blev altings mål. Det menneske, man fokuserede på, var nu ikke længere adelen, som det havde været det i middelalderen, men i stedet borgeren – altså det almindelige menneske.

20

Renæssance kommer af det franske ord renæssance, hvilket betyder genfødsel

21

Renæssancen – Da mennesket kom i centrum, side 15 midt.

22

Renæssancen – Da mennesket kom i centrum, side 15 midt.

23

Følgende oplysninger er taget dels fra Litteraturens veje, side 74-75 og dels fra Renæssancen – Da mennesket kom i centrum, side 20-21.

Side 18

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 18 af 34

Mennesket i centrum er et tema, der er virkelig centralt for renæssanceperioden, hvil-ket afspejles både i kunsten og litteraturen. En meget omtalt renæssancekunstner, der deler denne opfattelse af mennesket, er Leonardo da Vinci. Foruden at fokusere på mennesket i centrum, inte-resserede Leonardo da Vinci sig også for tallet Φ og dets sammenhænge med den menneskelige krop. Noget af det Leonardo da Vinci har set på mht. Φ i menneskekroppen afspejles i tegningen af den Vitruvianske mand, der er vedlagt som bilag 1. Her er mennesket indtegnet i hhv. et kvadrat og en cirkel, hvor armene er placeret så de både tangerer cirkel- og kvadratperiferien. Som centrum for cirklen er navlen placeret, dvs. mennesket er cirklens centrum udtrykt ved det punkt. Det samme punkt ved navlen vil samtidig svare til det gyldne snit af kvadratet, hvilket understreger mennesket i centrum som noget æstetisk og harmonisk. For yderligere underbygning af dette kan det ses i bilag

2, at et regulært pentagram med god tilnærmelse kan indtegnes omkring manden indenfor cirklens periferi. Da det tidligere er gennemgået, hvor æstetisk denne figur er pga. tallet Φ, understreger det kun yderligere, at mennesket skulle være æstetisk.

Billedanalyser

Også i sine malerier anvender Leonardo da Vincis fremstillinger med tallet Φ. Da er det naturligvis relevant at udnytte den matematiske viden, der er blevet etableret, til at analysere nogle af hans værker. Følgende vil bygge på danskfaglig fremgangsmåde indenfor billedanalyse, men med mate-matisk baggrundsviden indenfor det gyldne snit. Analysen tager udgangspunkt i de afbildninger af malerierne, der findes i bogen Die großen Maler: Italienische Hochrenaissance. Begge malerier vil være vedlagt i tilsvarende formindsket udgave som bilag.

Bebudelsen^{24}

Det første af Leonardo da Vincis malerier, jeg har valgt at analysere, hedder på originalsproget An-nunciazione, hvilket oversættes til dansk med Bebudelsen. Maleriet er malet omkring og er udført på lærred med oliemaling [25]. Det forestiller en religiøs afbildning af ærkeenglen Gabriel, der bringer budet om, at Jomfru Maria skal føde Jesus Kristus. Disse to skikkelser fremtræder i ma-leriets forgrund, hvor Gabriel knæler i venstre side og velsigner Jomfru Maria. Hun sidder i maleri-ets højre side ved noget, der ligner et bord med en marmorplade på. Herpå ligger en bog, som Maria ser ud til at være i færd med at læse, da Gabriel bringer budskabet. I mellemgrunden ses i højre side

24

Vedlagt som bilag 3

25

Datering og materialer er taget fra linket http://www.lairweb.org.nz/leonardo/annunciation.html nederst.

Side 19

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 19 af 34 en bygning, hvis murværk fortsætter i et lavere vertikalt niveau mod venstre i billedet. Bag den lille mur er et lille skovlandskab afbilledet. Baggrunden ser ud til at være et bjerglandskab.

Komposition

Motivet er skildret i et normalperspektiv, der gør at man oplever personerne i motivet på en neutral og rolig måde. Maleriet indeholder mange dominerende linjer, dels de perspektiviske linjer, der hovedsageligt fremkommer i billedets højre side ved husets mursten og det lille bord, Maria sidder ved. Forsvindingspunktet er placeret i baggrunden ved det bjerg, man kan se omkring midten af motivet. Derudover forekommer en diagonal linje langs Gabriels ryg og hans kjortel langs jorden. I modsætning til ham har Maria en mere lodret linje i sin stilling. Disse linjer er dog langt fra de mest dominerende i motivet. Den førnævnte lille mur, der løber horisontalt langs midten af billedet, ses at være afgrænset mellem de to gyldne snit, der kan indtegnes langs bredden. Ved opmåling kan det ses, at forholdet mellem længderne i begge tilfælde tilnærmelsesvis svarer til det gyldne snit Φ.

Ydermere ligger hjørnet af bygningen også lige oveni det højre lodrette gyldne snit, mens det sted, hvor den lille mur har en åbning, ligger oveni det venstre gyldne snit. Dvs. at Gabriel lige præcis knæler på den venstre side af det venstre gyldne snit, mens det eneste af Maria, der stikker ud over det gyldne snit i højre side er hendes ene hånd. Idet motivet direkte markerer de gyldne snit, bevir-ker det i høj grad, at motivet får en æstetisk form og udstråling.

