HHX Matematik A 2013 27. maj - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

1

HHX Matematik A

27. maj 2013

Delprøven med hjælpemidler

hhx131-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 3. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 6 a)

Ligningen løses vha. WordMat:

∫ 𝑥+ 𝑎 𝑑𝑥 = 42
√

15

0

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎 =1

b)

Forklaringer er givet til hver af linjerne:

1) 𝑓(𝑥,𝑦) sættes lig niveauet 2500.

2) Funktionsforskriften indsættes i stedet for 𝑓(𝑥,𝑦).

3) Begge sider ganges med -1. 4 sættes udenfor en parentes på venstre side.

4) Anden kvadratsætning anvendes på omskrevet form:

( 𝑎 − 𝑏)^{2} = 𝑎^{2} + 𝑏^{2} − 2𝑎𝑏 ⇔𝑎^{2} − 2𝑎𝑏 = ( 𝑎− 𝑏)^{2} + 2𝑎𝑏

5) 12500 lægges til på begge sider

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

2

6) Begge sider divideres med 10000. På venstre side splittes brøken i to brøker, som reduceres.

Nævneren omskrives i begge brøker til den anden potens af sin kvadratrod (dvs. værdien er uændret, men halvakserne kan nu aflæses let).

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

3

Opgave 7 a)

Fordelingen af årlige lønsummer optælles og grupperes i WordMat, hvorefter der tegnes et histogram med en intervallængde på 5 mio.: b)

Vi bestemmer en række deskriptorer i WordMat:

Vi udvælger og aflæser 3 deskriptorer (alle enheder er mio. dollars)

Middeltal: 64,4

Median: 64

Spredning: 9,04

85 90

Årlig lønsum i mio. dollars

Et tern er 4%

Deskriptorer

Kvartilsæt

Nedre | 58
Median | 64
Øvre | 70

Obs. Fraktil

Middeltal

64,4

Spredning

9,0355

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

4 c)

Vi foretager et 𝑥𝑦-plot i Excel med tilhørende tendenslinje, regressionsligning og determinationskoefficient

𝑅^{2}:

                      2
Regressionsligningen har 𝑅 = 0,295. Sammenhængen afrundes opskrives:

𝑦 =0,61𝑥− 6,2

d)

Der er foretaget en analyse af de årlige lønsummer på baggrund af de registrerede oplysninger fra sæsonen i NBA. De årlige lønsummer pr. hold fordeler sig som vist på nedenstående histogram med intervallængden 5 mio. dollars:

Analysen har vist, at den gennemsnitlige årlige lønsum er på 64,4 mio. dollars. Lønsummerne har en spredning på ca. 9 mio. dollars. Den laveste halvdel af lønsummerne ligger på højst 64 mio. dollars, mens

y = 0,6084x - 6,1785
R² = 0,2947

0

10

20

30

40

50

60

80 90

Årlig lønsum (mio. dollars)

Antal sejre

85 90

Årlig lønsum i mio. dollars

Et tern er 4%

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

5 den højeste halvdel ligger på mindst 64 mio. dollars. Omtrent 29,5% af variationen i antallet af sejre kan forklares ud fra, at en årlig lønsum på 10 mio. dollars giver 0 sejre. Herefter opnås 0,61 ekstra sejre for hver ekstra million, lønsummen vokser med). Det vil sige, at der opnås en ekstra sejr for hver gang, lønsummen

øges med_{0,61}^{1} ≈ 1,64 mio. dollars. Der er dog stadig mange andre faktorer, som kan forklare de sidste

70,5%, så man kan ikke bruge modellen til hverken at forudsige antal sejre ud fra den årlige lønsum eller den årlige lønsum ud fra antallet af sejre.

