HHX Matematik A 2013 16. december - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

1

HHX Matematik A

16. december 2013

Delprøven uden hjælpemidler hhx133-MAT-A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1 a)

Grafen for en mulig funktion tegnes på bilag 1:

Side 2

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

2

Opgave 2 a)

Funktionen differentieres:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 2 · 3𝑥^{2} − 2 · 𝑥 (𝐼)
= 6𝑥^{2} − 2𝑥

                               𝑑𝑦
Vi indsætter i differentialligningen, at = 𝑓′(𝑥), samt at 𝑦 = 𝑓(𝑥):
                               𝑑𝑥

6𝑥^{2} − 2𝑥+ 2 · ( 2𝑥^{3} − 𝑥^{2}) = 4𝑥^{3} + 4𝑥^{2} − 2𝑥

⇕

6𝑥^{2} − 2𝑥 + 4𝑥^{3} − 2𝑥^{2} =4𝑥^{3} + 4𝑥^{2} − 2𝑥

⇕

4𝑥^{3} + 4𝑥^{2} − 2𝑥 = 4𝑥^{3} + 4𝑥^{2} − 2𝑥

Da ovenstående er et sandt udsagn (der står det samme på begge sider af lighedstegnet), er 𝑓 en løsning til den angivne differentialligning.

(𝐼):

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘· 𝑓^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

Funktion Afledt funktion

𝑥^{𝑎} 𝑎· 𝑥

𝑎−1

𝑘 0 𝑥 1

Opgave 3 a)

Skæringspunkternes førstekoordinater bestemmes ved at løse:

𝑝 ( 𝑥) = 𝑞(𝑥)

⇕

Side 3

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

3

2𝑥^{2} − 𝑥+ 3 = 3𝑥 + 9

⇕

2𝑥^{2} − 𝑥+ 3 − 3𝑥− 9 = 0

⇕

2𝑥^{2} − 4𝑥 − 6 = 0

Ovenstående er en andengradsligning på formen 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

𝑥 =

−𝑏 ± √𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

2𝑎

⇕

𝑥 =

−(−4) ± √ ( −4)^{2} − 4 · 2 · (−6)
2 · 2
=

4 ± √ 16 + 48

4

=

4 ± √ 64

4

=

4 ± 8

4

Der er således to løsninger:

𝑥_{1} =

4 − 8

4

= −1

Og

𝑥_{2} =

4 + 8

4

= 3

Vi bestemmer nu andenkoordinaterne for de to skæringspunkter vha. 𝑞:

𝑞 ( −1) = 3 · ( −1) + 9
= −3 + 9
= 6

𝑞 ( 3) = 3 · 3 + 9
= 9 + 9
= 18

Koordinatsættene til de to skæringspunkter kan nu opskrives:

𝑆_{1} ( −1,6) og 𝑆_{2} (3,18)

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

4

Opgave 4 a)

Funktionen integreres, hvorved der findes en grundform for alle stamfunktioner til funktionen:

𝐹 ( 𝑥) = ∫3𝑥^{5} − 6𝑥^{2} + 𝑑𝑥

1

2

= 3 · 𝑥^{6} − 6 · 𝑥^{3} + 𝑥+ 𝑘 (𝐼)

1 1 1

6 3 2

= 𝑥^{6} − 2𝑥^{3} + 𝑥+ 𝑘

1 1

2 2

Vi ved samtidig, at 𝐹 ( 1) = 3. Det vil sige:

3 = · 1^{6} − 2 · 1^{3} + · 1 + 𝑘

1 1

2 2

⇕

3 = − 2 + + 𝑘

1 1

2 2

⇕

3 = 1 − 2 + 𝑘

⇕

3 = −1 + 𝑘

⇕

𝑘 = 4

Den stamfunktion til 𝑓, hvis graf går gennem punktet 𝑃(1,3) er således givet ved forskriften:

𝐹 ( 𝑥) = 𝑥^{6} − 2𝑥^{3} + 𝑥+ 4

1 1

2 2

(𝐼):

Regneregler for integration

Ubestemt integral hvor F(x) er stamfunktion til f(x)

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 ( 𝑥) + 𝑐

Sætte konstant udenfor ∫ 𝑘· 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘· ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013

5

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫ 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Funktion Stamfunktion

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1
𝑘 𝑘· 𝑥

Opgave 5 a)

Der er tale om en lineær sammenhæng, så hældningskoefficienten kan bestemmes som:

𝑎 =

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}
=

2100 − 2400
60 − 50
= −

300

10

= −30

Vi indsætter nu, at 𝐴 ( 50) = 2400 samt at 𝑎 = −30 i forskriften for 𝐴:

2400 = −30 · 50+ 𝑏

⇕

𝑏 = 2400 + 30 · 50
= 2400 + 1500
= 3900

Forskriften for 𝐴 er således givet ved:

𝐴 ( 𝑥) =−30 · 𝑥+ 3900

𝑎 =−30 angiver ændringen i afsætning, når prisen øges med 1 kr. Ved en prisstigning på 5 kr. vil

afsætningen således ændres med

Δ𝐴 = 5 · 𝑎
= 5 · ( −30)
= −150

Det vil sige, at afsætningen falder med 150 stk., hvis prisen øges med 5 kr.