Krops- tings- og verbalsprog

Personernes kropssprog er primært centreret omkring deres hænder i dette maleri. Gabriels hånd er strakt frem mod Maria og bibringer en velsignelse fra Herren. Marias venstre hånd er vendt med håndfladen ud mod Gabriel på en rolig og afslappet måde. Dette udstråler udadvendthed og en hvis form for imødekommenhed. Hvis fingrene havde peget nedad ville imødekommenheden være stør-re, men her peger de opad og viser mere noget i retning af en imødekommende underkastelse af Herrens velsignelse. Tingsproget, der er centralt for maleriet, ligger i de ting, der indikerer, at der er tale om et religiøst motiv. Det er naturligvis vigtigt at nævne glorierne omkring begge personers hoveder, hvilket indikerer, at der er tale om hellige personer. Ydermere er farverne på Marias tøj en indikation af, at hun er Jomfru Maria, idet hun som religiøs figur oftest skildres iklædt rødt og blåt.

Side 20

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 20 af 34

Symboler

Farverne på Marias tøj symboliserer hver en ting: Den blå farve er symbol for den himmelske kær-lighed, mens den røde er symbol for den jordiske kærlighed. Disse er velkendte kristne symboler.

Når Maria bærer begge disse farver indikerer det, at hun er det samlingspunkt, der binder den him-melske kærlighed til den jordiske. Hertil kommer hendes lod også ind i billedet mht. at føde den himmelske Frelser. Jesus’ er netop udtryk for den himmelske kærlighed, der lever på jorden. Et an-det symbol i maleriet er den blomst, Gabriel holder i den ene hånd. Denne blomst symboliserer dels Marias jomfruelighed og er samtidig symbol for byen Firenze [26]. Det førstnævnte har naturligvis størst vægt i motivet.

Idé og budskab

Idéen med ethvert religiøst motiv er naturligvis at skildre og prise motivets værdi indenfor kristen-dommen. Udover dette generelle budskab kommer det også til udtryk gennem billedets normalper-spektiv, at den hellige handling ikke står på et højere niveau end menneskeheden. Hele handlingen med Gabriels bud til Maria er jo set med kristne øjne et udtryk for menneskets frelse fra arvesynden gennem Jesus. Det religiøse motiv er altså til for mennesket, hvilket afspejles af normalperspektivet.

Desuden bevirker den diagonale linje fra Gabriel mod Maria, at himlen repræsenteret af Gabriel strækker sig mod det jordiske repræsenteret af Maria. Dette hænger ligeledes godt sammen med det kristne budskab, idet handlingen kommer fra himlen for at frelse menneskene på jorden. Det sidste og vigtigste for renæssancen er, at begge personer i maleriet nærmest indkredses i hver sit gyldne snit. Dvs. at de hver især er centreret af et vertikalt gyldent snit, hvilket hænger sammen med re-næssancens menneskeopfattelse, da det netop afspejler mennesket i centrum som det æstetiske væ-sen. Gabriel er naturligvis ikke et menneske, men virkningen går bestemt ikke af pga. dette, idet Maria ses at være den eneste af de to personer, der rent faktisk rammes direkte af et af de lodrette gyldne snit. På den måde er hun mere æstetisk end Gabriel, og virkningen med mennesket i fokus fastholdes derved.

Den sidste nadver^{27}

Det andet maleri af Leonardo da Vinci, jeg har valgt at fokusere på, hedder på originalsproget Ulti-ma cena, hvilket på dansk bedre er kendt som Den sidste nadver. Det er udført omkring år 1495–

26

Denne symbolværdi angives i linket http://www.lairweb.org.nz/leonardo/annunciation.html nederst.

27

Vedlagt som bilag 4

Side 21

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 21 af 34

1498 og er malet med temperafarver på et lag af gips og mastiks [28]. Dette maleri forestiller ligeledes et religiøst motiv. Her ses Jesus afbilledet med sine tolv disciple ved deres sidste nadver, inden han bliver korsfæstet. Jesus og disciplene er placeret langs et bord i billedets forgrund med Jesus ved bordets midte og seks disciple placeret på hver side af ham. I mellemgrunden af motivet ses det indre af den bygning, de tretten personer sidder i. Der ses bag Jesus tre åbninger, hvoraf to ser ud til at være vinduer, mens åbningen lige bag Jesus er en døråbning. Udenfor i baggrunden ses et grønt bakket landskab.

