HHX Matematik A 2012 Forår - Vejledende sæt 1 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

1

HHX Matematik A

Forår 2012

Delprøven med hjælpemidler

Vejledende sæt 1

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 3. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Ligningen løses i WordMat:

∫( 𝑥^{4} −4𝑥)𝑑𝑥 = 10

1

3 𝑎

0

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎 = 3,485561

b)

Forklaringer er givet til hver af linjerne:

1) Ligningen løses for 𝑥 > 0, da ln (𝑥) kun er defineret for positive værdier.

2) 𝑥 sættes udenfor en parentes

3) Nulreglen er anvendt (𝑎·𝑏 = 0 ⇔ 𝑎 = 0∨𝑏 = 0)

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

2

4) Venstre ligning er løst. Der manipuleres nu udelukkende med højre ligning. 1 trækkes fra på begge sider, hvorefter der divideres med 2 på begge sider.

5) Begge sider sættes som potens af 𝑒. Der anvendes, at 𝑒^{ln}^{(}^{x}^{)} = 𝑥 jf. følgende:
ln ( 𝑎) = 𝑏 ⇔ 𝑒^{𝑏} = 𝑎 (𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛)

⇓

𝑒^{ln}^{(}^{𝑎} = e^{b} = 𝑎

)

6) 𝑥 = 0 bortkastes som løsning, da vi kun søger løsninger, som opfylder 𝑥 > 0. Den fuldstændige

løsningsmængde opskrives.

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

3

Opgave 7 a)

Data hentes fra filen grænsehandel. Vi antager, at kroner er den anvendte valuta.

Fordelingen af penge brugt til indkøb kopieres ind i WordMats statistikark, hvor der foretages en optælling og gruppering. Der tegnes et histogram med en intervallængde på 200 kr.: b)

En række deskriptorer beregnes i WordMat:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Nedre 516,5

Median 867,5

Øvre 1271

Obs. Fraktil

Middeltal

986,306

Spredning

563,7

Vi aflæser 3 udvalgte deskriptorer (enheden er kroner)

Kvartilsæt: (516,5;867,5;1271)

100 3300

Observationer

Histogram

Et tern er 4%

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

4

Gennemsnit (middeltal): 986,3

Standardafvigelse (spredning): 563,7 c)

                                                                         2
Et 𝑥𝑦-plot med tilhørende tendenslinje, regressionsligning og determinationskoefficient 𝑅 foretages i

Excel:

Regressionsligniningen aflæses, og vi opstiller en lineær model med indkøbsbeløbet 𝑦 i kr. som funktion af den kørte distance 𝑥 i km.

𝑦 = 9,47𝑥+384

d)

Der er foretaget en analyse på baggrund af den indsamlede stikprøve. Beløbene pr. kunde fordeler sig som på histogrammet herunder:

y = 9,4662x + 384,06
R² = 0,5273

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 200 250

Indkøbsbeløb (kr.)

Kørt distance (km)

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

5

Det viser sig, at hver kunde i gennemsnit bruger ca. 990 kroner, mens beløbenes spredning er på omtrent

550 kr. Den fjerdedel som bruger mindst, bruger under 520 kr., mens den fjerdedel, som bruger mest, bruger over 1270 kr. Halvdelen af kunderne bruger mindre end 870 kr.

Det er undersøgt, om der er en sammenhæng mellem den tilbagelagte distance inden indkøbet og det beløb, som bruges i butikken. Det viser sig, at omtrent 53% af variationen i indkøbsbeløb kan forklares med følgende sammenhæng: Hver kunde bruger et grundbeløb på 385 kr., hvortil man skal lægge 9,46 kr. pr.

kørt km.

100 3300

Observationer

Histogram

Et tern er 4%

Side 6

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

6

Opgave 8 a)

Data fra filen folketingsvalg optælles vha. en pivottabel i Excel, hvorefter der opstilles et skema som det angivne:

Alment gymnasium Handelsgymnasium Teknisk Skole Total

Dansk Folkeparti 18 20 31 69

Det Konservative Folkeparti | 41 | 12 | 2 | 55
Det Radikale Venstre | 59 | 10 | 4 | 73

Enhedslisten 30 2 2 34

SF | 65 | 13 | 4 | 82

Socialdemokraterne 77 37 26 140

Ved ikke 37 20 33 90

Venstre 62 46 17 125

Total 389 160 119 668 b)

Vi opstiller en nulhypotese og en alternativ hypotese:

𝐻_{0}: Der er ingen sammenhæng mellem uddannelse og politisk parti
𝐻_{1}: Der er en sammenhæng mellem uddannelse og politisk parti

Der foretages en 𝜒^{2} -uafhængighedstest i WordMat på et 5%-signifikansniveau:

Side 7

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

7

De forventede værdier ved antagelse om uafhængighed indsættes i en tabel:

FORVENTET Alment gymnasium Handelsgymnasium Teknisk Skole Total

Dansk Folkeparti | 40,18114 | 16,52695 | 12,29192 | 69
Det Konservative Folkeparti | 32,02844 | 13,17365 | 9,797904 | 55
Det Radikale Venstre | 42,51048 | 17,48503 | 13,00449 | 73

Enhedslisten 19,7994 8,143713 6,056886 34

SF 47,7515 19,64072 14,60778 82

Socialdemokraterne 81,52695 33,53293 24,94012 140

Ved ikke | 52,41018 | 21,55689 | 16,03293 | 90

Venstre 72,79192 29,94012 22,26796 125

Total 389 160 119 668 c)

Vi ser af testresultatet, at 𝑝 = 0,00%< 5%. Nulhypotesen forkastes derfor på et 5%-signifikansniveau. Der

kan ikke antages uafhængighed mellem ungdomsuddannelse og elevernes stemmefordeling på de forskellige politiske partier.

