HHX Matematik A 2013 16. august - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013

1

HHX Matematik A

16. august 2013

Delprøven uden hjælpemidler

Hhx132-MAT-A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1 a)

Der er tale om en eksponentiel funktion på formen 𝑔(𝑡) = 𝑏 · 𝑎^{𝑡}

𝑏 = 236 angiver 𝑔(0), hvilket vil sige, at guldprisen i år 2000 var på 236 dollars ifølge modellen.

𝑎 = 1,16 er fremskrivningsfaktoren og siger noget om funktionens vækstrate, i det:

𝑟 = 𝑎 − 1
= 1,16− 1
= 0,16
= 16%

Det vil sige, at guldprisen er steget med 16% om året ifølge modellen.

Opgave 2 a)

Funktionen differentieres:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 3𝑥^{2} (𝐼)

                                  ′
Vi indsætter nu i differentialligningen, at 𝑦 = 𝑓′(𝑥) samt at 𝑦 =𝑓(𝑥)

3𝑥^{2}
3 · 𝑥^{3}

= 𝑥

⇕

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013

2

3𝑥^{2}
𝑥· 3𝑥^{2}

= 𝑥

⇕

1 𝑥

= 𝑥

Da der ikke står det samme på begge sider af lighedstegnet, er 𝑓 ikke en løsning til den angivne differentialligning.

(𝐼):

Regneregler

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘· 𝑓^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

Funktion Afledt funktion

𝑥^{𝑎} 𝑎· 𝑥

𝑎−1

𝑘 0 𝑥 1

Opgave 3 a)

Det grå område er afgrænset af graferne for 𝑓 og 𝑔 i intervallet [0,2]. Der gælder i hele intervallet, at 𝑓 ≥

𝑔. Arealet kan da bestemmes som:

∫ 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ ( −3𝑥^{2} + 6𝑥+ 4) − ( 2𝑥) 𝑑𝑥

2 2

0 0

= ∫ −3𝑥^{2} + 4𝑥+ 4 𝑑𝑥

2

0

= [ −3 · 𝑥^{3} + 4 · 𝑥^{2} + 4𝑥] (𝐼)

1 1

3 2

0

2

= [ −𝑥^{3} + 2𝑥^{2} + 4𝑥]_{0}^{2}
= −2^{3} + 2 · 2^{2} + 4 · 2 − 0
= −8 + 8 + 8
= 8

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013

3

( 𝐼):

Bestemt integral

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = [ 𝐹 ( 𝑥)]_{𝑎}^{𝑏} = 𝐹 ( 𝑏) − 𝐹(𝑎)

𝑏 𝑎

Sætte konstant udenfor ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑘 ·𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘· ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥± ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

Funktion Stamfunktion

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1
𝑘 𝑘· 𝑥

Opgave 4 a)

Grafen for en mulig funktion tegnes på bilag 1:

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013

4

Opgave 5 a)

Ligevægtsmængden bestemmes ved at løse:

𝑠 ( 𝑥) =𝑑(𝑥)

1 1

100 100

𝑥^{3} + 𝑥^{2} + 𝑥 + 5 = 𝑥^{3} − 3𝑥+ 26

⇕

1 1

100 100

𝑥^{3} + 𝑥^{2} + 𝑥 + 5 − 𝑥^{3} + 3𝑥− 26= 0

⇕

𝑥^{2} + 4𝑥 −21 = 0

Ovenstående er en andengradsligning på formen 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Den har løsningsformen:

𝑥 =

−𝑏± √𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

2𝑎

=

−4 ± √ 4^{2} − 4 · 1 · (−21)
2 · 1
=

−4 ± √ 16 + 84

2

=

−4 ± √ 100

2

=

−4 ± 10

2

Der er således to løsninger:

𝑥_{1} =

−4 − 10

2

=−7

Og

𝑥_{2} =

−4 + 10

2

= 3

Den første løsning, 𝑥_{1}, forkastes, da den ligger uden for funktionernes definitionsmængde.

Ligevægtsmængden er for vare A er 7.