Komposition

Maleriet her er, ligesom det forrige billede, udført i normalperspektiv. Også her giver det en rolig virkning omkring motivet. Ligesom i Bebudelsen anvender Leonardo da Vinci også her nogle do-minerende linjer, der giver billedet liv og dybde. Perspektivet er igen i fokus, hvilket kan ses ved linjerne på væggene i begge sider af motivet. Bordets kant i højre side viser også en perspektivisk linje. Forsvindingspunktet i motivet ligger et sted i horisonten lige bag ved Jesus. Igen har Leonardo da Vinci anvendt linjer i billedet, der understreger det gyldne snit. De horisontale af disse frem-kommer dels ved bordets kant og dels ved den usynlige linje, der løber igennem personernes hove-der. Dvs. at personernes kroppe bliver indkapslet imellem disse to gyldne snit. De vertikale gyldne snit er ikke ligeså markerede som de horisontale, men de ligger omtrent langs yderkanten på de to vinduesåbninger i mellemgrunden. Yderkanten vil sige den højre kant for den højre vinduesåbning og den venstre kant for den venstre vinduesåbning, men det er hovedsageligt de horisontale gyldne snit, der understreges i billedet. Med andre ord fremkommer det æstetiske derved langs bredden af motivet. Andre virkemidler, Leonardo da Vinci anvender, er en centrering af Jesus-motivet, hvilken bunder i tre ting: Jesus er placeret i midten af hele motivet, forsvindingspunktet ligger lige bag ham og næsten alle personer har vendt ansigtet mod ham. Hele kompositionen fremhæver samtlige di-sciple og understreger samtidig Jesus som en vigtig figur i billedet.

Farvevalg, krops-, tings- og verbalsprog

Lyset i billedet er primært centreret omkring Jesus og dem, der sidder tættest på ham. Der er tilsva-rende mørkere ved bordets to ender. De personer, der sidder nærmest Jesus, bliver ligeledes belyst lidt kraftigere end de yderste ved bordet og fremtræder derfor sammen med Jesus. Der ses dog en kontrast ved, at den ene af de tre personer på Jesus’ venstre side ikke bliver belyst ligesom de to

28

Datering og materialer er taget fra linket http://en.wikipedia.org/wiki/The_Last_Supper_(Leonardo) i faktaboksen til

højre.

Side 22

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 22 af 34 andre. Ifølge Die großen Maler: Italienische Hochrenaissance [29] er denne person en afbildning af

Judas. De forskellige personers kropssprog i billedet fortæller også meget om dem. Judas knuger i sin højre hånd en pose ind til kroppen. Denne pose kunne tænkes at indeholde de sølvmønter, han er blevet betalt for at forråde Jesus. Den mand, der ses lige bag ham, er ifølge Die großen Maler: Itali-

enische Hochrenaissance^{30} Peter. Peters hånd udtrykker bestemthed i den forstand, at han ligner en,

der fastslår noget overfor den, han taler med. Mere herom senere. Jeg har valgt ikke at fokusere på flere af disciplene, selvom man kunne fremdrage mange udtryk af de forskellige kropssprog, der er repræsenteret. Leonardo da Vinci har formået at skabe et meget levende motiv, hvad dette angår.

Jesus, der er central i motivet, er afbilledet i samme farver, som Maria var det i forrige billede.

Normalt er det kun Maria, man tillægger værdierne himmelsk og jordisk kærlighed, men der kan alligevel drages nogle paralleller dertil fra dette billede. Jesus understreges at være en hellig person ved, at man svagt kan ane en lyskrans omkring hans hoved. Dette kan tilnærmelsesvis godt opfattes som en glorie, men når denne er så svagt markeret, understreger det Jesus’ menneskelighed. Han er altså på niveau med de mennesker, han skal frelse.

Bibelske paralleller

Som tidligere nævnt er Peter fremstillet som om, han er ved at fastslå noget. Dette hænger sammen med, at han ifølge Bibelen skulle fastslå, at han aldrig ville forråde Jesus ved tre gange at frasige sig at kende til ham, inden hanen galer næste morgen. Dette gør han så alligevel. Bibelen siger om Ju-das, at han er den, der forråder Jesus med et kys, hvilket gør ham til en dyster person i Bibelen. Idet han er fremstillet mørkere end de andre personer i motivet, fremkommer dette som bibelsk symbol

på Judas. Ligeledes siger Jesus i Biblen: ”Det er ham, der rækker til fadet sammen med mig”^{31}. Her

er det underforstået, at Jesus omtaler den, der skal forråde ham. Dette ses afbilledet i motivet ved Jesus højre hånd, der rækker mod samme fad som Judas’ venstre. Igen understreges Judas som for-ræderen.

Idé og budskab

Idéen med dette motiv er, ligesom det forrige, at skildre og prise det religiøse, som billedet omfat-ter. Maleriet anvender mange forskellige fremstillingsformer, der udpeger Judas som forræderen.

Udover det allerede omtalte kan nævnes, at han som den eneste læner sig med albuen på bordet.

29

Bilag med en forstørret udgave af maleriet, hvorpå der er angivet navne forneden.

30

Bilag med en forstørret udgave af maleriet, hvorpå der er angivet navne forneden.