Side 8

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

8

Opgave 9 a)

Funktionerne defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔ −𝑥^{3} +3𝑥^{2} +𝑥

𝑔 ( 𝑥) ≔ 2𝑥−3

Skæringspunktets førstekoordinat bestemmes ved at løse:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑔(𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 3

Andenkoordinaten kan nu bestemmes som:

𝑓 ( 3) = 3

Skæringspunktet mellem graferne for 𝑓 og 𝑔 har således koordinatsættet (3,3).

b)

Arealet af det skraverede område bestemmes lettest ved at inddele området i to mindre områder.

Det første område afgrænses af grafen for 𝑓 og førsteaksen i intervallet [𝑎,𝑏], hvor 𝑎 er førstekoordinaten til det skæringspunkt mellem førsteaksen og grafen for 𝑓, som ses på figuren - tilsyneladende i origo. 𝑏 er førstekoordinaten til skæringspunktet mellem førsteaksen og grafen for 𝑔. Der må gælde, at 𝑎 < 𝑏 Vi bestemmer 𝑏:

𝑔 ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 1,5

Det vil sige, at 𝑏 = 1,5

Vi bestemmer nulpunkter for 𝑓:

𝑓 ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = −0,3027756 ∨ 𝑥 = 3,302776

Sammenholder vi løsningerne med grafen, ser vi, at 𝑎 = 0.

Side 9

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

9

Da 𝑓 ≥ 0 i hele intervallet [0;1,5], kan arealet af første område bestemmes som:

𝐴_{1} ≔ ∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

1,5

0

Det andet område afgrænses af graferne for 𝑓 og 𝑔 i intervallet [1,5;3], hvor 𝑓 ≥ 𝑔 i hele intervallet.

Arealet kan således bestemmes som:

𝐴_{2} ≔ ∫ 𝑓 ( 𝑥) −𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

3

1,5

Det samlede areal af det skraverede område kan bestemmes som en sum af de to mindre arealer:

𝐴 = 𝐴_{1} +𝐴_{2}
= 9

Arealet af det skraverede område er 9.

Side 10

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

10

Opgave 10 a)

Kendte størrelser defineres:

Lånets størrelse: 𝐴 ≔ 1500000
               0

Antal ydelser: 𝑛≔ 10·12

Månedlig rente: 𝑟 ≔ 0,005

Ydelsens størrelse 𝑦 bestemmes ved at løse:

𝐴_{0} = 𝑦·

1− ( 1+𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 = 16653,08

Den månedlige ydelse er således på 16.653,08 kr.

b)

Den månedlige ydelse defineres: 𝑦 ≔ 16653,08

Restgælden kan bestemmes vha. formlen:

𝑅_{65} = 𝐾_{65} −𝐴_{65}

= 𝐴_{0} · ( 1+𝑟)^{65} −𝑦·

( 1+𝑟)^{65} −1

𝑟

≈ 799038,3

Restgælden umiddelbart efter betaling af den 65. ydelse er altså på 799.038,30 kr.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 11

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

11

Opgave 11 a)

Prisfunktionerne for hhv. A og B defineres:

𝑝 ( 𝑥) ≔ −0,01𝑥+40

𝑞 ( 𝑦) ≔ 20

Den samlede omsætning er en sum af omsætningen for A og omsætningen for B:

𝑅 = 𝑥·𝑝 ( 𝑥) +𝑦·𝑞 ( 𝑦)
=20·𝑦+ ( −0,01·𝑥+40) ·𝑥

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Udvid,

= 20·𝑦+40·𝑥−0,01·𝑥

2

Vi kan nu opskrive en funktionsforskrift:

𝑅 ( 𝑥,𝑦) ≔ −0,01𝑥^{2} +40𝑥+20𝑦

b)

Vi opskriver den generelle ligning for niveaukurverne og isolerer 𝑦:

𝑅 ( 𝑥,𝑦) = 𝑡

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 = −2·𝑥+0,0005·𝑥^{2} +0,05·𝑡

Dvs.

𝑦 = 0,0005𝑥^{2} −2𝑥+0,05𝑡

Vi ser nu, at alle niveaukurverne uanset værdien af 𝑡 er parabler (med ligningen: 𝑦 = 𝑎𝑥^{2} +𝑏𝑥+𝑐)

Øges niveauet, svarer det blot til en lodret parallelforskydning opad (𝑐 bliver større).

