HHX Matematik A 2014 15. december - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014

1

HHX Matematik A

15. december 2014

Delprøven uden hjælpemidler

hhx143-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1 a)

Grafen for en mulig funktion tegnes på bilag 1 (den tegnede funktion har desuden 𝐷𝑚 ( 𝑓) =] − ∞,8] og en
horisontal asymptote med ligningen 𝑦 =−9)

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014

2

Opgave 2 a)

Vi ser, at overskuddet er positivt i intervallet mellem grafens nulpunkter. Nulpunkterne bestemmes ved at løse:

− 𝑥^{2} + 7𝑥 − 20 = 0

1

2

Der er tale om en andengradsligning på formen 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐 =0

Løsningen er da givet ved:

𝑥 =

−𝑏 ± √𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

2𝑎

=

−7 ± 7 − 4 · (−) · (−20)

√^{2}

1

2

2 · (−)

1

2

=

−7 ± √ 49 − 40
−1
=

−7 ± √ 9
−1
=

−7 ± 3
−1

Vi får således to løsninger:

𝑥_{1} =

−7 + 3
−1
=

−4
−1
=4

𝑥_{2} =

−7 − 3
−1
=−

10

−1
=10

Det vil sige, at overskuddet er positivt i intervallet ]4,10[

Opgave 3 a)

Forskriften er af typen 𝑦 =𝑎 · 𝑡+ 𝑏

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014

3

𝑎 = −0,29 angiver 𝑦-tilvæksten, når 𝑡 vokser med 1. Det vil sige, at kobberprisen falder med 0,29 dollars

pr. kg pr. halve år efter august 2011

𝑏 = 8,8 angiver 𝑦-værdien for 𝑡 =0. Det vil sige, at prisen på kobber i august 2011 var på 8,8 dollars pr. kg.

Opgave 4 a)

Arealet af det grå område kan beregnes som det bestemte integral fra 0 til 1:

𝐴_{𝑔𝑟å} =∫ 𝑎· 𝑥^{2} 𝑑𝑥

1

0

=𝑎· ∫ 𝑥^{2} 𝑑𝑥 (𝐼)

1

0

=𝑎· [ 𝑥^{3}] (𝐼𝐼)

1

3

0

1

=𝑎· ( · 1^{3} − · 0^{3})

1 1

3 3

=𝑎·

1

3

Hvis arealet skal være lig med 2 må der således gælde, at:

2= 𝑎·

1

3

⇕

𝑎 = 6

Vi konkluderer, at 𝑎 = 6.

(𝐼):

Sætte konstant udenfor ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑘 ·𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑘· ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

( 𝐼𝐼):

Regneregler for integration

Bestemt integral

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = [ 𝐹 ( 𝑥)]_{𝑎}^{𝑏} =𝐹 ( 𝑏) − 𝐹(𝑎)

𝑏 𝑎

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014

4

Funktion Stamfunktion

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1

Opgave 5 a)

Den anden afledede bestemmes:

𝑓^{′} ( 𝑥) =3𝑥^{2} − 12𝑥+ 10 (𝐼)

𝑓^{′′} ( 𝑥) =6𝑥− 12 (𝐼)

                                ′′
Ved vendetangentens røringspunkt vil 𝑓 ( 𝑥 ) =0. Vi finder nulpunkter for 𝑓′′:

0= 6𝑥− 12

⇕

𝑥 = 2

Der er kun et nulpunkt. Vendetangenten tangerer således grafen for 𝑓 i punktet med førstekoordinat 𝑥 =2

Tangentens hældning bestemmes som 𝑓′(2):

𝑓^{′} ( 2) =3 · 2^{2} − 12 · 2 + 10
=12 − 24 + 10
=−2

Tangenten indtegnes nu på Bilag 2:

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014

5

(𝐼):

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} =𝑘· 𝑓^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} =𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

Funktion Afledt funktion

𝑥^{𝑎} 𝑎· 𝑥

𝑎−1

𝑘 0 𝑥 1