31

Matthæusevangeliet, kapitel 26 v. 23

Side 23

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 23 af 34

Hans albue overskrider derved det førnævnte gyldne snit, der ligger ved bordets kant. Ligeledes kan det ses, at Judas er den eneste, hvis hoved ikke rammer det andet horisontale gyldne snit. Hans ud-strakte hånd bliver desuden berørt af to gyldne snit, hvilket vil sige, at hans hånd rammer et punkt i motivet, der deler både længden og bredden i det gyldne snit. Derved bliver hans hånd rigtig frem-trædende og en central del af motivet. Med Jesus i det perspektiviske centrum og Judas i det gyldne snits centrum kan det ses, at idéen med billedet er at fremstille et religiøst motiv for den sidste nad-ver med specielt fokus på Judas’ forræderi af Jesus. Både Jesus og Judas er derfor i centrum og i stærk kontrast til hinanden. Jesus repræsenterer det gode i mennesket, mens Judas tilsvarende re-præsenterer det onde. Det illustreres også af lyskransen omkring Jesus, og det mørklagte omkring Judas.

Boccaccio: Dekameron – fortællingen om munken Rustico og Alibech

Norditalien var, ifølge Litteraturens veje [32], centrum for den tidlige renæssance med byer som Firen-ze og Venezia i fokus. En tekst, der var revolutionerende indenfor litteraturens menneskesyn, hed-der Dekameron og er skrevet af Giovanni Boccaccio i perioden fra ca. 1350 til 1353. Den omhand-ler ti personer, der er flygtet til et landsted for at slippe for pesten, der hærgede i Firenze i 1348.

Disse personer fordriver de ti dage, værket omhandler, med hver især at fortælle en historie ud fra et fælles dagligt tema. Den historie, jeg her tager udgangspunkt i, er den tiende historie på den tredje dag – fortællingen om munken Rustico og Alibech.

Teksten behandler hovedsageligt emnet kristendom kontra kødelig lyst, eller med andre ord him-melsk lyst kontra jordisk lyst. Munken Rustico vælger at se bort fra sit himmelske kald og vender sig mod det jordiske repræsenteret i Alibech.

Komposition

Teksten handler i korte træk om en ung kvinde ved navn Alibech. Hun kommer fra en rig familie og har aldrig stiftet bekendtskab med kristendommen. Hun ønsker så at vide, hvordan hun skal behage Gud og finder ud af, at hun skal spørge en eneboer til råds, idet de skulle have den største indsigt i dette. Efter at være blevet afvist af de første to, møder hun munken Rustico, der ikke kan holde sig tilbage for fristelsen til at have kønslig omgang med hende. Han snyder hende ved at få hende til at tro, at hun gør en hellig gerning, hvor hun i virkeligheden bare har samleje med Rustico. Efter hen-

32

Side 72 nederst

Side 24

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 24 af 34 des families død kommer en prins og bringer hende tilbage til byen. Hun har stadig ikke forstået, at hun er blevet snydt af Rustico.

Selve fortællingen om munken Rustico og Alibech er opdelt i en indre fortælling og en overordnet fortælling. Den overordnede fortælling er fortællingen om Dioneos, der fremfører sin fortælling for de andre ni personer i værket, mens den indre fortælling er den fortælling, han giver om Rustico og Alibech. Der er en indledning i den overordnede fortælling i form af nogle fortællerreplikker fra Dioneo, mens den indre fortælling går i gang med en meget kort beskrivelse af byen, hvor vi bliver introduceret for Alibech, inden selve handlingen egentlig udspringer sig. Den overordnede indled-ning, hvor Dioneo nævner noget af det vigtige for sin følgende fortælling, bevirker, at læseren får indstillet opmærksomheden på det centrale for teksten. Det vigtige, som Dioneo gør tilhørerne op-mærksomme på, er hvordan, man jager djævlen tilbage til helvede. Handlingsforløbet i Dioneos fortælling er opbygget kronologisk uden flashbacks. Dette gør fortællingen enkel og nem at over-komme for læseren. Desuden anvendes der her to meget centrale ledemotiver – djævlen og helvede.

Disse går igen flere steder i fortællingen eksempelvis i den overordnede indledning, men også sene-re da Alibech møder munken Rustico og spørger ind til, hvad der vil behage Gud (Renæssancen – Da mennesket kom i centrum, side 162 i 2. spalte øverst). Som læser er det først muligt at præcisere ledemotivernes betydning, efter man igennem Rusticos handlinger ser, hvad disse to motiver egent-lig skal være et billede på. Rustico gør mandens lem til billede på djævlen, mens kvindens kønsor-gan bliver billede på helvede. Idet det seksuelle bliver blandet med et religiøst aspekt og faktisk overtager den religiøse værdi, tyder det på, at det seksuelle er stærkere end det religiøse. Det kan ses, at den religiøse værdi bliver overtaget af den seksuelle betydning ved, at talemåden med djæv-len og helvede blev et slagord i byen (Renæssancen – Da mennesket kom i centrum, side 164,

1.spalte midt).