Da alle niveaukurver er parabler, vil også 𝑁(60000) være det. Parablen tegnes nu i GeoGebra sammen med det kapacitetsområde, som betingelserne afgrænser:

Side 12

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

12 c)

Som nævnt øges niveauet ved en lodret parallelforskydning opad. Vi ser af grafen, at størsteværdien for 𝑅 indenfor kapacitetsområdet må findes på linjen, som går fra punkt A til punkt D. Den er tegnet ud fra ligningen (𝑦 defineres):

𝑦 ≔ − 𝑥+2000

1

5

Med anvendelse af ovenstående definition kan vi substituere 𝑦 ind i funktionsforskriften for 𝑅, som derved reduceres til en funktion i én variabel:

𝑅 ( 𝑥,𝑦) = 36·𝑥−0,01·𝑥^{2} +40000

𝑅 defineres som funktion af 𝑥:

𝑅 ( 𝑥) ≔ −0,01𝑥^{2} +36𝑥+40000

Vi ser, at grafen er en parabel med benene nedad (𝑎 < 0). Der er således kun et stationært punkt, og dette er globalt maksimum. Vi bestemmer førstekoordinaten i dette maksimum:

𝑅^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 1800

Denne værdi indsættes nu i ligningen for linjen fra 𝐴 til 𝐷, hvorved andenkoordinaten bestemmes:

𝑦 = − ·1800+2000

1

5

Side 13

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

13

= 1640

Størsteværdien for 𝑅(𝑥,𝑦) indenfor kapacitetsområdet findes altså i ( 𝑥,𝑦) = (1800,1640)

Virksomheden skal ugentligt afsætte 1800 stk. 𝐴 og 1640 stk. 𝐵 for at opnå maksimal omsætning.

Side 14

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

14

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 12A, 12B og 12C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 12A a)

Vi har følgende oplysninger:

𝜇̅ = 3,6502

𝜎̅ = 0,1088

𝑛 = 25

Da det antages, at produktionstiden er normalfordelt, er det uden betydning for vores analyse, at 𝑛 < 30.

Vi har estimater af spredningen og middelværdien, så et 95%-konfidensinterval for middelværdien 𝜇 kan bestemmes vha. et T estimat i GeoGebra:

Vi aflæser konfidensintervallet (nedre grænse/øvre grænse):

[3,6053;3,6951]

Side 15

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

15

Der er kun 2,5% sandsynlighed for, at 𝜇 < 3,6053, så den forventede produktionstid på 3,5 er ikke overholdt (med signifikansniveau på 2,5%).

b)

Produktionstiden er normalfordelt som:

𝑋~𝑁(3,65;0,1)

Sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt stol har en produktionstid på under 3,5 timer kan bestemmes

som arealet under grafen for tæthedsfunktionen for ovenstående normalfordeling i intervallet [−∞,3,5].

Dette bestemmes i WordMat:

Normalfordeling

Middelværdi: 3,65

Spredning: 0,1

Grafvindue

X_{min} X_{maks}

0 10

Areal under frekvensfuntion

X_{min} X_{maks}

3,5 6,68%

Sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt stol har en produktionstid på under 3,5 timer, er således 6,68% 𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 16

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

16

Opgave 12B a)

Funktionen defineres:

ℎ ( 𝑡) ≔ 8𝑡+86,1+100·cos (0,157𝑡−2,608)

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0 ≤ 𝑡 ≤ 40

Vi bestemmer nu: ℎ ( 40) ≈ 319,8399

Afsætningen på dag 40 er således 319,84.

b)

Funktionen differentieres:

ℎ^{′} ( 𝑡) = −15,7·sin ( 0,157·𝑡−2,608) +8

Stationære punkter bestemmes ved at løse:

ℎ^{′} ( 𝑡) = 0

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡 = 20,01698 ∨ 𝑡 = 33,21609

Vi ser af grafen, at der er tale om to ekstrema, hvoraf 𝑡=20,02 er det eneste lokale maksimumssted. Vi

undersøger afsætningen i dette punkt og sammenligner med afsætningen i intervalendepunkterne: ℎ ( 20,02) ≈ 332,2797 ℎ ( 40) ≈ 319,8399 ℎ ( 0) ≈ 0,001469994

Den største afsætning findes således 20 dage efter introduktionen.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 17

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012

17

Opgave 12C a)

Vi anvender, at: 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=𝑅′(𝑥)

𝑦 = 𝑅(𝑥)

𝑅 ( 0) = 20

Differentialligningen kan nu løses i WordMat:

𝑅^{′} ( 𝑥) = − ·𝑅 ( 𝑥) +70

1

2

Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen R(0)=20
𝑅 ( 𝑥) = 140+𝑒^{−0,5·𝑥} ·−120

Funktionen defineres:

𝑅 ( 𝑥) ≔ −120·𝑒^{−0,5𝑥} +140

b)

Vi løser:

𝑅 ( 𝑥) = 120

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 3,583519

Virksomheden skal bruge omtrent 3,6 mio. kr. på markedsføring for at opnå en omsætning på 120 mio. kr.