Side 6

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

6

Opgave 8 a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 69 · 0,98^{𝑥}

Vi bestemmer nu: 𝑓 ( 25) ≈ 41,63907

Prisen ved en afsætning på 25 tons er således 41.639,07 kr.

b)

Omsætningsfunktionen defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:0 ≤ 𝑥 ≤ 100

𝑅 ( 𝑥) ≔ 69 · 𝑥· 0,98^{𝑥}

Vi bestemmer stationære punkter ved at løse:

𝑅^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 49,49832

Vi ser på grafen for 𝑅, at der er tale om et globalt maksimum.

Omsætningen bestemmes:

𝑅 ( 49,49832) ≈1256,449

Det vil sige, at den størst mulig omsætning er på 1.256.449 kr.

c)

Omkostningsfunktionen defineres:

𝐶 ( 𝑥) ≔ 12𝑥+ 250

Overskuddet kan bestemmes som:

𝑃 ( 𝑥) = 𝑅 ( 𝑥) − 𝐶 ( 𝑥) = 0,98^{𝑥} · 69 · 𝑥− 12 · 𝑥 − 250

Det vil sige, at:

Side 7

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

7

𝑃 ( 𝑥) ≔ 0,98^{𝑥} · 69𝑥− 12𝑥 − 250

Vi bestemmer stationære punkter:

𝑃′ ( 𝑥) = 0

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 ≈ 32,799

Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.

Vi ser tydeligt af graferne i opgaveteksten, at denne løsning er globalt maksimum.

Prisen ved denne afsætning kan nu bestemmes som: 𝑓 ( 32,799) ≈ 35,56912

Den pris pr. ton, som giver det største overskud er således 35.569,12 kr. pr. ton.

Side 8

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

8

Opgave 9 a)

Data fra filen ISS optælles vha. en pivottabel i Excel og indsættes i en tabel som den angivne:

Fyn Jylland Sjælland og Total øerne

Institutionsrengøring 6 85 54 145

Kontorrengøring 74 369 522 965

Skolerengøring 20 79 82 181

Total 100 533 658 1291 b)

Vi opstiller en nulhypotese og en alternativ hypotese:

𝐻_{0}: Der er ingen sammenhæng mellem servicetype og landsdel

𝐻_{1}: Der er en sammenhæng mellem servicetype og landsdel.

De forventede værdier ved antagelse om uafhængighed bestemmes i WordMats 𝜒^{2} -uafhængighedstest

ved anvendelse af tabellens data:

De forventede værdier kopieres ind i en tabel:

FORVENTET Fyn Jylland Sjælland og Total øerne

Institutionsrengøring 11,2316 59,86445 73,90395 145

Kontorrengøring 74,74826 398,4082 491,8435 965

Skolerengøring 14,02014 74,72734 92,25252 181

Total 100 533 658 1291

Side 9

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

9 c)

Vi aflæser af testresultatet i b), at: 𝑄 = 26,3, samt at 𝑝 = 0,00%. Da 𝑝 = 0,00%< 5% forkastes

nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau. Der kan således ikke antages uafhængighed mellem de servicetyper, der leveres i de forskellige landsdele.

Side 10

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

10

Opgave 10 a)

Vi anvender, at: 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝐴′(𝑥)

𝑦 =𝐴(𝑥)

𝐴 ( 0) = 0

Ligningen kan nu opskrives og løses i WordMat:

𝐴′(𝑥) = −0,05 · 𝐴 ( 𝑥) + 10
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen A(0)=0
𝐴 ( 𝑥) = 200 + 𝑒^{−0,05·𝑥} · −200

Det vil sige, at 𝐴 er givet ved forskriften:

𝐴 ( 𝑥) ≔ −200 · 𝑒^{−0,05𝑥} + 200

b)

Afsætningen bestemmes:

𝐴 ( 30) ≈155,374

Den forventede afsætning efter 30 dage er således på 155.374 stk.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 11

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

11

Opgave 11 a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔ − 𝑥^{3} + 6𝑥^{2} − 32𝑥+ 60

1

3

Evt. vendetangenter søges ved at løse:

𝑓^{′′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 6

Vi undersøger fortegnet for 𝑓′′ på begge sider af nulpunktet:

𝑓^{′′} ( 5) = 2

𝑓^{′′} ( 7) = −2

                                    ′′                     ′′
Da funktionen skifter fra progressiv vækst (𝑓 > 0) til regressiv vækst (𝑓 < 0) omkring 𝑥 = 6, skifter

grafen for 𝑓 fra at være konveks til at være konkav. Grafen har således en vendetangent i 𝑥 = 6.