Teksten anvender mange metaforer og meget billedsprog når, handlingen tager en sek-suel drejning. Eksemplet med at kalde kønsorganerne for hhv. djævlen og helvede er en anvendelse af dette billedsprog. En anden lignende brug af metaforik ses, da Rustico får erektion ved synet af

                                                           33
Alibechs nøgne krop. Dette beskrives i teksten som ”kødets opstandelse”

. Lige netop dette ek-sempel viser tydeligt, hvordan teksten formidler det seksuelle indhold på en elegant og direkte mor-som facon. Ordvalget er generelt meget humoristisk og får nemt læseren til at trække på smilebån-det. Dioneos fortælling slutter med en afrunding, hvor han går væk fra personerne i fortællingen og betragter byen med en sidste bemærkning angående djævlen og helvede. Efter Dioneos fortælling

33

Renæssancen – Da mennesket kom i centrum, side 162 øverst.

Side 25

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 25 af 34 nu er slut, samler han op på det, han sagde i indledningen. Nu kan man som læser se, hvad ledemo-tivernes mening egentlig er. Idet Dioneo selv kæder indledningen og afslutningen sammen, kan man se, at det har været hans intension fra begyndelsen, at ledemotiverne skulle havde denne frække betydning.

Miljøkarakteristik

Miljøet fremstilles i starten af teksten som meget kristent præget. Alibech hører meget om kristen-dommen fra folket og om hvordan, troen prises af dem. Hun er ikke selv kristen, hvilket betyder, at kristendommen ikke er livsnødvendig for hendes familie. I slutningen af Dioneos fortælling, forkla-rer Alibech nogle damer, hvordan hun hos Rustico udførte en kirkelig handling ved at sende djæv-len til helvede. Disse damer forstår med det samme, at Alibech er blevet snydt til at have kønslig omgang med munken. Deres reaktion på dette tyder på at kristendommen ikke har været vægtet særlig højt for dem, idet de tilsyneladende ikke fordømmer noget af det. De gør det endda humori-stisk ved, at de fortæller Alibech, at hendes nye mand sikkert gerne vil hjælpe hende med denne hellige gerning (Renæssancen – Da mennesket kom i centrum på side 164 i 1. spalte ved midten).

Karakteristik af Rustico

Rustico er en munk, der lever som eneboer i ørkenen. Han har valgt at leve for Gud ved at frasige sig at leve blandt sine medmennesker. Rustico kommer til at stå i en stor kontrast til de to andre eneboere, vi møder i teksten, da disse begge ved, at Alibech bringer fristelser med sig, og derfor vælger at sende hende videre i stedet for at lade hende blive. Rustico lader hende blive hos sig for at teste sin standhaftighed overfor fristelserne. Ved dette ses, at Rustico erkender sine lyster og ikke prøver at skjule dem for sig selv. Han ved, at de er naturlige for mennesket, men han ved samtidig også, at de ikke er acceptable for det liv, han har valgt. De to andre eneboer erkender ikke deres lyst, men sender den bort sammen med Alibech. De erkender derved, enten bevidst eller ubevidst, at deres troskab til Gud ikke er stærkt nok til at kunne modstå en ung kvindes fristelser. Rustico må have en tro på, at han kan modstå dette, siden han i det hele taget prøver. At han, der virker som den mest sikre i sin tro, bukker under for den jordiske fristelse, er det et tegn på, at de jordiske lyster er stærkere end de himmelske. Rustico erkender blankt, at han ikke kan modstå Alibech og vender Gud ryggen (side 162 øverst i Renæssancen – Da mennesket kom i centrum). Ikke nok med at han nu har forladt sin troskab til Gud, men han udnytter samtidig også Guds navn til at få tilfredsstillet sine lyster. Det viser kun, hvor stor lystens sejr egentlig er, idet Rustico til enhver tid inden overta-

Side 26

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 26 af 34 lelsen er lykkedes, kan få kolde fødder og krybe tilbage til sin tro. Dette sker bare ikke, fordi lysten er for stærk i forhold til troen.

Det morsomme efter Rustico får narret Alibech til samleje er, at hun begynder at kun-ne lide det og forventer i stigende grad at få tilfredsstillet sine lyster. Til sidst bliver det så meget, at Rustico bliver decideret glad for at slippe for det, da Neerbale tager hende med hjem til byen. Dvs.

at Rusticos gerning giver en form for bagslag, idet det bliver ham for meget. Dette er bare slet ikke skildret som en straf i historien, men mere som et humoristisk indfald. Det kommer til udtryk ved, at Rustico finder på små undskyldninger for at slippe for samleje (side 163, 1. spalte nederst og 2.

spalte øverst i Renæssancen – Da mennesket kom i centrum) og som en bibemærkning, idet der står ”Til stor glæde for Rustico, men stor protest fra hendes side, førte han hende tilbage til Capsa, hvor

                                             34
de giftede sig og i fællesskab arvede den store rigdom.”

