HHX Matematik A 2013 27. maj - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

1

HHX Matematik A

27. maj 2013

Delprøven uden hjælpemidler hhx131-MAT-A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1 a)

Funktionen er på formen 𝑃 ( 𝑥) =𝑏· 𝑎^{𝑥}, hvor:

𝑏 =102 angiver 𝑃(0). Det vil sige, at overskuddet ifølge modellen var på 102.000 kr. i år 2000.

𝑎 =1,30 er fremskrivningsfaktoren og siger noget om funktionens vækstrate, 𝑟, i det:

𝑟 =𝑎 − 1
=1,30 − 1
=0,30
=30%

Det vil sige, at virksomhedens overskud siden år 2000 er vokset med 30% om året.

HHX 3. år ( 0) =102. Hvis målsætningen er opfyldt, skal der således gælde, at

𝑃 ( 3) ≥2 · 102=204

Vi aflæser af grafen, at 𝑃(3) ≈ 220, hvorfor målsætningen altså er opfyldt (fordoblingstiden er konstant for eksponentielle funktioner på denne form).

Opgave 2 a)

Funktionen differentieres (𝐼):

𝑓^{′} ( 𝑥) =3𝑥^{2} − 2𝑥+ 1

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

2

                                          ′
Vi indsætter i differentialligningen, at 𝑦 = 𝑓(𝑥) og 𝑦 =𝑓′(𝑥):

( 3𝑥^{2} − 2𝑥 + 1) + ( 𝑥^{3} − 𝑥^{2} + 𝑥− 1) =𝑥^{3} + 2𝑥^{2} − 𝑥

⇕

𝑥^{3} + 2𝑥^{2} − 𝑥 = 𝑥^{3} + 2𝑥^{2} − 𝑥

Da ovenstående er et sandt udsagn (der står det samme på begge sider af lighedstegnet), er 𝑓 en løsning til den angivne differentialligning.

(𝐼):

Regneregler

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} =𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

Funktion Afledt funktion

𝑥^{𝑎} 𝑎· 𝑥

𝑎−1

𝑘 0 𝑥 1

Opgave 3 a)

Arealet af det grå område er lig med arealet under grafen for funktionen 𝑓 i intervallet [0,1]. Det kan således bestemmes som:

𝐴_{𝑔𝑟å} =∫ 𝑥^{3} + 1 𝑑𝑥

1

0

= [ 𝑥^{4} + 𝑥] (𝐼)

1

4

0

1

= · 1^{4} + 1 − 0

1

4

=

5

4

Arealet af det grå område er således^{5}_{4}

(𝐼):

Bestemt integral

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

3

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = [ 𝐹 ( 𝑥)]_{𝑎}^{𝑏} =𝐹 ( 𝑏) − 𝐹(𝑎)

𝑏 𝑎

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥± ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

Funktion Stamfunktion

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1
𝑘 𝑘· 𝑥

Opgave 4 a)

Grafen for en mulig funktion skitseres på bilag 1:

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

4

Opgave 5 a)

Vi ser af figuren, at intervallet mellem de to skæringspunkter ml. graferne for 𝐶 og 𝑅 er det eneste interval, hvor 𝑅 > 𝐶.

Skæringspunkternes førstekoordinater ved at løse:

𝐶 ( 𝑥) =𝑅(𝑥)

⇕

𝑥+ 8 = − 𝑥^{2} + 6𝑥

1

2

⇕

− 𝑥^{2} + 6𝑥 −𝑥− 8=0

1

2

⇕

− 𝑥^{2} + 5𝑥− 8 = 0

1

2

Ovenstående er en andengradsligning på den generelle form 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, som har den generelle

løsning:

𝑥 =

−𝑏± √𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

2𝑎

=

−5 ± 5 − 4 · (−) · (−8)

√^{2}

1

2

2 · (−)

1

2

=

−5 ± √ 25 − 16
−1
=

−5 ± √ 9
−1
=

−5 ± 3
−1

Der er således to løsninger:

𝑥_{1} =

−5 + 3
−1
=2

Og

𝑥_{2} =

−5 − 3
−1

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

5

=8

Det vil sige, at omsætningen er større end omkostningerne i intervallet [2,8]