En ligning for tangenten til grafen for 𝑓 i 𝑥
                                  0

≔ 6, kan bestemmes som:

𝑦 =𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
= 4 · 𝑥− 12

Tangenten har således ligningen:

𝑡: 𝑦 = 4𝑥 − 12

b)

Det grå område kan opdeles i to mindre områder.

Det første område afgrænses af grafen for 𝑓 og førsteaksen i intervallet [0,𝑏], hvor 𝑏 angiver førstekoordinaten til skæringspunktet mellem 𝑡 og førsteaksen. Vi bestemmer 𝑏 ved at løse tangentens

ligning for 𝑦 = 0:

0 = 4 · 𝑏 − 12

⇕ Ligningen løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑏 =3

Vi ser, at 𝑓 > 0 i hele intervallet [0,3]. Arealet af dette delområde kan således bestemmes som:

Side 12

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

12

𝐴_{1} ≔ ∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

3

0

Tangenten 𝑡 kan beskrives ved funktionen 𝑔 ( 𝑥) ≔ 4𝑥− 12

Det resterende område afgrænses af grafen for 𝑓 og 𝑔 i intervallet [3,6] (𝑥 = 6 er røringspunktets
førstekoordinat). Vi ser, at 𝑓 ≥𝑔 i hele intervallet. Arealet af dette delområde kan nu bestemmes som:

𝐴_{2} ≔ ∫ 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

6

3

Det samlede areal kan beregnes som:

𝐴 = 𝐴_{1} + 𝐴_{2}
= 90

Arealet af det grå område er 90.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 13

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

13

Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 12A, 12B og 12C. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 12A a)

Kendte størrelser defineres:

Lånets størrelse: 𝐴 ≔ 175000
               0

Årlig rente: 𝑟 ≔ 0,022

Antal ydelser: 𝑛≔ 10

Den årlige ydelse, 𝑦, kan nu bestemmes ved at løse:

𝐴_{0} = 𝑦 ·

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 =19686,56

Det vil sige, at den årlige ydelse er på 19.686,56 kr.

b)

Ydelsen defineres: 𝑦 ≔ 21000

Størrelsen af den sidste ydelse skal svare til restgælden efter 9 ydelser plus rente. Restgælden kan beregnes som:

𝑅_{9} = 𝐾_{9} − 𝐴_{9}
= 𝐴_{0} · ( 1 + 𝑟)^{9} − 𝑦 ·

( 1 + 𝑟)^{9} − 1

𝑟

≈ 6346,427

Restgælden forrentes 1 gang, hvorfor den sidste ydelse bliver:

𝑦 =6346,427 · ( 1 + 𝑟)

≈ 6486,048

Den sidste ydelse er således på 6486,05 kr.

Side 14

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

14

Opgave 12B a)

Vi bestemmer et 95%-konfidensinterval for 𝑝 vha. et Z estimat på proportion i GeoGebra med anvendelse af:

𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑐𝑐𝑒𝑠𝑒𝑟:450

𝑆𝑡𝑖𝑘𝑝𝑟ø𝑣𝑒𝑠𝑡ø𝑟𝑟𝑒𝑙𝑠𝑒:1500

Konfidensintervallet afrundes og opskrives (nedre grænse/øvre grænse):

[0,277;0,323]