Karakteristik af Alibech

Alibech skildres som den helt uskyldige og nysgerrige unge kvinde, der ikke har kendskab til hver-ken kristendom eller mænd. Men hun skildres samtidig også som værende meget selvstændig og uafhængig, idet hun uden videre forlader sit hjem og søger en hellig mand i ørkenen. Boccaccio har vist sig som en form for kvindeforkæmper igennem sine værker [35] og viser også her, at Alibech er en kvinde, der kan udfolde sig på sit eget grundlag. Hendes uskyldige sind bliver gjort ”beskidt” af Rustico, og hun ender med at hungre mere efter de jordiske lyster end, Rustico selv gør. Det viser igen, hvor stærke de naturlige drifter er, idet Guds mest uskyldige barn kan blive helt afhængigt af det seksuelle. Hendes intentioner med at gennemføre samleje med Rustico ændres fra, hvad hun selv tror, at være en hellig gerning til at blive en ren lystgerning. Naturen sejrer derfor over det himmelske.

Idé og budskab

Boccaccios budskab med denne del af værket Dekameron er helt klart at vise, at virkelyst og glæ-den ved det jordiske liv er godt og acceptabelt. Han fremstiller alt det, der omhandler den jordiske lyst uden at vise nogen tegn på at fordømme personernes hengivelse til deres lyster. Ved at han fremstiller en spottende gerning humoristisk, tager han afstand fra, at man skal søge den himmelske ophøjethed frem for naturens lyster. Teksten har ved flere lejligheder vist, at den seksuelle lyst er stærkere end den religiøse.

34

Renæssancen – Da mennesket kom i centrum, side 163 helt nederst.

35

Renæssancen – Da mennesket kom i centrum, side 152 midt.

Side 27

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 27 af 34

Mennesket og det litterære nybrud

Fortællingen om munken Rustico og Alibech indeholder helt tydelige træk fra den tidlige renæssan-ceperiode, hvor mennesket, som det tidligere er fastslået, er i centrum. Med renæssancen ændredes fokuspunktet hos mennesket i forhold til middelalderens ved, at man flyttede fokus fra menneskets ydre bedrifter til menneskets indre værdier [36]. Det er også det Boccaccio har fokuseret på her i sit værk. Dette afspejles ved, at det er menneskets lyster, der er det primære fokus. Med andre ord har Boccaccio mennesket i centrum med lysten som den indre værdi. Boccaccio skiller sig ud i forhold til andre renæssancekunstnere ved, at han nok har mennesket i centrum som det æstetiske væsen, men samtidig skildrer han mennesket både på godt og ondt [37]. Det er naturligvis ikke det onde efter Boccaccios opfattelse, men ondt i forhold til samfundsnormen. Lysten er et eksempel på det onde, idet den strider direkte mod den religiøse menneskeopfattelse, der har eksisteret i middelalderen.

Det var ikke sømmeligt for et anstændigt menneske og en god kristen at dvæle ved sine jordiske lyster, men det bryder Boccaccio med, idet han gennem sine tekster fastholder, at mennesket ikke kan undslippe de lyster, det har fået fra naturens side. Det er tydeligt, at Boccaccio, som forfatter til teksten om Rustico og Alibech, ikke har vist nogen form for afsky eller løftet pegefinger mod Rustico, da han overgav sig til sine lyster frem for sin tro. Det er netop fordi det, efter Boccaccios mening, ikke er muligt at sætte sig op mod naturen. Man kan ikke undertrykke sine seksuelle behov, fordi de er naturlige [38]. Dette syn på mennesket var meget revolutionerende, da det gav plads til, at man nu kunne lade sin kærlighed til det lystige jordiske liv udfolde sig mere frit. Samtidig var det modsigende i forhold til den livsopfattelse, man havde haft før renæssancen, hvor man skulle søge den himmelske ophøjethed, og hvor det seksuelle absolut ikke var acceptabelt. Derfor modtog Boc-caccio naturligvis en del kritik af sit værk [39]. Kritikken hang specielt sammen med, at han oftest fremstillede præster, munke og andre religiøse skikkelser som livsglade og seksuelt prægede perso-ner i sine værker. I takt med at menneskets forhold til Gud og kristendommen degraderedes sidelø-bende med pestens hærgen [40], blev der dannet grundlag for en bredere modtagelse af Dekameron. Da borgerskabet nu begyndte at have fokus på sig selv, i kampen for egen overlevelse, i stedet for fo-kus på Gud, blev de ikke nær så forargede over den religiøse holdning, der skildredes i Dekameron.

Det nyere forhold til Gud kommer også frem i teksten ved Alibechs samtale med de førnævnte da-

36

Ses i Litteraturens veje, side 85, 1. spalte øverst.

37

Renæssancen – Da mennesket kom i centrum, side 151 øverst.

38

Renæssancen – Da mennesket kom i centrum, side 151 øverst.

39

Ses idet det i Renæssancen – Da mennesket kom i centrum på side 152 nederst siges at efterskriften til værket var et

forsvar af værkets intentioner. Det må betyde at der har været et grundlag for at skulle komme med sådan et forsvar.
40

Renæssancen – Da mennesket kom i centrum, side 154 nederst og 155 øverst.

