HHX Matematik A 2012 17. december - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012

1

HHX Matematik A

17. december 2012

Delprøven uden hjælpemidler

hhx123-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1 a)

Vi ser ved et hurtigt blik på vektorerne, at vektorerne er parallelle, da:

−2 · 𝑎⃗=𝑏

⎯ ⃗

At ovenstående postulat er sandt, vises herunder:

−2 · ()=()

2 −4
−1 2

⇕

()=()

−4 −4

2 2

Da det indledende postulat fører til ovenstående, sande udsagn, må postulatet være sandt. Vektorerne 𝑎⃗ og 𝑏 er parallelle. (𝐼)

⎯ ⃗

(𝐼): Hvis man ikke havde opdaget ovenstående, kunne man også løse opgaven på følgende vis:

Hvis der er tale om et ortogonalt vektorpar, skal deres skalarprodukt være lig med 0. Vi efterprøver:

𝑎⃗· 𝑏 =() · ()

⎯ ⃗

2 −4
−1 2
=2 · ( −4) + ( −1) · 2
=−8 − 2
=−10

Vektorerne 𝑎⃗ og 𝑏 er ikke ortogonale.

⎯ ⃗

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012

2

Determinanten af et parallelt vektorpar er lig med 0. Vi efterprøver:

det ( 𝑎⃗,𝑏) = | |

⎯ ⃗

2 −4
−1 2
=2 · 2 − ( −1) · (−4)
=4 − 4
=0

Vektorerne 𝑎⃗ og 𝑏 er parallelle.

⎯ ⃗

Opgave 2 a)

Funktionen integreres:

∫ ( 5𝑥^{4} − 9𝑥^{2} + 4𝑥 − 1) 𝑑𝑥=5 · 𝑥^{5} − 9 · 𝑥^{3} + 4 · 𝑥^{2} − 𝑥+ 𝑘 (𝐼)

1 1 1

5 3 2

=𝑥^{5} − 3𝑥^{3} + 2𝑥^{2} − 𝑥 + 𝑘

Det vil sige, at:

∫ ( 5𝑥^{4} − 9𝑥^{2} + 4𝑥 − 1) 𝑑𝑥=𝑥^{5} − 3𝑥^{3} + 2𝑥^{2} − 𝑥+ 𝑘

Hvor 𝑘 er en vilkårlig konstant.

(𝐼): Regneregler for integration

Ubestemt integral hvor F(x) er stamfunktion til f(x)

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝐹 ( 𝑥) + 𝑐

Sætte konstant udenfor ∫ 𝑘· 𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑘· ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫ 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Funktion Stamfunktion

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1
𝑘 𝑘· 𝑥

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012

3

Opgave 3 a)

Funktionen differentieres:

𝑓^{′} ( 𝑥) =𝑒^{𝑥} (𝐼)

Tangentens hældning bliver da:

𝑓^{′} ( 0) =𝑒^{0}
=1

En ligning for tangenten til grafen en for 𝑓 i punktet (𝑥 ,𝑓 ( 𝑥 ) ) kan bestemmes som:
                                            0    0

𝑦=𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
=1 · ( 𝑥− 0) + 3
=𝑥+ 3

Tangenten 𝑡 kan således beskrives ved ligningen 𝑡:𝑦=𝑥+ 3

(𝐼):

Regneregler

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} =𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

Funktion Afledt funktion

𝑒^{𝑥} 𝑒

𝑥 𝑘 0

Opgave 4 a)

Der er tale om en eksponentiel udvikling, da antallet stiger med en fast procentdel om året.

Det vil sige, at 𝑓 ( 𝑥) =𝑏· 𝑎^{𝑥}, hvor:

𝑏 angiver 𝑓(0). Det vil sige, at 𝑏=2000

𝑎 angiver fremskrivningsfaktoren, som indeholder funktion om vækstraten 𝑟, idet:

𝑎=1 + 𝑟

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012

4

=1 + 10%
=1 + 0,1
=1,1

Forskriften for funktionen 𝑓 er således:

𝑓 ( 𝑥) =2000 · 1,1^{𝑥}

Opgave 5 a)

Område 𝐴 afgrænses af 𝑥-aksen og grafen for 𝑓 i intervallet [−2,0]. I hele intervallet gælder, at 𝑓≥0.

Det vil sige, at:

𝐴_{𝐴} =∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 =8,00

0

−2

Arealet af område 𝐴 er 8,00.

Område 𝐵 afgrænses af 𝑥-aksen og grafen for 𝑓 i intervallet [0,1]. I hele intervallet gælder, at 𝑓≤0.

Det vil sige, at:

𝐴_{𝐵} =−∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

1

0

Vha. indskudsreglen (𝐼) kan dette omskrives til:

𝐴_{𝐵} =− ( ∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥)

1 0

−2 −2
=−(6,75 − 8,00)
=1,25

Arealet af område 𝐵 er 1,25

(𝐼): Indskudsreglen:

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑏 𝑐 𝑏 𝑎 𝑎 𝑐

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 17. december 2012

5

I vores tilfælde:

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥=∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

1 0 1

−2 −2 0

⇕

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥=∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥− ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+

1 1 0

0 −2 −2