Et estimat for 𝑝_{𝑘ø𝑏𝑚𝑎𝑛𝑑} er 𝑝̅_{𝑘ø𝑏𝑚𝑎𝑛𝑑} = 0,3

Vi ser, at andelen på landsplan er mindre end estimatet for købmandens andel. Hvis andelen på landsplan skal være signifikant mindre end købmandens andel, skal den ligge til venstre for konfidensintervallet,

hvilket efterlader en sandsynlighed på under 2,5% for, at 𝑝 = 𝑝  .
                                               𝑘ø𝑏𝑚𝑎𝑛𝑑    𝑙𝑎𝑛𝑑𝑠𝑝𝑙𝑎𝑛

𝑝_{𝑙𝑎𝑛𝑑𝑠𝑝𝑙𝑎𝑛} ligger dog indenfor konfidensintervallet, og vi kan derfor ikke afvise på et 2,5%-

signifikansniveau, at 𝑝  = 𝑝        .
                  𝑘ø𝑏𝑚𝑎𝑛𝑑   𝑙𝑎𝑛𝑑𝑠𝑝𝑙𝑎𝑛

Side 15

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

15 b)

Den efterspurgte sandsynlighed skrives som:

𝑃 ( 𝑋 ≥450) = 𝑃(450≤ 𝑋 ≤ 1500)

Ovenstående sandsynlighed beregnes i WordMat, idet 𝑝 = 0,28 og 𝑛 = 1500

Binomialfordeling P(X=)=
p= 0,28 P(X≤)=
n= 1500 P( 450 ≤X≤ 1500)= 0,045625

Det vil sige, at sandsynligheden for, at der mindst er 450 liter økologisk mælk i en tilfældig stikprøve er 4,6% 𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 16

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

16

Opgave 12C a)

Funktionen defineres:

𝐷𝐵 ( 𝑥,𝑦):= −0,04𝑥^{2} + 60𝑥+ 5𝑦 − 1000

Niveaukurverne kan alle skrives på formen:

𝐷𝐵 ( 𝑥,𝑦) = 𝑡

𝑦 isoleres af niveaukurverne:

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 = −12 · 𝑥+ 0,008 · 𝑥^{2} + 0,2 · 𝑡+ 200

Alle niveaukurverne kan således skrives på formen:

𝑦 = 0,008𝑥^{2} − 12𝑥+ 200 + 0,2𝑡

Alle niveaukurverne er således parabler, og voksende værdier af 𝑡 vil blot svare til en parallelforskydning lodret opad af niveaukurven.

𝑁(20000) er således en parabel.

Herunder tegnes 𝑁(20000) sammen med kapacitetsområdet vha. GeoGebra:

Side 17

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013

17 b)

Der må være en fejl i opgaven. Vi gives ingen informationer om omsætningen i opgaven. Den korrekte opgaveformulering må være:

”Bestem det antal A og det antal B, virksomheden skal producere og sælge for at opnå størst muligt dækningsbidrag.”

Det største niveau opnås ved at lade parablen parallelforskydes til toppunktet tangerer linjen med

ligningen 𝑦 = 6000

Vi indsætter nu 𝑦≔ 6000 i kriteriefunktionen, hvorved vi får:

𝐷𝐵 ( 𝑥, 𝑦) = 60 · 𝑥− 0,04 · 𝑥^{2} + 29000

Vi har nu en funktion i én variabel (da 𝑦 nu er konstant):

𝐷𝐵 ( 𝑥) ≔ −0,04𝑥^{2} + 60𝑥+ 29000

Vi ser på ligningen, at der er tale om et andengradspolynomium (𝑦 = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐), hvis graf er en

parabel med benene nedad(𝑎 < 0). Førstekoordinatet til det globale maksimum (toppunktet) kan da bestemmes ved at løse:

𝐷𝐵^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 750

Virksomheden skal således producere og sælge 750 stk. A og 6000 stk. B for at opnå det størst mulige dækningsbidrag.