Side 28

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 28 af 34 mer, da hun er kommet hjem fra sit ophold i ørkenen. Deres reaktion på den ellers spottende hand-ling viser, som jeg tidligere har været inde på, netop, at deres forhold til Gud ikke betyder mere for dem end, at de kan finde situationen morsom. Det fremgår ikke af teksten, hvilket socialt lag disse damer tilhører, men det viser, at der findes personer i samfundet, for hvilke kristendommen ikke vægtes højere end et humoristisk indfald. Hele resten af byen tager da også dette synspunkt til sig, idet udtrykket med djævlen og helvede bliver et slagord. Med resten af byen menes der naturligvis borgerne. Her bliver renæssancens nye menneskesyn altså skildret. Mennesket, eller borgeren, er i centrum uden Gud over sig på samme måde som tidligere. Kristendommen er dog stadig vigtig for samfundet, men det er tydeliggjort i teksten, at den har gennemgået en degressiv udvikling.

Den formidling, Boccaccio har valgt i sit værk, gjorde det også nemmere for samtidens læsere at sluge det hele, fordi det seksuelle er skrevet så humoristisk og friskt. Det er meget revolutionerende, at Boccaccio får succes med at skrive om noget af så fræk en kaliber, idet det område ellers tidligere havde været urørligt for en litterær kunstner. Netop dette ønskede Boccaccio også at få ændret. Han ville have samme frihed over sine skaberværker som en maler havde over sine [41], hvilket hænger meget sammen med den tidligere beskrevne trang til selvrealisering, hvor skaberen ønskede sine værkers form kun underlagt sig selv. Boccaccio slipper altså af sted med at bryde normen for, hvad der kan accepteres i litterære tekster og er derved medvirkende til et litterært nybrud.

Konklusion

Her vil jeg forsøge at sammenligne resultatet af analyserne af Leonardo da Vincis malerier og Boc-caccios litterære værk. Efterfølgende vil jeg diskutere renæssancens betydning for udvalgte efter-følgende litterære perioder, men også for andre sammenhænge, der ikke nødvendigvis er litterære.

I maleriet Bebudelsen kom det til udtryk gennem det gyldne snit, hvordan mennesket er skildret æstetisk. Det hænger i høj grad sammen med hele renæssanceperiodens menneskeopfattelse. Boc-caccio fokuserede også på mennesket i centrum, dog bare på en nyere og revolutionerende måde.

Hvor Bebudelsen mere kunne perspektiveres til menneskesynet før Dekameron, kan Den sidste nadver i den grad perspektiveres mere direkte til Boccaccios hovedværk. I Den sidste nadver var Jesus skildret som det gode, mens Judas var skildret som det onde. Begge personer var i fokus, en af dem gennem det gyldne snit. I maleriet blev mennesket med andre ord sat i fokus på både godt og ondt. Dette er nøjagtig det samme som Boccaccio ville opnå med sin menneskeskildring. Desuden

41

Renæssancen – Da mennesket kom i centrum, side 152 nederst.

Side 29

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 29 af 34

er Judas’ begærlighed en indre værdi^{42}, hvilket også hører hjemme i renæssancens menneskeopfat-

telse. Det må konkluderes, at det matematiske bag det gyldne snit har været af stor betydning for, at malerierne i det hele taget kunne sættes i sammenhæng med renæssancens og Boccaccios menne-skesyn. Uden det gyldne snit som en del af billedanalyserne ville menneskesynet aldrig kunne være fremdraget på samme måde. Derfor er den matematiske baggrundsviden omkring det gyldne snit afgørende for en fyldestgørende indbyrdes betragtning af de tre kunstneriske levn.

En sammenhæng, der er god at tage udgangspunkt i, ved en diskussion af renæssancens betydning for eftertiden, kunne være styreformer. Renæssancens menneskesyn, med mennesket i centrum, er i høj grad forudsættende for en styreform som vores demokrati. Demokratiet forudsætter, at man sæt-ter det enkelte menneske i centrum og giver det indflydelse i statens ledelse. Uden tanken om men-nesket i centrum vil grundtanken om demokratiet vakle. I renæssancen så man desuden tilfælde, hvor rige borgerfamilier begyndte at blive politisk aktive [43], hvilket allerede er tidlige tegn på at mennesket, defineret som borgeren, slår igennem i noget, der kan sammenlignes med et spædt de-mokrati. Én, der dog taler imod denne demokratiske tendens, er forfatteren og diplomaten Niccoló Machiavelli. Han betegnes også som hørende til renæssanceperioden. I sit hovedværk Fyrsten [44] viser han klare holdninger til, at landet klarer sig bedst med én leder, der ikke står moralsk til ansvar overfor folket. Her er der altså uenigheder under renæssancen om hvem, der skal i centrum rent politisk. I sidste ende har demokratiet overhalet diktaturet. Det vil sige, at vi i dag med vores demo-kratiske styreform også sætter det almindelige menneske i centrum.

Forholdet til Gud og kristendommen er i renæssancen, som allerede nævnt, begyndt at udvise nogle degraderende tendenser. Dette afspejles yderligere i renæssanceperioden igennem et maleri af kunstneren Michelangelo. Maleriet hedder Adams skabelse (1511) og illustrer hvordan Gud strækker sig efter mennesket. Der kan drages nogle paralleller fra forholdet mellem Gud og menneske i Adams skabelse til skildringen af samme forhold i Boccaccios tekst, hvor det allerede er fastlagt, at han ønsker, at religionen skal være en tilbagetrukket faktor. Synet på kristendommen har udviklet sig yderligere i den litterære periode, vi kalder oplysningstiden. Der fremføres i denne pe-riode en hel del kritik af kirken, som medfører et fornyet syn på kristendommen, hvilket kaldes de-ismen [45]. Her ses Gud som skaberen af verden og derunder også af verdens naturlove. Efterfølgende

42

Selvom den er negativ, er den dog stadig en indre værdi ligesom lysten.

43

Litteraturens veje, side 72, 1. spalte nederst

44

Tidligere analyseret i et dansk-forløb.

45

Litteraturens veje, side 115, 2. spalte øverst.

Side 30

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 30 af 34 har Gud ladet verden fungere som et optrukket urværk, der kører efter disse naturlove. Her er for-holdet mellem Gud og menneske altså yderligere distanceret. I romantikken kom religionen igen lidt i fokus hos kunstnerne, idet de fokuserede på, at deres kunstneriske gaver kom som en åndelig arv fra Gud. Senere indtræder perioden naturalisme, hvor der også er fokus på arv – dog ikke ånde-lig. Mennesket ses her skildret som produkt af arv og miljø, hvor religionen falder ind under miljø-et. I denne periode ses nogle af tidens største bibelkritikere, hvoraf David Strauss kan nævnes med sit værk Das Leben Jesu fra 1835. Heri hævdes Jesus’ bedrifter at være myter og derved ikke af reel historisk værdi. Der ses altså i stigende grad en devaluering af kristendommen i renæssancens efter-tid. Naturligvis svinger dette en del, bl.a. som det sås i romantikken, men tendensen er i tydelig ud-vikling frem til i dag, hvor forholdet til Gud er et individuelt valg. I takt med troens nedgang har naturvidenskabens døre kunne åbne sig for mennesket, hvilket har været forudsættende for vores nuværende moderne verdenssyn. Det må konkluderes, at renæssancens menneskesyn i den grad har været revolutionerende for eftertiden og derved også forudsættende for, at jeg har været i stand til at kunne betragte et begreb som det gyldne snit med matematiske øjne og udnytte dette i danskfaglige sammenhænge. Uden mennesket i centrum ville verden, og dermed også matematikken, næppe ha-ve udviklet sig til det, den er i dag

Mennesket er revolutionerende.

L'uomo è rivoluzionario.

Side 31

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 31 af 34

Litteraturliste

Bøger

Frandsen, Jesper:

De(t) gyldne snit – i kunst, natur og matematik

2. udgave, 1. oplag

Systime

Trykt hos Narayana Press, Gylling, 1999

Knudsen, Sanne Stemann og Danielsen, Kim Beck:

Renæssancen – Da mennesket kom i centrum

1. udgave, 1. oplag

Systime

Trykt hos Nørhaven Book, Viborg, 2005

Fibiger, Johannes og Lütken, Gerd:

Litteraturens veje

2. udgave, 8. oplag

Systime

Trykt hos Narayana Press, Gylling, ukendt årstal

Ukendt forfatter:

Die großen Maler: Italienische Hochrenaissance

Ukendt udgave og oplag

München Wissen Verlag

Trykt hos Fratelli Fabbri, Mailand, ukendt årstal

Bibelen på hverdagsdansk

1. udgave, 3. oplag

Forlaget Scandinavia

Trykt hos Jongbloed, Holland, ukendt årstal

Internetmateriale

http://www.georgmohr.dk/vinderseminar/vindsem07induk.pdf

Jf. opgave 9 på side 5-6

http://www.lairweb.org.nz/leonardo/annunciation.html

http://www.lairweb.org.nz/leonardo/supper.html

http://en.wikipedia.org/wiki/The_Last_Supper_(Leonardo)

Side 32

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 32 af 34

Bilag 1

https://rising-ape.com/2015/06/11/v-is-for-vitruvian-man/

Bilag 2

https://rising-ape.com/2015/06/11/v-is-for-vitruvian-man/

Side 33

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 33 af 34

Bilag 3

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Da_Vinci_The_Annunciation.jpg

Bilag 4

http://recuerdosdepandora.com/curiosidades/el-codigo-musical-de-da-vinci/

Side 34

Studieretningsprojekt Aabenraa Statsskole 2009/2010

[navn fjernet] 3.x Fibonaccital og det gyldne snit i renæssancen

Side 34 af 34

Antallet af nummererede ark er 35, hvoraf de 27 udgør selve opgavebesvarelsen.

[navn fjernet]

_______________________________________________